Skip to main content
Global

7.3: معامِل التثليث التربيعي ذات المعامل الرئيسي غير 1

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200200

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • تعرف على الإستراتيجية الأولية لحساب كثيرات الحدود تمامًا
    • العوامل الثلاثية للنموذج\(ax^{2}+bx+c\) مع GCF
    • معاملات ثلاثية الحدود باستخدام التجربة والخطأ
    • عوامل ثلاثية الحدود باستخدام طريقة «ac»
    ملاحظة

    قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

    1. ابحث عن GCF لـ 45\(p^{2}\) و 30\(p^{6}\)
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 7.1.4.
    2. اضرب\((3 y+4)(2 y+5)\)
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 6.3.37.
    3. اجمع بين المصطلحات المتشابهة\(12 x^{2}+3 x+5 x+9\)
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.3.37.

    التعرف على الإستراتيجية الأولية للتخصيم

    دعونا نلخص ما وصلنا إليه حتى الآن من خلال تحليل كثيرات الحدود. في القسمين الأولين من هذا الفصل، استخدمنا ثلاث طرق للعوملة: تحليل GCF، والعوملة حسب التجميع، وعوملة ثلاثية الحدود عن طريق «التراجع» عن FOIL. ستتبع المزيد من الأساليب أثناء المتابعة في هذا الفصل، وكذلك لاحقًا في دراساتك للجبر.

    كيف ستعرف متى تستخدم كل طريقة من طرق التخصيم؟ عندما تتعلم المزيد من طرق التخصيم، كيف ستعرف متى يجب تطبيق كل طريقة وعدم الخلط بينها؟ سيساعدك ذلك على تنظيم طرق العوملة في إستراتيجية يمكنها إرشادك لاستخدام الطريقة الصحيحة.

    عندما تبدأ في حساب كثير الحدود، اسأل دائمًا أولاً، «هل هناك عامل مشترك أكبر؟» إذا كان هناك، فقم بأخذه في الاعتبار أولاً.

    الشيء التالي الذي يجب مراعاته هو نوع متعدد الحدود. كم عدد المصطلحات الموجودة بها؟ هل هي معادلة ذات حدين؟ معادلة ثلاثية؟ أم أنها تحتوي على أكثر من ثلاثة فصول؟

    • إذا كانت المعادلة ثلاثية حيث يكون المعامل الرئيسي واحدًا\(x^{2}+b x+c\)، فاستخدم طريقة «التراجع عن FOIL».
    • إذا كانت تحتوي على أكثر من ثلاثة مصطلحات، فجرّب طريقة التجميع. هذه هي الطريقة الوحيدة المستخدمة لكثيرات الحدود التي تزيد عن ثلاثة مصطلحات.

    لا يمكن أخذ بعض كثيرات الحدود في الاعتبار. يطلق عليهم اسم «برايم». فيما يلي نلخص الأساليب التي لدينا حتى الآن.

    يسرد هذا الشكل استراتيجيات تحليل كثيرات الحدود. في الجزء العلوي من الشكل يوجد G C F، حيث يبدأ التخصيم دائمًا. من هناك، يتكون الشكل من ثلاثة فروع. الأول ذو حدين، والثاني ثلاثي الحدود بالشكل x ^ 2 + b x +c، والثالث هو «أكثر من ثلاثة مصطلحات»، والذي يتم تسميته بالتجميع.

    اختر إستراتيجية لحساب كثيرات الحدود تمامًا.
    1. هل هناك عامل مشترك أكبر؟
      • ضع في اعتبارك ذلك.
    2. هل كثير الحدود عبارة عن معادلة ذات حدين أو ثلاثية أو أكثر من ثلاثة حدود؟
      • إذا كانت ذات حدين، فليس لدينا الآن طريقة لأخذها في الاعتبار.
      • إذا كانت عبارة عن ثلاثية الأبعاد للنموذج\(x^{2}+b x+c\): Undo FOIL\((x\qquad)(x\qquad)\)
      • إذا كان يحتوي على أكثر من ثلاثة مصطلحات: استخدم طريقة التجميع.
    3. تحقق من ذلك بضرب العوامل.

    استخدم الإستراتيجية الأولية لتحليل كثير الحدود بالكامل. يتم أخذ كثير الحدود في الاعتبار تمامًا إذا كانت جميع عوامله أولية، بخلاف القيم الأحادية.

    التمارين\(\PageIndex{1}\)

    حدد أفضل طريقة لاستخدامها في حساب كل كثير الحدود.

    1. \(6 y^{2}-72\)
    2. \(r^{2}-10 r-24\)
    3. \(p^{2}+5 p+p q+5 q\)
    الإجابة أ

    \[\begin{array}{ll} &6 y^{2}-72\\ \text { Is there a greatest common factor? } & \text {Yes, 6. } \\ \text { Factor out the } 6 &6\left(y^{2}-12\right) \\ \text { Is it a binomial, trinomial, or are there } & \text {Binomial, we have no method to factor } \\ \text { more than } 3 \text { terms? } & \text {binomials yet. } \end{array} \nonumber\]

    الإجابة ب

    \[\begin{array}{ll} &r^{2}-10 r-24\\ \text { Is there a greatest common factor? }& \text {No, there is no common factor. } \\\text { Is it a binomial, trinomial, or are there } &\text {Trinomial, with leading coefficient } 1, \text { so } \\ \text { more than three terms? }& \text {"undo" FOIL. }\end{array} \nonumber\]

