7.5: الإستراتيجية العامة لتحليل كثيرات الحدود

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• تعرف على الطريقة المناسبة واستخدمها لتحليل كثير الحدود تمامًا

ملاحظة

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. عامل\(y^{2}-2 y-24\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 7.2.19.
2. عامل\(3 t^{2}+17 t+10\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 7.3.28.
3. عامل\(36 p^{2}-60 p+25\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 7.4.1.
4. عامل\(5 x^{2}-80\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 7.4.31.

تعرف على الطريقة المناسبة واستخدمها لتحليل كثير الحدود تمامًا

لقد تعرفت الآن على جميع طرق التخصيم التي ستحتاجها في هذه الدورة. (في دورة الجبر التالية، ستتم إضافة المزيد من الأساليب إلى ذخيرتك.) يلخص الشكل أدناه جميع طرق التخصيم التي قمنا بتغطيتها. \(\PageIndex{1}\)يوضح الشكل إستراتيجية يجب استخدامها عند حساب كثيرات الحدود.

الشكل\(\PageIndex{1}\)

عوامل كثيرة الحدود.

1. هل هناك عامل مشترك أكبر؟
   • ضع في اعتبارك ذلك.
2. هل كثير الحدود عبارة عن معادلة ذات حدين أو ثلاثية أو أكثر من ثلاثة حدود؟
   • إذا كانت معادلة ذات حدين:
     هل هي عبارة عن مبلغ؟
     • من المربعات؟ لا تؤخذ مجاميع المربعات في الاعتبار.
     • من المكعبات؟ استخدم نمط مجموع المكعبات.
     هل هذا فرق؟
     • من المربعات؟ عامل كمنتج للمقارنات.
     • من المكعبات؟ استخدم الفرق بين نمط المكعبات.
   • إذا كانت ثلاثية الحدود:
     هل هي من الشكل\(x^{2}+b x+c ?\)؟ التراجع عن الفويل.
     هل هو من النموذج\(a x^{2}+b x+c\)؟
     • إذا كانت a و c عبارة عن مربعات، فتحقق مما إذا كانت تناسب نمط المربع الثلاثي.
     • استخدم طريقة التجربة والخطأ أو «ac».
   • إذا كان يحتوي على أكثر من ثلاثة مصطلحات:
     استخدم طريقة التجميع.
3. تحقق.
   • هل يتم أخذها في الاعتبار بالكامل؟
   • هل تتضاعف العوامل مرة أخرى في كثير الحدود الأصلي؟

تذكر أن تعدد الحدود يؤخذ في الاعتبار تمامًا إذا كانت عوامله أساسية بخلاف القيم الأحادية!

التمارين\(\PageIndex{1}\)

عامل بالكامل:\(4 x^{5}+12 x^{4}\)

إجابة

\ (\ ابدأ {المصفوفة} {lll}\ النص {هل هناك GCF؟ } &\ text {نعم،} 4 x^ {4} و 4 x^ {5} +12 x^ {4}\\\ النص {احسب عامل GCF.} & &4 x^ {4} (x+3)\\ النص {بين قوسين، هل هو عبارة عن حدين، أ} & &\\\ نص {ثلاثي، أم أن هناك أكثر من ثلاثة مصطلحات؟ } &\ text {ذو حدين.} &\\\ رباعي\ نص {هل هو مجموع؟ } &\ النص {نعم.}\\\ رباعي\ النص {من المربعات؟ من المكعبات؟ } &\ text {لا.}\\\ text {تحقق.}
\\\\\ رباعية\ text {هل يؤخذ التعبير في الاعتبار بالكامل؟ } &\ text {نعم.}\\\\ رباعي\ نص {مضاعف.}\\\ ابدأ {مصفوفة} {l} {4 x^ {4} (x+3)}\\\ {4 x^ {4}\ cdot x+4 x^ {4}\ cdot 3}\\\ {4 x^ {5} +12 x^ {4}}\ علامة الاختيار\ {نهاية المصفوفة}\ مصفوفة النهاية {}\)

التمارين\(\PageIndex{2}\)

عامل بالكامل:\(3 a^{4}+18 a^{3}\)

إجابة

3\(a^{3}(a+6)\)

التمارين\(\PageIndex{3}\)

عامل بالكامل:\(45 b^{6}+27 b^{5}\)

إجابة

9\(b^{5}(5 b+3)\)

التمارين\(\PageIndex{4}\)

عامل بالكامل:\(12 x^{2}-11 x+2\)

إجابة

هل هناك GCF؟	لا.
هل هي معادلة ذات حدين أم ثلاثية أم أكثر من ثلاثة مصطلحات؟	ثلاثية الحدود.
هل المربعات a و c مثالية؟	لا، a = 12، ليس مربعًا مثاليًا.
استخدم التجربة والخطأ أو طريقة «ac». سنستخدم التجربة والخطأ هنا.

