3.1: استخدم استراتيجية حل المشكلات

Last updated
Save as PDF

Page ID: 200329

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

تعامل مع مشاكل الكلمات بموقف إيجابي
استخدم استراتيجية حل المشكلات لمشاكل الكلمات
حل مشاكل الأرقام

ملاحظة

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

ترجم «٦ أقل من مرتين x» إلى تعبير جبري.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.3.43.
حل:$\frac{2}{3}x=24$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.2.10.
حل:$3x+8=14$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.3.1.

تعامل مع مشاكل الكلمات بموقف إيجابي

«إذا كنت تعتقد أنك تستطيع... أو تعتقد أنك لا تستطيع... فأنت على حق.» —هنري فورد

العالم مليء بالمشاكل الكلامية! هل سيؤهلني دخلي لاستئجار تلك الشقة؟ ما مقدار اللكمة التي أحتاجها للحفلة؟ ما هو حجم الماس الذي يمكنني تحمله لشراء صديقتي؟ هل يجب أن أسافر أو أقود سيارتي إلى لم شمل عائلتي؟ ما مقدار المال الذي أحتاجه لملء السيارة بالغاز؟ ما مقدار الإكرامية التي يجب أن أتركها في المطعم؟ كم عدد الجوارب التي يجب أن أحزمها للعطلة؟ ما حجم الديك الرومي الذي أحتاج إلى شرائه لعشاء عيد الشكر، ثم ما هو الوقت الذي أحتاجه لوضعه في الفرن؟ إذا اشتريت أنا وأختي هدية لوالدتنا، فكم يدفع كل منا؟

الآن بعد أن تمكنا من حل المعادلات، نحن على استعداد لتطبيق مهاراتنا الجديدة على المسائل الكلامية. هل تعرف أي شخص لديه تجارب سلبية في الماضي مع مشاكل الكلمات؟ هل سبق لك أن راودتك أفكار مثل الطالب أدناه (الشكل$\PageIndex{1}$)؟

يظهر طالب بفقاعات فكرية تقول «لا أعرف ما إذا كنت يجب الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة! ،» «أنا لا أفهم مشاكل الكلمات! «،» لم يشرح أساتذتي هذا أبدًا! «،» «إذا تخطيت جميع مشاكل الكلمات، ربما لا يزال بإمكاني اجتياز الفصل»، و «لا يمكنني القيام بذلك!» — الشكل$\PageIndex{1}$: يمكن أن تكون الأفكار السلبية حواجز أمام النجاح.

عندما نشعر بأننا لا نملك السيطرة، ونستمر في تكرار الأفكار السلبية، نضع حواجز أمام النجاح. نحن بحاجة إلى تهدئة مخاوفنا وتغيير مشاعرنا السلبية.

ابدأ بقائمة جديدة وابدأ في التفكير بأفكار إيجابية. إذا تحكمنا في الأمر واعتقدنا أننا يمكن أن نكون ناجحين، فسوف نكون قادرين على إتقان مشاكل الكلمات! اقرأ الأفكار الإيجابية في الشكل$\PageIndex{2}$ وقلها بصوت عالٍ.

يظهر طالب بفقاعات فكرية تقول «بينما كانت مشاكل الكلمات صعبة في الماضي، أعتقد أنني أستطيع تجربتها الآن»، «أنا مستعد بشكل أفضل الآن. أعتقد أنني سأبدأ في فهم مشاكل الكلمات «،» أعتقد أنني أستطيع ذلك! أعتقد أنني أستطيع! ،» و «قد يستغرق الأمر وقتًا، ولكن يمكنني البدء في حل مشكلات الكلمات». — الشكل$\PageIndex{2}$: التفكير في الأفكار الإيجابية هو الخطوة الأولى نحو النجاح.

فكر في شيء، خارج المدرسة، يمكنك القيام به الآن ولكن لم تتمكن من القيام به منذ 3 سنوات. هل تقود سيارة؟ التزلج على الجليد؟ هل تطبخ وجبة شهية؟ هل تتحدث لغة جديدة؟ حدثت تجاربك السابقة مع مشاكل الكلمات عندما كنت أصغر سنًا - أنت الآن أكبر سنًا ومستعدًا للنجاح!

استخدم إستراتيجية حل المشكلات لمشاكل الكلمات

لقد راجعنا ترجمة العبارات الإنجليزية إلى تعبيرات جبرية، باستخدام بعض المفردات والرموز الرياضية الأساسية. لقد قمنا أيضًا بترجمة الجمل الإنجليزية إلى معادلات جبرية وحل بعض مشاكل الكلمات. طبقت مسائل الكلمات الرياضيات على مواقف الحياة اليومية. قمنا بإعادة صياغة الموقف في جملة واحدة، وخصصنا متغيرًا، ثم كتبنا معادلة لحل المشكلة. تعمل هذه الطريقة طالما أن الموقف مألوف والرياضيات ليست معقدة للغاية.

