7.4: المنتجات الخاصة بالمصنع

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• قوالب ثلاثية مربعة مثالية
• فروق عوامل المربعات
• مجاميع العوامل واختلافات المكعبات
• اختر طريقة لحساب كثير الحدود تمامًا

ملاحظة

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. التبسيط:$(12 x)^{2}$
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 6.2.22.
2. الضرب:$(m+4)^{2}$
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 6.4.1.
3. الضرب:$(p-9)^{2}$
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 6.4.4.
4. الضرب:$(k+3)(k-3)$
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 6.4.16.

ستوجهك استراتيجية التخصيم التي طورناها في القسم الأخير عند حساب معظم القيم ذات الحدين والثلاثية وكثيرات الحدود بأكثر من ثلاثة مصطلحات. لقد رأينا أن بعض المقادير ذات الحدين والثلاثية تنتج عن منتجات خاصة - تربيع الحدين ومضاعفة المترافقات. إذا تعلمت التعرف على هذه الأنواع من كثيرات الحدود، يمكنك استخدام أنماط المنتجات الخاصة لتحليلها بسرعة أكبر.

قصص ثلاثية مربعة من فاكتور بيرفكت

بعض الأشكال الثلاثية عبارة عن مربعات مثالية. وهي تنتج عن ضرب حاصل ضرب ذات حدين في حد ذاته. يمكنك وضع مربع ذو حدين باستخدام FOIL، ولكن استخدام نمط المربعات ذات الحدين الذي رأيته في الفصل السابق يوفر لك خطوة. دعونا نراجع نمط المربعات ذات الحدين عن طريق تربيع معادلة ذات حدين باستخدام FOIL.

الحد الأول هو مربع الحد الأول من الحد ذي الحدين والحد الأخير هو مربع الأخير. الحد الأوسط هو ضعف ناتج مصطلحي المعادلة ذات الحدين.

$$\begin{array}{c}{(3 x)^{2}+2(3 x \cdot 4)+4^{2}} \\ {9 x^{2}+24 x+16}\end{array}$$

$9 x^{2}+24+16$يُطلق على المثلث اسم المربع الثلاثي المثالي. إنه مربع الحد ذي الحدين 3 × +4.

سنكرر نمط المربعات ذات الحدين هنا لاستخدامه كمرجع في العوملة.

نمط المربعات ذات الحدين

إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية،

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \qquad(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$$

عندما تقوم بوضع مربع ذو حدين، يكون المنتج عبارة عن مربع ثلاثي مثالي. في هذا الفصل، تتعلم كيفية أخذ العوامل في الاعتبار - الآن، ستبدأ بثلاثية مربعة مثالية وتضعها في العوامل الرئيسية.

يمكنك حساب هذا الثلاثي باستخدام الطرق الموضحة في القسم الأخير، نظرًا لأنه من النموذج$ax^{2}+bx+c$. ولكن إذا أدركت أن الحدين الأول والأخير عبارة عن مربعات وأن الثلاثية تناسب نمط التثليث المربع المثالي، فستوفر على نفسك الكثير من العمل.

هذا هو النمط - عكس نمط المربعات ذات الحدين.

نمط ثلاثي الحدود المربع المثالي

إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية،

$$a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2} \qquad a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}$$

للاستفادة من هذا النمط، عليك أن تدرك أن ثلاثية معينة تناسبه. تحقق أولاً لمعرفة ما إذا كان المعامل الرئيسي مربعًا مثاليًا أم لا$a^2$. تحقق بعد ذلك من أن المصطلح الأخير هو مربع مثالي,$b^2$. ثم تحقق من المدى المتوسط - هل هو ضعف المنتج،$2ab$؟ إذا تم التحقق من كل شيء، يمكنك بسهولة كتابة العوامل.

