7.2: العوامل الثلاثية التربيعية ذات المعامل الرئيسي 1
- Page ID
- 200227
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- عامل الحدود الثلاثية للنموذج\(x^{2}+b x+c\)
- عامل الحدود الثلاثية للنموذج\(x^{2}+b x y+c y^{2}\)
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- اضرب: (x+4) (x+5).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 6.3.31. - التبسيط: ⓐ −9+ (−6) ⓑ −9+6.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.4.18. - التبسيط: ⓐ −9 (6) ⓑ −9 (−6).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.5.1. - التبسيط: ⓐ |−5| ⓑ |3|.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.4.2.
العوامل: القيم الثلاثية للنموذج \(x^{2}+b x+c\)
لقد تعلمت بالفعل كيفية ضرب المعادلات ذات الحدين باستخدام FOIL. ستحتاج الآن إلى «التراجع» عن هذه المضاعفة - لتبدأ بالمنتج وتنتهي بالعوامل. لنلقِ نظرة على مثال لمضاعفة الحدين لتحديث ذاكرتك.
إن أخذ العوامل الثلاثية في الاعتبار يعني البدء بالمنتج\(x^{2}+5 x+6\)، والانتهاء بالعوامل،\((x+2)(x+3)\). تحتاج إلى التفكير في مصدر كل مصطلح من المصطلحات في الثلاثية.
جاء المصطلح الأول من ضرب الحد الأول في كل معادلة ذات حدين. لذا للحصول على\(x^{2}\) المنتج، يجب أن تبدأ كل معادلة ذات حدين بـ x.
\[\begin{array}{l}{x^{2}+5 x+6} \\ {(x\quad)(x\quad)}\end{array}\]
جاء الحد الأخير في الثلاثية من ضرب الحد الأخير في كل معادلة ذات حدين. لذلك يجب ضرب المصطلحات الأخيرة إلى 6.
ما العددان اللذان يضربان في ٦؟
يمكن أن تكون عوامل 6 1 و 6 أو 2 و 3. كيف تعرف الزوج الذي تريد استخدامه؟
فكر في المدى المتوسط. جاء ذلك من إضافة المصطلحات الخارجية والداخلية.
لذا فإن الأرقام التي يجب أن تحتوي على منتج 6 ستحتاج إلى مجموع 5. سنختبر كلا الاحتمالين ونلخص النتائج في الجدول \(\PageIndex{1}\)- سيكون الجدول مفيدًا جدًا عند التعامل مع الأرقام التي يمكن أخذها في الاعتبار بعدة طرق مختلفة.
| عوامل 6 | مجموع العوامل |
|---|---|
| 1,6 | \(1+6=7\) |
| 2,3 | \(2+3=5\) |
طاولة \(\PageIndex{1}\)
نرى أن 2 و3 هما الرقمان اللذان يضربان إلى 6 ويضيفان إلى 5. لذلك لدينا عوامل\(x^{2}+5 x+6\). إنهم\((x+2)(x+3)\).
\[\begin{array}{ll}{x^{2}+5 x+6} & {\text { product }} \\ {(x+2)(x+3)} & {\text { factors }}\end{array}\]
يجب عليك التحقق من ذلك عن طريق الضرب.
إذا نظرنا إلى الوراء\(x^{2}+5 x+6\)، بدأنا بـ، وهو النموذج\(x^{2}+b x+c\)، حيث b=5 و c=6. قمنا بأخذها في الاعتبار في نسختين من النموذج (x+m) و (x+n).
\[\begin{array}{ll}{x^{2}+5 x+6} & {x^{2}+b x+c} \\ {(x+2)(x+3)} & {(x+m)(x+n)}\end{array}\]
للحصول على العوامل الصحيحة، وجدنا رقمين m و n منتجهما c ومجموع b.
عامل:\(x^{2}+7 x+12\)
- إجابة
-
عامل:\(x^{2}+6 x+8\)
عامل:\(y^{2}+8 y+15\)
دعونا نلخص الخطوات التي استخدمناها للعثور على العوامل.
العوامل الثلاثية للنموذج\(x^{2}+b x+c\).
