9.2: تبسيط الجذور التربيعية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• استخدم خاصية المنتج لتبسيط الجذور التربيعية
• استخدم خاصية حاصل القسمة لتبسيط الجذور التربيعية

كن مستعدًا

قبل أن تبدأ، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. قم بالتبسيط:$\frac{80}{176}$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
2. قم بالتبسيط:$\frac{n^9}{n^3}$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
3. قم بالتبسيط:$\frac{q^4}{q^{12}}$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].

في القسم الأخير، قمنا بتقدير الجذر التربيعي لعدد بين عددين صحيحين متتاليين. يمكننا القول أن$\sqrt{50}$ هذا يتراوح بين 7 و 8. من السهل جدًا القيام بذلك عندما تكون الأرقام صغيرة بما يكفي بحيث يمكننا استخدام [link].

ولكن ماذا لو أردنا التقدير$\sqrt{500}$؟ إذا قمنا بتبسيط الجذر التربيعي أولاً، فسوف نتمكن من تقديره بسهولة. هناك أسباب أخرى أيضًا لتبسيط الجذور التربيعية كما سترى لاحقًا في هذا الفصل.

يعتبر الجذر التربيعي مبسطًا إذا لم يحتوي جذره على عوامل مربعة مثالية.

تعريف: الجذر التربيعي المبسط

$\sqrt{a}$يعتبر مبسطًا إذا لم يكن لـ a عوامل مربعة مثالية.

لذلك$\sqrt{31}$ يتم تبسيطه. ولكن لم$\sqrt{32}$ يتم تبسيطه، لأن 16 هو عامل مربع مثالي لـ 32.

استخدم خاصية المنتج لتبسيط الجذور المربعة

تتشابه الخصائص التي سنستخدمها لتبسيط التعبيرات ذات الجذور التربيعية مع خصائص الأسس. نحن نعلم ذلك$(ab)^m=a^{m}b^{m}$. الخاصية المقابلة للجذور التربيعية تقول ذلك$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$.

تعريف: خاصية المنتج للجذور المربعة

إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية غير سالبة، إذن$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$.

نحن نستخدم خاصية المنتج لـ Square Roots لإزالة جميع العوامل المربعة المثالية من الجذور. سنعرض كيفية القيام بذلك في المثال.

كيفية استخدام خاصية المنتج لتبسيط الجذر التربيعي

مثال$\PageIndex{1}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{50}$.

إجابة

مثال$\PageIndex{2}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{48}$.

إجابة

$4\sqrt{3}$

مثال$\PageIndex{3}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{45}$.

إجابة

$3\sqrt{5}$

لاحظ في المثال السابق أن الشكل المبسط لـ$\sqrt{50}$ is $5\sqrt{2}$, which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.

التعريف: قم بتبسيط الجذر التربيعي باستخدام خاصية المنتج.

1. ابحث عن أكبر عامل مربع مثالي للركود الراديكالي. أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عامل المربع المثالي.
2. استخدم قاعدة المنتج لإعادة كتابة الجذر كمنتج لجذرين.
3. قم بتبسيط الجذر التربيعي للمربع المثالي.

مثال$\PageIndex{4}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{500}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{500}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{100·5}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{100}·\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify}}&{10\sqrt{5}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{5}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{288}$.

إجابة

$12\sqrt{2}$

مثال$\PageIndex{6}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{432}$.

إجابة

$12\sqrt{3}$

يمكننا استخدام النموذج المبسط$10\sqrt{5}$ للتقدير$\sqrt{500}$. نحن نعلم$\sqrt{5}$ أنه يقع بين 2 و 3،$\sqrt{500}$ وهو كذلك$10\sqrt{5}$. إذن$\sqrt{500}$ ما بين 20 و 30.

المثال التالي يشبه إلى حد كبير الأمثلة السابقة، ولكن مع المتغيرات.