    الإجابة ج

    \[\begin{array}{ll} &p^{2}+5 p+p q+5 q\\ \text { Is there a greatest common factor? }& \text {No, there is no common factor. } \\\text { Is it a binomial, trinomial, or are there } &\text {More than three terms, so factor using }\\ \text { more than three terms? }& \text {grouping. }\end{array} \nonumber\]

    التمارين\(\PageIndex{2}\)

    حدد أفضل طريقة لاستخدامها في تحليل كل كثير الحدود:

    1. \(4 y^{2}+32\)
    2. \(y^{2}+10 y+21\)
    3. \(y z+2 y+3 z+6\)
    الإجابة أ

    لا توجد طريقة

    الإجابة ب

    التراجع عن استخدام FOIL

    الإجابة ج

    عامل مع التجميع

    التمارين\(\PageIndex{3}\)

    حدد أفضل طريقة لاستخدامها في تحليل كل كثير الحدود:

    1. \(a b+a+4 b+4\)
    2. \(3 k^{2}+15\)
    3. \(p^{2}+9 p+8\)
    الإجابة أ

    عامل باستخدام التجميع

    الإجابة ب

    لا توجد طريقة

    الإجابة ج

    التراجع عن استخدام FOIL

    العوامل الثلاثية للنموذج بحد أقصى 2 + مربع+x x مع GCF

    الآن بعد أن قمنا بتنظيم ما قمنا بتغطيته حتى الآن، نحن على استعداد لتحليل التثليفات الثلاثية التي لا يكون معاملها الرئيسي 1، وهي ثلاثية الحدود للشكل\(a x^{2}+b x+c\). تذكر دائمًا التحقق من GCF أولاً! في بعض الأحيان، بعد حساب GCF، يصبح المعامل الرئيسي للثلاثي الحدود 1 ويمكنك حسابه بالطرق الموجودة في القسم الأخير. لنقم ببعض الأمثلة لنرى كيف يعمل هذا. احترس من العلامات في المثالين التاليين.

    التمارين\(\PageIndex{4}\)

    عامل بالكامل:\(2 n^{2}-8 n-42\).

    إجابة

    استخدم الإستراتيجية الأولية.

    \(\begin{array}{ll} \text { Is there a greatest common factor? }&2 n^{2}-8 n-42\\ \text { Yes, GCF }=2 . \text { Factor it out. }& 2\left(n^{2}-4 n-21\right) \\\text { Inside the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are there }&\\ \text { more than three terms? }& \\ \text { It is a trinomial whose coefficient is } 1, \text { so undo FOIL. } & 2(n\qquad )(n\qquad) \\ \text { Use } 3 \text { and }-7 \text { as the last terms of the binomials. } & 2(n+3)(n-7) \end{array}\)

    عوامل −21 مجموع العوامل
    1، −21 1+ (−21) = −20
    3، −7 3+ (−7) =−4*

    \(\begin{array}{l}{\text {Check. }} \\ {2(n+3)(n-7)} \\ {2\left(n^{2}-7 n+3 n-21\right)} \\ {2\left(n^{2}-4 n-21\right)} \\ {2 n^{2}-8 n-42 }\checkmark \end{array}\)

    التمارين\(\PageIndex{5}\)

    عامل بالكامل:\(4 m^{2}-4 m-8\)

    إجابة

    4\((m+1)(m-2)\)

    التمارين\(\PageIndex{6}\)

    عامل بالكامل:\(5 k^{2}-15 k-50\)

    إجابة

    5\((k+2)(k-5)\)

    التمارين\(\PageIndex{7}\)

    عامل بالكامل:\(4 y^{2}-36 y+56\)

    إجابة

    استخدم الإستراتيجية الأولية.
    \(\begin{array}{ll} \text { Is there a greatest common factor? }&4 y^{2}-36 y+56\\ \text { Yes, GCF }=4 . \text { Factor it out. }&4\left(y^{2}-9 y+14\right) \\\text { Inside the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are there }&\\ \text { more than three terms? }& \\ \text { It is a trinomial whose coefficient is } 1, \text { so undo FOIL. } & 4(y\qquad )(y\qquad) \\\text { Use a table like the one below to find two numbers that multiply to }&\\ 14 \text { and add to }-9\\ \text { Both factors of } 14 \text { must be negative. } & 4(y-2)(y-7) \end{array}\)

    عوامل 14 مجموع العوامل
    −1، −14 −1+ (−14) =−15
    −2، −7 −2+ (−7) =−9*

    \(\begin{array}{l}{\text { Check. }} \\ {4(y-2)(y-7)} \\ {4\left(y^{2}-7 y-2 y+14\right)} \\ {4\left(y^{2}-9 y+14\right)} \\ {4 y^{2}-36 y+42 } \checkmark \end{array}\)

    التمارين\(\PageIndex{8}\)

    عامل بالكامل:\(3 r^{2}-9 r+6\)

    إجابة

    3\((r-1)(r-2)\)

    التمارين\(\PageIndex{9}\)

    عامل بالكامل:\(2 t^{2}-10 t+12\)

    إجابة

    2\((t-2)(t-3)\)

    في المثال التالي، سيتضمن GCF متغيرًا.