التمارين$\PageIndex{1}$: How to Factor Perfect Square Trinomials

عامل:$9 x^{2}+12 x+4$

إجابة

التمارين$\PageIndex{2}$

عامل:$4 x^{2}+12 x+9$

إجابة

$(2 x+3)^{2}$

التمارين$\PageIndex{3}$

عامل:$9 y^{2}+24 y+16$

إجابة

$(3 y+4)^{2}$

تحدد علامة المدى المتوسط النمط الذي سنستخدمه. عندما يكون المدى المتوسط سلبيًا، فإننا نستخدم النمط$a^{2}-2 a b+b^{2}$ الذي يؤثر على ذلك$(a-b)^{2}$.

يتم تلخيص الخطوات هنا.

نماذج ثلاثية مربعة مثالية من FACTOR.

$\begin{array} {lcc} \textbf { Step 1} \text { . Does the trinomial fit the pattern? } & a^{2}+2 a b+b^{2} & a^{2}-2 a b+b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is the first term a perfect square? } & (a)^{2} & (a)^{2} \\ \qquad \quad\text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Is the last term a perfect square? } & (a)^{2} \qquad\quad (b)^{2} & (a)^{2} \qquad \quad(b)^{2} \\ \qquad \quad \text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Check the middle term. Is it } 2 a b ? & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b }\swarrow(b)^{2} & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b} \swarrow(b)^{2} \\ \textbf { Step 2} . \text { Write the square of the binomial. } & (a+b)^{2} & (a-b)^{2} \\ \textbf { Step 3} . \text { Check by multiplying. }\end{array}$

سنعمل الآن على واحدة حيث يكون المدى المتوسط سلبيًا.

التمارين$\PageIndex{4}$

عامل:$81 y^{2}-72 y+16$

إجابة

المصطلحان الأول والأخير هما مربعات. تحقق مما إذا كان الحد الأوسط يناسب نمط المربع الثلاثي المثالي. الحد الأوسط سالب، لذلك سيكون المربع ذو الحدين$(a-b)^{2}$.

هل المصطلحان الأول والأخير مربعات مثالية؟
تحقق من المدى المتوسط.
هل تتطابق$(a-b)^{2}$? نعم.
اكتب مربع المعادلة ذات الحدين.
تحقق عن طريق الضرب.
$(9 y-4)^{2}$
$(9 y)^{2}-2 \cdot 9 y \cdot 4+4^{2}$
$81 y^{2}-72 y+16 \checkmark$

التمارين$\PageIndex{5}$

عامل:$64 y^{2}-80 y+25$

إجابة

$(8 y-5)^{2}$

التمارين$\PageIndex{6}$

عامل:$16 z^{2}-72 z+81$

إجابة

$(4 z-9)^{2}$

سيكون المثال التالي عبارة عن مثلث مربع مثالي مع متغيرين.

التمارين$\PageIndex{7}$

عامل:$36 x^{2}+84 x y+49 y^{2}$

إجابة

اختبر كل مصطلح للتحقق من النمط.
عامل.
تحقق عن طريق الضرب.
$(6 x+7 y)^{2}$
$(6 x)^{2}+2 \cdot 6 x \cdot 7 y+(7 y)^{2}$
$36 x^{2}+84 x y+49 y^{2} \checkmark$

التمارين$\PageIndex{8}$

عامل:$49 x^{2}+84 x y+36 y^{2}$

إجابة

$(7 x+6 y)^{2}$

التمارين$\PageIndex{9}$

عامل:$64 m^{2}+112 m n+49 n^{2}$

إجابة

$(8 m+7 n)^{2}$

التمارين$\PageIndex{10}$

عامل:$9 x^{2}+50 x+25$

إجابة

$\begin{array}{lc} & 9 x^{2}+50 x+25 \\ \text { Are the first and last terms perfect squares? } & (3 x)^{2} \qquad\quad (5)^2 \\ \text { Check the middle term-is it 2ab? } & (3 x)^{2} \searrow_{2(3 x)(5) }\swarrow (5)^{2}. \\ & \tiny{30x} \\ \text { No! } 30 x \neq 50 x & \text { This does not fit the pattern! } \\ \text { Factor using the "ac" method. } & 9 x^{2}+50 x+25 \\ \begin{array}{c}{\text { ac }} \\ {\text { Notice: } 9 \cdot 25 \text { and } 5 \cdot 45=225} \\ {225}\end{array} \\ {\text { Split the middle term. }} & \begin{array}{c}{9 x^{2}+5 x+45 x+25} \\ {x(9 x+5)+5(9 x+5)} \\ {(9 x+5)(x+5)}\end{array}\\ {\text { Factor by grouping. }} \\ \text { Check. } & \\ \begin{array}{l}{(9 x+5)(x+5)} \\ {9 x^{2}+45 x+5 x+25} \\ {9 x^{2}+50 x+25}\checkmark\end{array}\end{array}$