الخطوة 1. اكتب العوامل في صورة ذات حدين باستخدام الحدود الأولى x:\((x \quad)(x \quad )\)
الخطوة 2. ابحث عن رقمين m و n
اضرب إلى c،\(m \cdot n=c\)
أضف إلى b،\(m+n=b\)
الخطوة 3. استخدم m و n كمصطلحات أخيرة للعوامل:\((x+m)(x+n)\)
الخطوة 4. تحقق من ذلك بضرب العوامل.
عامل:\(u^{2}+11 u+24\)
- إجابة
-
لاحظ أن المتغير هو u، لذلك ستحتوي العوامل على المصطلحات الأولى u.
\(\begin{array}{ll} & u^{2}+11 u+24\\ {\text { Write the factors as two binomials with first terms } u \text { . }} & (u \quad)(u\quad) \\ {\text { Find two numbers that: multiply to } 24 \text { and add to } 11 .} & \end{array}\)
عوامل 24 مجموع العوامل 1,24 1+24=25 2,12 2+12=14 3,8 3+8=11* 4,6 4+6=10 \(\begin{array}{ll}\text { Use } 3 \text { and } 8 \text { as the last terms of the binomials. } & (u+3)(u+8)\\ \\ \text { Check. } \\ \\ \begin{array}{l}{(u+3)(u+8)} \\ {u^{2}+3 u+8 u+24} \\ {u^{2}+11 u+24 v} \checkmark\end{array}\end{array}\)
عامل:\(q^{2}+10 q+24\)
عامل:\(t^{2}+14 t+24\)
عامل:\(y^{2}+17 y+60\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll} & y^{2}+17 y+60\\ \text { Write the factors as two binomials with first terms y. } & (y \quad)(y\quad)\end{array}\)
ابحث عن عددين يضربان في ٦٠ ويضيفان إلى ١٧.
\(\begin{array} {ll} \text { Use } 5 \text { and } 12 \text { as the last terms. } & (y+5)(y+12) \\ \text{ Check.} & \\ \\ \begin{array}{l}{(y+5)(y+12)} \\ {\left(y^{2}+12 y+5 y+60\right)} \\ {\left(y^{2}+17 y+60\right) }\checkmark \end{array} \end{array}\)عوامل 60 مجموع العوامل 1,60 1+60=61 2,30 2+30=32 3,20 3+20=23 4,15 4+15=19 5,12 5+12=17* 6,10
عامل:\(x^{2}+19 x+60\)
عامل:\(v^{2}+23 v+60\)
العوامل الثلاثية للنموذج x 2+ bx+c مع b (سالب) و (ج) وإيجابي
في الأمثلة حتى الآن، كانت جميع المصطلحات في الثلاثية إيجابية. ماذا يحدث عندما تكون هناك مصطلحات سلبية؟ حسنًا، يعتمد ذلك على المصطلح السلبي. دعونا ننظر أولاً إلى القيم الثلاثية ذات المدى المتوسط السلبية فقط.
تذكر: للحصول على مبلغ سالب ومنتج إيجابي، يجب أن يكون كلا الرقمين سالبين.
مرة أخرى، فكر في FOIL ومن أين جاء كل مصطلح في الثلاثية. كما كان من قبل،
- المصطلح الأول\(x^2\)، يأتي من ناتج المصطلحين الأولين في كل عامل ذي حدين، x و y؛
- المصطلح الأخير الإيجابي هو نتاج الفصلين الأخيرين
- الحد الأوسط السلبي هو مجموع المصطلحات الخارجية والداخلية.
كيف تحصل على منتج إيجابي ومبلغ سلبي؟ برقمين سالبين.
عامل:\(t^{2}-11 t+28\)
- إجابة
-
مرة أخرى، مع الحد الأخير الإيجابي، 28، والحد المتوسط السلبي، −11t، نحتاج إلى عاملين سلبيين. ابحث عن عددين يضربان 28 ويضيفان إلى −11.
\(\begin{array} {ll} & t^{2}-11 t+28 \\ \text {Write the factors as two binomials with first terms } t & (t\qquad)(t\qquad)\end{array}\)
ابحث عن عددين: الضرب في 28 والإضافة إلى −11.