    التمارين\(\PageIndex{10}\)

    عامل بالكامل:\(4 u^{3}+16 u^{2}-20 u\)

    إجابة

    استخدم الإستراتيجية الأولية.
    \(\begin{array}{ll} \text { Is there a greatest common factor? }&4 u^{3}+16 u^{2}-20 u\\ \text { Yes, GCF }=4 u . \text { Factor it. }&4 u\left(u^{2}+4 u-5\right) \\\text { Binomial, trinomial, or more than three terms? }&\\ \text { more than three terms? }& \\ \text { It is a trinomial. So "undo FOIL." } & 4u(u\qquad )(u\qquad) \\\text { Use a table like the table below to find two numbers that }&4 u(u-1)(u+5)\\ \text { multiply to }-5 \text { and add to } 4\end{array}\)

    عوامل −5 مجموع العوامل
    −1,5 −1+5=4*
    1، −5 1+ (−5) =−4

    تحقق.

    \(\begin{array}{l}{4 u(u-1)(u+5)} \\ {4 u\left(u^{2}+5 u-u-5\right)} \\ {4 u\left(u^{2}+4 u-5\right)} \\ {4 u^{3}+16 u^{2}-20 u }\checkmark \end{array}\)

    التمارين\(\PageIndex{11}\)

    عامل بالكامل:\(5 x^{3}+15 x^{2}-20 x\)

    إجابة

    5\(x(x-1)(x+4)\)

    التمارين\(\PageIndex{12}\)

    عامل بالكامل:\(6 y^{3}+18 y^{2}-60 y\)

    إجابة

    6\(y(y-2)(y+5)\)

    معاملات ثلاثية الحدود باستخدام التجربة والخطأ

    ماذا يحدث عندما لا يكون المعامل الرئيسي 1 ولا يوجد GCF؟ هناك العديد من الطرق التي يمكن استخدامها لتحليل هذه القيم الثلاثية. أولاً سنستخدم طريقة التجربة والخطأ.

    دعونا نأخذ في الاعتبار الثلاثي\(3 x^{2}+5 x+2\)

    نتوقع من عملنا السابق أن يتحول هذا إلى حدين.

    \[\begin{array}{c}{3 x^{2}+5 x+2} \\ {( \qquad)( \qquad)}\end{array}\]

    نحن نعلم أن المصطلحات الأولى من العوامل ذات الحدين ستتضاعف لتعطينا 3\(x^{2}\). العوامل الوحيدة لـ 3\(x^{2}\) هي\(1 x, 3 x\). يمكننا وضعها في الحدود الثنائية.

    يحتوي هذا الشكل على كثير الحدود 3 x^ 2 +5 × +2. يوجد في الأسفل مصطلحان، 1 x و 3 x. يوجد أدناه العاملان x و (3 x) اللذان يتم عرضهما مضروبًا.

    تحقق. هل\(1 x \cdot 3 x=3 x^{2}\)؟

    نحن نعلم أن المصطلحات الأخيرة من الحدين ستضرب في 2. نظرًا لأن هذه العبارة الثلاثية تحتوي على جميع المصطلحات الإيجابية، فإننا نحتاج فقط إلى النظر في العوامل الإيجابية. العوامل الوحيدة لـ 2 هي 1 و 2. ولكن لدينا الآن حالتان يجب مراعاتهما حيث ستحدث فرقًا إذا كتبنا 1 أو 2 أو 2 أو 1.

    يوضح هذا الشكل العوامل المحتملة لكثيرات الحدود 3x^2+5x +2. تتم كتابة كثير الحدود مرتين. تحت كليهما، توجد المصطلحات 1x و 3x تحت 3x^2. أيضًا، هناك العوامل 1,2 تحت مصطلح 2. يوجد في الجزء السفلي من الشكل تحليلان محتملان لكثرة الحدود. الأول هو (x + 1) (3x + 2) والتالي هو (x + 2) (3x + 1).

    ما هي العوامل الصحيحة؟ لنقرر ذلك، نضرب المصطلحات الداخلية والخارجية.

    يوضح هذا الشكل العوامل المحتملة لكثيرات الحدود 3 x^ 2 + 5 × +2. تتم كتابة كثير الحدود مرتين. تحت كليهما، توجد المصطلحات 1 ×، 3 × تحت 3 × ^ 2. هناك أيضًا العوامل 1 و 2 تحت مصطلح 2. يوجد في الجزء السفلي من الشكل تحليلان محتملان لكثرة الحدود. الأول هو (x + 1) (3 × + 2). تحت هذا التحليل توجد المنتجات 3 x من ضرب الحدود الوسطى 1 و 3 x، كما يوجد حاصل ضرب 2 x من ضرب المصطلحين الخارجيين x و 2. هذه المنتجات من 3 x و 2 x تضاف إلى 5 x. وتحت التحليل الثاني توجد المنتجات 6 x من ضرب الحدود الوسطى 2 و 3 x. يوجد أيضًا حاصل ضرب 1 x من ضرب المصطلحين الخارجيين x و 1. يضيف هذان المنتجان من 6 × و 1 × إلى 7 x.