التمارين$\PageIndex{11}$

عامل:$16 r^{2}+30 r s+9 s^{2}$

إجابة

$(8 r+3 s)(2 r+3 s)$

التمارين$\PageIndex{12}$

عامل:$9 u^{2}+87 u+100$

إجابة

$(3 u+4)(3 u+25)$

هل تتذكر الخطوة الأولى في إستراتيجيتنا لتحليل كثيرات الحدود؟ كان السؤال «هل هناك عامل مشترك أكبر؟» وإذا كان الأمر كذلك، يمكنك أخذ عامل GCF في الاعتبار قبل المضي قدمًا. قد تحتوي الأشكال الثلاثية المربعة المثالية على GCF في جميع المصطلحات الثلاثة ويجب أخذها في الاعتبار أولاً. وفي بعض الأحيان، بمجرد أخذ GCF في الاعتبار، ستتعرف على المربع الثلاثي المثالي.

التمارين$\PageIndex{13}$

عامل:$36 x^{2} y-48 x y+16 y$

إجابة

	$36 x^{2} y-48 x y+16 y$
هل هناك GCF؟ نعم، 4 سنوات، لذا ضع في الاعتبار ذلك.	4$y\left(9 x^{2}-12 x+4\right)$
هل هذه ثلاثية مربعة مثالية؟
تحقق من النمط.
عامل.	4$y(3 x-2)^{2}$
تذكر: احتفظ بعامل 4 y في المنتج النهائي.
تحقق.
$4y(3 x-2)^{2}$
$4y[(3 x)^{2}-2 \cdot 3 x \cdot 2+2^{2}]$
$4 y(9 x)^{2}-12 x+4$
$36 x^{2} y-48 x y+16 y\checkmark$

التمارين$\PageIndex{14}$

عامل:$8 x^{2} y-24 x y+18 y$

إجابة

2$y(2 x-3)^{2}$

التمارين$\PageIndex{15}$

عامل:$27 p^{2} q+90 p q+75 q$

إجابة

3$q(3 p+5)^{2}$

فروق عوامل المربعات

المنتج الخاص الآخر الذي رأيته في السابق كان نمط منتج الاقتران. لقد استخدمت هذا لضرب اثنين من الحدين المترافقين. في ما يلي مثال:

$$\begin{array}{c}{(3 x-4)(3 x+4)} \\ {9 x^{2}-16}\end{array}$$

تذكر أنه عند ضرب المقادير المترافقة ذات الحدين، يتم إضافة المصطلحات الوسطى للمنتج إلى 0. كل ما تبقى لك هو معادلة ذات حدين، أي الفرق بين المربعين.

ضرب المترادفات هو الطريقة الوحيدة للحصول على معادلة ذات حدين من حاصل ضرب اثنين من الحدين.

منتج من نمط المترادفات

إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية

$$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$$

يُطلق على المنتج اسم اختلاف المربعات.

في الاعتبار، سنستخدم نمط المنتج «في الاتجاه المعاكس» لحساب الفرق بين المربعات. اختلاف عوامل المربعات لمنتج المترادفات.

اختلاف نمط المربعات

إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية،

تذكر أن «الفرق» يشير إلى الطرح. لذلك، لاستخدام هذا النمط، يجب عليك التأكد من وجود حدين يتم فيه طرح مربعين.

التمارين$\PageIndex{16}$: How to Factor Differences of Squares

عامل:$x^{2}-4$

إجابة

التمارين$\PageIndex{17}$

عامل:$h^{2}-81$

إجابة

$(h-9)(h+9)$

التمارين$\PageIndex{18}$

عامل:$k^{2}-121$

إجابة

$(k-11)(k+11)$

اختلافات عوامل المربعات.