الآن، سنقوم بتوسيع استراتيجيتنا حتى نتمكن من استخدامها لحل أي مشكلة لغوية بنجاح. سنقوم بإدراج الاستراتيجية هنا، ثم سنستخدمها لحل بعض المشاكل. نلخص أدناه استراتيجية فعالة لحل المشكلات.

استخدم استراتيجية حل المشكلات لحل مشاكل الكلمات.

اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.
حدد ما نبحث عنه.
اذكر ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
ترجم إلى معادلة. قد يكون من المفيد إعادة ذكر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة جبرية.
حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
أجب على السؤال بجملة كاملة.

التمارين$\PageIndex{1}$

اشترت بيلار محفظة للبيع$$18$ بسعر نصف السعر الأصلي. ما هو السعر الأصلي للمحفظة؟

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. اقرأ المشكلة مرتين أو أكثر إذا لزم الأمر. ابحث عن أي كلمات غير مألوفة في القاموس أو على الإنترنت.

في هذه المشكلة، هل من الواضح ما الذي تتم مناقشته؟ هل كل كلمة مألوفة؟

Let p = السعر الأصلي للمحفظة.

الخطوة 2. حدد ما تبحث عنه. هل سبق لك أن ذهبت إلى غرفة نومك للحصول على شيء ثم نسيت ما كنت تبحث عنه؟ من الصعب العثور على شيء ما إذا لم تكن متأكدًا من ماهيته! اقرأ المشكلة مرة أخرى وابحث عن الكلمات التي تخبرك بما تبحث عنه!

في هذه المشكلة، تخبرنا الكلمات «ما هو السعر الأصلي للمحفظة» بما نحتاج إلى العثور عليه.

الخطوة 3. اذكر ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية. يمكننا استخدام أي حرف للمتغير، ولكن اختر حرفًا يجعل من السهل تذكر ما يمثله.

الخطوة 4. ترجم إلى معادلة. قد يكون من المفيد إعادة ذكر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة. ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة جبرية.

أعد قراءة المشكلة بعناية لمعرفة كيفية ارتباط المعلومات المقدمة. غالبًا ما تكون هناك جملة واحدة تعطي هذه المعلومات، أو قد تساعد في كتابة جملة واحدة تحتوي على جميع المعلومات المهمة. ابحث عن كلمات مفيدة للمساعدة في ترجمة الجملة إلى الجبر. ترجم الجملة إلى معادلة.

كرر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة.	$\color{cyan} \underbrace{\strut \color{black}\mathbf{18}} \quad \underbrace{\strut \color{black}\textbf{ is }} \quad \underbrace{\color{black}\textbf{one-half the original price.}}$
ترجم إلى معادلة.	$18 \qquad = \qquad \qquad \qquad \frac{1}{2}\cdot p$

الخطوة 5. حل المعادلة باستخدام تقنيات جبرية جيدة. حتى لو كنت تعرف الحل على الفور، فإن استخدام التقنيات الجبرية الجيدة هنا سيعدك بشكل أفضل لحل المشكلات التي لا تحتوي على إجابات واضحة.

حل المعادلة.	$18 = \frac{1}{2}p$
اضرب كلا الجانبين في 2.	$ {\color{red}{2}}\cdot 18 = {\color{red}{2}}\cdot \frac{1}{2}p $
قم بالتبسيط.	$36 = p$

الخطوة 6. تحقق من الإجابة في المشكلة للتأكد من أنها منطقية. لقد حللنا المعادلة ووجدنا ذلك$p=36$، مما يعني أن «السعر الأصلي» كان$$36$.

هل 36 دولارًا منطقية في المشكلة؟ نعم، لأن 18 هي نصف 36، وكانت المحفظة معروضة للبيع بنصف السعر الأصلي.

إذا كان هذا تمرينًا منزليًا، فقد يبدو عملنا كما يلي:

اشترت بيلار محفظة للبيع$$18$ بسعر نصف السعر الأصلي. ما هو السعر الأصلي للمحفظة؟

الخطوة 7. أجب على السؤال بجملة كاملة. سألت المشكلة «ما هو السعر الأصلي للمحفظة؟»

الإجابة على السؤال هي: «السعر الأصلي للمحفظة كان 36 دولارًا».

	دع$p =$ السعر الأصلي.
	$18$هو نصف السعر الأصلي.
	$18 = \frac{1}{2}p$
اضرب كلا الجانبين في$2$.	$ {\color{red}{2}}\cdot 18 = {\color{red}{2}}\cdot \frac{1}{2}p $
قم بالتبسيط.	$36 = p$
تحقق. هل سعر$$36$ معقول للمحفظة؟
نعم.
$18$هو نصف$36$؟
$18 \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\cdot 36$
$18 = 18\checkmark$
	كان السعر الأصلي للمحفظة$$36$.