    نظرًا لأن المدى المتوسط للثلاثية هو 5 x، فإن العوامل في الحالة الأولى ستعمل. دعنا نفحص الأمر.

    \[\begin{array}{l}{(x+1)(3 x+2)} \\ {3 x^{2}+2 x+3 x+2} \\ {3 x^{2}+5 x+2}\checkmark \end{array}\]

    نتيجة التخصيم لدينا هي:

    \[\begin{array}{l}{3 x^{2}+5 x+2} \\ {(x+1)(3 x+2)}\end{array}\]

    التمارين\(\PageIndex{13}\): How to Factor Trinomials of the Form \(ax^2+bx+c\) Using Trial and Error

    عامل بالكامل:\(3 y^{2}+22 y+7\)

    إجابة

    يلخص هذا الجدول خطوات تحليل 3 y ^ 2 + 22 y + 7. ينص الصف الأول على كتابة ثلاثية الحدود بترتيب تنازلي. تتم كتابة كثير الحدود 3 y ^ 2 +22 y + 7.تجد حالات الصف الثاني جميع أزواج عوامل الحد الأول. الأزواج الوحيدة المدرجة هي 1 y و 3 y، ثم نظرًا لوجود زوج واحد فقط، فهي موجودة بين قوسين مكتوبين (1 y) و (3 y).ينص الصف الثالث على «العثور على جميع أزواج العوامل من الفصل الثالث». كما ينص على أن العوامل الوحيدة لـ 7 هي 1 و 7.تختبر حالات الصف الرابع جميع المجموعات الممكنة من العوامل حتى يتم العثور على المنتج الصحيح. يتم عرض العوامل المحتملة (y + 1) (3 y + 7) و (y + 7) (3y + 1). تحت كل عامل توجد منتجات المصطلحات الخارجية والمصطلحات الداخلية. لأول مرة هو 7y و 3y. أما بالنسبة للثانية فهي 21 y و y. التركيبة (y + 7) (3 y + 1) هي العوملة الصحيحة.

    ينص الصف الأخير على التحقق بالضرب. يظهر منتج (y + 7) (3 ص + 1) على أنه 3 y ^ 2 + 22 y + 7.
    التمارين\(\PageIndex{14}\)

    عامل بالكامل:\(2 a^{2}+5 a+3\)

    إجابة

    \((a+1)(2 a+3)\)

    التمارين\(\PageIndex{15}\)

    عامل بالكامل:\(4 b^{2}+5 b+1\)

    إجابة

    \((b+1)(4 b+1)\)

    عامل الحدود الثلاثية للنموذج\(ax^2+bx+c\) USING TRIAL AND ERROR.
    1. اكتب ثلاثية الحدود بترتيب تنازلي للدرجات.
    2. ابحث عن جميع أزواج عوامل الحد الأول.
    3. ابحث عن جميع أزواج عوامل الحد الثالث.
    4. اختبر جميع المجموعات الممكنة من العوامل حتى يتم العثور على المنتج الصحيح.
    5. تحقق عن طريق الضرب.

    عندما يكون الحد المتوسط سالبًا ويكون المصطلح الأخير إيجابيًا، يجب أن تكون العلامات في الحدين سالبة.

    التمارين\(\PageIndex{16}\)

    عامل بالكامل:\(6 b^{2}-13 b+5\)

    إجابة
    تم ترتيب الثلاثي بالفعل ترتيبًا تنازليًا. .
    ابحث عن عوامل الفصل الدراسي الأول. .
    ابحث عن عوامل الفصل الأخير. ضع في اعتبارك العلامات. منذ الفصل الأخير، يعتبر 5 إيجابيًا، ويجب أن تكون العوامل إيجابية أو كلاهما سلبية. معامل المدى المتوسط سلبي، لذلك نستخدم العوامل السلبية. .
    ضع في اعتبارك جميع مجموعات العوامل.
    \(6 b^{2}-13 b+5\)
    العوامل المحتملة المنتج
    \ (6 b^ {2} -13 b+5\) العوامل المحتملة» data-valign= «top» class="lt-math-15168"> (b−1) (6b−5) \ (6 b^ {2} -13 b+5\) المنتج» data-valign= «top» class="lt-math-15168">\(6 b^{2}-11 b+5\)
    \ (6 b^ {2} -13 b+5\) العوامل المحتملة» data-valign= «top» class="lt-math-15168"> (b−5) (6b−1) \ (6 b^ {2} -13 b+5\) المنتج» data-valign= «top» class="lt-math-15168">\(6 b^{2}-31 b+5\)
    \ (6 b^ {2} -13 b+5\) العوامل المحتملة» data-valign= «top» class="lt-math-15168"> (2b−1) (3b−5) \ (6 b^ {2} -13 b+5\) المنتج» data-valign= «top» class="lt-math-15168">\(6 b^{2}-13 b+5\) *
    \ (6 b^ {2} -13 b+5\) العوامل المحتملة» data-valign= «top» class="lt-math-15168"> (2b−5) (3b−1) \ (6 b^ {2} -13 b+5\) المنتج» data-valign= «top» class="lt-math-15168">\(6 b^{2}-17 b+5\)
    \(\begin{array}{ll}\text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} & (2 b-1)(3 b-5)\\\\\text {Check by multiplying. } \\\\\begin{array}{l}{(2 b-1)(3 b-5)} \\ {6 b^{2}-10 b-3 b+5} \\ {6 b^{2}-13 b+5 v}\checkmark \end{array}\end{array}\)
    التمارين\(\PageIndex{17}\)

    عامل بالكامل:\(8 x^{2}-14 x+3\)

    إجابة

    \((2 x-3)(4 x-1)\)

    التمارين\(\PageIndex{18}\)

    عامل بالكامل:\(10 y^{2}-37 y+7\)

    إجابة

    \((2 y-7)(5 y-1)\)

    عندما نضع تعبيرًا في الاعتبار، فإننا نبحث دائمًا عن العامل المشترك الأكبر أولاً. إذا لم يكن للتعبير عامل مشترك أكبر، فلا يمكن أن يكون هناك عامل واحد في عوامله أيضًا. قد يساعدنا هذا في التخلص من بعض تركيبات العوامل المحتملة.