تحقق. \(\begin{array}{l}{(3 x-2)(4 x-1)} \\ {12 x^{2}-3 x-8 x+2} \\ {12 x^{2}-11 x+2 }\checkmark \end{array}\)

التمارين\(\PageIndex{5}\)

عامل بالكامل:\(10 a^{2}-17 a+6\)

إجابة

\((5 a-6)(2 a-1)\)

التمارين\(\PageIndex{6}\)

عامل بالكامل:\(8 x^{2}-18 x+9\)

إجابة

\((2 x-3)(4 x-3)\)

التمارين\(\PageIndex{7}\)

عامل بالكامل:\(g^{3}+25 g\)

إجابة

\(\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, g.} &g^{3}+25 g \\\text { Factor out the GCF. } & &g\left(g^{2}+25\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } &\text { Binomial. } & \\ \quad \text { Is it a sum? Of squares? } & \text { Yes. } & \text { Sums of squares are prime. } \\\text { Check. } \\ \\ \quad \text { Is the expression factored completely? } &\text { Yes. } \\ \quad \text { Multiply. } \\ \qquad \begin{array}{l}{g\left(g^{2}+25\right)} \\ {g^{3}+25 g }\checkmark \end{array} \end{array}\)

التمارين\(\PageIndex{8}\)

عامل بالكامل:\(x^{3}+36 x\)

إجابة

\(x\left(x^{2}+36\right)\)

التمارين\(\PageIndex{9}\)

عامل بالكامل:\(27 y^{2}+48\)

إجابة

3\(\left(9 y^{2}+16\right)\)

التمارين\(\PageIndex{10}\)

عامل بالكامل:\(12 y^{2}-75\)

إجابة

\(\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 3.} &12 y^{2}-75 \\\text { Factor out the GCF. } & &3\left(4 y^{2}-25\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } &\text { Binomial. } & \\ \text { Is it a sum?} & \text { No. } & \\ \text { Is it a difference? Of squares or cubes? } &\text { Yes, squares. } & 3\left((2 y)^{2}-(5)^{2}\right) \\ \text { Write as a product of conjugates. } & &3(2 y-5)(2 y+5)\\\text { Check. } \\ \\ \text { Is the expression factored completely? } & \text{ Yes.}& \\ \text { Neither binomial is a difference of } \\ \text { squares. } \\ \text{ Multiply.} \\ \quad \begin{array}{l}{3(2 y-5)(2 y+5)} \\ {3\left(4 y^{2}-25\right)} \\ {12 y^{2}-75}\checkmark \end{array} \end{array}\)

التمارين\(\PageIndex{11}\)

عامل بالكامل:\(16 x^{3}-36 x\)

إجابة

4\(x(2 x-3)(2 x+3)\)

التمارين\(\PageIndex{12}\)

عامل بالكامل:\(27 y^{2}-48\)

إجابة

3\((3 y-4)(3 y+4)\)

التمارين\(\PageIndex{13}\)

عامل بالكامل:\(4 a^{2}-12 a b+9 b^{2}\)

إجابة

هل هناك GCF؟	لا.
هل هي معادلة ذات حدين أو ثلاثية أو هل هناك مصطلحات أخرى؟
عرض ثلاثي الحدود\(a\neq 1\). لكن المصطلح الأول هو مربع مثالي.
هل المصطلح الأخير مربع مثالي؟	نعم.
هل تناسب النمط،\(a^{2}-2 a b+b^{2}\)؟	نعم.
اكتبها كمربع.
تحقق من إجابتك.
هل التعبير يؤخذ في الاعتبار بشكل كامل؟
نعم.
المعادلة ذات الحدين ليست فرقًا بين المربعات.
اضرب.
\((2 a-3 b)^{2}\)
\((2 a)^{2}-2 \cdot 2 a \cdot 3 b+(3 b)^{2}\)
\(4 a^{2}-12 a b+9 b^{2} \checkmark\)

