3.6: حل التطبيقات ذات المتباينات الخطية

Last updated
Save as PDF

Page ID: 200371

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

حل التطبيقات ذات المتباينات الخطية

ملاحظة

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

اكتب على هيئة عدم مساواة: x يساوي 30 على الأقل.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.7.34.
حل$8−3y<41$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.7.22.

حل التطبيقات ذات المتباينات الخطية

تتطلب العديد من مواقف الحياة الواقعية حل عدم المساواة. في الواقع، تطبيقات عدم المساواة شائعة جدًا لدرجة أننا غالبًا لا ندرك أننا نقوم بالجبر. على سبيل المثال، كم عدد غالونات الغاز التي يمكن وضعها في السيارة مقابل 20 دولارًا؟ هل الإيجار على شقة ميسور التكلفة؟ هل هناك وقت كافٍ قبل الفصل للذهاب لتناول الغداء وتناوله والعودة؟ كم من المال يجب أن تكلف هدية العيد لكل فرد من أفراد الأسرة دون تجاوز الميزانية؟

الطريقة التي سنستخدمها لحل التطبيقات ذات التفاوتات الخطية تشبه إلى حد كبير الطريقة التي استخدمناها عندما قمنا بحل التطبيقات باستخدام المعادلات. سنقرأ المشكلة ونتأكد من فهم جميع الكلمات. بعد ذلك، سنحدد ما نبحث عنه ونخصص متغيرًا لتمثيله. سنعيد ذكر المشكلة في جملة واحدة لتسهيل ترجمتها إلى عدم المساواة. ثم سنحل عدم المساواة.

التمارين$\PageIndex{1}$

حصلت إيما على وظيفة جديدة وسيتعين عليها الانتقال. سيكون دخلها الشهري 5,265 دولارًا. للتأهل لاستئجار شقة، يجب أن يكون الدخل الشهري لإيما ثلاثة أضعاف الإيجار على الأقل. ما هو أعلى إيجار تتأهل له إيما؟

إجابة: \(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the highest rent Emma will qualify for}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let r = rent}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate} \text{ into an inequality.}} &{} \\{} &{\text{Emma’s monthly income must be at least}} \\ {\text{First write a sentence that gives the information}} &{\text{three times the rent.}} \\ {\text{to find it.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{5265 \geq 3r} \\ {\text{Remember, } a > x\text{ has the same meaning}} &{1755 \geq r} \\ {\text{as }x < a} &{r \leq 1755} \\ {\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{A maximum rent of \$1,755 seems}} &{} \\ {\text{reasonable for an income of \$5,265.}} &{} \\ {\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{The maximum rent is \$1,755.}} \end{array}\)

التمارين$\PageIndex{2}$

يقوم آلان بتحميل منصة نقالة بصناديق تزن كل منها 45 رطلاً. يمكن للمنصة أن تدعم بأمان ما لا يزيد عن 900 رطل. كم عدد الصناديق التي يمكنه تحميلها بأمان على البليت؟

إجابة: لا يمكن أن يكون هناك أكثر من 20 صندوقًا.

التمارين$\PageIndex{3}$

يحتوي المصعد الموجود في مبنى شقق Yehire على لافتة تشير إلى أن الحد الأقصى للوزن هو 2100 رطل. إذا كان متوسط وزن الشخص الواحد 150 رطلاً، فما عدد الأشخاص الذين يمكنهم ركوب المصعد بأمان؟

إجابة: يمكن لـ 14 شخصًا كحد أقصى الركوب بأمان في المصعد.

في بعض الأحيان يتطلب التطبيق أن يكون الحل رقمًا صحيحًا، لكن الحل الجبري لعدم المساواة ليس رقمًا صحيحًا. في هذه الحالة، يجب علينا تقريب الحل الجبري إلى عدد صحيح. سيحدد سياق التطبيق ما إذا كنا نقوم بالتقريب لأعلى أم لأسفل. للتحقق من تطبيقات مثل هذه، سنقوم بتقريب إجابتنا إلى رقم يسهل حسابه والتأكد من أن هذا الرقم يجعل عدم المساواة صحيحًا.