التمارين$\PageIndex{2}$

اشترى Joquin خزانة كتب للبيع$$120$ بسعر يمثل ثلثي السعر الأصلي. ما هو السعر الأصلي لخزانة الكتب؟

إجابة: $$180$

التمارين$\PageIndex{3}$

خُمسي الأغاني في قائمة تشغيل Mariel هي أغاني ريفية. إذا كانت هناك أغاني$16$ ريفية، فما إجمالي عدد الأغاني في قائمة التشغيل؟

إجابة: $40$

دعونا نجرب هذا النهج مع مثال آخر.

التمارين$\PageIndex{4}$

شكلت جيني وزملاؤها مجموعة دراسة. كان عدد الفتيات في مجموعة الدراسة أكثر بثلاث مرات من ضعف عدد الأولاد. كانت هناك$11$ فتيات في مجموعة الدراسة. كم عدد الأولاد في مجموعة الدراسة؟

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	كم عدد الأولاد في مجموعة الدراسة؟
الخطوة 3. اسم. اختر متغيرًا لتمثيل عدد الأولاد.	$n=$دع عدد الأولاد.
الخطوة 4. ترجم. كرر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة.	$\color{cyan} \underbrace{\color{black}\textbf{The number}\\ \color{black}\textbf{of girls}(11)} \quad \underbrace{\strut \text{ } \\ \color{black}\textbf{was}} \quad \underbrace{\color{black}\textbf{three more than}\\ \color{black}\textbf{twice the number of boys}}$
ترجم إلى معادلة.	$\qquad 11 \qquad \quad = \qquad \qquad \quad 2b + 3$
الخطوة 5. حل المعادلة.	$\quad 11 = 2b + 3 $
اطرح 3 من كل جانب.	$\quad 11 \,{\color{red}{- \,3}} = 2b + 3 \,{\color{red}{- \,3}} $
قم بالتبسيط.	$\quad 8 = 2b $
قسّم كل جانب على 2.	$ \quad \dfrac{8}{\color{red}{2}}=\dfrac{2b}{\color{red}{2}} $
قم بالتبسيط.	$\quad 4 = b$
الخطوة 6. تحقق. أولاً، هل إجابتنا معقولة؟ نعم، يبدو وجود$4$ الأولاد في مجموعة دراسة أمرًا جيدًا. تقول المشكلة أن عدد الفتيات كان$3$ أكثر من ضعف عدد الأولاد. إذا كان هناك أربعة أولاد، فهل يعني ذلك إحدى عشرة فتاة؟ مرتين$4$ للأولاد$8$. ثلاثة أكثر مما$8$ هو$11$.
الخطوة 7. أجب على السؤال.	كان هناك$4$ أولاد في مجموعة الدراسة.

التمارين$\PageIndex{5}$

اشترى غييرمو الكتب المدرسية والدفاتر من متجر الكتب. كان عدد الكتب المدرسية$3$ أكثر من ضعف عدد أجهزة الكمبيوتر المحمولة. اشترى$7$ الكتب المدرسية. كم عدد أجهزة الكمبيوتر المحمولة التي اشتراها؟

إجابة: $2$

التمارين$\PageIndex{6}$

عمل جيري على ألغاز سودوكو وألغاز الكلمات المتقاطعة هذا الأسبوع. عدد ألغاز سودوكو التي أكملها هو ثمانية أكثر من ضعف عدد الألغاز المتقاطعة. أكمل ألغاز$22$ سودوكو. كم عدد الألغاز المتقاطعة التي قام بها?

إجابة: $7$

حل مشاكل الأرقام

الآن لدينا استراتيجية لحل المشكلات، سنستخدمها في عدة أنواع مختلفة من مشاكل الكلمات. النوع الأول الذي سنعمل عليه هو «مشاكل الأرقام». تعطي مشاكل الأرقام بعض الأدلة حول رقم واحد أو أكثر. نحن نستخدم هذه القرائن لكتابة معادلة. لا تنشأ مشاكل الأرقام عادةً على أساس يومي، ولكنها توفر مقدمة جيدة لممارسة استراتيجية حل المشكلات الموضحة أعلاه.

التمارين$\PageIndex{7}$

الفرق بين الرقم وستة هو$13$. ابحث عن الرقم.

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. هل كل الكلمات مألوفة؟
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	الرقم
الخطوة 3. اسم. اختر متغيرًا لتمثيل الرقم.	دع$n=$ الرقم.
الخطوة 4. ترجم. تذكر أن تبحث عن كلمات بسيطة مثل «الاختلاف... عن... و...»
كرر المشكلة كجملة واحدة.	$\color{cyan} \underbrace{\color{black}\textbf{The difference of the number and }\mathbf{6}} \quad \underbrace{\strut \color{black}\textbf{ is }} \quad \underbrace{\strut \color{black}\mathbf{13}}$
ترجم إلى معادلة.	$\qquad \qquad \qquad n-6 \qquad \qquad \qquad \quad = \quad 13$
الخطوة 5. حل المعادلة.	$\quad n - 6 = 13$
قم بالتبسيط.	$\quad n =19$
الخطوة 6. تحقق.
الفرق بين$19$ و$6$ هو$13$. إنه يتحقق!
الخطوة 7. أجب على السؤال.	الرقم هو$19$.