    التمارين\(\PageIndex{19}\)

    عامل بالكامل:\(14 x^{2}-47 x-7\)

    إجابة
    تم ترتيب الثلاثي بالفعل ترتيبًا تنازليًا. .
    ابحث عن عوامل الفصل الدراسي الأول. .
    ابحث عن عوامل الفصل الأخير. ضع في اعتبارك العلامات. نظرًا لأنه سلبي، يجب أن يكون أحد العوامل إيجابيًا والآخر سلبيًا. .
    ضع في اعتبارك جميع مجموعات العوامل. نستخدم كل زوج من عوامل العدد 14\(x^{2}\) مع كل زوج من العوامل التي تساوي −7.
    عوامل\(14x^2\) اقترن مع عوامل −7
    \ (14x^2\)» data-valign= «top» class="lt-math-15168">\(x, 14 x\)   11، −7
    −7، 11
    (ترتيب عكسي)
    \ (14x^2\)» data-valign= «top» class="lt-math-15168">\(x, 14 x\)   −1، 77
    77، −1
    (ترتيب عكسي)
    \ (14x^2\)» data-valign= «top» class="lt-math-15168">\(2x,7x\)   11، −7
    −7، 11
    (ترتيب عكسي)
    \ (14x^2\)» data-valign= «top» class="lt-math-15168">\(2x,7x\)   −1، 77
    77، −1
    (ترتيب عكسي)

    تؤدي هذه الأزواج إلى المجموعات الثمانية التالية.

    يحتوي هذا الجدول على العنوان 14 × ^ 2 - 47 × ناقص 7. يحتوي هذا الجدول على عمودين. يُطلق على العمود الأول اسم «العوامل المحتملة» والعمود الثاني بعنوان «المنتج». يسرد العمود الأول جميع مجموعات العوامل المحتملة ويحتوي العمود الثاني على المنتجات. في الصف الأول تحت عنوان «العوامل المحتملة» تقرأ (x+1) و (14 × ناقص 7). تحت المنتج، في العمود التالي، تقول «ليس خيارًا». في الصف التالي لأسفل، يظهر (x ناقص 7) و (14 x زائد 1). في الصف التالي لأسفل، يظهر (x ناقص 1) و (14 × زائد 7). بجانب هذا في عمود المنتج، تظهر عبارة «ليس خيارًا». في الصف التالي أسفل «العوامل المحتملة»، يحتوي على المعادلة (x زائد 7 و 14 x ناقص 1). بجانب هذا في عمود المنتج يحتوي على 14 × ^2 بالإضافة إلى 97 × ناقص 7. الصف التالي لأسفل تحت العوامل المحتملة، يحتوي على 2 × زائد 1 و 7 × ناقص 7. بجانب هذا تحت عمود المنتج، تقول «ليس خيارًا». يقرأ الصف التالي في الأسفل 2 × ناقص 7 و 7x زائد 1. بجانب هذا تحت عمود المنتج، يحتوي على 14 × ^2 ناقص 47 × ناقص 7 مع علامة النجمة بعد 7. يقرأ الصف التالي في الأسفل 2 × ناقص 1 و 7 × زائد 7. بجوار هذا في عمود المنتج، يقرأ «ليس خيارًا». يقرأ الصف الأخير 2 × زائد 7 و 7 × ناقص 1. بجانب هذا في عمود المنتج، تقرأ 14، x، ^ 2 زائد 47 × ناقص 7. يوجد بجانب الجدول مربع به أربعة أسهم تشير إلى كل صف «ليس خيارًا». السبب الوارد في مربع النص هو «إذا لم يكن للمصطلح الثلاثي عوامل مشتركة، فلا يمكن أن يحتوي أي عامل على عامل مشترك. وهذا يعني أن كل مجموعة من هذه المجموعات ليست خيارًا».
    \(\begin{array}{ll}\text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} & (2 x-7)(7 x+1)\\\\\text {Check by multiplying. } \\\\\begin{array}{l}{(2 b-1)(3 b-5)} \\ {6 b^{2}-10 b-3 b+5} \\ {6 b^{2}-13 b+5 }\checkmark \end{array}\end{array}\)
    التمارين\(\PageIndex{20}\)

    عامل بالكامل:\(8 a^{2}-3 a-5\)

    إجابة

    \((a-1)(8 a+5)\)

    التمارين\(\PageIndex{21}\)

    عامل بالكامل:\(6 b^{2}-b-15\)

    إجابة

    \((2 b+3)(3 b-5)\)

    التمارين\(\PageIndex{22}\)

    عامل بالكامل:\(18 n^{2}-37 n+15\)

    إجابة
    تم ترتيب الثلاثي بالفعل ترتيبًا تنازليًا. \(18 n^{2}-37 n+15\)
    ابحث عن عوامل الفصل الدراسي الأول. .
    ابحث عن عوامل الفصل الأخير. ضع في اعتبارك العلامات. نظرًا لأن 15 إيجابي ومعامل المدى المتوسط سلبي، فإننا نستخدم العوامل السلبية. .