التمارين\(\PageIndex{14}\)

عامل بالكامل:\(4 x^{2}+20 x y+25 y^{2}\)

إجابة

\((2 x+5 y)^{2}\)

التمارين\(\PageIndex{15}\)

عامل بالكامل:\(9 m^{2}+42 m n+49 n^{2}\)

إجابة

\((3 m+7 n)^{2}\)

التمارين\(\PageIndex{16}\)

عامل بالكامل:\(6 y^{2}-18 y-60\)

إجابة

\(\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 6.} &6 y^{2}-18 y-60 \\\text { Factor out the GCF. } & \text { Trinomial with leading coefficient } 1&6\left(y^{2}-3 y-10\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more terms? } & & \\ \text { "Undo' FOIL. } & 6(y\qquad )(y\qquad ) &6(y+2)(y-5) \\ \text { Check your answer. } \\ \text { Is the expression factored completely? } & & \text{ Yes.} \\ \text { Neither binomial is a difference of squares. } \\ \text { Multiply. } \\ \\\qquad \begin{array}{l}{6(y+2)(y-5)} \\ {6\left(y^{2}-5 y+2 y-10\right)} \\ {6\left(y^{2}-3 y-10\right)} \\ {6 y^{2}-18 y-60} \checkmark \end{array} \end{array}\)

التمارين\(\PageIndex{17}\)

عامل بالكامل:\(8 y^{2}+16 y-24\)

إجابة

8\((y-1)(y+3)\)

التمارين\(\PageIndex{18}\)

عامل بالكامل:\(5 u^{2}-15 u-270\)

إجابة

5\((u-9)(u+6)\)

التمارين\(\PageIndex{19}\)

عامل بالكامل:\(24 x^{3}+81\)

إجابة

هل هناك GCF؟	نعم، 3.	\(24 x^{3}+81\)
ضع في اعتبارك ذلك.		3\(\left(8 x^{3}+27\right)\)
في الأقواس، هل هو رقم ذو حدين، أم ثلاثي الحدود، أم يوجد أكثر من ثلاثة حدود؟	معادلة ذات حدين.
هل هو مبلغ أم فرق؟	مجموع.
من المربعات أو المكعبات؟	مجموع المكعبات.
اكتبها باستخدام نمط مجموع المكعبات.
هل التعبير يؤخذ في الاعتبار بالكامل؟	نعم.	3\((2 x+3)\left(4 x^{2}-6 x+9\right)\)
تحقق عن طريق الضرب.		نترك الشيك لك.

التمارين\(\PageIndex{20}\)

عامل بالكامل:\(250 m^{3}+432\)

إجابة

2\((5 m+6)\left(25 m^{2}-30 m+36\right)\)

التمارين\(\PageIndex{21}\)

عامل بالكامل:\(81 q^{3}+192\)

إجابة

\(3(3q+4)\left(9q^{2}-12 q+16\right)\)

التمارين\(\PageIndex{22}\)

عامل بالكامل:\(2 x^{4}-32\)

إجابة

\(\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 2.} &2 x^{4}-32 \\\text { Factor out the GCF. } & &2\left(x^{4}-16\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } & \text { Binomial. }& \\ \text { Is it a sum or difference? } &\text { Yes. }& \\\text { Of squares or cubes? } & \text { Difference of squares. } & 2\left(\left(x^{2}\right)^{2}-(4)^{2}\right) \\ \text { Write it as a product of conjugates. } & & 2\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { The first binomial is again a difference of squares. } & & 2\left((x)^{2}-(2)^{2}\right)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { Write it as a product of conjugates. } & & 2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { Is the expression factored completely? } &\text { Yes. } & \\ \\ \text { None of these binomials is a difference of squares. } \\ \text { Check your answer. } \\ \text{ Multiply. }\\ \\ \qquad \qquad \begin{array}{l}{2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)} \\ {2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)} \\ {2(x-10)} \\ {2 x^{4}-32} \checkmark \end{array} \end{array}\)

التمارين\(\PageIndex{23}\)

عامل بالكامل:\(4 a^{4}-64\)

إجابة

4\(\left(a^{2}+4\right)(a-2)(a+2)\)

التمارين\(\PageIndex{24}\)

عامل بالكامل:\(7 y^{4}-7\)