التمارين$\PageIndex{8}$

الفرق بين الرقم وثمانية هو$17$. ابحث عن الرقم.

إجابة: $25$

التمارين$\PageIndex{9}$

الفرق بين الرقم وأحد عشر هو$−7$. ابحث عن الرقم.

إجابة: $4$

التمارين$\PageIndex{10}$

مجموع ضعف العدد وسبعة هو$15$. ابحث عن الرقم.

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	الرقم
الخطوة 3. اسم. اختر متغيرًا لتمثيل الرقم.	دع$n =$ الرقم.
الخطوة 4. ترجم.
كرر المشكلة كجملة واحدة.	$.$
ترجم إلى معادلة.	$.$
الخطوة 5. حل المعادلة.	$.$
اطرح 7 من كل جانب وقم بتبسيطه.	$.$
قسّم كل جانب على 2 وقم بالتبسيط.	$.$
الخطوة 6. تحقق.
هل مجموع ضرب ٤ و٧ يساوي ١٥؟
$\begin{array} {rrl} {2\cdot 4 + 7} &{\stackrel{?}{=}}& {15} \\ {15} &{=} &{15\checkmark} \end{array}$
الخطوة 7. أجب على السؤال.	الرقم هو$4$.

هل لاحظت أننا تركنا بعض الخطوات عند حل هذه المعادلة؟ إذا لم تكن مستعدًا بعد لترك هذه الخطوات، فاكتب العدد الذي تريده.

التمارين$\PageIndex{11}$

مجموع أربعة أضعاف الرقم واثنين هو$14$. ابحث عن الرقم.

إجابة: $3$

التمارين$\PageIndex{12}$

مجموع ثلاثة أضعاف العدد وسبعة يساوي$25$. ابحث عن الرقم.

إجابة: $6$

تطلب منا بعض مشاكل الكلمات الرقمية العثور على رقمين أو أكثر. قد يكون من المغري تسميتها جميعًا بمتغيرات مختلفة، ولكن حتى الآن قمنا بحل المعادلات بمتغير واحد فقط. من أجل تجنب استخدام أكثر من متغير واحد، سنحدد الأرقام من حيث نفس المتغير. تأكد من قراءة المشكلة بعناية لاكتشاف كيفية ارتباط جميع الأرقام ببعضها البعض.

التمارين$\PageIndex{13}$

رقم واحد يزيد بخمسة عن آخر. مجموع الأرقام هو 21. ابحث عن الأرقام.

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.		نحن نبحث عن رقمين.
الخطوة 3. اسم. لدينا رقمان لتسميتهما ونحتاج إلى اسم لكل منهما.
اختر متغيرًا لتمثيل الرقم الأول.		$n=1^{st}$رقم السماح.
ماذا نعرف عن الرقم الثاني؟		رقم واحد يزيد بخمسة عن آخر.
		$n+5=2^{nd}$رقم
الخطوة 4. ترجم. كرر المشكلة كجملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة.		مجموع الرقم ^الأول والرقم ^الثاني هو 21.
ترجم إلى معادلة.		$.$
استبدل التعبيرات المتغيرة.		$.$
الخطوة 5. حل المعادلة.		$.$
اجمع بين المصطلحات المتشابهة.		$.$
اطرح 5 من كلا الجانبين وقم بتبسيطه.		$.$
قسّم على 2 وقم بالتبسيط.		$.$
ابحث عن الرقم الثاني أيضًا.		$.$
		$.$
		$.$
الخطوة 6. تحقق.
هل تحقق هذه الأرقام من المشكلة؟
هل هناك رقم واحد$5$ أكثر من الآخر؟	$13\stackrel{?}{=} 8 + 5$
هل ثلاثة عشر$5$ أكثر من$8$؟ نعم.	$13 = 13\checkmark$
هل مجموع الرقمين$21$؟	$8 + 13 \stackrel{?}{=} 21$
	$21 = 21\checkmark$
الخطوة 7. أجب على السؤال.		الأرقام هي$8$ و$13$.

التمارين$\PageIndex{14}$

رقم واحد يزيد بستة عن آخر. مجموع الأرقام هو أربعة وعشرون. ابحث عن الأرقام.

إجابة: 9، 15

التمارين$\PageIndex{15}$

مجموع الرقمين هو ثمانية وخمسون. رقم واحد يزيد بأربعة عن الآخر. ابحث عن الأرقام.

