7.6: المعادلات التربيعية
- Page ID
- 200210
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية حاصل الضرب الصفري
- حل تحليل المعادلات التربيعية
- حل التطبيقات التي تم تصميمها باستخدام المعادلات التربيعية
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- حل:\(5y−3=0\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.3.1. - حل:\(10a=0\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.2.1. - اجمع بين المصطلحات المتشابهة:\(12 x^{2}-6 x+4 x\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.3.37. - عامل\(n^{3}-9 n^{2}-22 n\) بالكامل.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 7.3.10.
لقد قمنا بالفعل بحل المعادلات الخطية ومعادلات النموذج\(a x+b y=c\). في المعادلات الخطية، لا تحتوي المتغيرات على أسس. المعادلات التربيعية هي معادلات يكون فيها المتغير مربعًا. فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التربيعية:
\[x^{2}+5 x+6=0 \quad 3 y^{2}+4 y=10 \quad 64 u^{2}-81=0 \quad n(n+1)=42\]
لا يبدو أن المعادلة الأخيرة تحتوي على متغير مربع، ولكن عندما نبسط التعبير على اليسار سنحصل عليه\(n^{2}+n\).
الشكل العام للمعادلة التربيعية هو\(a x^{2}+b x+c=0\)، مع\(a \neq 0\).
تُسمى معادلة الشكل\(a x^{2}+b x+c=0\) بالمعادلة التربيعية.
\[a, b, \text { and } c \text { are real numbers and } a \neq 0\]
لحل المعادلات التربيعية، نحتاج إلى طرق مختلفة عن تلك التي استخدمناها في حل المعادلات الخطية. سننظر إلى طريقة واحدة هنا ثم عدة طرق أخرى في فصل لاحق.
حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية حاصل الضرب الصفري
سنقوم أولاً بحل بعض المعادلات التربيعية باستخدام خاصية المنتج الصفري. تنص خاصية Zero Product على أنه إذا كان منتج الكميتين صفرًا، فيجب أن تكون واحدة على الأقل من الكميات هي صفر. الطريقة الوحيدة للحصول على منتج يساوي الصفر هي الضرب في الصفر نفسه.
\(\text { If } a \cdot b=0, \text { then either } a=0 \text { or } b=0 \text { or both. }\)
سنستخدم الآن خاصية المنتج الصفري لحل المعادلة التربيعية.
حل:\((x+1)(x-4)=0\)
- إجابة
-
حل:\((x-3)(x+5)=0\)
- إجابة
-
\(x=3, x=-5\)
حل:\((y-6)(y+9)=0\)
- إجابة
-
\(y=6, y=-9\)
سنقوم عادةً بعمل أكثر قليلاً مما قمنا به في هذا المثال الأخير لحل المعادلات الخطية الناتجة عن استخدام خاصية Zero Product.
حل:\((5 n-2)(6 n-1)=0\)
- إجابة
-
\((5 n-2)(6 n-1)=0\) استخدم خاصية Zero Product لتعيين
كل عامل على 0.\(5 n-2=0 \)
\(6 n-1=0\) حل المعادلات. \(n=\frac{2}{5}\) \(n = \frac{1}{6}\) تحقق من إجاباتك. 
حل:\((3 m-2)(2 m+1)=0\)
- إجابة
-
\(m=\frac{2}{3}, m=-\frac{1}{2}\)
حل:\((4 p+3)(4 p-3)=0\)
- إجابة
-
\(p=-\frac{3}{4}, p=\frac{3}{4}\)
لاحظ عندما فحصنا الحلول أن كل منها جعل عاملاً واحدًا فقط يساوي الصفر. لكن المنتج كان صفرًا لكلا الحلين.
حل:\(3 p(10 p+7)=0\)
- إجابة
-
\(3p(10p+7)=0\) استخدم خاصية Zero Product لتعيين
كل عامل على 0.3p=0 10p+7=0 حل المعادلات. p=0 10p=−7 \(p=-\frac{7}{10}\) تحقق من إجاباتك. 
حل:\(2 u(5 u-1)=0\)
- إجابة
-
\(u=0, u=\frac{1}{5}\)
حل:\(w(2 w+3)=0\)
- إجابة
-
\(w=0, w=-\frac{3}{2}\)
قد يبدو أن هناك عاملاً واحدًا فقط في المثال التالي. لكن تذكر أن هذا\((y-8)^{2}\) يعني\((y-8)(y-8)\).