$\begin{array}{lc} \textbf { Step 1} . \text { Does the binomial fit the pattern? } & a^{2}-b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is this a difference? } & \underline{\quad} - \underline{\quad} \\ \qquad \bullet \text { Are the first and last terms perfect squares? } \\ \textbf { Step 2} . \text { Write them as squares. } & (a)^{2}-(b)^{2} \\ \textbf { Step 3.} \text{ Write the product of conjugates. } & (a-b)(a+b) \\ \textbf { Step 4.} \text{ Check by multiplying. } \end{array}$

من المهم أن تتذكر أن مجاميع المربعات لا تدخل في ناتج المعادلات ذات الحدين. لا توجد عوامل ذات حدين تتضاعف معًا للحصول على مجموع المربعات. بعد إزالة أي GCF،$a^{2}+b^{2}$ يكون التعبير أوليًا!

لا تنس أن 1 هو مربع مثالي. سنحتاج إلى استخدام هذه الحقيقة في المثال التالي.

التمارين$\PageIndex{19}$

عامل:$64 y^{2}-1$

إجابة

هل هذا فرق؟ نعم.
هل المصطلحان الأول والأخير مربعات مثالية؟
نعم - اكتبها كمربعات.
عامل كمنتج للمقارنات.
تحقق عن طريق الضرب.
$(8 y-1)(8 y+1)$
$64 y^{2}-1 \checkmark$

التمارين$\PageIndex{20}$

عامل:$m^{2}-1$

إجابة

$(m-1)(m+1)$

التمارين$\PageIndex{21}$

عامل:$81 y^{2}-1$

إجابة

$(9 y-1)(9 y+1)$

التمارين$\PageIndex{22}$

عامل:$121 x^{2}-49 y^{2}$

إجابة

$\begin{array}{lc} & 121 x^{2}-49 y^{2} \\ \text { Is this a difference of squares? Yes. } & (11 x)^{2}-(7 y)^{2} \\ \text { Factor as the product of conjugates. } & (11 x-7 y)(11 x+7 y) \\ \text { Check by multiplying. } & \\ \begin{array}{l}{(11 x-7 y)(11 x+7 y)} \\ {121 x^{2}-49 y^{2}} \checkmark \end{array} \end{array}$

التمارين$\PageIndex{23}$

عامل:$196 m^{2}-25 n^{2}$

إجابة

$(16 m-5 n)(16 m+5 n)$

التمارين$\PageIndex{24}$

عامل:$144 p^{2}-9 q^{2}$

إجابة

$(12 p-3 q)(12 p+3 q)$

قد تبدو المعادلة ذات الحدين في المثال التالي «للخلف»، لكنها لا تزال تمثل الفرق بين المربعات.

التمارين$\PageIndex{25}$

عامل:$100-h^{2}$

إجابة

$\begin{array}{lc} & 100-h^{2} \\ \text { Is this a difference of squares? Yes. } & (10)^{2}-(h)^{2}\\ \text { Factor as the product of conjugates. } & (10-h)(10+h)\\ \text { Check by multiplying. } & \\ \begin{array}{l}{(10-h)(10+h)} \\ {100-h^{2}} \checkmark \end{array} \end{array}$

يجب الحرص على عدم إعادة كتابة التعبير الأصلي كـ$h^{2}-100$.

ضع$h^{2}-100$ في اعتبارك بنفسك ثم لاحظ كيف تختلف النتيجة عن$(10-h)(10+h)$.

التمارين$\PageIndex{26}$

عامل:$144-x^{2}$

إجابة

$(12-x)(12+x)$

التمارين$\PageIndex{27}$

عامل:$169-p^{2}$

إجابة

$(13-p)(13+p)$

لتحليل المعادلة ذات الحدين بالكامل في المثال التالي، سنقوم بحساب فرق المربعات مرتين!