إجابة

7\(\left(y^{2}+1\right)(y-1)(y+1)\)

التمارين\(\PageIndex{25}\)

عامل بالكامل:\(3 x^{2}+6 b x-3 a x-6 a b\)

إجابة

\(\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 3.} &3 x^{2}+6 b x-3 a x-6 a b\\\text { Factor out the GCF. } & &3\left(x^{2}+2 b x-a x-2 a b\right)\\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } &\text { More than } 3 & \\ \text { or are there more terms? } &\text { terms. } & \\ \text { Use grouping. } & & \begin{array}{c}{3[x(x+2 b)-a(x+2 b)]} \\ {3(x+2 b)(x-a)}\end{array} \\ \text { Check your answer. } \\ \\ \text { Is the expression factored completely? Yes. } \\ \text { Multiply. } \\\qquad \qquad \begin{array}{l}{3(x+2 b)(x-a)} \\ {3\left(x^{2}-a x+2 b x-2 a b\right)} \\ {3 x^{2}-3 a x+6 b x-6 a b} \checkmark \end{array}\end{array}\)

التمارين\(\PageIndex{26}\)

عامل بالكامل:\(6 x^{2}-12 x c+6 b x-12 b c\)

إجابة

6\((x+b)(x-2 c)\)

التمارين\(\PageIndex{27}\)

عامل بالكامل:\(16 x^{2}+24 x y-4 x-6 y\)

إجابة

2\((4 x-1)(x+3 y)\)

التمارين\(\PageIndex{28}\)

عامل بالكامل:\(10 x^{2}-34 x-24\)

إجابة

\(\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 2.} &10 x^{2}-34 x-24\\\text { Factor out the GCF. } & &2\left(5 x^{2}-17 x-12\right)\\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } &\text { Trinomial with } & \\ \text { or are there more than three terms? } &\space a \neq 1 & \\ \text { Use trial and error or the "ac" method. } & & 2\left(5 x^{2}-17 x-12\right) \\ & & 2(5 x+3)(x-4) \\ \text { Check your answer. Is the expression factored } \\\text { completely? Yes. }\\ \\ \text { Multiply. } \\ \qquad \begin{array}{l}{2(5 x+3)(x-4)} \\ {2\left(5 x^{2}-20 x+3 x-12\right)} \\ {2\left(5 x^{2}-17 x-12\right)} \\ {10 x^{2}-34 x-24}\checkmark \end{array}\end{array}\)

التمارين\(\PageIndex{29}\)

عامل بالكامل:\(4 p^{2}-16 p+12\)

إجابة

4\((p-1)(p-3)\)

التمارين\(\PageIndex{30}\)

عامل بالكامل:\(6 q^{2}-9 q-6\)

إجابة

3\((q-2)(2 q+1)\)

المفاهيم الرئيسية

• الإستراتيجية العامة لتحليل كثيرات الحدود انظر الشكل\(\PageIndex{1}\).
• كيفية تحليل كثيرات الحدود
  1. هل هناك عامل مشترك أكبر؟ ضع في اعتبارك ذلك.
  2. هل كثير الحدود عبارة عن معادلة ذات حدين أو ثلاثية أو أكثر من ثلاثة حدود؟
     • إذا كانت معادلة ذات حدين:
       هل هي عبارة عن مبلغ؟
       • من المربعات؟ لا تؤخذ مجاميع المربعات في الاعتبار.
       • من المكعبات؟ استخدم نمط مجموع المكعبات.
       هل هذا فرق؟
       • من المربعات؟ عامل كمنتج للمقارنات.
       • من المكعبات؟ استخدم الفرق بين نمط المكعبات.
     • إذا كانت ثلاثية الحدود:
       هل هي من الشكل\(x^{2}+b x+c\)؟ التراجع عن الفويل.
       هل هو من النموذج\(a x^{2}+b x+c\)؟
       • إذا كانت «a» و «c» عبارة عن مربعات، فتحقق مما إذا كانت تناسب نمط المربع الثلاثي.
       • استخدم طريقة التجربة والخطأ أو «ac».
     • إذا كان يحتوي على أكثر من ثلاثة مصطلحات:
       استخدم طريقة التجميع.
  3. تحقق. هل يتم أخذها في الاعتبار بالكامل؟ هل تتضاعف العوامل مرة أخرى في كثير الحدود الأصلي؟