التمارين$\PageIndex{4}$

فازت داون بمنحة صغيرة قدرها 4,000 دولار لشراء أجهزة كمبيوتر لوحية لفصلها الدراسي. تبلغ تكلفة الأجهزة اللوحية التي ترغب في شرائها 254.12 دولارًا لكل منها، بما في ذلك الضرائب والتسليم. ما هو الحد الأقصى لعدد الأجهزة اللوحية التي يمكن لـ Dawn شراؤها؟

إجابة: \(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the maximum number of tablets Dawn can buy}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let n = the number of tablets.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$254.12\text{ times the number of tablets is no}} \\ {} &{\text{more than \$4000.}} \\ {\text{Translate into an inequality.}} &{254.12n \leq 4000} \\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{n \leq 15.74} \\ {\text{But n must be a whole number of tablets,}} &{} \\ {\text{so round to 15.}} &{n \leq 15}\\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{16 tablets would be \$4000. So a}} &{} \\{\text{maximum of 15 tablets at \$254.12}} &{} \\ {\text{seems reasonable.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{Dawn can buy a maximum of 15 tablets.}} \end{array}\)

التمارين$\PageIndex{5}$

لدى أنجي 20 دولارًا لإنفاقها على علب العصير لنزهة ابنها في مرحلة ما قبل المدرسة. تبلغ تكلفة كل علبة من علب العصير 2.63 دولارًا. ما هو الحد الأقصى لعدد الباقات التي يمكنها شراؤها؟

إجابة: سبع عبوات

التمارين$\PageIndex{6}$

يريد دانيال مفاجأة صديقته بحفلة عيد ميلاد في مطعمها المفضل. تبلغ تكلفة العشاء 42.75 دولارًا للشخص الواحد، بما في ذلك الإكرامية والضرائب. تبلغ ميزانيته للحفلة 500 دولار. ما هو الحد الأقصى لعدد الأشخاص الذين يمكن أن يستضيفهم دانيال في الحفلة؟

إجابة: 11 أشخاص

التمارين$\PageIndex{7}$

يعمل بيت في متجر كمبيوتر. سيكون راتبه الأسبوعي إما مبلغًا ثابتًا، 925 دولارًا، أو 500 دولارًا بالإضافة إلى 12٪ من إجمالي مبيعاته. كم يجب أن يكون إجمالي مبيعاته لخيار الدفع المتغير الخاص به ليتجاوز المبلغ الثابت البالغ 925 دولارًا؟

إجابة: \(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the total sales needed for his variable pay}} \\ {} &{\text{option to exceed the fixed amount of \$925}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let s = the total sales.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$500\text{ plus 12% of total sales is more than \$925.}} \\ {\text{Translate into an inequality. Remember to}} &{500 + 0.12s > 925} \\{\text{convert the percent to a decimal.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.12s > 425} \\ {} &{s > 3541.\overline{66}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{If we round the total sales up to}} &{} \\{\text{\$4000, we see that}} &{} \\ {\text{500+0.12(4000) = 980, which is more}} &{} \\ {\text{than \$925.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{The total sales must be more than \$3541.67}} \end{array}\)

التمارين$\PageIndex{8}$

تخرجت تيفاني للتو من الكلية وستدفع لها وظيفتها الجديدة 20000 دولار سنويًا بالإضافة إلى 2٪ من جميع المبيعات. إنها تريد أن تكسب ما لا يقل عن 100000 دولار سنويًا. ما هو إجمالي المبيعات التي ستتمكن من تحقيق هدفها؟

إجابة: ما لا يقل عن 4000000 دولار

التمارين$\PageIndex{9}$

عُرض على كريستيان وظيفة جديدة تدفع 24000 دولار سنويًا بالإضافة إلى 3٪ من المبيعات. ما إجمالي المبيعات التي ستدفعها هذه الوظيفة الجديدة أكثر من وظيفته الحالية التي تدفع 60000 دولار؟