\(\begin{array} {ll} \text { Use }-4,-7 \text { as the last terms of the binomials. }& (t-4)(t-7) \\ \text { Check. } \\\\ \begin{array}{l}{(t-4)(t-7)} \\ {t^{2}-7 t-4 t+28} \\ {t^{2}-11 t+28}\checkmark\end{array}\end{array}\)عوامل 28 مجموع العوامل −1، −28 −1+ (−28) =−29 −2، −14 −2+ (−14) =−16 −4، −7 \(-4+(-7)=-11^{*}\)
عامل:\(u^{2}-9 u+18\)
عامل:\(y^{2}-16 y+63\)
العوامل الثلاثية للنموذج x2+bx+c مع c سالب
الآن، ماذا لو كان الحد الأخير في الثلاثية سالبًا؟ فكر في FOIL. المصطلح الأخير هو نتاج المصطلحات الأخيرة في الحدين. ينتج المنتج السالب عن ضرب رقمين بإشارات معاكسة. يجب أن تكون حريصًا جدًا على اختيار العوامل للتأكد من حصولك على العلامة الصحيحة للمدى المتوسط أيضًا.
تذكر: للحصول على منتج سلبي، يجب أن تحتوي الأرقام على علامات مختلفة.
عامل:\(z^{2}+4 z-5\)
- إجابة
-
للحصول على الحد الأخير السالب، اضرب واحدًا موجبًا والآخر سلبيًا. نحتاج إلى عوامل −5 التي تضيف إلى الموجب 4.
عوامل −5 مجموع العوامل 1، −5 1+ (−5) =−4 −1,5 −1+5=4* ملاحظة: قمنا بإدراج كل من 1 و −5 و −1,5 للتأكد من صحة علامة المدى المتوسط.
\(\begin{array} {ll} &z^{2}+4 z-5 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms z. }& (z\qquad)(z\qquad)\\ \text { Use }-1,5 \text { as the last terms of the binomials. } & (z-1)(z+5)\\ \text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(z-1)(z+5)} \\ {z^{2}+5 z-1 z-5} \\ {z^{2}+4 z-5 }\checkmark\end{array} \end{array}\)
عامل:\(h^{2}+4 h-12\)
- إجابة
-
\((h-2)(h+6)\)
عامل:\(: 2^{2}+k-20\)
- إجابة
-
\((k-4)(k+5)\)
دعونا نجري تغييرًا طفيفًا على الثلاثية الأخيرة ونرى تأثيرها على العوامل.
عامل:\(z^{2}-4 z-5\)
- إجابة
-
هذه المرة، نحتاج إلى عوامل −5 التي تضيف إلى −4.
عوامل −5 مجموع العوامل 1، −5 1+ (−5) =−4* −1,5 −1+5=4 \(\begin{array} {ll} &z^{2}-4 z-5 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms z. }& (z\qquad)(z\qquad)\\ \text { Use }1,-5 \text { as the last terms of the binomials. } & (z+1)(z-5)\\ \text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(z+1)(z-5)} \\z^{2}-5 z+1 z-5 \\ z^{2}-4 z-5\checkmark\end{array} \end{array}\)
عامل:\(x^{2}-4 x-12\)
- إجابة
-
\((x+2)(x-6)\)
عامل:\(y^{2}-y-20\)
- إجابة
-
\((y+4)(y-5)\)
عامل:\(q^{2}-2 q-15\)
- إجابة
-
\(\begin{array} {ll} &q^{2}-2 q-15\\ \text { Factors will be two binomials with first terms q. }& (q\qquad)(q\qquad)\\ \text { You can use }3,-5 \text { as the last terms of the binomials. } & (q+3)(q-5)\\ \end{array}\)
عوامل −15 مجموع العوامل 1، −15 1+ (−15) =−14 −1,15 −1+15=14 3، −5 3+ (−5) =−2* −3,5 \(\begin{array}{ll}\text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(q+3)(q-5)} \\q^{2}-5 q+3 z-15 \\ q^{2}-2q-15\checkmark\end{array} \end{array}\)
عامل:\(r^{2}-3 r-40\)
- إجابة
-
\((r+5)(r-8)\)
عامل:\(s^{2}-3 s-10\)
- إجابة
-
\((s+2)(s-5)\)
بعض العبارات الثلاثية أساسية. الطريقة الوحيدة للتأكد من ثلاثية الحدود هي الأولية هي سرد جميع الاحتمالات وإظهار أن أيًا منها لا يعمل.
