Skip to main content
Global

8.7: حل تطبيقات التناسب والأشكال المتشابهة

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200306

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • حل النسب
    • حل تطبيقات الأشكال المتشابهة
    ملاحظة

    قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

    إذا فاتتك مشكلة، فارجع إلى القسم المدرج وراجع المادة.

    1. حل\(\dfrac{n}{3}=30\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.2.25.
    2. يبلغ محيط النافذة المثلثة 23 قدمًا. يبلغ طول الجانبين عشرة أقدام وستة أقدام. ما هي مدة الجانب الثالث؟
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 3.4.2

    حل النسب

    عندما يكون التعبيران العقليان متساويين، فإن المعادلة المتعلقة بهما تسمى النسبة.

    التعريف: النسبة

    النسبة هي معادلة الشكل\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)، أين\(b \ne 0\)،\(d \ne 0\).

    تُقرأ النسبة «أ هي إلى ب، كما هي ج إلى د»

    المعادلة\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}\) is a proportion because the two fractions are equal.

    \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}\)تتم قراءة النسبة «1 إلى 2 حيث أن 4 هي إلى 8.»

    يتم استخدام النسب في العديد من التطبيقات «لتوسيع نطاق الكميات». سنبدأ بمثال بسيط للغاية حتى تتمكن من رؤية كيفية عمل النسب. حتى إذا تمكنت من معرفة الإجابة على المثال على الفور، فتأكد من أنك تتعلم أيضًا حلها باستخدام النسب.

    لنفترض أن مدير المدرسة يريد أن يكون لديه معلم واحد لـ 20 طالبًا. يمكنها استخدام النسب للعثور على عدد المعلمين لـ 60 طالبًا. نسمح لـ x بأن يكون عدد المعلمين لـ 60 طالبًا ثم نقوم بإعداد النسبة:

    \[\dfrac{1\,\text{teacher}}{20\,\text{students}}=\dfrac{x\,\text{teachers}}{60\,\text{students}}\nonumber\]

    نحن حريصون على مطابقة وحدات البسط ووحدات المقامات - المعلمون في البسط والطلاب في القواسم.

    نظرًا لأن النسبة هي معادلة ذات تعبيرات نسبية، فسوف نحل النسب بنفس الطريقة التي حللنا بها المعادلات في حل المعادلات النسبية. سنضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD لمسح الكسور ثم حل المعادلة الناتجة.

      .
    اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD، 60. .
    قم بالتبسيط. .
      يحتاج المدير إلى 3 معلمين لـ 60 طالبًا.

    الآن سنقوم ببعض الأمثلة لحل النسب العددية بدون أي وحدات. ثم سنحل التطبيقات باستخدام النسب.

    مثال\(\PageIndex{1}\)

    \(\dfrac{x}{63}=\dfrac{4}{7}\).

        .
    لعزل x، اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD، 63.   .
    قم بالتبسيط.   .
    قسّم العوامل المشتركة.   .
    تحقق. للتحقق من إجابتنا، نستبدل النسبة الأصلية.    
      .  
    . .  
    أظهر العوامل المشتركة. .  
    قم بالتبسيط. .  
    جرب ذلك\(\PageIndex{1}\)

    \(\dfrac{n}{84}=\dfrac{11}{12}\).

    إجابة

    77

    جرب ذلك\(\PageIndex{2}\)

    \(\dfrac{y}{96}=\dfrac{13}{12}\).

    إجابة

    104

    مثال\(\PageIndex{2}\)

    \(\dfrac{144}{a}=\dfrac{9}{4}\).

        .
    اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD.   .
    قم بإزالة العوامل المشتركة على كل جانب.   .
    قم بالتبسيط.   .
    قسّم كلا الجانبين على 9.   .
    قم بالتبسيط.   .
    تحقق.    
      .  
    . .  
    أظهر العوامل المشتركة. .  
    قم بالتبسيط. .  
    جرب ذلك\(\PageIndex{3}\)

    \(\dfrac{91}{b}=\dfrac{7}{5}\).

    إجابة

    65

    جرب ذلك\(\PageIndex{4}\)

    \(\dfrac{39}{c}=\dfrac{13}{8}\).

