4.7: الرسوم البيانية للمتباينات الخطية

Last updated
Save as PDF

Page ID: 200269

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

تحقق من حلول عدم المساواة في متغيرين
تعرف على العلاقة بين حلول عدم المساواة ورسمها البياني
رسم بياني لعدم المساواة الخطية

ملاحظة

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

الحل:$4x+3>23.$
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.7.22.
ترجمة من الجبر إلى الإنجليزية:$x<5.$
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.3.1.
قم بتقييم$3x−2y$ الوقت$x=1, \, y=−2.$
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.5.28.

تحقق من حلول عدم المساواة في متغيرين

لقد تعلمنا كيفية حل عدم المساواة في متغير واحد. الآن، سننظر إلى عدم المساواة في متغيرين. تحتوي عدم المساواة في متغيرين على العديد من التطبيقات. إذا كنت تدير نشاطًا تجاريًا، على سبيل المثال، فقد ترغب في أن تكون إيراداتك أكبر من تكاليفك - حتى يحقق نشاطك التجاري ربحًا.

عدم المساواة الخطية

عدم المساواة الخطية هي عدم مساواة يمكن كتابتها بأحد الأشكال التالية:

\[A x+B y>C \quad A x+B y \geq C \quad A x+B y<C \quad A x+B y \leq C \nonumber\]

أين$A$ وليس$B$ كلاهما صفرًا.

هل تتذكر أن عدم المساواة مع متغير واحد كان له العديد من الحلول؟ حل عدم المساواة$x>3$ هو أي رقم أكبر من$3$. أظهرنا ذلك على خط الأعداد من خلال التظليل في خط الأرقام على يمين$3$، ووضع قوس مفتوح عند$3$. انظر الشكل$\PageIndex{1}$.

يوضِّح الشكل خط الأعداد الذي يمتد من سالب ٥ إلى ٥. يظهر القوس عند موجب 3 ويمتد السهم من الموجب 3 إلى اللانهاية الموجبة. — الشكل$\PageIndex{1}$

وبالمثل، فإن عدم المساواة في متغيرين له العديد من الحلول. أي زوج$ (x, y)$ مرتب يجعل عدم المساواة صحيحًا عندما نستبدل القيم هو حل لعدم المساواة.

حل عدم المساواة الخطية

$ (x, y)$يعتبر الزوج المُرتب حلاً لعدم المساواة الخطية إذا كان عدم المساواة صحيحًا عندما نستبدل قيم$x$ و$y$.

التمارين$\PageIndex{1}$

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب حلاً لعدم المساواة$y>x+4$:

$(0,0)$
$(1,6)$
$(2,6)$
$(−5,−15)$
$(−8,12)$

إجابة

$(0,0)$		$.$
$.$		$.$
قم بالتبسيط.		$.$ لذلك،$(0,0)$ ليس حلاً لـ$y>x+4$.

$(1,6)$		$.$
$.$		$.$
قم بالتبسيط.		$.$ لذلك،$(1,6)$ هو الحل لـ$y>x+4$.

$(2,6)$		$.$
$.$		$.$
قم بالتبسيط.		$.$ لذلك،$(2,6)$ ليس حلاً لـ$y>x+4$.

$(−5,−15)$		$.$
$.$		$.$
قم بالتبسيط.		$.$ لذلك،$(−5,−15)$ ليس حلاً لـ$y>x+4$.

(−8,12)		$.$
$.$		$.$
قم بالتبسيط.		$.$ لذلك،$(−8,12)$ هو الحل لـ$y>x+4$.

التمارين$\PageIndex{2}$

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب حلاً لعدم المساواة$y>x−3$:

$(0,0)$
$(4,9)$
$(−2,1)$
$(−5,−3)$
$(5,1)$

إجابة

نعم
نعم
نعم
نعم
كلا

التمارين$\PageIndex{3}$

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب حلاً لعدم المساواة$y<x+1$:

$(0,0)$
$(8,6)$
$(−2,−1)$
$(3,4)$
$(−1,−4)$

إجابة

نعم
نعم
كلا
كلا
نعم

تعرف على العلاقة بين حلول عدم المساواة ورسمها البياني

الآن، سننظر في كيفية ارتباط حلول عدم المساواة بالرسم البياني الخاص بها.