حل:\((y-8)^{2}=0\)
- إجابة
-
\((y−8)^{2}=0\) أعد كتابة الجانب الأيسر كمنتج. (ص-8) (ص-8) = 0 استخدم خاصية Zero Product
واضبط كل عامل على 0.ص−8=0 ص−8=0 حل المعادلات. ص = 8 ص = 8 عندما يتكرر الحل، نسميه
الجذر المزدوج.تحقق من إجابتك. 
حل:\((x+1)^{2}=0\)
- إجابة
-
\(x=1\)
حل:\((v-2)^{2}=0\)
- إجابة
-
\(v=2\)
حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل
كل معادلة من المعادلات التي قمنا بحلها في هذا القسم حتى الآن لها جانب واحد في شكل معمول. من أجل استخدام خاصية المنتج الصفري، يجب أخذ المعادلة التربيعية في الاعتبار، مع وجود صفر على جانب واحد. لذلك نتأكد من البدء بالمعادلة التربيعية في الشكل القياسي،\(a x^{2}+b x+c=0\). ثم نقوم بحساب التعبير على اليسار.
حل:\(x^{2}+2 x-8=0\)
- إجابة
-
حل:\(x^{2}-x-12=0\)
- إجابة
-
\(x=4, x=-3\)
حل:\(b^{2}+9 b+14=0\)
- إجابة
-
\(b=-2, b=-7\)
- اكتب المعادلة التربيعية في الصورة القياسية،\(a x^{2}+b x+c=0\).
- عامِل التعبير التربيعي.
- استخدم خاصية المنتج الصفري.
- حل المعادلات الخطية.
- تحقق.
قبل إجراء التحليل، يجب أن نتأكد من أن المعادلة التربيعية في الصورة القياسية.
حل:\(2 y^{2}=13 y+45\)
- إجابة
-
\(2 y^{2}=13 y+45\) اكتب المعادلة التربيعية في الصورة القياسية. \(2 y^{2}-13 y-45=0\) عامِل التعبير التربيعي. \((2 y+5)(y-9)=0\) استخدم خاصية Zero
Product لتعيين كل عامل على 0.\(2 y+5=0\) \(y-9=0\) حل كل معادلة. \(y=-\frac{5}{2}\) \(y=9\) تحقق من إجاباتك. 
حل:\(3 c^{2}=10 c-8\)
- إجابة
-
\(c=0, c=\frac{4}{3}\)
حل:\(2 d^{2}-5 d=3\)
- إجابة
-
\(d=3, d=-\frac{1}{2}\)
حل:\(5 x^{2}-13 x=7 x\)
- إجابة
-
\(5 x^{2}-13 x=7 x\) اكتب المعادلة التربيعية في الصورة القياسية. \(5 x^{2}-20 x=0\) ضع في اعتبارك الجانب الأيسر من المعادلة. \(5 x(x-4)=0\) استخدم خاصية Zero
Product لتعيين كل عامل على 0.\(5x=0\) \(x−4=0\) حل كل معادلة. \(x=0\) \(x=4\) تحقق من إجاباتك. 
حل:\(6 a^{2}+9 a=3 a\)
- إجابة
-
\(a=0, a=-1\)
حل:\(45 b^{2}-2 b=-17 b\)
- إجابة
-
\(b=0, b=-\frac{1}{3}\)
سيؤدي حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل إلى الاستفادة من جميع تقنيات العوملة التي تعلمتها في هذا الفصل! هل تتعرف على نمط المنتج الخاص في المثال التالي؟
حل:\(144 q^{2}=25\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{lrllrl} & 144 q^{2}&=&25 \\ \text { Write the quadratic equation in standard form. }& 144 q^{2}-25&=& 0 \\ \text { Factor. It is a difference of squares. } & (12 q-5)(12 q+5) & = & 0 \\ \text { Use the Zero Product Property to set each factor to } 0 . & 12 q-5&=&0 & 12 q+5&=&0 \\\text { Solve each equation. } & 12 q & = & 5 & 12 q&=&-5 \\ & q&=&\frac{5}{12} & q & =&-\frac{5}{12} \\ \text { Check your answers. }\end{array}\)
حل:\(25 p^{2}=49\)
- إجابة
-
\(p=\frac{7}{5}, p=-\frac{7}{5}\)
حل:\(36 x^{2}=121\)
- إجابة
-
\(x=\frac{11}{6}, x=-\frac{11}{6}\)
يتم أخذ الجانب الأيسر في المثال التالي في الاعتبار، ولكن الجانب الأيمن ليس صفرًا. من أجل استخدام خاصية Zero Product، يجب أن يكون أحد طرفي المعادلة صفرًا. سنضرب العوامل ثم نكتب المعادلة في الصورة القياسية.