    إجابة

    24

    مثال\(\PageIndex{3}\)

    \(\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7}.\)

        .
    اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD.   .
    قم بإزالة العوامل المشتركة على كل جانب.   .
    قم بالتبسيط.   .
    حل لـ n.   .
        .
    تحقق.    
      .  
    . .  
    قم بالتبسيط. .  
    أظهر العوامل المشتركة. .  
    قم بالتبسيط. .  
    جرب ذلك\(\PageIndex{5}\)

    \(\dfrac{y}{y+55}=\dfrac{3}{8}\).

    إجابة

    33

    جرب ذلك\(\PageIndex{6}\)

    \(\dfrac{z}{z−84}=−\dfrac{1}{5}\).

    إجابة

    14

    مثال\(\PageIndex{4}\)

    \(\dfrac{p+12}{9}=\dfrac{p−12}{6}\).

        .
    اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD، 18.   .
    قم بالتبسيط.   .
    قم بالتوزيع.   .
    حل لـ p.   .
    تحقق.    
      .  
    . .  
    قم بالتبسيط. .  
    يقسم. .  
    جرب ذلك\(\PageIndex{7}\)

    \(\dfrac{v+30}{8}=\dfrac{v+66}{12}\).

    إجابة

    42

    جرب ذلك\(\PageIndex{8}\)

    \(\dfrac{2x+15}{9}=\dfrac{7x+3}{15}\).

    إجابة

    6

    لحل التطبيقات ذات النسب، سنتبع استراتيجيتنا المعتادة لحل التطبيقات. ولكن عندما نقوم بإعداد النسبة، يجب أن نتأكد من صحة الوحدات - يجب أن تتطابق الوحدات في البسط ويجب أن تتطابق الوحدات في المقامات.

    مثال\(\PageIndex{5}\)

    عندما يصف أطباء الأطفال الأسيتامينوفين للأطفال، فإنهم يصفون 5 مليلتر (مل) من الأسيتامينوفين لكل 25 رطلاً من وزن الطفل. إذا كان وزن زوي 80 رطلاً، فما عدد الملليلترات من الأسيتامينوفين التي سيصفها طبيبها؟

    حدد ما يُطلب منا العثور عليه، واختر متغيرًا لتمثيله. كم مل من الأسيتامينوفين سيصفه الطبيب؟
      اترك = مل من الأسيتامينوفين.
    اكتب جملة تعطي المعلومات للعثور عليها. إذا تم وصف 5 مل لكل 25 رطلاً، فما المقدار الذي سيُوصف مقابل 80 رطلاً؟
    ترجم إلى نسبة - احذر من الوحدات.

    .
    اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD، 400. .
    قم بإزالة العوامل المشتركة على كل جانب. .
    قم بالتبسيط ولكن لا تتضاعف على اليسار. لاحظ ما ستكون الخطوة التالية. .
    حل مشكلة. .
    تحقق. .
    هل الإجابة معقولة؟  
    نعم، نظرًا لأن 80 حوالي 3 مرات 25، يجب أن يكون الدواء حوالي 3 مرات 5. لذا فإن 16 مل أمر منطقي.  
    .  
    اكتب جملة كاملة. سيصف طبيب الأطفال 16 مل من الأسيتامينوفين إلى زوي.
    جرب ذلك\(\PageIndex{9}\)

    يصف أطباء الأطفال 5 مليلتر (مل) من الأسيتامينوفين لكل 25 رطلاً من وزن الطفل. كم مليلتر من الأسيتامينوفين الذي سيصفه الطبيب لإميليا، التي تزن 60 رطلاً؟

    إجابة

    12 مل

    جرب ذلك\(\PageIndex{10}\)

    لكل كيلوغرام واحد (كجم) من وزن الطفل، يصف أطباء الأطفال 15 ملليغرام (ملغ) من مخفض الحمى. إذا كانت إيزابيلا تزن 12 كجم، فما عدد الملليغرامات من مخفض الحمى الذي سيصفه طبيب الأطفال؟

    إجابة

    180 مل

    مثال\(\PageIndex{6}\)

    يحتوي ماكياتو الكراميل المثلج سعة 16 أونصة على 230 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية الموجودة في ماكياتو بالكراميل المثلج سعة 24 أونصة؟

    حدد ما يُطلب منا العثور عليه، واختر متغيرًا لتمثيله. كم عدد السعرات الحرارية في ماكياتو بالكراميل المثلج سعة 24 أونصة؟
      دع c=السعرات الحرارية في 24 أونصة.
    اكتب جملة تعطي المعلومات للعثور عليها. إذا كان هناك 230 سعرًا حراريًا في 16 أونصة، فما عدد السعرات الحرارية في 24 أونصة؟
    ترجم إلى نسبة - احذر من الوحدات.