إجابة: 27، 31

التمارين$\PageIndex{16}$

مجموع رقمين هو سالب أربعة عشر. رقم واحد أقل بأربعة من الآخر. ابحث عن الأرقام.

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.		نحن نبحث عن رقمين.
الخطوة 3. اسم.
اختر متغيرًا.		$n=1^{st}$رقم السماح.
رقم واحد أقل بأربعة من الآخر.		$n−4=2^{nd}$رقم
الخطوة 4. ترجم.
اكتب كجملة واحدة.		مجموع الرقمين سالب 14.
ترجم إلى معادلة.		$.$
الخطوة 5. حل المعادلة.		$.$
اجمع بين المصطلحات المتشابهة.		$.$
أضف 4 إلى كل جانب وقم بالتبسيط.		$.$
قم بالتبسيط.		$.$
		$.$
		$.$
		$.$
		$.$
الخطوة 6. تحقق.
هل −9 أقل من −5؟	$-5-4\stackrel{?}{=}-9$
	$-9 = -9 \checkmark$
هل مجموعهما −14؟	$-5+ (-9)\stackrel{?}{=}-14$
	$-14 = -14 \checkmark$
الخطوة 7. أجب على السؤال.		الأرقام هي −5 و−9.

التمارين$\PageIndex{17}$

مجموع رقمين هو سالب ثلاثة وعشرين. رقم واحد أقل بسبعة من الآخر. ابحث عن الأرقام.

إجابة: -15، -8

التمارين$\PageIndex{18}$

مجموع الرقمين هو$−18$. رقم واحد$40$ أكثر من الآخر. ابحث عن الأرقام.

إجابة: -29، 11

التمارين$\PageIndex{19}$

رقم واحد يزيد بمقدار عشرة عن ضعف آخر. مجموعهم واحد. ابحث عن الأرقام.

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. حدد ما تبحث عنه.		نحن نبحث عن رقمين.
الخطوة 3. اسم.
اختر متغيرًا.		$x=1^{st}$رقم السماح.
رقم واحد يزيد بمقدار 10 عن ضعف الرقم الآخر.		$2x+10=2^{nd}$رقم
الخطوة 4. ترجم.
كرر كجملة واحدة.		مجموعهم واحد.
		مجموع الرقمين هو 1.
ترجم إلى معادلة.		$.$
الخطوة 5. حل المعادلة.
اجمع بين المصطلحات المتشابهة.		$.$
اطرح 10 من كل جانب.		$.$
قسّم كل جانب على 3.		$.$
		$.$
		$.$
		$.$
		$.$
الخطوة 6. تحقق.
هل العدد الأكبر بعشرة من ضعف −3 يساوي 4؟	$2(-3) + 10 \stackrel{?}{=} 4$
	$-6 + 10 \stacktel{?}{=} 4$
	$4 = 4\checkmark$
هل مجموعهم 1؟	$-3 + 4 \stackrel{?}{=} 1$
	$1 = 1\checkmark$
الخطوة 7. أجب على السؤال.		الأرقام هي −3 و−4.

التمارين$\PageIndex{20}$

رقم واحد يزيد بثمانية عن ضعف الرقم الآخر. مجموعهم هو سالب أربعة. ابحث عن الأرقام.

إجابة: $-4,\; 0$

التمارين$\PageIndex{21}$

رقم واحد يزيد بثلاث مرات عن ثلاثة أضعاف آخر. مجموعهم هو$−5$. ابحث عن الأرقام.

إجابة: $-3,\; -2$

تتضمن بعض مشكلات الأرقام أعدادًا صحيحة متتالية. الأعداد الصحيحة المتتالية هي أعداد صحيحة تتبع بعضها البعض على الفور. أمثلة على الأعداد الصحيحة المتتالية هي:

\[\begin{array}{l}{1,2,3,4} \\ {-10,-9,-8,-7} \\ {150,151,152,153}\end{array}\]

لاحظ أن كل رقم يزيد بمقدار واحد عن الرقم الذي يسبقه. لذلك إذا حددنا العدد الصحيح الأول على أنه$n$، فإن العدد الصحيح التالي على التوالي هو$n+1$. الواحد بعد ذلك يزيد$n+1$ بمقدار واحد عن$n+1+1$، وهو كذلك$n+2$.
\[\begin{array}{ll}{n} & {1^{\text { st }} \text { integer }} \\ {n+1} & {2^{\text { nd }} \text { consecutive integer }} \\ {n+2} & {3^{\text { rd }} \text { consecutive integer } \ldots \text { etc. }}\end{array}\]

التمارين$\PageIndex{22}$

مجموع عددين صحيحين متتاليين هو$47$. ابحث عن الأرقام.