إجابة: 1200000 دولار على الأقل

التمارين$\PageIndex{10}$

لدى سيرجيو وليزيث ميزانية عطلة ضيقة للغاية. إنهم يخططون لاستئجار سيارة من شركة تتقاضى 75 دولارًا في الأسبوع بالإضافة إلى 0.25 دولارًا للميل. كم عدد الأميال التي يمكنهم قطعها وما زالوا في حدود ميزانيتها البالغة 200 دولار؟

إجابة: \(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of miles Sergio and Lizeth can travel}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let m = the number of miles.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$75 plus 0.25 times the number of miles is}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{75 + 25m \leq 200} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.25m \leq 125} \\ {} &{m \leq 500 \text{ miles}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Yes, 75 + 0.25(500) = 200.}} & {}\\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Sergio and Lizeth can travel 500 miles}} \\ {} &{\text{and still stay on budget.}} \end{array}\)

التمارين$\PageIndex{11}$

تكلفها خطة هاتف تاليشا 28.80 دولارًا شهريًا بالإضافة إلى 0.20 دولارًا لكل رسالة نصية. كم عدد الرسائل النصية التي يمكنها استخدامها والاحتفاظ بفاتورة هاتفها الشهرية بما لا يزيد عن 50 دولارًا؟

إجابة: لا يزيد عن 106 رسالة نصية

التمارين$\PageIndex{12}$

تبلغ فاتورة التدفئة الخاصة بـ Rameen 5.42 دولارًا شهريًا بالإضافة إلى 1.08 دولارًا لكل فصل حراري. كم عدد الترمس الذي يمكن لرامين استخدامه إذا كان يريد أن تكون فاتورة التدفئة بحد أقصى 87.50 دولارًا؟

إجابة: لا يزيد عن 76 درجة حرارية

الهدف المشترك لمعظم الشركات هو تحقيق الربح. الربح هو المال المتبقي عندما يتم خصم النفقات من الأموال المكتسبة. في المثال التالي، سنجد عدد الوظائف التي يحتاج رجل أعمال صغير إلى القيام بها كل شهر من أجل تحقيق قدر معين من الربح.

التمارين$\PageIndex{13}$

لدى Elliot أعمال صيانة المناظر الطبيعية. نفقاته الشهرية هي 1,100 دولار. إذا كان يتقاضى 60 دولارًا لكل وظيفة، فكم عدد الوظائف التي يجب أن يقوم بها لكسب ربح لا يقل عن 4,000 دولار شهريًا؟

إجابة: \(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of jobs Elliot needs}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent it}} &{\text{Let j = the number of jobs.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$60 times the number of jobs minus \$1,100 is at least \$4,000.}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{60j - 1100 \geq 4000} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{60j \geq 5100} \\ {} &{j \geq 85\text{ jobs}} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{If Elliot did 90 jobs, his profit would be}} & {}\\ {\text{60(90)−1,100,or \$4,300. This is}} &{} \\ {\text{more than \$4,000.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Elliot must work at least 85 jobs.}} \end{array}\)

التمارين$\PageIndex{14}$

لدى كاليب شركة لتربية الحيوانات الأليفة. يتقاضى 32 دولارًا في الساعة. نفقاته الشهرية هي 2272 دولارًا. كم ساعة يجب أن يعمل من أجل تحقيق ربح لا يقل عن 800 دولار شهريًا؟

إجابة: 96 ساعة على الأقل

التمارين$\PageIndex{15}$

فيليسيتي لديها شركة في مجال الخط. تتقاضى 2.50 دولارًا لكل دعوة زفاف. مصروفاتها الشهرية هي 650 دولارًا. كم عدد الدعوات التي يجب أن تكتبها لتحقيق ربح لا يقل عن 2800 دولارًا شهريًا؟

إجابة: 1380 دعوة على الأقل

في بعض الأحيان تصبح الحياة معقدة! هناك العديد من الحالات التي تساهم فيها عدة كميات في إجمالي النفقات. يجب أن نتأكد من حساب جميع النفقات الفردية عندما نحل مشاكل مثل هذه.