    .
    اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD، 48. .
    قم بإزالة العوامل المشتركة على كل جانب. .
    قم بالتبسيط. .
    حل لـ ج. .
      .
    تحقق.  
    هل الإجابة معقولة؟  
    نعم، 345 سعرًا حراريًا لكل 24 أونصة هي أكثر من 290 سعرًا حراريًا لكل 16 أونصة، ولكن ليس أكثر من ذلك بكثير.  
    .  
    اكتب جملة كاملة. هناك 345 سعرًا حراريًا في ماكياتو بالكراميل المثلج سعة 24 أونصة.
    جرب ذلك\(\PageIndex{11}\)

    في مطعم للوجبات السريعة، يحتوي مخفوق الشوكولاتة بحجم 22 أونصة على 850 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية في مخفوق الشوكولاتة سعة 12 أونصة؟ قرِّب إجابتك لأقرب عدد صحيح.

    إجابة

    464 سعرة حرارية

    جرب ذلك\(\PageIndex{12}\)

    تحب يانيلي حلوى Starburst، لكنها تريد الاحتفاظ بوجباتها الخفيفة عند 100 سعرة حرارية. إذا كانت الحلوى تحتوي على 160 سعرًا حراريًا لكل 8 قطع، فما عدد القطع التي يمكنها تناولها في وجبتها الخفيفة؟

    إجابة

    5 قطع

    مثال\(\PageIndex{7}\)

    ذهب يوشيا إلى المكسيك لقضاء عطلة الربيع وقام بتحويل 325 دولارًا إلى بيزو مكسيكي. في ذلك الوقت، كان سعر الصرف 1 دولار أمريكي يساوي 12.54 بيزو مكسيكي. كم عدد البيزو المكسيكي الذي حصل عليه لرحلته؟

    ما الذي يُطلب منك العثور عليه؟ كم عدد البيزو المكسيكي الذي حصل عليه يوشيا؟
    قم بتعيين متغير. Let p= عدد البيزو المكسيكي.
    اكتب جملة تعطي المعلومات للعثور عليها. إذا كان الدولار الأمريكي يساوي 12.54 بيزو مكسيكي، فإن 325 دولارًا هو عدد البيزو؟

    ترجم إلى نسبة - احذر من الوحدات.

    .
    اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD، 12.54 بكسل. .
    قم بإزالة العوامل المشتركة على كل جانب. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق.  
    هل الإجابة معقولة؟  
    نعم، 100 دولار ستكون 1254 بيزو. 325 دولارًا هي أكثر بقليل من 3 أضعاف هذا المبلغ، لذا فإن إجابتنا البالغة 4075.5 بيزو منطقية.  
    .  
    اكتب جملة كاملة. حصل يوشيا على 4075.5 بيزو لرحلة عطلة الربيع.
    جرب ذلك\(\PageIndex{13}\)

    تذهب يوريانا إلى أوروبا وتريد تحويل 800 دولار إلى يورو. بسعر الصرف الحالي، 1 دولار أمريكي يساوي 0.738 يورو. كم يورو ستحصل عليها لرحلتها؟

    إجابة

    590.4 يورو

    جرب ذلك\(\PageIndex{14}\)

    يسافر كوري ونيكول إلى اليابان ويحتاجان إلى استبدال 600 دولار بالين الياباني. إذا كان كل دولار 94.1 ين، فما عدد الين الذي سيحصلون عليه؟

    إجابة

    56,460 ين

    في المثال أعلاه، قمنا بربط عدد البيزو بعدد الدولارات باستخدام نسبة. يمكننا القول أن عدد البيزو يتناسب مع عدد الدولارات. إذا كانت الكميتان مرتبطتان بنسبة، فإننا نقول إنهما متناسبان.