دعونا نفكر في خط الأعداد في الشكل$\PageIndex{1}$ مرة أخرى. قامت النقطة$x=3$ بفصل خط الأرقام هذا إلى جزأين. على جانب واحد$3$ توجد جميع الأرقام الأقل من$3$. على الجانب الآخر من$3$ جميع الأرقام أكبر من$3$. انظر الشكل$\PageIndex{2}$.

يوضِّح الشكل خط الأعداد الذي يمتد من سالب ٥ إلى ٥. يظهر القوس عند موجب 3 ويمتد السهم من الموجب 3 إلى اللانهاية الموجبة. يمتد السهم الموجود فوق خط الأعداد من 3 ويشير إلى اليسار. يطلق عليه «أرقام أقل من 3". يمتد السهم الموجود فوق خط الأعداد من 3 ويشير إلى اليمين. يطلق عليه «أرقام أكبر من 3". — الشكل$\PageIndex{2}$

الحل لـ$x>3$ هو الجزء المظلل من خط الأعداد على يمين$x=3$.

وبالمثل،$y=x+4$ يفصل الخط الطائرة إلى منطقتين. على جانب واحد من الخط توجد نقاط بـ$y<x+4$. على الجانب الآخر من الخط توجد النقاط ذات$y>x+4$. نسمي الخط$y=x+4$ خط الحدود.

خط الحدود

الخط مع المعادلة$Ax+By=C$ هو خط الحدود الذي يفصل المنطقة حيث$Ax+By>C$ من المنطقة$Ax+By<C$.

بالنسبة لعدم المساواة في متغير واحد، تظهر نقطة النهاية بقوس أو قوس اعتمادًا على ما إذا كان aa مضمنًا في الحل أم لا:

$يوضِّح الشكل خطي أرقام. يُطلق على خط الأرقام الموجود على اليسار اسم x بأنه أقل من a. يُظهر خط الأرقام قوسًا عند a وسهمًا يشير إلى اليسار. خط الأرقام الموجود على اليمين المسمى x أقل من أو يساوي a. يعرض خط الأرقام قوسًا عند a وسهمًا يشير إلى اليسار.$

وبالمثل، بالنسبة لعدم المساواة في متغيرين، يظهر خط الحدود بخط صلب أو متقطع للإشارة إلى ما إذا كان الخط مدرجًا في الحل أم لا. تم تلخيص هذا في الجدول$\PageIndex{1}$.

طاولة$\PageIndex{1}$
$Ax+By<C$	$Ax+By\leq C$
$Ax+By>C$	$Ax+By\geq C$
لم يتم تضمين خط الحدود في الحل.	يتم تضمين خط الحدود في الحل.
خط الحدود متقطع.	خط الحدود صلب.

الآن، دعونا نلقي نظرة على ما وجدناه في التمرين$\PageIndex{1}$. سنبدأ برسم الخط$y=x+4$، ثم سنرسم النقاط الخمس التي اختبرناها. انظر الشكل$\PageIndex{3}$.

يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. يتم رسم الخط y يساوي x زائد 4 كسهم يمتد من أسفل اليسار باتجاه أعلى اليمين. يتم رسم النقاط التالية وتسميتها (سالب 8، 12)، (1، 6)، (2، 6)، (0، 0)، و (سالب 5، سالب 15). — الشكل$\PageIndex{3}$

في التمرين$\PageIndex{1}$ وجدنا أن بعض النقاط كانت حلولًا لعدم المساواة$y>x+4$ والبعض الآخر لم يكن كذلك.

أي من النقاط التي رسمناها هي حلول لعدم المساواة$y>x+4$؟ $(−8,12)$النقاط$(1,6)$ والحلول لعدم المساواة$y>x+4$. لاحظ أن كلاهما على نفس الجانب من خط الحدود$y=x+4$.