    ضع في اعتبارك جميع مجموعات العوامل.

    يحتوي هذا الجدول على العنوان 18 n ^ 2 - 37n + 15. يحتوي هذا الجدول على عمودين. يتم تسمية العمود الأول بالعوامل المحتملة والعمود الثاني باسم المنتج. يسرد العمود الأول جميع مجموعات العوامل المحتملة ويحتوي العمود الثاني على المنتجات. ثمانية صفوف تسرد أن المنتج ليس خيارًا. يوجد مربع نص يوضح سبب عدم وجود خيار. السبب في مربع النص هو «إذا لم يكن للثلاثية أي عوامل مشتركة، فلا يمكن أن يحتوي أي عامل على عامل مشترك». يحتوي الصف الذي يحتوي على العوامل (2n - 3) (9n - 5) مع المنتج 18n^2 ناقص 37 n+ 15 على علامة النجمة.
    \(\begin{array}{ll}\text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} & (2 n-3)(9 n-5)\\\\\text {Check by multiplying. } \\\\ \begin{array}{l}{(2 n-3)(9 n-5)} \\ {18 n^{2}-10 n-27 n+15} \\ {18 n^{2}-37 n+15 } \checkmark\end{array} \end{array}\)
    التمارين\(\PageIndex{23}\)

    عامل بالكامل:\(18 x^{2}-3 x-10\)

    إجابة

    \((3 x+2)(6 x-5)\)

    التمارين\(\PageIndex{24}\)

    عامل بالكامل:\(30 y^{2}-53 y-21\)

    إجابة

    \((3 y+1)(10 y-21)\)

    لا تنس البحث عن GCF أولاً.

    التمارين\(\PageIndex{25}\)

    عامل بالكامل:\(10 y^{4}+55 y^{3}+60 y^{2}\)

    إجابة
      \(10 y^{4}+55 y^{3}+60 y^{2}\)
    لاحظ العامل المشترك الأكبر، واضعه في الاعتبار أولاً. 5\(y^{2}\left(2 y^{2}+11 y+12\right)\)
    عامل ثلاثي الحدود. .

    ضع في اعتبارك جميع المجموعات.

    يحتوي هذا الجدول على العنوان 2 y squared + 11 y + 12 يحتوي هذا الجدول على عمودين. يُطلق على العمود الأول اسم «العوامل المحتملة» والعمود الثاني بعنوان «المنتج». يسرد العمود الأول جميع مجموعات العوامل المحتملة ويحتوي العمود الثاني على المنتجات. تسرد أربعة صفوف أن المنتج ليس خيارًا. يوجد مربع نص يوضح سبب عدم وجود خيار. السبب في مربع النص هو «إذا لم يكن للثلاثية أي عوامل مشتركة، فلا يمكن أن يحتوي أي عامل على عامل مشترك». يحتوي الصف الذي يحتوي على العوامل (y + 4) (2y + 3) مع المنتج 2 y مربعًا + 11 y + 12 على علامة النجمة.
    \(\begin{array}{ll}\text{The correct factors are those whose product} &5 y^{2}(y+4)(2 y+3) \\ \text{is the original trinomial. Remember to include} & \\\text {the factor } 5 y^{2}\\\text {Check by multiplying. } \\\\ \begin{array}{l}{5 y^{2}(y+4)(2 y+3)} \\ {5 y^{2}\left(2 y^{2}+8 y+3 y+12\right)} \\ {10 y^{4}+55 y^{3}+60 y^{2}}\checkmark\end{array} \end{array}\)
    التمارين\(\PageIndex{26}\)

    عامل بالكامل:\(15 n^{3}-85 n^{2}+100 n\)

    إجابة

    5\(n(n-4)(3 n-5)\)

    التمارين\(\PageIndex{27}\)

    عامل بالكامل:\(56 q^{3}+320 q^{2}-96 q\)

    إجابة

    8\(q(q+6)(7 q-2)\)

    عوامل ثلاثية الحدود باستخدام طريقة «ac»

    هناك طريقة أخرى لحساب القيم الثلاثية للنموذج\(ax^2+bx+c\) وهي طريقة «ac». (يُطلق على طريقة «ac» أحيانًا طريقة التجميع.) تعد طريقة «ac» في الواقع امتدادًا للطرق التي استخدمتها في القسم الأخير لحساب التثليث بالمعامل الرئيسي الأول. هذه الطريقة منظمة للغاية (خطوة بخطوة)، وهي تعمل دائمًا!