    حل تطبيقات الأشكال المتشابهة

    عندما تقوم بتقليص صورة أو تكبيرها على هاتف أو جهاز لوحي، أو تحديد مسافة على الخريطة، أو استخدام نمط لإنشاء خزانة كتب أو خياطة فستان، فأنت تعمل بأشكال مماثلة. إذا كان هناك شخصان لهما نفس الشكل تمامًا، ولكن بأحجام مختلفة، يُقال إنهما متشابهان. أحدهما نموذج مصغر للآخر. جميع الزوايا المقابلة لها نفس المقاييس والجوانب المقابلة لها في نفس النسبة.

    تعريف: أرقام مماثلة

    يتشابه الشكلان إذا كانت قياسات الزوايا المقابلة متساوية وكانت الجوانب المقابلة لهما في نفس النسبة.

    على سبيل المثال، المثلثان في الشكل متشابهان. يبلغ طول كل جانب من ΔABC 4 أضعاف طول الجانب المقابل لـ ΔXYZ.

    توضح الصورة أعلاه خطوات حل النسبة 1 مقسومًا على 12.54 تساوي 325 مقسومًا على p. ما الذي يُطلب منك إيجاده؟ كم عدد البيزو المكسيكي الذي حصل عليه؟ قم بتعيين متغير. دعونا نساوي عدد البيزو. اكتب جملة تعطي المعلومات للعثور عليها. إذا كان الدولار الأمريكي يساوي 12.54 بيزو، فإن 325 دولارًا هو عدد البيزو. ترجم إلى نسبة، وكن حذرًا من الوحدات. البيزو المقسوم بالدولار يساوي الدولار مقسومًا على البيزو للحصول على 1 مقسومًا على 12.54 يساوي 325 مقسومًا على p. اضرب كلا الجانبين على شاشة LCD، 12.54 p للحصول على 1 مقسومًا على 12.54 p في 1 مقسومًا على 12.54 p في 325 مقسومًا على p. أزل العوامل المشتركة من كلا الجانبين. اشطب 12.54 من الجانب الأيسر من المعادلة. اشطب p من الجانب الأيمن من المعادلة. قم بالتبسيط للحصول على p يساوي 4075.5 في النسبة الأصلية. تحقق. هل الإجابة معقولة؟ نعم، 100 دولار ستكون 1254 بيزو. 325 دولارًا هي أكثر بقليل من 3 أضعاف هذا المبلغ، لذا فإن إجابتنا البالغة 4075.5 بيزو منطقية. البديل p يساوي 4075.5 في النسبة الأصلية. استخدم الآلة الحاسبة. لدينا الآن 1 مقسومًا على 12.54 يساوي 325 مقسومًا على p، ثم 1 مقسومًا على 12.54 يساوي 325 مقسومًا على 4075.5 للحصول على 0.07874 يساوي 0.07874. يتم التحقق من الإجابة.

    يتم تلخيص ذلك في خاصية المثلثات المتشابهة.

    تعريف: خاصية المثلثات المتشابهة

    إذا كانت ΔABC مشابهة لـ ΔXYZ

    يوضح الشكل أعلاه مثلثات متشابهة. المثلث الأكبر المسمى A B C. طول A إلى B هو c، طول B إلى C هو a. طول C إلى A هو b. المثلث الأكبر يسمى X Y Z. طول X إلى Y هو z. طول Y إلى Z هو x. طول Y إلى Z هو x. طول X إلى Z هو y. على يمين المثلثات، ينص على قياس الزاوية المقابلة A يساوي قياس الزاوية المقابلة X، وقياس الزاوية المقابلة B يساوي قياس الزاوية المقابلة Y، وقياس الزاوية المقابلة C يساوي قياس الزاوية المقابلة Z. لذلك، فإن القسمة على x تساوي b مقسومًا على y تساوي c مقسومًا على z.

    لحل التطبيقات ذات الأرقام المتشابهة، سنتبع استراتيجية حل المشكلات لتطبيقات الهندسة التي استخدمناها سابقًا.

    تعريف: حل تطبيقات الهندسة.
    1. اقرأ المشكلة واجعل كل الكلمات والأفكار مفهومة. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المعطاة.
    2. حدد ما نبحث عنه.
    3. قم بتسمية ما نبحث عنه عن طريق اختيار متغير لتمثيله.
    4. ترجم إلى معادلة بكتابة الصيغة أو النموذج المناسب للموقف. استبدل المعلومات المعطاة.
    5. حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
    6. تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
    7. أجب على السؤال بجملة كاملة.
    مثال\(\PageIndex{8}\)

    ΔABC مشابه لـ ΔXYZ

    تُظهر الصورة أعلاه مثلثين متشابهين. يتم إعطاء وجهين لكل مثلث. المثلث الأكبر يسمى A B C. طول A إلى B هو 4. الطول من B إلى C هو a. الطول من C إلى A هو 3.2. المثلث الأصغر يسمى X Y Z. الطول من X إلى Y هو 3. الطول من Y إلى Z هو 4.5. الطول من Z إلى X هو y.