تقع$(0,0)$$(−5,−15)$ النقطتان على الجانب الآخر من خط الحدود$y=x+4$، وهما ليستا حلولاً لعدم المساواة$y>x+4$. بالنسبة لهاتين النقطتين،$y<x+4$.

ماذا عن النقطة$(2,6)$؟ لأن$6=2+4$ النقطة هي الحل للمعادلة$y=x+4$. لذا فإن النقطة$(2,6)$ تقع على خط الحدود.

لنأخذ نقطة أخرى على الجانب الأيسر من خط الحدود ونختبر ما إذا كانت حلاً لعدم المساواة أم لا$y>x+4$. يبدو أن النقطة تبدو$(0,10)$ بوضوح على يسار خط الحدود، أليس كذلك؟ هل هو حل لعدم المساواة؟

\[\begin{array}{l}{y>x+4} \\ {10\stackrel{?}{>}0+4} \\ {10>4} &{\text{So, }(0,10)\text{ is a solution to }y>x+4.}\end{array}\]

أي نقطة تختارها على الجانب الأيسر من خط الحدود هي حل لعدم المساواة$y>x+4$. جميع النقاط على اليسار هي حلول.

وبالمثل، فإن جميع النقاط على الجانب الأيمن من خط الحدود، والجانب مع$(0,0)$ و$(−5,−15)$، ليست حلولاً لها$y>x+4$. انظر الشكل$\PageIndex{4}$.

يظهر الرسم البياني لعدم المساواة$y>x+4$ في الشكل$\PageIndex{5}$ أدناه. $y=x+4$يقسم الخط الطائرة إلى منطقتين. يُظهر الجانب المظلل حلول لعدم المساواة$y>x+4$.

النقاط الموجودة على خط الحدود، تلك التي توجد فيها$y=x+4$، ليست حلولًا لعدم المساواة$y>x+4$، وبالتالي فإن الخط نفسه ليس جزءًا من الحل. نظهر ذلك من خلال جعل الخط متقطعًا وليس صلبًا.

يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. يتم رسم الخط y يساوي x زائد 4 كسهم متقطع يمتد من أسفل اليسار باتجاه أعلى اليمين. المستوى الإحداثي في أعلى يسار الخط مظلل. — الشكل$\PageIndex{5}$: الرسم البياني لعدم المساواة y>x+4.

التمارين$\PageIndex{4}$

خط الحدود الموضح هو$y=2x−1$. اكتب عدم المساواة التي يوضحها الرسم البياني.

إجابة

الخط$y=2x−1$ هو خط الحدود. على أحد جانبي الخط توجد النقاط$y>2x−1$ ذات النقاط الموجودة على الجانب الآخر من الخط$y<2x−1$.

دعونا نختبر النقطة$(0,0)$ ونرى عدم المساواة التي تصف جانبها من خط الحدود.

في$(0,0)$، أي عدم المساواة صحيح:

\[\begin{array}{ll}{y>2 x-1} & {\text { or }} & {y<2 x-1 ?} \\ {y>2 x-1} && {y<2 x-1} \\ {0>2 \cdot 0-1} && {0<2 \cdot 0-1} \\ {0>-1 \text { True }} && {0<-1 \text { False }}\end{array}\]

بما$y>2x−1$ أن هذا صحيح، فإن جانب الخط مع$(0,0)$، هو الحل. تُظهر المنطقة المظللة حل عدم المساواة$y>2x−1$.

بما أن خط الحدود مرسوم بخط صلب، فإن عدم المساواة يتضمن علامة التساوي.

يوضِّح الرسم البياني عدم المساواة$y\geq 2x−1$.

يمكننا استخدام أي نقطة كنقطة اختبار، بشرط ألا تكون على الخط. لماذا اخترنا$(0,0)$؟ لأنه الأسهل في التقييم. قد ترغب في اختيار نقطة على الجانب الآخر من خط الحدود والتحقق من ذلك$y<2x−1$.

التمارين$\PageIndex{5}$

اكتب عدم المساواة التي يوضحها الرسم البياني مع خط الحدود$y=−2x+3$.