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. حدد ما تبحث عنه.	عددان صحيحان متتاليان
الخطوة 3. قم بتسمية كل رقم.	دع$n=1^{st}$ عددًا صحيحًا.
	$n+1=$العدد الصحيح التالي على التوالي
الخطوة 4. ترجم.
كرر كجملة واحدة.	مجموع الأعداد الصحيحة هو$47$.
ترجم إلى معادلة.	$.$
الخطوة 5. حل المعادلة.	$.$
اجمع بين المصطلحات المتشابهة.	$.$
اطرح 1 من كل جانب.	$.$
قسّم كل جانب على 2.	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
الخطوة 6. تحقق.
$\begin{array} {lll} {23 + 24} &{\stackrel{?}{=}} &{47} \\ {47} &{=} &{47\checkmark} \end{array}$
الخطوة 7. أجب على السؤال.	العددان الصحيحان المتعاقدان هما 23 و 24.

التمارين$\PageIndex{23}$

مجموع عددين صحيحين متتاليين هو 95. ابحث عن الأرقام.

إجابة: 47، 48

التمارين$\PageIndex{24}$

مجموع عددين صحيحين متتاليين هو −31. ابحث عن الأرقام.

إجابة: -16، -15

التمارين$\PageIndex{25}$

ابحث عن ثلاثة أعداد صحيحة متتالية مجموعها −42.

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	ثلاثة أعداد صحيحة متتالية
الخطوة 3. قم بتسمية كل رقم من الأرقام الثلاثة.	دع$n=1^{st}$ عددًا صحيحًا.
	$n+1= 2^{nd}$عدد صحيح متتالي
	$n+2= 3^{rd}$عدد صحيح متتالي
الخطوة 4. ترجم.
كرر كجملة واحدة.	مجموع الأعداد الصحيحة الثلاثة هو$−42$.
ترجم إلى معادلة.	$.$
الخطوة 5. حل المعادلة.	$.$
اجمع بين المصطلحات المتشابهة.	$.$
اطرح 3 من كل جانب.	$.$
قسّم كل جانب على 3.	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
الخطوة 6. تحقق.
$\begin{array}{lll} {-13 + (-14) + (-15)} &{\stackrel{?}{=}} &{-42} \\ {-42} &{=} &{-42\checkmark} \end{array}$
الخطوة 7. أجب على السؤال.	الأعداد الصحيحة الثلاثة المتتالية هي −13 و−14 و−15.

التمارين$\PageIndex{26}$

ابحث عن ثلاثة أعداد صحيحة متتالية مجموعها −96.

إجابة: -33، -32، -31

التمارين$\PageIndex{27}$

ابحث عن ثلاثة أعداد صحيحة متتالية مجموعها −36.

إجابة: -13، -12، -11

الآن وقد عملنا مع الأعداد الصحيحة المتتالية، سنقوم بتوسيع عملنا ليشمل الأعداد الصحيحة المتتالية والأعداد الفردية المتتالية. الأعداد الصحيحة المتتالية هي حتى الأعداد الصحيحة التي تتبع بعضها البعض على الفور. أمثلة على الأعداد الصحيحة الزوجية المتتالية هي:

\[\begin{array}{l}{18,20,22} \\ {64,66,68} \\ {-12,-10,-8}\end{array}\]

لاحظ أن كل عدد صحيح$2$ أكبر من الرقم الذي يسبقه. إذا اتصلنا بالأول$n$، فسيكون التالي هو$n+2$. سيكون التالي هو$n+2+2$ أو$n+4$.
\[\begin{array}{cll}{n} & {1^{\text { st }} \text { even integer }} \\ {n+2} & {2^{\text { nd }} \text { consecutive even integer }} \\ {n+4} & {3^{\text { rd }} \text { consecutive even integer } \ldots \text { etc. }}\end{array}\]

الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية هي أعداد صحيحة فردية تتبع بعضها البعض على الفور. ضع في اعتبارك الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية$77$$79$ و و$81$.

\[\begin{array}{l}{77,79,81} \\ {n, n+2, n+4}\end{array}\]

\[\begin{array}{cll}{n} & {1^{\text { st }} \text {odd integer }} \\ {n+2} & {2^{\text { nd }} \text { consecutive odd integer }} \\ {n+4} & {3^{\text { rd }} \text { consecutive odd integer } \ldots \text { etc. }}\end{array}\]

هل يبدو من الغريب إضافة 2 (رقم زوجي) للانتقال من عدد صحيح فردي إلى التالي؟ هل تحصل على رقم فردي أو رقم زوجي عندما نضيف 2 إلى 3؟ إلى 11؟ إلى 47؟

سواء كانت المشكلة تتطلب أرقامًا زوجية متتالية أو أرقامًا فردية، فليس عليك القيام بأي شيء مختلف. لا يزال النمط هو نفسه - للانتقال من عدد فردي أو عدد صحيح زوجي إلى التالي، أضف 2.

التمارين$\PageIndex{28}$

ابحث عن ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية مجموعها 84.