التمارين$\PageIndex{16}$

سيقيم أفضل صديق لبريندا حفل زفاف في الوجهة وسيستمر الحدث 3 أيام. لدى بريندا 500 دولار من المدخرات ويمكنها كسب 15 دولارًا في الساعة من مجالسة الأطفال. وتتوقع أن تدفع 350 دولارًا للسفر بالطائرة، و375 دولارًا للطعام والترفيه، و60 دولارًا في الليلة مقابل حصتها من غرفة فندق. كم عدد الساعات التي يجب أن تجالسها للحصول على ما يكفي من المال لدفع ثمن الرحلة؟

إجابة: \(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of hours Brenda must babysit}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{\text{Let h = the number of hours.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{} \\ {} &{\text{The expenses must be less than or equal to}} \\ {} &{\text{the income. The cost of airfare plus the}} \\ {} &{\text{cost of food and entertainment and the}} \\ {} &{\text{hotel bill must be less than or equal to the savings}} \\ {} &{\text{plus the amount earned babysitting.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{\$350 + \$375 + \$60(3) \leq \$500 + \$15h} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{905 \leq 500 + 15h} \\{} &{405 \leq 15h} \\ {} &{27 \leq h} \\ {} &{h \geq 27} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{We substitute 27 into the inequality.}} & {}\\{905 \leq 500 + 15h} &{} \\ {905 \leq 500 + 15(27)} &{} \\ {905 \leq 905} &{} \\ \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Brenda must babysit at least 27 hours.}} \end{array}\)

التمارين$\PageIndex{17}$

يخطط مالك لرحلة إجازة صيفية لمدة 6 أيام. لديه 840 دولارًا من المدخرات، ويكسب 45 دولارًا في الساعة مقابل الدروس الخصوصية. ستكلفه الرحلة 525 دولارًا للسفر بالطائرة، و 780 دولارًا للطعام ومشاهدة المعالم السياحية، و 95 دولارًا في الليلة للفندق. كم عدد الساعات التي يجب أن يعلمها للحصول على ما يكفي من المال لدفع ثمن الرحلة؟

إجابة: 23 ساعة على الأقل

التمارين$\PageIndex{18}$

يريد Josue الذهاب في رحلة برية لمدة 10 أيام في الربيع المقبل. سيكلفه 180 دولارًا للغاز، و 450 دولارًا للطعام، و 49 دولارًا في الليلة لفندق. لديه 520 دولارًا في المدخرات ويمكنه كسب 30 دولارًا لكل ممر يجرف الثلج. كم عدد الممرات التي يجب أن يجارفها للحصول على ما يكفي من المال لدفع ثمن الرحلة؟

إجابة: ما لا يقل عن 20 ممرًا

المفاهيم الرئيسية

حل عدم المساواة
1. اقرأ المشكلة.
2. حدد ما نبحث عنه.
3. اذكر ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
4. ترجم. اكتب جملة تعطي المعلومات للعثور عليها. ترجم إلى عدم المساواة.
5. حل عدم المساواة.
6. تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
7. أجب على السؤال بجملة كاملة.

التمارين\(\PageIndex{1}\)

التمارين\(\PageIndex{2}\)

التمارين\(\PageIndex{3}\)

التمارين\(\PageIndex{4}\)

التمارين\(\PageIndex{5}\)

التمارين\(\PageIndex{6}\)

التمارين\(\PageIndex{7}\)

التمارين\(\PageIndex{8}\)

التمارين\(\PageIndex{9}\)

التمارين\(\PageIndex{10}\)

التمارين\(\PageIndex{11}\)

التمارين\(\PageIndex{12}\)

التمارين\(\PageIndex{13}\)

التمارين\(\PageIndex{14}\)

التمارين\(\PageIndex{15}\)

التمارين\(\PageIndex{16}\)

التمارين\(\PageIndex{17}\)

التمارين\(\PageIndex{18}\)