التمارين$\PageIndex{28}$

عامل:$x^{4}-y^{4}$

إجابة

$\begin{array}{lc}\text { Is this a difference of squares? Yes. } & {x^{4}-y^{4}} \\\text { Factor it as the product of conjugates. } & {\left(x^{2}\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}} \\ \text { Notice the first binomial is also a difference of squares! } & {\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \text { Factor it as the product of conjugates. The last }& {(x-y)(x+y)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \text { factor, the sum of squares, cannot be factored. } \\ \\ \text { Check by multiplying. } & \\\begin{array}{l}{(x-y)(x+y)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {[(x-y)(x+y)]\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {x^{4}-y^{4}} \checkmark \end{array} \end{array}$

التمارين$\PageIndex{29}$

عامل:$a^{4}-b^{4}$

إجابة

$\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b)(a-b)$

التمارين$\PageIndex{30}$

عامل:$x^{4}-16$

إجابة

$\left(x^{2}+4\right)(x+2)(x-2)$

كما هو الحال دائمًا، يجب أن تبحث عن عامل مشترك أولاً عندما يكون لديك تعبير أو عامل. في بعض الأحيان قد «يخفي» عامل مشترك فرق المربعات ولن تتعرف على المربعات المثالية حتى تقوم بحساب GCF.

التمارين$\PageIndex{31}$

عامل:$8 x^{2} y-98 y$

إجابة

$\begin{array}{lc}& 8 x^{2} y-98 y \\ \text { Is there a GCF? Yes, } 2 y-\text { factor it out! } & 2 y\left(4 x^{2}-49\right) \\ \text { Is the binomial a difference of squares? Yes. } & 2 y\left((2 x)^{2}-(7)^{2}\right) \\ \text { Factor as a product of conjugates. } & 2 y(2 x-7)(2 x+7) \\ \text { Check by multiplying. } \\ \\ \begin{array}{l}{2 y(2 x-7)(2 x+7)} \\ {2 y[(2 x-7)(2 x+7)]} \\ {2 y\left(4 x^{2}-49\right)} \\ {8 x^{2} y-98 y} \checkmark \end{array} \end{array}$

التمارين$\PageIndex{31}$

عامل:$7 x y^{2}-175 x$

إجابة

7$x(y-5)(y+5)$

التمارين$\PageIndex{32}$

عامل:$45 a^{2} b-80 b$

إجابة

5$b(3 a-4)(3 a+4)$

التمارين$\PageIndex{33}$

عامل:$6 x^{2}+96$

إجابة

$\begin{array}{lc}&6 x^{2}+96 \\ \text { Is there a GCF? Yes, } 6-\text { factor it out! } & 6\left(x^{2}+16\right) \\ \text { Is the binomial a difference of squares? No, it } & \\ \text { is a sum of squares. Sums of squares do not factor! } & \\ \text { Check by multiplying. } \\ \\ \begin{array}{l}{6\left(x^{2}+16\right)} \\ {6 x^{2}+96 }\checkmark \end{array} \end{array}$

التمارين$\PageIndex{34}$

عامل:$8 a^{2}+200$

إجابة

8$\left(a^{2}+25\right)$

التمارين$\PageIndex{35}$

عامل:$36 y^{2}+81$

إجابة

9$\left(4 y^{2}+9\right)$

مجاميع عوامل المكعبات والاختلافات بينها

هناك نمط خاص آخر للخصم، وهو النمط الذي لم نستخدمه عند ضرب كثيرات الحدود. هذا هو النمط لمجموع المكعبات والفرق بينها. سنكتب هذه الصيغ أولاً ثم نتحقق منها بالضرب.

$$\begin{aligned} a^{3}+b^{3} &=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) \\ a^{3}-b^{3} &=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) \end{aligned}$$

سوف نتحقق من النمط الأول ونترك الثاني لك.

قم بالتوزيع.
اضرب.	$a^{3}-a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b-a b^{2}+b^{3}$
اجمع بين المصطلحات المتشابهة.	$a^{3}+b^{3}$

نموذج مجموع المكعبات والفرق بينهما

$$\begin{array}{l}{a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)} \\ {a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)}\end{array}$$

يبدو النمطان متشابهين جدًا، أليس كذلك؟ لكن لاحظ العلامات في العوامل. تتطابق علامة العامل ذي الحدين مع العلامة الموجودة في المعادلة الأصلية ذات الحدين. وعلامة الحد الأوسط للعامل الثلاثي هي عكس العلامة في المعادلة الأصلية ذات الحدين. إذا تعرفت على نمط العلامات، فقد يساعدك ذلك على حفظ الأنماط.