    التمارين\(\PageIndex{28}\): How to Factor Trinomials Using the “ac” Method

    عامل:\(6 x^{2}+7 x+2\)

    إجابة

    يسرد هذا الجدول خطوات العوملة 6 x ^ 2 + 7 x + 2. الخطوة الأولى هي حساب GCF. لا يحتوي هذا المعامل متعدد الحدود على أي شيء.ينص الصف الثاني على العثور على المنتج a c، ثم يسرد c كـ 6 في 2 = 12.الخطوة الثالثة هي العثور على رقمين m و n حيث m في n = a c و m + n = b. يقرأ العمود الأوسط «ابحث عن رقمين يضيفان إلى 7. يجب أن يكون كلا العاملين إيجابيين». الأرقام هي 3 و 4. 3 مرات 4 هي 12 و 3 + 4 هي 7.الخطوة التالية هي تقسيم الحد الأوسط باستخدام m و n. أي كتابة 7 x كـ 3 x x + 4 x. لذلك، تتم إعادة كتابة 6 x ^ 2+ 7 x + 2 كـ 6 x ^ 2 +3 x + 4 x + 2.الخطوة التالية هي المعالجة بالتجميع. 3 × (2 × + 1) + 2 (2 × + 1) ثم عامل مرة أخرى (2 × + 1) (3 × + 2).الخطوة الأخيرة هي التحقق عن طريق الضرب. اضرب العوامل (2 × + 1) (3 × + 2) للحصول على 6 × ^ 2 + 7 × + 2.

    التمارين\(\PageIndex{29}\)

    عامل:\(6 x^{2}+13 x+2\)

    إجابة

    \((x+2)(6 x+1)\)

    التمارين\(\PageIndex{30}\)

    عامل:\(4 y^{2}+8 y+3\)

    إجابة

    \((2 y+1)(2 y+3)\)

    عامل ثلاثي الحدود للنموذج باستخدام طريقة «AC».
    1. عامل أي GCF.
    2. ابحث عن المنتج ac.
    3. ابحث عن رقمين m وفي ذلك:
      \(\begin{array}{ll}{\text { Multiply to } a c} & {m \cdot n=a \cdot c} \\ {\text { Add to } b} & {m+n=b}\end{array}\)
    4. قسّم المدى المتوسط باستخدام m و n:يوضِّح هذا الشكل معادلتين. المعادلة العليا تقرأ مضروبًا في x مربعًا زائد ب مضروبًا في x زائد c. وتحت هذا، توجد المعادلة أ مضروبًا في x مربعًا زائد m مضروبًا في x زائد n في x زائد c. وفوق m في x زائد n في x يوجد قوس بـ b مضروبًا في x فوقه.
    5. عامل حسب التجميع.
    6. تحقق من ذلك بضرب العوامل.

    عندما يكون المصطلح الثالث من الثلاثية سالبًا، فإن عوامل المصطلح الثالث ستكون لها علامات معاكسة.

    التمارين\(\PageIndex{31}\)

    عامل:\(8 u^{2}-17 u-21\)

    إجابة
    هل هناك عامل مشترك أكبر؟ لا.   .
    ابحث\(a\cdot c\) \(a\cdot c\)  
      8 (−21)  
      −168

    ابحث عن عددين يضربان في −168 ويضيفان إلى −17. يجب أن يكون العامل الأكبر سلبيًا.

    عوامل −168 مجموع العوامل
    1، −168 1+ (−168) =−167
    2، −84 2+ (−84) = −82
    3، −56 3+ (−56) =−53
    4، −42 4+ (−42) =−38
    6، −28 6+ (−28) =−22
    7، −24 7+ (−24) =−17*
    8، −21 8+ (−21) =−13

    \(\begin{array}{lc}\text { Split the middle term using } 7 u \text { and }-24 u &8 u^{2}-17 u-21 \\ & \qquad\space \swarrow\searrow \\ & \underbrace{8 u^{2}+7 u} \underbrace{-24 u-21} \\ \text { Factor by grouping. } & u(8 u+7)-3(8 u+7) \\ & (8 u+7)(u-3) \\ \text { Check by multiplying. } & \begin{array}{l}{(8 u+7)(u-3)} \\ {8 u^{2}-24 u+7 u-21} \\ {8 u^{2}-17 u-21} \checkmark \end{array} \end{array}\)

    التمارين\(\PageIndex{32}\)

    عامل:\(20 h^{2}+13 h-15\)

    إجابة

    \((4 h-5)(5 h+3)\)

    التمارين\(\PageIndex{33}\)

    عامل:\(6 g^{2}+19 g-20\)

    إجابة

    \((q+4)(6 q-5)\)

    التمارين\(\PageIndex{34}\)

    عامل:\(2 x^{2}+6 x+5\)

    إجابة
    هل هناك عامل مشترك أكبر؟ لا. .
    ابحث عن ac ac
      2 (5)
      10

    ابحث عن رقمين يضربان في 10 ويضيفان إلى 6.

    العوامل المكونة من 10 مجموع العوامل
    1,10 1+10=11
    2، 5 2+5 = 7

    لا توجد عوامل تتضاعف إلى 10 وتضيف إلى 6. وكثرة الحدود هي الأولية.

    التمارين\(\PageIndex{35}\)

    عامل:\(10 t^{2}+19 t-15\)

    إجابة

    \((2 t+5)(5 t-3)\)

    التمارين\(\PageIndex{36}\)

    عامل:\(3 u^{2}+8 u+5\)

    إجابة

    \((u+1)(3 u+5)\)

    لا تنس البحث عن عامل مشترك!