مثال$\PageIndex{7}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{x^3}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{x^3}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{x^2·x}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{x^2}·\sqrt{x}}\\ {\text{Simplify}}&{x\sqrt{x}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{8}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{b^5}$.

إجابة

$b^2\sqrt{b}$

مثال$\PageIndex{9}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{p^9}$.

إجابة

$p^4\sqrt{p}$

نتبع نفس الإجراء عندما يكون هناك معامل في الراديكالية أيضًا.

مثال$\PageIndex{10}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{25y^5}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{25y^5}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{25y^4·y}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{25y^4}·\sqrt{y}}\\ {\text{Simplify.}}&{5y^2\sqrt{y}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{11}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{16x^7}$.

إجابة

$4x^3\sqrt{x}$

مثال$\PageIndex{12}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{49v^9}$.

إجابة

$7v^4\sqrt{v}$

في المثال التالي، يحتوي كل من الثابت والمتغير على عوامل مربعة مثالية.

مثال$\PageIndex{13}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{72n^7}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{72n^7}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{36n^{6}·2n}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{36n^{6}}·\sqrt{2n}}\\ {\text{Simplify.}}&{6n^3\sqrt{2n}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{14}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{32y^5}$.

إجابة

$4y^2\sqrt{2y}$

مثال$\PageIndex{15}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{75a^9}$.

إجابة

$5a^4\sqrt{3a}$

مثال$\PageIndex{16}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{63u^{3}v^{5}}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{63u^{3}v^{5}}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}·7uv}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}}·\sqrt{7uv}}\\ {\text{Simplify.}}&{3uv^{2}\sqrt{7uv}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{17}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{98a^{7}b^{5}}$.

إجابة

$7a^{3}b^{2}\sqrt{2ab}$

مثال$\PageIndex{18}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{180m^{9}n^{11}}$.

إجابة

$6m^{4}n^{5}\sqrt{5mn}$

لقد رأينا كيفية استخدام ترتيب العمليات لتبسيط بعض التعبيرات باستخدام الجذور. لتبسيط الأمور$\sqrt{25}+\sqrt{144}$ we must simplify each square root separately first, then add to get the sum of 17.

$\sqrt{17}+\sqrt{7}$لا يمكن تبسيط التعبير - في البداية سنحتاج إلى تبسيط كل جذر تربيعي، ولكن لا يحتوي 17 أو 7 على عامل مربع مثالي.

في المثال التالي، لدينا مجموع عدد صحيح وجذر مربع. نقوم بتبسيط الجذر التربيعي ولكن لا يمكننا إضافة التعبير الناتج إلى العدد الصحيح.

مثال$\PageIndex{19}$

قم بالتبسيط:$3+\sqrt{32}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{3+\sqrt{32}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{3+\sqrt{16·2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{3+\sqrt{16}·\sqrt{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{3+4\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

المصطلحات ليست مماثلة وبالتالي لا يمكننا إضافتها. إن محاولة إضافة عدد صحيح وجذر تشبه محاولة إضافة عدد صحيح ومتغير - فهما ليسا مثل المصطلحات!

مثال$\PageIndex{20}$

قم بالتبسيط:$5+\sqrt{75}$.

إجابة

$5+5\sqrt{3}$

مثال$\PageIndex{21}$

قم بالتبسيط:$2+\sqrt{98}$.

إجابة

$2+7\sqrt{2}$

يتضمن المثال التالي كسرًا له جذر في البسط. تذكر أنه من أجل تبسيط الكسر تحتاج إلى عامل مشترك في البسط والمقام.

مثال$\PageIndex{22}$

قم بالتبسيط:$\frac{4−\sqrt{48}}{2}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\frac{4−\sqrt{48}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using thelargest perfect square factor.}}&{\frac{4−\sqrt{16·3}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\frac{4−\sqrt{16}·\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{4−4\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Factor the common factor from thenumerator.}}&{\frac{4(1−\sqrt{3})}{2}}\\ {\text{Remove the common factor, 2, from thenumerator and denominator.}}&{2(1−\sqrt{3})}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{23}$

قم بالتبسيط:$\frac{10−\sqrt{75}}{5}$.