لا يمكن حساب العامل الثلاثي في مجموع وفرق نمط المكعبات.

قد يكون من المفيد جدًا أن تتعلم التعرف على مكعبات الأعداد الصحيحة من 1 إلى 10، تمامًا كما تعلمت التعرف على المربعات. لقد قمنا بإدراج مكعبات الأعداد الصحيحة من 1 إلى 10 في الشكل$\PageIndex{1}$.

الشكل$\PageIndex{1}$

التمارين$\PageIndex{36}$: How to Factor the Sum or Difference of Cubes

عامل:$x^{3}+64$

إجابة

التمارين$\PageIndex{37}$

عامل:$x^{3}+27$

إجابة

$(x+3)\left(x^{2}-3 x+9\right)$

التمارين$\PageIndex{38}$

عامل:$y^{3}+8$

إجابة

$(y+2)\left(y^{2}-2 y+4\right)$

ضع في اعتبارك مجموع المكعبات أو الفرق بينها.

لحساب مجموع المكعبات أو الفرق بينها:

1. هل يتناسب الحد ذي الحدين مع مجموع أو فرق نمط المكعبات؟
   • هل هو مبلغ أم فرق؟
   • هل المصطلحات الأولى والأخيرة مكعبات مثالية؟
2. اكتبها على هيئة مكعبات.
3. استخدم إما مجموع أو فرق نمط المكعبات.
4. قم بالتبسيط داخل الأقواس
5. تحقق من ذلك بضرب العوامل.

التمارين$\PageIndex{39}$

عامل:$: x^{3}-1000$

إجابة

هذا الحد ذو الحدين هو الفرق. المصطلحان الأول والأخير عبارة عن مكعبات مثالية.
اكتب المصطلحات في صورة مكعبات.
استخدم الفرق بين نمط المكعبات.
قم بالتبسيط.
تحقق عن طريق الضرب.

التمارين$\PageIndex{40}$

عامل:$u^{3}-125$

إجابة

$(u-5)\left(u^{2}+5 u+25\right)$

التمارين$\PageIndex{41}$

عامل:$v^{3}-343$

إجابة

$(v-7)\left(v^{2}+7 v+49\right)$

احرص على استخدام العلامات الصحيحة في عوامل مجموع المكعبات والفرق بينها.

التمارين$\PageIndex{42}$

عامل:$512-125 p^{3}$

إجابة

هذا الحد ذو الحدين هو الفرق. المصطلحان الأول والأخير عبارة عن مكعبات مثالية.
اكتب المصطلحات في صورة مكعبات.
استخدم الفرق بين نمط المكعبات.
قم بالتبسيط.
تحقق عن طريق الضرب.	سنترك الشيك لك.

التمارين$\PageIndex{43}$

عامل:$64-27 x^{3}$

إجابة

$(4-3 x)\left(16+12 x+9 x^{2}\right)$

التمارين$\PageIndex{44}$

عامل:$27-8 y^{3}$

إجابة

$(3-2 y)\left(9+6 y+4 y^{2}\right)$

التمارين$\PageIndex{45}$

عامل:$27 u^{3}-125 v^{3}$

إجابة

هذا الحد ذو الحدين هو الفرق. المصطلحان الأول والأخير عبارة عن مكعبات مثالية.
اكتب المصطلحات في صورة مكعبات.
استخدم الفرق بين نمط المكعبات.
قم بالتبسيط.
تحقق عن طريق الضرب.	سنترك الشيك لك.