عامل:\(y^{2}-6 y+15\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll}&y^{2}-6 y+15 \\ \text { Factors will be two binomials with first } & (y \qquad)(y\qquad) \\\text { terms y. } \end{array}\)
عوامل 15 مجموع العوامل −1، −15 −1+ (−15) =−16 −3، −5 −3+ (−5) =−8 كما هو موضح في الجدول، لا يضيف أي من العوامل إلى −6؛ وبالتالي، فإن المقدار أولي.
عامل:\(m^{2}+4 m+18\)
- إجابة
-
أولي
عامل:\(n^{2}-10 n+12\)
- إجابة
-
أولي
عامل:\(2 x+x^{2}-48\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll}&2 x+x^{2}-48 \\ \text { First we put the terms in decreasing degree order. } & x^{2}+2 x-48 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms } x \text { . }& (x \qquad)(x\qquad) \end{array}\)
كما هو موضح في الجدول، يمكنك استخدام −6,8 كآخر حدود للحدين.
\[(x-6)(x+8)\]
عوامل −48 مجموع العوامل −1,48 −1+48=47 −2,24
−3,16-4,12
−6,8−2+24=22
−3+16=13
−4+12=8
−6+8=2\(\begin{array}{l}{\text { Check. }} \\ {(x-6)(x+8)} \\ {x^{2}-6 q+8 q-48} \\ {x^{2}+2 x-48}\checkmark \end{array}\)
عامل:\(9 m+m^{2}+18\)
- إجابة
-
\((m+3)(m+6)\)
عامل:\(-7 n+12+n^{2}\)
- إجابة
-
\((n-3)(n-4)\)
دعونا نلخص الطريقة التي طورناها للتو لتحليل ثلاثية الحدود للنموذج\(x^{2}+b x+c\)
عندما نأخذ في الاعتبار الثلاثي، ننظر إلى علامات مصطلحاته أولاً لتحديد علامات العوامل ذات الحدين.
\[\begin{array}{c}{x^{2}+b x+c} \\ {(x+m)(x+n)}\end{array}\]
عندما تكون c موجبة، يكون لدى m و n نفس العلامة.
\[\begin{array}{cc}{\text { b positive }} & {\text { b negative }} \\ {m, n \text { positive }} & {m, n \text { negative }} \\ {x^{2}+5 x+6} & {x^{2}-6 x+8} \\ {(x+2)(x+3)} & {(x-4)(x-2)} \\ {\text { same signs }} & {\text { same signs }}\end{array}\]
عندما تكون c سالبة، تظهر علامات معاكسة على m و n.
\[\begin{array}{cc}{x^{2}+x-12} & {x^{2}-2 x-15} \\ {(x+4)(x-3)} & {(x-5)(x+3)} \\ {\text { opposite signs }} & {\text { opposite signs }}\end{array}\]
لاحظ أنه في الحالة التي تحتوي فيها m و n على علامات معاكسة، فإن علامة العلامة ذات القيمة المطلقة الأكبر تتطابق مع علامة b.
عامل: الأبعاد الثلاثية للنموذج x 2+ صندوق+cy 2
ستحتاج أحيانًا إلى تحليل القيم الثلاثية للنموذج\(x^{2}+b x y+c y^{2}\) باستخدام متغيرين، مثل\(x^{2}+12 x y+36 y^{2}\). المصطلح الأول\(x^2\)، هو نتاج المصطلحات الأولى للعوامل ذات الحدين،\(x \cdot x\). يعني المصطلح الأخير أن المصطلحات الثانية من العوامل ذات الحدين يجب أن تحتوي كل منها على y.\(y^2\) للحصول على المعاملين b و c، يمكنك استخدام نفس العملية الملخصة في الهدف السابق.
عامل:\(x^{2}+12 x y+36 y^{2}\)
- إجابة
-
\(\begin{array}{ll }&x^{2}+12 x y+36 y^{2} \\ \text { Note that the first terms are } x, \text { last terms } &\left(x_{-} y\right)\left(x_{-} y\right) \\ \text { contain } y\end{array}\)
ابحث عن الأرقام التي تتضاعف في 36 وتضاف إلى 12.