إجابة

$2−\sqrt{3}$

مثال$\PageIndex{24}$

قم بالتبسيط:$\frac{6−\sqrt{45}}{3}$.

إجابة

$2−\sqrt{5}$

استخدم خاصية حاصل القسمة لتبسيط الجذور التربيعية

عندما يتعين عليك تبسيط الجذر التربيعي، فإن الخطوة الأولى التي يجب عليك اتخاذها هي تحديد ما إذا كان الجذر مربعًا مثاليًا. الكسر المربع المثالي هو كسر يكون فيه كل من البسط والمقام مربعات مثالية.

مثال$\PageIndex{25}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{9}{64}}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{9}{64}}}\\ {\text{Since} (\frac{3}{8})^2}&{\frac{3}{8}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{26}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{25}{16}}$.

إجابة

$\frac{5}{4}$

مثال$\PageIndex{27}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{49}{81}}$.

إجابة

$\frac{7}{9}$

إذا كان البسط والمقام لهما أي عوامل مشتركة، فقم بإزالتها. قد تجد جزءًا مربعًا مثاليًا!

مثال$\PageIndex{28}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{45}{80}}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45}{80}}}\\ {\text{Simplify inside the radical first. Rewrite showing the common factors of the numerator and denominator.}}&{\sqrt{\frac{5·9}{5·16}}}\\ {\text{Simplify the fraction by removing common factors.}}&{\sqrt{\frac{9}{16}}}\\ {\text{Simplify.} (\frac{3}{4})^2 =\frac{9}{16}}&{\frac{3}{4}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{29}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{75}{48}}$.

إجابة

$\frac{5}{4}$

مثال$\PageIndex{30}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{98}{162}}$.

إجابة

$\frac{7}{9}$

في المثال الأخير، كانت خطوتنا الأولى هي تبسيط الكسر تحت الجذر عن طريق إزالة العوامل المشتركة. في المثال التالي، سنستخدم خاصية Quotient للتبسيط في ظل الراديكالية. نقسم القواعد المتشابهة بطرح أسسها،$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$،$a \ne 0$.

مثال$\PageIndex{31}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first}}&{}\\ {}&{\sqrt{m^2}}\\ {\text{Divide the like bases by subtracting the exponents.}}&{}\\ {\text{Simplify.}}&{m}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{32}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{a^8}{a^6}}$.

إجابة

أ

مثال$\PageIndex{33}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{x^{14}}{x^{10}}}$.

إجابة

$x^2$

مثال$\PageIndex{34}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first.}}&{\sqrt{16p^4}}\\ {\text{Simplify.}}&{4p^2}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{35}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{75x^5}{3x}}$.

إجابة

$5x^2$

مثال$\PageIndex{36}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{72z^{12}}{2z^{10}}}$.

إجابة

6 هرتز

هل تتذكر حاصل ضرب خاصية الطاقة؟ قال إنه يمكننا رفع الكسر إلى قوة عن طريق رفع البسط والمقام إلى القوة بشكل منفصل.

$(\frac{a}{b})^m=\frac{a^{m}}{b^{m}}$،$b \ne 0$

يمكننا استخدام خاصية مشابهة لتبسيط الجذر التربيعي للكسر. بعد إزالة جميع العوامل المشتركة من البسط والمقام، إذا لم يكن الكسر مربعًا مثاليًا، فإننا نبسط البسط والمقام بشكل منفصل.

تعريف: خاصية حاصل القسمة للجذور التربيعية

إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية غير سالبة ثم$b \ne 0$

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

مثال$\PageIndex{37}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{21}{64}}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{21}{64}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{64}}}\\ {\text{Simplify the square root of 64. The numerator cannot be simplified.}}&{\frac{\sqrt{21}}{8}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{38}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{19}{49}}$.