إجابة: \[\begin{array}{ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} & {} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} & {\text{three consecutive even integers}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ the integers.}} & {\text{Let } n = 1^{st} \text{ even integers.}} \\ {} &{n + 2 = 2^{nd} \text{ consecutive even integer}} \\ {} &{n + 4 = 3^{rd} \text{ consecutive even integer}} \\ {\textbf{Step 4. Translate.}} &{} \\ {\text{ Restate as one sentence. }} &{\text{The sum of the three even integers is 84.}} \\ {\text{Translate into an equation.}} &{n + n + 2 + n + 4 = 84} \\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the equation. }} &{} \\ {\text{Combine like terms.}} &{n + n + 2 + n + 4 = 84} \\ {\text{Subtract 6 from each side.}} &{3n + 6 = 84} \\ {\text{Divide each side by 3.}} &{3n = 78} \\ {} &{n = 26 \space 1^{st} \text{ integer}} \\\\ {} &{n + 2\space 2^{nd} \text{ integer}} \\ {} &{26 + 2} \\ {} &{28} \\\\ {} &{n + 4\space 3^{rd} \text{ integer}} \\ {} &{26 + 4} \\ {} &{30} \\ {\textbf{Step 6. Check.}} &{} \\\\ {26 + 28 + 30 \stackrel{?}{=} 84} &{} \\ {84 = 84 \checkmark} & {} \\ {\textbf{Step 7. Answer} \text{ the question.}} &{\text{The three consecutive integers are 26, 28, and 30.}} \end{array}\]

التمارين$\PageIndex{29}$

ابحث عن ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية مجموعها 102.

إجابة: 32، 34، 36

التمارين$\PageIndex{30}$

ابحث عن ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية مجموعها −24.

إجابة: −10، −8، −6

التمارين$\PageIndex{31}$

يكسب الزوجان معًا 110,000 دولار سنويًا. تكسب الزوجة 16 ألف دولار أقل من ضعف ما يكسبه زوجها. ماذا يكسب الزوج؟

إجابة

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	كم يكسب الزوج؟
الخطوة 3. اسم.
اختر متغيرًا لتمثيل المبلغ الذي يكسبه الزوج.	دع$h=$ المبلغ الذي يكسبه الزوج.
تكسب الزوجة$$16,000$ أقل من ضعف ذلك.	$2h−16,000$المبلغ الذي تكسبه الزوجة.
الخطوة 4. ترجم.	يكسب الزوج والزوجة معًا$$110,000$.
كرر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة.	$.$
ترجم إلى معادلة.	$.$
الخطوة 5. حل المعادلة.	$h + 2h − 16,000 = 110,000$
اجمع بين المصطلحات المتشابهة.	$3h − 16,000 = 110,000$
أضف$16,000$ إلى كلا الجانبين وقم بالتبسيط.	$3h = 126,000$
قسّم كل جانب على$3$.	$h = 42,000$
	$$42,000$المبلغ الذي يكسبه الزوج
	$2h − 16,000$المبلغ الذي تكسبه الزوجة
	$2(42,000) − 16,000$
	$84,000 − 16,000$
	$68,000$
الخطوة 6. تحقق.
إذا كانت الزوجة تكسب$$68,000$ والزوج يكسب$$42,000$ هو الإجمالي$$110,000$ (؟ نعم!
الخطوة 7. أجب على السؤال.	يكسب$$42,000$ الزوج سنة.

التمارين$\PageIndex{32}$

وفقًا للرابطة الوطنية لتجار السيارات، بلغ متوسط تكلفة السيارة في عام 2014 28500 دولار. كان هذا أقل بـ 1500 دولار من 6 أضعاف التكلفة في عام 1975. ما هو متوسط تكلفة السيارة في عام 1975؟

إجابة: 5000 دولار

التمارين$\PageIndex{33}$

تظهر بيانات تعداد الولايات المتحدة أن متوسط سعر المنزل الجديد في الولايات المتحدة في نوفمبر 2014 كان 280,900 دولار. كان هذا 10700 دولار أكثر من 14 ضعف السعر في نوفمبر 1964. ما هو متوسط سعر المنزل الجديد في نوفمبر 1964؟

إجابة: 19300 دولار

المفاهيم الرئيسية

إستراتيجية حل المشكلات
1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار.
2. حدد ما نبحث عنه.
3. اذكر ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
4. ترجم إلى معادلة. قد يكون من المفيد إعادة ذكر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة الجبر.
5. حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
6. تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
7. أجب على السؤال بجملة كاملة.
الأعداد الصحيحة
المتتالية هي الأعداد الصحيحة التي تتبع بعضها البعض على الفور.
\[\begin{array}{cc}{n} & {1^{\text { st }} \text { integer }} \\ {n+1} & {2^{\text { nd }} \text {consecutive integer }} \\ {n+2} & {3^{\text { rd }} \text { consecutive integer } \ldots \text { etc. }}\end{array}\]