إجابة: $y\geq −2x+3$

التمارين$\PageIndex{6}$

اكتب عدم المساواة التي يوضحها الرسم البياني مع خط الحدود$y=\frac{1}{2}x−4$.

إجابة: $y \leq \frac{1}{2}x - 4$

التمارين$\PageIndex{7}$

خط الحدود الموضح هو$2x+3y=6$. اكتب عدم المساواة التي يوضحها الرسم البياني.

إجابة

الخط$2x+3y=6$ هو خط الحدود. على أحد جانبي الخط توجد النقاط$2x+3y>6$ ذات النقاط الموجودة على الجانب الآخر من الخط$2x+3y<6$.

دعونا نختبر النقطة$(0,0)$ ونرى عدم المساواة التي تصف جانبها من خط الحدود.

في$(0,0)$، أي عدم المساواة صحيح:

\[\begin{array}{rr}{2 x+3 y>6} && {\text { or } \quad 2 x+3 y<6 ?} \\ {2 x+3 y>6} && {2 x+3 y<6} \\ {2(0)+3(0)>6} & & {2(0)+3(0)<6} \\ {0} >6 & {\text { False }} & {0<6}&{ \text { True }}\end{array}\]

لذا فإن الجانب الأول$(0,0)$ هو الجانب الذي فيه$2x+3y<6$.

(قد ترغب في اختيار نقطة على الجانب الآخر من خط الحدود والتحقق من ذلك$2x+3y>6$.)

بما أن خط الحدود مرسوم بيانيًا كخط متقطع، فإن عدم المساواة لا يتضمن علامة المساواة.

يوضِّح الرسم البياني حل عدم المساواة$2x+3y<6$.

التمارين$\PageIndex{8}$

اكتب عدم المساواة التي تظهرها المنطقة المظللة في الرسم البياني مع خط الحدود$x−4y=8$.

إجابة: $x-4 y \leq 8$

التمارين$\PageIndex{9}$

اكتب عدم المساواة التي تظهرها المنطقة المظللة في الرسم البياني مع خط الحدود$3x−y=6$.

إجابة: $3 x-y \leq 6$

المتباينات الخطية للرسم

الآن، نحن على استعداد لوضع كل هذا معًا لرسم التفاوتات الخطية.

التمارين$\PageIndex{10}$: How to Graph Linear Inequalities

رسم بياني للتفاوت الخطي$y \geq \frac{3}{4} x-2$.

إجابة: $هذا الشكل عبارة عن جدول يحتوي على ثلاثة أعمدة وثلاثة صفوف. العمود الأول هو عمود العنوان، ويحتوي على أسماء وأرقام كل خطوة. يحتوي العمود الثاني على مزيد من التعليمات المكتوبة. يحتوي العمود الثالث على الرياضيات. في الصف العلوي من الجدول، تقرأ الخلية الأولى على اليسار: «الخطوة 1. حدد خط الحدود ورسمًا بيانيًا. إذا كان عدم المساواة أقل من أو يساوي أو يزيد عن أو يساوي، يكون خط الحدود صلبًا. إذا كان عدم المساواة أقل من أو أكبر من، يكون خط الحدود متقطعًا. ينص النص الموجود في الخلية الثانية على ما يلي: «استبدل علامة عدم المساواة بعلامة المساواة للعثور على خط الحدود. رسم بياني: خط الحدود y يساوي ثلاثة أرباع x ناقص 2. علامة عدم المساواة أكبر من أو تساوي، لذلك نرسم خطًا صلبًا. تحتوي الخلية الثالثة على الرسم البياني للخط ثلاثة أرباع x ناقص 2 على المستوى الإحداثي.$ $في الصف الثاني من الجدول، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 2. اختبر نقطة ليست على خط الحدود. هل هو حل لعدم المساواة؟ في الخلية الثانية، تقول التعليمات: «سنختبر (0، 0). هل هو حل لعدم المساواة؟» تسأل الخلية الثالثة: عند (0، 0)، هل y أكبر من أو يساوي ثلاثة أرباع x ناقص 2؟ يوجد أدناه التفاوت 0 أكبر من أو يساوي ثلاثة أرباع 0 ناقص 2، مع وجود علامة استفهام فوق رمز عدم المساواة. يوجد أدناه عدم المساواة 0 أكبر من أو يساوي سالب 2. فيما يلي: «إذن (0، 0) هو الحل.$ $في الصف الثالث من الجدول، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 3. ظل في جانب واحد من خط الحدود. إذا كانت نقطة الاختبار عبارة عن حل، فقم بالتظليل في الجانب الذي يتضمن النقطة. إذا لم تكن نقطة الاختبار حلاً، فقم بالتظليل في الجانب الآخر. في الخلية الثانية، تقول التعليمات: نقطة الاختبار (0، 0) هي حل لـ y أكبر من أو يساوي ثلاثة أرباع x ناقص 2. لذلك نتظليل في هذا الجانب». في الخلية الثالثة يوجد رسم بياني للخط بثلاثة أرباع x ناقص 2 على المستوى الإحداثي مع المنطقة فوق الخط المظللة.$