التمارين$\PageIndex{46}$

عامل:$8 x^{3}-27 y^{3}$

إجابة

$(2 x-3 y)\left(4 x^{2}+6 x y+9 y^{2}\right)$

التمارين$\PageIndex{47}$

عامل:$1000 m^{3}-125 n^{3}$

إجابة

$(10 m-5 n)\left(100 m^{2}+50 m n+25 n^{2}\right)$

في المثال التالي، نقوم أولاً بتحليل GCF. ثم يمكننا التعرف على مجموع المكعبات.

التمارين$\PageIndex{48}$

عامل:$5 m^{3}+40 n^{3}$

إجابة

عامل العامل المشترك.
هذه المعادلة ذات الحدين عبارة عن مجموع. المصطلحان الأول والأخير عبارة عن مكعبات مثالية.
اكتب المصطلحات في صورة مكعبات.
استخدم نمط مجموع المكعبات.
قم بالتبسيط.

تحقق. وللتحقق من ذلك، قد تجد أنه من الأسهل ضرب مجموع عوامل المكعبات أولاً، ثم ضرب هذا المنتج في 5. سنترك عملية الضرب لك.

5$(m+2 n)\left(m^{2}-2 m n+4 n^{2}\right)$

التمارين$\PageIndex{49}$

عامل:$500 p^{3}+4 q^{3}$

إجابة

4$(5 p+q)\left(25 p^{2}-5 p q+q^{2}\right)$

التمارين$\PageIndex{50}$

عامل:$432 c^{3}+686 d^{3}$

إجابة

2$(6 c+7 d)\left(36 c^{2}-42 c d+49 d^{2}\right)$

ملاحظة

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية مع تصميم المنتجات الخاصة.

• مجموع الفرق بين المكعبات
• الفرق في تحليل المكعبات

المفاهيم الرئيسية

• عامل الأشكال الثلاثية المربعة المثالية انظر المثال. $\begin{array} {lcc} \textbf { Step 1} \text { . Does the trinomial fit the pattern? } & a^{2}+2 a b+b^{2} & a^{2}-2 a b+b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is the first term a perfect square? } & (a)^{2} & (a)^{2} \\ \qquad \quad\text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Is the last term a perfect square? } & (a)^{2} \qquad\quad (b)^{2} & (a)^{2} \qquad \quad(b)^{2} \\ \qquad \quad \text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Check the middle term. Is it } 2 a b ? & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b }\swarrow(b)^{2} & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b} \swarrow(b)^{2} \\ \textbf { Step 2} . \text { Write the square of the binomial. } & (a+b)^{2} & (a-b)^{2} \\ \textbf { Step 3} . \text { Check by multiplying. }\end{array}$
  
• الاختلافات في عوامل المربعات انظر المثال. $\begin{array}{lc} \textbf { Step 1} . \text { Does the binomial fit the pattern? } & a^{2}-b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is this a difference? } & \underline{\quad} - \underline{\quad} \\ \qquad \bullet \text { Are the first and last terms perfect squares? } \\ \textbf { Step 2} . \text { Write them as squares. } & (a)^{2}-(b)^{2} \\ \textbf { Step 3.} \text{ Write the product of conjugates. } & (a-b)(a+b) \\ \textbf { Step 4.} \text{ Check by multiplying. } \end{array}$
  
• مجموع العوامل والفرق بين المكعبات لحساب مجموع المكعبات أو الفرق بينها: انظر المثال.
  1. هل يتناسب الحد ذي الحدين مع مجموع أو فرق نمط المكعبات؟ هل هو مبلغ أم فرق؟ هل المصطلحات الأولى والأخيرة مكعبات مثالية؟
  2. اكتبها على هيئة مكعبات.
  3. استخدم إما مجموع أو فرق نمط المكعبات.
  4. قم بالتبسيط داخل الأقواس
  5. تحقق من ذلك بضرب العوامل.

مسرد المصطلحات

نمط ثلاثي الحدود المربع المثالي

إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية،

$$\begin{array}{cc} {a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}&{a^2−2ab+b^2=(a−b)^2}\\ \nonumber \end{array}$$

اختلاف نمط المربعات

إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية،

مجموع ونمط المكعبات والفرق بينهما

$$\begin{array}{cc} {a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2)}&{a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)}\\ \nonumber \end{array}$$