حل:\((3 x-8)(x-1)=3 x\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} & (3 x-8)(x-1)=3 x \\ \text { Multiply the binomials. }& 3 x^{2}-11 x+8=3 x \\ \text { Write the quadratic equation in standard form. }& 3 x^{2}-14 x+8=0\\ \text { Factor the trinomial. }& (3 x-2)(x-4)=0\\\text { Use the Zero Product Property to set each factor to } 0 . & 3 x-2=0 \quad x-4=0 \\ \text { Solve each equation. } & 3 x=2 \quad x=4 \\ & x=\frac{2}{3} \\ \text { Check your answers. } & \text {The check is left to you! } \end{array}\)
حل:\((2 m+1)(m+3)=12 m\)
- إجابة
-
\(m=1, m=\frac{3}{2}\)
حل:\((k+1)(k-1)=8\)
- إجابة
-
\(k=3, k=-3\)
تنطبق خاصية Zero Product أيضًا على المنتج المكون من ثلاثة عوامل أو أكثر. إذا كان المنتج صفرًا، يجب أن يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. يمكننا حل بعض المعادلات بدرجة أكثر من درجتين باستخدام خاصية المنتج الصفري، تمامًا كما قمنا بحل المعادلات التربيعية.
حل:\(9 m^{3}+100 m=60 m^{2}\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{lrllrl} & 9 m^{3}+100 m&=&60 m^{2}\\ \text { Bring all the terms to one side so that the other side is zero. } & 9 m^{3}-60 m^{2}+100 m&=&0 \\ \text { Factor the greatest common factor first. } & m\left(9 m^{2}-60 m+100\right)&=&0 \\ \text { Factor the trinomial. } & m(3 m-10)(3 m-10)&=&0 \\ \text { Use the Zero Product Property to set each factor to 0. } & m&=&0 & 3 m-10&=&0 & 3 m-10&=&0 \\ \text { Solve each equation. } & m&=&0 & m&=&\frac{10}{3}& m&=&\frac{10}{3} \\ \text { Check your answers. } & \text { The check is left to you. } \end{array}\)
حل:\(8 x^{3}=24 x^{2}-18 x\)
- إجابة
-
\(x=0, x=\frac{3}{2}\)
حل:\(16 y^{2}=32 y^{3}+2 y\)
- إجابة
-
\(y=0, y=\frac{1}{4}\)
عندما نضع المعادلة التربيعية في المثال التالي نحصل على ثلاثة عوامل. لكن العامل الأول ثابت. نحن نعلم أن هذا العامل لا يمكن أن يساوي 0.
حل:\(4 x^{2}=16 x+84\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{lrllrl} & 4 x^{2}&=&16 x+84\\ \text { Write the quadratic equation in standard form. }& 4 x^{2}-16 x-84&=&0 \\ \text { Factor the greatest common factor first. }& 4\left(x^{2}-4 x-21\right)&=&0 \\ \text { Factor the trinomial. } & 4(x-7)(x+3)&=&0 \\ \text { Use the Zero Product Property to set each factor to 0. } & 4&\neq&0 & x-7&=&0 & x +3&=&0 \\ \text { Solve each equation. } & 4&\neq&0 & x&=&7& x&=&-3 \\ \text { Check your answers. } & \text { The check is left to you. } \end{array}\)
حل:\(18 a^{2}-30=-33 a\)
- إجابة
-
\(a=-\frac{5}{2}, a=\frac{2}{3}\)
حل:\(123 b=-6-60 b^{2}\)
- إجابة
-
\(b=2, b=\frac{1}{20}\)
حل تطبيقات على غرار المعادلات التربيعية
ستعمل إستراتيجية حل المشكلات التي استخدمناها سابقًا للتطبيقات التي تترجم إلى معادلات خطية تمامًا مع التطبيقات التي تترجم إلى معادلات تربيعية. سنقوم بنسخ استراتيجية حل المشكلات هنا حتى نتمكن من استخدامها كمرجع.
- اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.
- حدد ما نبحث عنه.
- اذكر ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
- ترجم إلى معادلة. قد يكون من المفيد إعادة ذكر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة الجبر.
- حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
- تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
- أجب على السؤال بجملة كاملة.
سنبدأ بمشكلة عددية للتدرب على ترجمة الكلمات إلى معادلة تربيعية.
حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين هو\(132 .\) البحث عن الأعداد الصحيحة.
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} \textbf { Step 1. Read} \text { the problem. } \\ \textbf { Step 2. Identify} \text { what we are looking for. } & \text { We are looking for two consecutive integers. } \\ \textbf { Step 3. Name} \text{ what we are looking for. } & \begin{array}{l}{\text { Let } n=\text { the first integer }} \\ {\space n+1=\text { the next consecutive integer }}\end{array} \\\textbf { Step 4. Translate} \text { into an equation. Restate the } & \text { The product of the two consecutive integers is } 132 . \\ \text { problem in a sentence. } \\ \text { Translate to an equation. } & \begin{array}{c}{\text { The first integer times the next integer is } 132 .} \\ {n(n+1)=132}\end{array} \\ \textbf { Step 5. Solve}\text { the equation. } & n^{2}+n=132 \\ \text { Bring all the terms to one side. } & n^{2}+n-132=0 \\ \text { Factor the trinomial. } & (n-11)(n+12)=0 \\ \text { Use the zero product property. } & n-11=0 \quad n+12=0 \\ \text { Solve the equations. } & n=11 \quad n=-12 \end{array}\)
حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين هو\(240 .\) البحث عن الأعداد الصحيحة.
- إجابة
-
\(-15,-16\)و\(15,16\)
حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين هو\(420 .\) البحث عن الأعداد الصحيحة.
- إجابة
-
\(-21,-20\)و\(20,21\)
هل فوجئت بزوج الأعداد الصحيحة السالبة الذي يعد أحد الحلول للمثال السابق؟ يعطي كل من ناتج العددين الصحيحين الموجبين ومنتج العددين الصحيحين السالبين 132.
في بعض التطبيقات، ستنتج الحلول السلبية عن الجبر، ولكنها لن تكون واقعية بالنسبة للحالة.
تبلغ مساحة الحديقة المستطيلة 15 قدمًا مربعًا. يبلغ طول الحديقة قدمين أكثر من العرض. ابحث عن طول وعرض الحديقة.
- إجابة
-
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. في المشكلات التي تتضمن أشكالًا هندسية، يمكن أن يساعدك الرسم على تصور الموقف. 
الخطوة 2. حدد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن الطول والعرض. الخطوة 3. قم بتسمية ما تبحث عنه.
الطول يزيد بمقدار قدمين عن العرض.دع W = عرض الحديقة.
W + 2 = طول الحديقةالخطوة 4. ترجم إلى معادلة.
أعد ذكر المعلومات المهمة في الجملة.
تبلغ مساحة الحديقة المستطيلة 15 قدمًا مربعًا.استخدم الصيغة الخاصة بمساحة المستطيل. \(A=L \cdot W\) استبدل في المتغيرات. \(15=(W+2) W\) الخطوة 5. حل المعادلة. قم بالتوزيع أولاً. \(15=W^{2}+2 W\) احصل على صفر على جانب واحد. \(0=W^{2}+2 W-15\) عامل ثلاثي الحدود. \(0=(W+5)(W-3)\) استخدم خاصية المنتج الصفري. \(0=W+5\) \(0=W−3\) حل كل معادلة. \(−5=W\) \(3=W\) نظرًا لأن W هو عرض الحديقة،
فليس من المنطقي أن تكون
سلبية. نحن نزيل هذه القيمة لـ W.\(W=−5\) cannot be the width, since it's negative.
\(W=3\)\(3=W\)
العرض: 3 أقدام.أوجد قيمة الطول. \(\text{length}=W+2\) \(\text{length}=3+2\) \(\text{length}=5\) الطول 5 أقدام. الخطوة 6. تحقق من الإجابة.
هل الإجابة منطقية؟
نعم، هذا أمر منطقي. الخطوة 7. أجب على السؤال. يبلغ عرض الحديقة 3 أقدام
والطول 5 أقدام.
تبلغ مساحة اللافتة المستطيلة 30 قدمًا مربعًا. طول العلامة يزيد بمقدار قدم واحدة عن العرض. ابحث عن طول وعرض العلامة.