التمارين$\PageIndex{11}$

رسم بياني للتفاوت الخطي$y \geq \frac{5}{2} x-4$.

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. يتم رسم الخط y يساوي خمسة أنصاف × ناقص 4 كسهم صلب يمتد من أسفل اليسار باتجاه أعلى اليمين. المنطقة فوق الخط مظللة.$

التمارين$\PageIndex{12}$

رسم بياني للتفاوت الخطي$y<\frac{2}{3} x-5$.

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. يتم رسم الخط y يساوي الثلثين x ناقص 5 كسهم متقطع يمتد من أسفل اليسار باتجاه أعلى اليمين. المنطقة أسفل الخط مظللة.$

يتم تلخيص الخطوات التي نتخذها لرسم عدم المساواة الخطية هنا.

رسم بياني لعدم المساواة الخطية.

حدد خط الحدود ورسمًا بيانيًا.
- إذا كان عدم المساواة هو$≤$ أو$≥$، يكون خط الحدود صلبًا.
- إذا كان عدم المساواة هو$<$ أو$>$، يكون خط الحدود متقطعًا.
اختبر نقطة ليست على خط الحدود. هل هو حل لعدم المساواة؟
ظل في جانب واحد من خط الحدود.
- إذا كانت نقطة الاختبار عبارة عن حل، فقم بالتظليل في الجانب الذي يتضمن النقطة.
- إذا لم تكن نقطة الاختبار حلاً، فقم بالتظليل في الجانب الآخر.

التمارين$\PageIndex{13}$

رسم بياني للتفاوت الخطي$x−2y<5$.

إجابة

أولاً نرسم خط الحدود$x−2y=5$. عدم المساواة هو$<$ أننا نرسم خطًا متقطعًا.

$يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. يتم رسم الخط x ناقص 2 y يساوي 5 كسهم متقطع يمتد من أسفل اليسار باتجاه أعلى اليمين.$

ثم نختبر نقطة. سنستخدمها$(0,0)$ مرة أخرى لأنها سهلة التقييم وليست على خط الحدود.

هو$(0,0)$ حل لـ$x−2y<5$؟

$يوضح الشكل أن عدم المساواة 0 ناقص 2 في 0 بين قوسين أقل من 5، مع وجود علامة استفهام أعلى رمز عدم المساواة. يُظهر السطر التالي أن 0 ناقص 0 أقل من 5، مع وجود علامة استفهام أعلى رمز عدم المساواة. يوضح السطر الثالث أن 0 أقل من 5.$

النقطة$(0,0)$ هي الحل$x−2y<5$، لذلك نحن نغلق في هذا الجانب من خط الحدود.

التمارين$\PageIndex{14}$

رسم بياني للتفاوت الخطي$2x−3y\leq 6$.

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. يتم رسم الخط 2 × ناقص 3 y يساوي 6 كسهم صلب يمتد من أسفل اليسار باتجاه أعلى اليمين. المنطقة فوق الخط مظللة.$

التمارين$\PageIndex{15}$

رسم بياني للتفاوت الخطي$2x−y>3$.