إجابة

$\frac{\sqrt{19}}{7}$

مثال$\PageIndex{39}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{28}{81}}$

إجابة

$\frac{2\sqrt{7}}{9}$

كيفية استخدام خاصية حاصل القسمة لتبسيط الجذر التربيعي

مثال$\PageIndex{40}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{27m^3}{196}}$.

إجابة

مثال$\PageIndex{41}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{24p^3}{49}}$

إجابة

$\frac{2p\sqrt{6p}}{7}$

مثال$\PageIndex{42}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{48x^5}{100}}$

إجابة

$\frac{2x^2\sqrt{3x}}{5}$

التعريف: قم بتبسيط الجذر التربيعي باستخدام خاصية حاصل القسمة.

1. قم بتبسيط الكسر في الجذر، إن أمكن.
2. استخدم خاصية حاصل القسمة لإعادة كتابة الجذر في صورة حاصل قسمة جذريين.
3. قم بتبسيط الجذور في البسط والمقام.

مثال$\PageIndex{43}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{45x^5}}{\sqrt{y^4}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9x^4}\sqrt{5x}}{y^2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3x^2\sqrt{5x}}{y^2}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{44}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{80m^3}{n^6}}$

إجابة

$\frac{4m\sqrt{5m}}{n^3}$

مثال$\PageIndex{45}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{54u^7}{v^8}}$.

إجابة

$\frac{3u^3\sqrt{6u}}{v^4}$

تأكد من تبسيط الكسر في الراديكوند أولاً، إن أمكن.

مثال$\PageIndex{46}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{81d^5}{25}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{81d^5}}{\sqrt{25}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{81d^4}\sqrt{d}}{5}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{9d^2\sqrt{d}}{5}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{47}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{64x^7}{9x^3}}$.

إجابة

$\frac{8x^2}{3}$

مثال$\PageIndex{48}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{16a^9}{100a^5}}$.

إجابة

$\frac{2a^2}{5}$

مثال$\PageIndex{49}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{9p^4q^5}{16}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^5}}{\sqrt{16}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^4}\sqrt{q}}{4}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3p^2q^2\sqrt{q}}{4}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{50}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{50x^5y^3}{72x^4y}}$.

إجابة

$\frac{5y\sqrt{x}}{6}$

مثال$\PageIndex{51}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{\frac{48m^7n^2}{125m^5n^9}}$.

إجابة

$\frac{4m\sqrt{3}}{5n^3\sqrt{5n}}$

المفاهيم الرئيسية

• $\sqrt{a}$يعتبر الجذر التربيعي المبسط مبسطًا إذا لم يكن له عوامل مربعة مثالية.
• خاصية المنتج للجذور التربيعية إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية غير سالبة، إذن

  $\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$

• قم بتبسيط الجذر التربيعي باستخدام خاصية المنتج لتبسيط الجذر التربيعي باستخدام خاصية المنتج:
  1. ابحث عن أكبر عامل مربع مثالي للركود الراديكالي. أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عامل المربع المثالي.
  2. استخدم قاعدة المنتج لإعادة كتابة الجذر كمنتج لجذرين.
  3. قم بتبسيط الجذر التربيعي للمربع المثالي.
• خاصية حاصل القسمة للجذور التربيعية إذا كانت a و $b \ne 0$b أرقامًا حقيقية غير سالبة ثم

  $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

• قم بتبسيط الجذر التربيعي باستخدام خاصية حاصل القسمة لتبسيط الجذر التربيعي باستخدام خاصية حاصل القسمة:
  1. قم بتبسيط الكسر في الجذر، إن أمكن.
  2. استخدم قاعدة القسمة لإعادة كتابة الجذر في صورة حاصل قسمة جذريين.
  3. قم بتبسيط الجذور في البسط والمقام.