- إجابة
-
55 قدمًا و 66 قدمًا
تبلغ مساحة الفناء المستطيل 180 قدمًا مربعًا. عرض الفناء أقل بثلاثة أقدام من الطول. ابحث عن طول وعرض الفناء.
- إجابة
-
12 قدمًا و 15 قدمًا
في فصل سابق، استخدمنا نظرية فيثاغورس\(\left(a^{2}+b^{2}=c^{2}\right)\). أعطى العلاقة بين الساقين والوتر في المثلث الأيمن.
سنستخدم هذه الصيغة في المثال التالي.
تريد جوستين وضع سطح السفينة في زاوية الفناء الخلفي لها على شكل مثلث قائم، كما هو موضح أدناه. سيكون طول الوتر 17 قدمًا. سيكون طول أحد الجانبين أقل بـ 7 أقدام من طول الجانب الآخر. أوجد أطوال أضلاع سطح السفينة.
- إجابة
-
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. الخطوة 2. حدد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن أطوال
جوانب سطح السفينة.الخطوة 3. قم بتسمية ما تبحث عنه.
أحد الجانبين أقل بـ 7 من الآخر.دعونا x = طول جانب من سطح السفينة
x − 7 = طول الجانب الآخرالخطوة 4. ترجم إلى معادلة.
نظرًا لأن هذا مثلث قائم، يمكننا استخدام نظرية
فيثاغورس.\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) استبدل في المتغيرات. \(x^{2}+(x-7)^{2}=17^{2}\) الخطوة 5. حل المعادلة. \(x^{2}+x^{2}-14 x+49=289\) قم بالتبسيط. \(2 x^{2}-14 x+49=289\) إنها معادلة تربيعية، لذا احصل على صفر على أحد الجانبين. \(2 x^{2}-14 x-240=0\) العامل هو العامل المشترك الأكبر. \(2\left(x^{2}-7 x-120\right)=0\) عامل ثلاثي الحدود. \(2(x-15)(x+8)=0\) استخدم خاصية المنتج الصفري. \(2\neq 0\) \(x−15=0\) \(x+8=0\) حل. \(2\neq 0\) \(x=15\) \(x=-8\) نظرًا\(x\) لأنه جانب من المثلث،\(x=−8\) فلا
معنى له.\(2\neq 0\) \(x=15\) \(\cancel{x=−8}\) أوجد طول الضلع الآخر. إذا كان طول أحد الجانبين \(x=15\) ثم طول الجانب الآخر \(x-7\) \(15 - 7 = 8\) 8 هو طول الجانب الآخر. الخطوة 6. تحقق من الإجابة.
هل هذه الأرقام منطقية؟
الخطوة 7. أجب على السؤال. جوانب سطح السفينة هي 8 و 15 و 17 قدمًا.
شراع القارب هو مثلث قائم. يبلغ طول أحد جانبي الشراع 7 أقدام أكثر من الجانب الآخر. الوتر هو 13. أوجد أطوال جانبي الشراع.
- إجابة
-
5 أقدام و 12 قدمًا
تقع حديقة التأمل على شكل مثلث قائم، بساق واحدة يبلغ 7 أقدام. يزيد طول الوتر بمقدار واحد عن طول إحدى الأرجل الأخرى. أوجد طول الوتر والساق الأخرى.
- إجابة
-
24 قدمًا و 25 قدمًا
المفاهيم الرئيسية
- خاصية المنتج الصفرية إذا\(a \cdot b=0\)، فإما a=0 أو b=0 أو كليهما. انظر المثال.
- حل المعادلة التربيعية عن طريق التحليل لحل المعادلة التربيعية عن طريق التحليل: انظر المثال.
- اكتب المعادلة التربيعية في الصورة القياسية،\(a x^{2}+b x+c=0\).
- عامِل التعبير التربيعي.
- استخدم خاصية المنتج الصفري.
- حل المعادلات الخطية.
- تحقق.
- استخدم استراتيجية حل المشكلات لحل مشاكل الكلمات انظر المثال.
- اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.
- حدد ما نبحث عنه.
- اذكر ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
- ترجم إلى معادلة. قد يكون من المفيد إعادة ذكر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة الجبر.
- حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
- تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
- أجب على السؤال بجملة كاملة.
مسرد المصطلحات
- المعادلات التربيعية
- هي معادلات يتم فيها تربيع المتغير.
- خاصية المنتج الصفري
- تنص خاصية Zero Product على أنه إذا كان منتج الكميتين صفرًا، فإن واحدة على الأقل من الكميات هي صفر.