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. يتم رسم الخط 2 x ناقص y يساوي 3 كسهم متقطع يمتد من أسفل اليسار باتجاه أعلى اليمين. المنطقة أسفل الخط مظللة.$

ماذا لو كان خط الحدود يمر عبر نقطة الأصل؟ ثم لن نتمكن من استخدامها$(0,0)$ كنقطة اختبار. لا مشكلة - سنختار فقط نقطة أخرى ليست على خط الحدود.

التمارين$\PageIndex{16}$

رسم بياني للتفاوت الخطي$y\leq −4x$.

إجابة

أولاً نرسم خط الحدود$y=−4x$. وهو في شكل منحدر ومعترض، مع$m=−4$ و$b=0$. عدم المساواة هو$≤$ أننا نرسم خطًا صلبًا.

$يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. الخط s y يساوي سالب 4 x يتم رسمه كسهم صلب يمتد من أعلى اليسار باتجاه أسفل اليمين.$

الآن، نحن بحاجة إلى نقطة اختبار. يمكننا أن نرى أن النقطة$(1,0)$ ليست على خط الحدود.

هو$(1,0)$ حل لـ$y≤−4x$؟

$يوضح الشكل أن 0 أقل من أو يساوي سالب 4 في 1 بين قوسين، مع وجود علامة استفهام أعلى رمز عدم المساواة. يُظهر السطر التالي أن 0 لا يقل عن أو يساوي سالب 4.$

هذه النقطة$(1,0)$ ليست حلاً لها$y≤−4x$، لذلك نتظليل في الجانب الآخر من خط الحدود. انظر الشكل$\PageIndex{6}$.

يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. الخط y يساوي سالب 4 x يتم رسمه كسهم صلب يمتد من أعلى اليسار باتجاه أسفل اليمين. يتم رسم النقطة (1، 0) ولكن لم يتم تصنيفها. المنطقة الموجودة على يسار الخط مظللة. — الشكل$\PageIndex{6}$

التمارين$\PageIndex{17}$

رسم بياني للتفاوت الخطي$y>−3x$.

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. الخط y يساوي سالب 3 x يتم رسمه كسهم متقطع يمتد من أعلى اليسار باتجاه أسفل اليمين. المنطقة الموجودة على يمين الخط مظللة.$

التمارين$\PageIndex{18}$

رسم بياني للتفاوت الخطي$y\geq −2x$.

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. الخط y يساوي سالب 2 x يتم رسمه كسهم صلب يمتد من أعلى اليسار باتجاه أسفل اليمين. المنطقة الموجودة على يمين الخط مظللة.$

تحتوي بعض المتباينات الخطية على متغير واحد فقط. قد يكون لديهم$x$ ولكن لا$y$، أو$y$ ولكن لا$x$. في هذه الحالات، سيكون خط الحدود إما خطًا رأسيًا أو أفقيًا. هل تتذكر؟

$\begin{array}{ll}{x=a} & {\text { vertical line }} \\ {y=b} & {\text { horizontal line }}\end{array}$

التمارين$\PageIndex{19}$

رسم بياني للتفاوت الخطي$y>3$.

إجابة

أولاً نرسم خط الحدود$y=3$. إنه خط أفقي. عدم المساواة هو$>$ أننا نرسم خطًا متقطعًا.

نحن نختبر هذه النقطة$(0,0)$.

\[y>3 \\ 0\not>3\]

$(0,0)$ليس حلاً لـ$y>3$.

لذلك نقوم بتظليل الجانب الذي لا يتضمن$(0,0)$.

التمارين$\PageIndex{20}$

رسم بياني للتفاوت الخطي$y<5$.

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. يتم رسم الخط y يساوي 5 كسهم متقطع أفقيًا عبر المستوى. المنطقة فوق الخط مظللة.$

التمارين$\PageIndex{21}$

رسم بياني للتفاوت الخطي$y \leq-1$.