    التمارين\(\PageIndex{37}\)

    عامل:\(10 y^{2}-55 y+70\)

    إجابة
    هل هناك عامل مشترك أكبر؟ نعم. GCF هو 5. .
    ضع في اعتبارك ذلك. احرص على الحفاظ على عامل 5 طوال الحل! .
    يحتوي الثلاثي الموجود داخل الأقواس على معامل رئيسي ليس 1. .
    عامل ثلاثي الحدود. .
    تحقق من ذلك بضرب جميع العوامل الثلاثة.  
    5\(\left(2 y^{2}-2 y-4 y+14\right)\)  
    5\(\left(2 y^{2}-11 y+14\right)\)  
    \(10 y^{2}-55 y+70\)✓
    التمارين\(\PageIndex{38}\)

    عامل:\(16 x^{2}-32 x+12\)

    إجابة

    4\((2 x-3)(2 x-1)\)

    التمارين\(\PageIndex{39}\)

    عامل:\(18 w^{2}-39 w+18\)

    إجابة

    3\((3 w-2)(2 w-3)\)

    يمكننا الآن تحديث إستراتيجية التخصيم الأولية، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{1}\) ومفصّل في اختيار إستراتيجية لحساب كثيرات الحدود بالكامل (محدثة)، لتضمين القيم الثلاثية للنموذج\(a x^{2}+b x+c\). تذكر أن بعض كثيرات الحدود أولية وبالتالي لا يمكن أخذها في الاعتبار.

    يحتوي هذا الرقم على استراتيجية تحليل كثيرات الحدود. في الجزء العلوي من الشكل يوجد GCF. تحت هذا، هناك ثلاثة خيارات. الأولى هي معادلة ذات حدين. والثاني ثلاثي الحدود. تحت الثلاثي يوجد x squared + b x + c و x squared + b x +c. الطريقتان هنا هما التجربة والخطأ وطريقة «a c». الخيار الثالث هو لأكثر من ثلاثة فصول. إنه تجميع.
    الشكل\(\PageIndex{1}\)
    اختر إستراتيجية لحساب كثيرات الحدود بالكامل (محدثة).
    1. هل هناك عامل مشترك أكبر؟
      • ضع في اعتبارك ذلك.
    2. هل كثير الحدود عبارة عن معادلة ذات حدين أو ثلاثية أو أكثر من ثلاثة حدود؟
      • إذا كانت ذات حدين، فليس لدينا الآن طريقة لأخذها في الاعتبار.
      • إذا كانت عبارة عن ثلاثية من النموذج Undo\(x^{2}+b x+c\)
        FOIL\\((x\qquad)(x\qquad)\).
      • إذا كانت عبارة عن ثلاثة حدود للنموذج،\(a x^{2}+b x+c\)
        استخدم التجربة والخطأ أو طريقة «ac».
      • إذا كان يحتوي على أكثر من ثلاثة مصطلحات
        استخدم طريقة التجميع.
    3. تحقق من ذلك بضرب العوامل.
    ملاحظة

    يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية مع احتساب القيم الثلاثية للنموذج\(a x^{2}+b x+c\)

    المفاهيم الرئيسية

    • العوامل الثلاثية للنموذج\(a x^{2}+b x+c\) باستخدام التجربة والخطأ: انظر المثال.
      1. اكتب ثلاثية الحدود بترتيب تنازلي للدرجات.
      2. ابحث عن جميع أزواج عوامل الحد الأول.
      3. ابحث عن جميع أزواج عوامل الحد الثالث.
      4. اختبر جميع المجموعات الممكنة من العوامل حتى يتم العثور على المنتج الصحيح.
      5. تحقق عن طريق الضرب.
    • معاملات ثلاثية الحدود للنموذج\(a x^{2}+b x+c\) باستخدام طريقة «ac»: انظر المثال.
      1. عامل أي GCF.
      2. ابحث عن المنتج ac.
      3. ابحث عن رقمين m وفي ذلك:\(\begin{array}{ll}{\text { Multiply to } a c} & {m \cdot n=a \cdot c} \\ {\text { Add to } b} & {m+n=b}\end{array}\)
      4. قسّم المدى المتوسط باستخدام m و n:
        يوضِّح هذا الشكل معادلتين. المعادلة العليا تقرأ مضروبًا في x مربعًا زائد ب مضروبًا في x زائد c. وتحت هذا، توجد المعادلة أ مضروبًا في x مربعًا زائد m مضروبًا في x زائد n في x زائد c. وفوق m في x زائد n في x يوجد قوس بـ b مضروبًا في x فوقه.
      5. عامل حسب التجميع.
      6. تحقق من ذلك بضرب العوامل.
    • اختر إستراتيجية لحساب كثيرات الحدود بالكامل (محدثة):
      1. هل هناك عامل مشترك أكبر؟ ضع في اعتبارك ذلك.
      2. هل كثير الحدود عبارة عن معادلة ذات حدين أو ثلاثية أو أكثر من ثلاثة حدود؟
        إذا كانت ذات حدين، فليس لدينا الآن طريقة لأخذها في الاعتبار.
        إذا كانت عبارة عن ثلاثية من النموذج Undo\(x^2+bx+c\)
        FOIL\((x\qquad)(x\qquad)\).
        إذا كانت عبارة عن ثلاثة حدود للنموذج،\(ax^2+bx+c\)
        استخدم التجربة والخطأ أو طريقة «ac».
        إذا كان يحتوي على أكثر من ثلاثة مصطلحات
        استخدم طريقة التجميع.
      3. تحقق من ذلك بضرب العوامل.

    مسرد المصطلحات

    كثيرات الحدود الأولية
    وكثيرات الحدود التي لا يمكن أخذها في الاعتبار هي كثيرات الحدود الأولية.