عوامل 36 مجموع العوامل 1، 36 1+36=37 2، 18 2+18=20 3، 12 3+12=15 4، 9 4+9=13 6، 6 6+6=12* \(\begin{array}{ll}{\text { Use } 6 \text { and } 6 \text { as the coefficients of the last terms. }} & (x+6 y)(x+6 y)\\ {\text { Check your answer. }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{(x+6 y)(x+6 y)} \\ {x^{2}+6 x y+6 x y+36 y^{2}} \\ {x^{2}+12 x y+36 y^{2}}\checkmark \end{array}\)
عامل:\(u^{2}+11 u v+28 v^{2}\)
- إجابة
-
\((u+4 v)(u+7 v)\)
عامل:\(x^{2}+13 x y+42 y^{2}\)
- إجابة
-
\((x+6 y)(x+7 y)\)
عامل:\(r^{2}-8 r s-9 s^{2}\)
- إجابة
-
نحن بحاجة\(r\) في الفصل الأول من كل معادلة ذات حدين\(s\) وفي الفصل الثاني. المصطلح الأخير من الثلاثي سلبي، لذلك يجب أن تحتوي العوامل على علامات معاكسة.
\(\begin{array}{ll }& r^{2}-8 r s-9 s^{2} \\ \text { Note that the first terms are } r, \text { last terms contain } s &\left(r_{-} s\right)\left(r_{-} s\right) \end{array}\)
عوامل −9 مجموع العوامل 1، −9 1+ (−9) =−8* −1,9 −1+9=8 3، −3 3+ (−3) = 0 \(\begin{array}{ll}\text { Use } 1,-9 \text { as coefficients of the last terms. }&(r+s)(r-9 s)\\ {\text { Check your answer. }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{(r-9 s)(r+s)} \\ {r^{2}+r s-9 r s-9 s^{2}} \\ {r^{2}-8 r s-9 s^{2}} \checkmark \end{array}\)
عامل:\(a^{2}-11 a b+10 b^{2}\)
- إجابة
-
\((a-b)(a-10 b)\)
عامل:\(m^{2}-13 m n+12 n^{2}\)
- إجابة
-
\((m-n)(m-12 n)\)
عامل:\(u^{2}-9 u v-12 v^{2}\)
- إجابة
-
نحن بحاجة إلينا في الفصل الأول من كل حدين و v في الفصل الثاني. المصطلح الأخير من الثلاثي سلبي، لذلك يجب أن تحتوي العوامل على علامات معاكسة.
\(\begin{array}{ll }& u^{2}-9 u v-12 v^{2} \\ \text { Note that the first terms are } u, \text { last terms contain } v &\left(u_{-} v\right)\left(u_{-} v\right) \end{array}\)
أوجد الأعداد التي تضرب في −12 وتضاف إلى −9.
عوامل −12 مجموع العوامل 1، −12 1+ (−12) =−11 −1,12 −1+12=11 2، −6 2+ (−6) = −4 −2,6 −2+6=4 3، −4 3+ (−4) =−1 −3,4 −3+4=1 لاحظ أنه لا توجد أزواج من العوامل تعطينا −9 كمجموع. الثلاثي هو الأول.
عامل:\(x^{2}-7 x y-10 y^{2}\)
- إجابة
-
أولي
عامل:\(p^{2}+15 p q+20 q^{2}\)
- إجابة
-
أولي
المفاهيم الرئيسية
- عامل الحدود الثلاثية للنموذج\(x^{2}+b x+c\)
- اكتب العوامل في صورة ذات حدين باستخدام الحدود الأولى\(x\):\((x\qquad)(x\qquad)\)
- ابحث عن رقمين\(m\) ثم\(n\)
اضرب إلى\(c\)،\(m \cdot n=c\)
أضف إلى\(b\)،\(m+n=b\) - استخدم\(m\)\(n\) وكالمصطلحات الأخيرة للعوامل:\((x+m)(x+n)\).
- تحقق من ذلك بضرب العوامل.