    الخطوة 1. اقرأ المشكلة. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المعطاة. يتم إعطاء الشكل.
    الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه. طول جوانب المثلثات المتشابهة.
    الخطوة 3. قم بتسمية المتغيرات.

    دع = طول الجانب الثالث من ΔABC.

    y= طول الجانب الثالث من ΔXYZ.
    الخطوة 4. ترجم. نظرًا لأن المثلثات متشابهة، فإن الجوانب المقابلة متناسبة.
    نحتاج إلى كتابة معادلة تقارن الضلع الذي نبحث عنه بنسبة معروفة. نظرًا لأن الجانب AB = 4 يتوافق مع الجانب XY = 3 الذي نعرفه\(\dfrac{AB}{XY}=\dfrac{4}{3}\). لذلك نكتب المعادلات\(\dfrac{AB}{XY}\) لإيجاد الأضلاع التي نبحث عنها. احرص على مطابقة الجوانب المقابلة بشكل صحيح. \(\dfrac{AB}{XY}=\dfrac{BC}{YZ}=\dfrac{AC}{XZ}\).
    .
    بديل. ..
    الخطوة 5. حل المعادلة.
    .
    Figure_08_07_030f_img_new.jpg "/>
      ..
    الخطوة 6. تحقق.
    الخطوة 7. أجب على السؤال. الجانب الثالث من ΔABC هو 6 والجانب الثالث من ΔXYZ هو 2.4.
    جرب ذلك\(\PageIndex{15}\)

    ΔABC مشابه لـ ΔXYZ. يوضح الشكل أطوال ضلعي كل مثلث.

    تُظهر الصورة أعلاه مثلثين متشابهين. المثلث الأصغر يسمى A B C. ويُعطى طول ضلعين للمثلث الأصغر A B C. والطول من A إلى B يساوي 17. الطول من B إلى C هو a. الطول من C إلى D هو 15. المثلث الأكبر يسمى X Y Z. يتم إعطاء الطول للجانبين. الطول من X إلى Y هو 25.5. الطول من Y إلى Z هو 12. الطول من Z إلى X هو y.

    أوجد طول الضلع أ

    إجابة

    8

    جرب ذلك\(\PageIndex{16}\)

    ΔABC مشابه لـ ΔXYZ. يوضح الشكل أطوال ضلعي كل مثلث.

    إجابة

    22.5

    يوضح المثال التالي كيفية استخدام المثلثات المتشابهة مع الخرائط.

    مثال\(\PageIndex{9}\)

    على الخريطة، تشكل سان فرانسيسكو ولاس فيغاس ولوس أنجلوس مثلثًا تظهر أضلاعه في الشكل أدناه. إذا كانت المسافة الفعلية من لوس أنجلوس إلى لاس فيجاس 270 ميلًا، فأوجد المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو.

    تُظهر الصورة أعلاه مثلثين متشابهين وكيفية استخدامهما مع الخرائط. يظهر المثلث الأصغر على اليسار سان فرانسيسكو ولاس فيغاس ولوس أنجلوس في النقاط الثلاث. تبلغ المسافة من سان فرانسيسكو إلى لوس أنجلوس 1.3 بوصة. من لوس أنجلوس إلى لاس فيجاس هو بوصة واحدة. تبلغ المسافة من لاس فيغاس إلى سان فرانسيسكو 2.1 بوصة. يُظهر المثلث الثاني الأكبر نفس النقاط. المسافة من سان فرانسيسكو إلى لوس أنجلوس هي x، والمسافة من لوس أنجلوس إلى لاس فيغاس هي 270 ميلاً. لم يتم ملاحظة المسافة من لاس فيغاس إلى سان فرانسيسكو.