الأعداد الصحيحة المتتالية هي حتى الأعداد الصحيحة التي تتبع بعضها البعض على الفور.
\[\begin{array}{cc}{n} & {1^{\text { st }} \text { integer }} \\ {n+2} & {2^{\text { nd }} \text { consecutive even integer }} \\ {n+4} & {3^{\text { rd }} \text { consecutive even integer } \ldots \text { etc. }}\end{array}\]

الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية هي أعداد صحيحة فردية تتبع بعضها البعض على الفور.
\[\begin{array}{cc}{n} & {1^{\text { st }} \text { integer }} \\ {n+2} & {2^{\text { nd }} \text { consecutive odd integer }} \\ {n+4} & {3^{\text { rd }} \text { consecutive odd integer } \ldots \text { etc. }}\end{array}\]

	دع\(p =\) السعر الأصلي.
	\(18\)هو نصف السعر الأصلي.
	\(18 = \frac{1}{2}p\)
اضرب كلا الجانبين في\(2\).	\( {\color{red}{2}}\cdot 18 = {\color{red}{2}}\cdot \frac{1}{2}p \)
قم بالتبسيط.	\(36 = p\)
تحقق. هل سعر\($36\) معقول للمحفظة؟
نعم.
\(18\)هو نصف\(36\)؟
\(18 \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\cdot 36\)
\(18 = 18\checkmark\)
	كان السعر الأصلي للمحفظة\($36\).

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. حدد ما نبحث عنه.	كم يكسب الزوج؟
الخطوة 3. اسم.
اختر متغيرًا لتمثيل المبلغ الذي يكسبه الزوج.	دع\(h=\) المبلغ الذي يكسبه الزوج.
تكسب الزوجة\($16,000\) أقل من ضعف ذلك.	\(2h−16,000\)المبلغ الذي تكسبه الزوجة.
الخطوة 4. ترجم.	يكسب الزوج والزوجة معًا\($110,000\).
كرر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة.	$.$
ترجم إلى معادلة.	$.$
الخطوة 5. حل المعادلة.	\(h + 2h − 16,000 = 110,000\)
اجمع بين المصطلحات المتشابهة.	\(3h − 16,000 = 110,000\)
أضف\(16,000\) إلى كلا الجانبين وقم بالتبسيط.	\(3h = 126,000\)
قسّم كل جانب على\(3\).	\(h = 42,000\)
	\($42,000\)المبلغ الذي يكسبه الزوج
	\(2h − 16,000\)المبلغ الذي تكسبه الزوجة
	\(2(42,000) − 16,000\)
	\(84,000 − 16,000\)
	\(68,000\)
الخطوة 6. تحقق.
إذا كانت الزوجة تكسب\($68,000\) والزوج يكسب\($42,000\) هو الإجمالي\($110,000\) (؟ نعم!
الخطوة 7. أجب على السؤال.	يكسب\($42,000\) الزوج سنة.

استخدم استراتيجية حل المشكلات لحل مشاكل الكلمات.

التمارين\(\PageIndex{1}\)

التمارين\(\PageIndex{2}\)

التمارين\(\PageIndex{3}\)

التمارين\(\PageIndex{4}\)

التمارين\(\PageIndex{5}\)

التمارين\(\PageIndex{6}\)

التمارين\(\PageIndex{7}\)

التمارين\(\PageIndex{8}\)

التمارين\(\PageIndex{9}\)

التمارين\(\PageIndex{10}\)

التمارين\(\PageIndex{11}\)

التمارين\(\PageIndex{12}\)

التمارين\(\PageIndex{13}\)

التمارين\(\PageIndex{14}\)

التمارين\(\PageIndex{15}\)

التمارين\(\PageIndex{16}\)

التمارين\(\PageIndex{17}\)

التمارين\(\PageIndex{18}\)

التمارين\(\PageIndex{19}\)

التمارين\(\PageIndex{20}\)

التمارين\(\PageIndex{21}\)

التمارين\(\PageIndex{22}\)

التمارين\(\PageIndex{23}\)

التمارين\(\PageIndex{24}\)

التمارين\(\PageIndex{25}\)

التمارين\(\PageIndex{26}\)

التمارين\(\PageIndex{27}\)

التمارين\(\PageIndex{28}\)

التمارين\(\PageIndex{29}\)

التمارين\(\PageIndex{30}\)

التمارين\(\PageIndex{31}\)

التمارين\(\PageIndex{32}\)

التمارين\(\PageIndex{33}\)

كرر المشكلة في جملة واحدة مع جميع المعلومات المهمة.	\(\color{cyan} \underbrace{\strut \color{black}\mathbf{18}} \quad \underbrace{\strut \color{black}\textbf{ is }} \quad \underbrace{\color{black}\textbf{one-half the original price.}}\)
ترجم إلى معادلة.	\(18 \qquad = \qquad \qquad \qquad \frac{1}{2}\cdot p\)