إجابة: $يوضِّح الرسم البياني المستوى الإحداثي x y. يمتد كل من المحاور x و y من سالب 10 إلى 10. يتم رسم الخط y يساوي سالب 1 كسهم متقطع أفقيًا عبر المستوى. المنطقة أسفل الخط مظللة.$

المفاهيم الرئيسية

رسم بياني لمتباينة خطية
1. حدد خط الحدود ورسمًا بيانيًا.
  إذا كان عدم المساواة هو$≤$ أو$≥$، يكون خط الحدود صلبًا.
  إذا كان عدم المساواة هو$<$ أو$>$، يكون خط الحدود متقطعًا.
2. اختبر نقطة ليست على خط الحدود. هل هو حل لعدم المساواة؟
3. ظل في جانب واحد من خط الحدود.
  إذا كانت نقطة الاختبار عبارة عن حل، فقم بالتظليل في الجانب الذي يتضمن النقطة.
  إذا لم تكن نقطة الاختبار حلاً، فقم بالتظليل في الجانب الآخر.

مسرد المصطلحات

خط الحدود: الخط ذو المعادلة$A x+B y=C$ التي تفصل المنطقة التي تقع فيها$A x+B y>C$ عن المنطقة التي يوجد فيها$A x+B y<C$.

عدم المساواة الخطية: عدم المساواة التي يمكن كتابتها في أحد النماذج التالية:
\[A x+B y>C \quad A x+B y \geq C \quad A x+B y<C \quad A x+B y \leq C\]
أين$A$ وليس$B$ كلاهما صفرًا.

حل عدم المساواة الخطية: الزوج المرتب$(x,\,y)$ هو حل لعدم المساواة الخطية، ويكون عدم المساواة صحيحًا عندما نستبدل قيم$x$ و$y$.

عدم المساواة الخطية

حل عدم المساواة الخطية

التمارين\(\PageIndex{1}\)

التمارين\(\PageIndex{2}\)

التمارين\(\PageIndex{3}\)

خط الحدود

التمارين\(\PageIndex{4}\)

التمارين\(\PageIndex{5}\)

التمارين\(\PageIndex{6}\)

التمارين\(\PageIndex{7}\)

التمارين\(\PageIndex{8}\)

التمارين\(\PageIndex{9}\)

التمارين\(\PageIndex{10}\): How to Graph Linear Inequalities

التمارين\(\PageIndex{11}\)

التمارين\(\PageIndex{12}\)

رسم بياني لعدم المساواة الخطية.

التمارين\(\PageIndex{13}\)

التمارين\(\PageIndex{14}\)

التمارين\(\PageIndex{15}\)

التمارين\(\PageIndex{16}\)

التمارين\(\PageIndex{17}\)

التمارين\(\PageIndex{18}\)

التمارين\(\PageIndex{19}\)

التمارين\(\PageIndex{20}\)

التمارين\(\PageIndex{21}\)

\((0,0)\)		$.$
$.$		$.$
قم بالتبسيط.		$.$ لذلك،\((0,0)\) ليس حلاً لـ\(y>x+4\).

\((1,6)\)		$.$
$.$		$.$
قم بالتبسيط.		$.$ لذلك،\((1,6)\) هو الحل لـ\(y>x+4\).

\((2,6)\)		$.$
$.$		$.$
قم بالتبسيط.		$.$ لذلك،\((2,6)\) ليس حلاً لـ\(y>x+4\).

\((−5,−15)\)		$.$
$.$		$.$
قم بالتبسيط.		$.$ لذلك،\((−5,−15)\) ليس حلاً لـ\(y>x+4\).

(−8,12)		$.$
$.$		$.$
قم بالتبسيط.		$.$ لذلك،\((−8,12)\) هو الحل لـ\(y>x+4\).

\(Ax+By<C\)	\(Ax+By\leq C\)
\(Ax+By>C\)	\(Ax+By\geq C\)
لم يتم تضمين خط الحدود في الحل.	يتم تضمين خط الحدود في الحل.
خط الحدود متقطع.	خط الحدود صلب.