    اقرأ المشكلة. ارسم الأشكال والتسمية بالمعلومات المعطاة. يتم عرض الأرقام أعلاه.
    حدد ما نبحث عنه. المسافة الفعلية من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو.
    قم بتسمية المتغيرات. Let x = المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو.
    ترجم إلى معادلة. نظرًا لأن المثلثات
    متشابهة، فإن الجوانب المقابلة
    متناسبة. سنجعل البسطين
    «أميال» والمقامات «بوصات».    		 .
      .
    حل المعادلة. .
    تحقق.  
    على الخريطة، المسافة من لوس أنجلوس إلى
    سان فرانسيسكو هي أكثر من المسافة من
    لوس أنجلوس إلى لاس فيغاس. نظرًا لأن 351 هو
    أكثر من 270، فإن الإجابة منطقية.    		  
    .  
    أجب على السؤال. المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو هي 351 ميلاً.
    جرب ذلك\(\PageIndex{17}\)

    على الخريطة، تشكل سياتل وبورتلاند وبويز مثلثًا تظهر أضلاعه في الشكل أدناه. إذا كانت المسافة الفعلية من سياتل إلى بويز 400 ميل، فأوجد المسافة من سياتل إلى بورتلاند.

    الصورة أعلاه عبارة عن مثلث يحمل أحد جانبيه اسم «سياتل، 4.5 بوصة». يُطلق على الجانب الآخر اسم «بورتلاند 3.5 بوصة». يتم تسمية الجانب الثالث بـ 1.5 بوصة. يُطلق على قمة الرأس اسم «بويز».

    إجابة

    150 أميال

    جرب ذلك\(\PageIndex{18}\)

    باستخدام الخريطة أعلاه، ابحث عن المسافة من بورتلاند إلى بويز.

    إجابة

    350 أميال

    يمكننا استخدام أرقام مماثلة للعثور على ارتفاعات لا يمكننا قياسها مباشرة.

    مثال\(\PageIndex{10}\)

    يبلغ طول تايلر 6 أقدام. في وقت متأخر من بعد ظهر أحد الأيام، كان طوله 8 أقدام. في نفس الوقت، كان ظل الشجرة يبلغ طوله 24 قدمًا. أوجد ارتفاع الشجرة.

    اقرأ المشكلة وارسم الشكل. .
    نحن نبحث عن h، ارتفاع الشجرة.  
    سنستخدم مثلثات متشابهة لكتابة معادلة.  
    المثلث الصغير يشبه المثلث الكبير. .
    حل النسبة. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق.  

    ارتفاع تايلر أقل من طول ظله لذلك فمن المنطقي أن يكون ارتفاع الشجرة أقل من طول ظلها.

    		  
    .  
    جرب ذلك\(\PageIndex{19}\)

    يلقي عمود الهاتف ظلًا يبلغ طوله 50 قدمًا. وفي مكان قريب، تلقي إشارة مرور طولها 8 أقدام بظلالها على طول 10 أقدام. كم يبلغ طول عمود الهاتف؟

    إجابة

    40 قدمًا

    جرب ذلك\(\PageIndex{20}\)

    تلقي شجرة صنوبر بظلالها على 80 قدمًا بجوار مبنى يبلغ ارتفاعه 30 قدمًا يلقي بظلاله على 40 قدمًا. كم يبلغ ارتفاع شجرة الصنوبر؟

    إجابة

    60 قدمًا

    المفاهيم الرئيسية

    • خاصية المثلثات المتشابهة
      • إذا كانت ΔABC مشابهة لـ ΔXYZ
    • إستراتيجية حل المشكلات لتطبيقات الهندسة
      1. اقرأ المشكلة وتأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المعطاة.
      2. حدد ما نبحث عنه.
      3. قم بتسمية ما نبحث عنه عن طريق اختيار متغير لتمثيله.
      4. ترجم إلى معادلة بكتابة الصيغة أو النموذج المناسب للموقف. استبدل المعلومات المعطاة.
      5. حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
      6. تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
      7. أجب على السؤال بجملة كاملة.

    مسرد المصطلحات

    نسبة
    النسبة هي معادلة الشكل\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}, where \(b \ne 0\)،\(d \ne 0\). تتم قراءة النسبة «أ هي إلى ب ج هي إلى د».
    شخصيات مماثلة
    يتشابه الشكلان إذا كانت قياسات الزوايا المقابلة متساوية وكانت الجوانب المقابلة لهما في نفس النسبة.