Skip to main content
Global

2.7: حل المتباينات الخطية

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200230

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • تباينات الرسم البياني على خط الأعداد
    • حل المتباينات باستخدام خاصيّ الطرح والجمع للتفاوت
    • حل عدم المساواة باستخدام خواص القسمة والضرب لعدم المساواة
    • حل عدم المساواة التي تتطلب التبسيط
    • ترجم إلى عدم المساواة وقم بحلها
    ملاحظة

    قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

    1. ترجم من الجبر إلى اللغة الإنجليزية:\(15>x\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.3.1.
    2. حل:\(n−9=−42\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.1.7.
    3. حل:\(−5p=−23\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.2.1.
    4. حل:\(3a−12=7a−20\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 2.3.22.

    متباينات التمثيل البياني على خط الأعداد

    هل تتذكر ما يعنيه أن يكون الرقم حلاً للمعادلة؟ حل المعادلة هو قيمة المتغير الذي يصنع بيانًا صحيحًا عند استبداله بالمعادلة.

    ماذا عن حل عدم المساواة؟ ما الرقم الذي يجعل عدم المساواة\(x > 3\) حقيقة؟ هل تفكر في أن «x يمكن أن تكون 4"؟ هذا صحيح، ولكن يمكن أن تكون x 5 أيضًا، أو 20، أو حتى 3.001. أي رقم أكبر من 3 هو حل لعدم المساواة\(x > 3\).

    نعرض حلول عدم المساواة\(x > 3\) على خط الأعداد من خلال تظليل جميع الأرقام على يمين 3، لإظهار أن جميع الأرقام الأكبر من 3 هي حلول. نظرًا لأن الرقم 3 نفسه ليس حلاً، فقد وضعنا قوسًا مفتوحًا عند 3. يظهر الرسم البياني في الشكل\(\PageIndex{1}\).\(x > 3\) يرجى ملاحظة أنه يتم استخدام الاصطلاح التالي: تشير الأسهم ذات اللون الأزرق الفاتح في الاتجاه الإيجابي وتشير الأسهم الزرقاء الداكنة في الاتجاه السلبي.

    هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة x الأكبر من 3 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي 3، وخط أحمر يمتد إلى يمين الأقواس.
    الشكل\(\PageIndex{1}\): تم رسم\(x > 3\) عدم المساواة بيانيًا على خط الأعداد هذا.

    الرسم البياني لعدم المساواة\(x \geq 3\) يشبه إلى حد كبير الرسم البياني لـ\(x > 3\)، لكننا الآن بحاجة إلى إظهار أن الرقم 3 هو الحل أيضًا. نقوم بذلك عن طريق وضع قوس\(x = 3\)، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{2}\).

    هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم التباين x الذي يزيد عن أو يساوي 3 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي 3، وخط أحمر يمتد إلى يمين القوس.
    الشكل\(\PageIndex{2}\): تم رسم\(x \geq 3\) عدم المساواة بيانيًا على خط الأعداد هذا.

    لاحظ أن رمز الأقواس المفتوحة، (، يوضح أن نقطة نهاية عدم المساواة غير مضمنة. يُظهر رمز القوس المفتوح، [، أن نقطة النهاية مضمنة.

    التمارين\(\PageIndex{1}\)

    رسم بياني على خط الأرقام:

    1. \(x\leq 1\)
    2. \(x<5\)
    3. \(x>−1\)
    إجابة

    1. \(x\leq 1\)هذا يعني جميع الأرقام التي تقل عن أو تساوي 1. نقوم بتظليل جميع الأرقام الموجودة على خط الأرقام على يسار 1 ونضع قوسًا عند x=1 لإظهار أنه مضمن.
    هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم التباين x الذي يقل عن أو يساوي 1 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي 1، وخط أحمر يمتد إلى يسار القوس.

    2. \(x<5\)هذا يعني جميع الأرقام الأقل من 5، ولكن ليس بما في ذلك 5. نقوم بتظليل جميع الأرقام الموجودة على خط الأعداد على يسار 5 ونضع قوسًا عند x=5 لإظهار أنها غير مضمنة.
    هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة x الذي يقل عن 5 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي 5، وخط أحمر يمتد إلى يمين الأقواس.

    3. \(x>−1\)وهذا يعني جميع الأرقام الأكبر من −1، ولكن ليس بما في ذلك −1. نضع التظليل في جميع الأرقام على خط الأعداد على يمين −1، ثم نضع قوسًا عند x=−1 لإظهار أنها غير مضمنة.
    هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. التباين x أكبر من سالب 1 مرسوم بيانيًا على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي سالب 1، وخط أحمر يمتد إلى يمين الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{2}\)

    رسم بياني على خط الأرقام:

    1. \(x\leq −1\)
    2. \(x>2\)
    3. \(x<3\)
    إجابة
    1. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. عدم المساواة x أقل من أو يساوي سالب 1 يتم رسمه بيانيًا على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي سالب 1، وخط داكن يمتد إلى يسار القوس.
    2. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة x الأكبر من 2 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي 2، وخط داكن يمتد إلى يمين الأقواس.
    3. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة x الذي يقل عن 3 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي 3، وخط داكن يمتد إلى يسار الأقواس.
    التمارين\(\PageIndex{3}\)

    رسم بياني على خط الأرقام:

    1. \(x>−2\)
    2. \(x<−3\)
    3. \(x\geq −1\)
    إجابة
    1. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. التباين x أكبر من سالب 2 يتم رسمه بيانيًا على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي سالب 2، وخط داكن يمتد إلى يمين الأقواس.
    2. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. عدم المساواة x أقل من سالب 3 تم رسمه بيانيًا على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي سالب 3، وخط داكن يمتد إلى يسار الأقواس.
    3. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. التفاوت x أكبر من أو يساوي سالب 1 مرسوم بيانيًا على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي سالب 1، وخط داكن يمتد إلى يمين القوس.

    يمكننا أيضًا تمثيل عدم المساواة باستخدام الترميز الفاصل الزمني. كما رأينا أعلاه، فإن عدم المساواة\(x>3\) يعني جميع الأرقام الأكبر من 3. لا يوجد حد أعلى لحل عدم المساواة هذا. في الترميز الفاصل الزمني، نعبر عن\(x>3\) كـ\((3, \infty)\). \(\infty\)تتم قراءة الرمز باسم «اللانهاية». إنه ليس رقمًا فعليًا. \(\PageIndex{3}\)يوضح الشكل كلاً من خط الأرقام وترميز الفاصل الزمني.

    هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة x الأكبر من 3 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي 3، وخط أحمر يمتد إلى يمين الأقواس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بتدوين الفاصل الزمني كأقواس، 3 فاصلة، اللانهاية، الأقواس.
    الشكل\(\PageIndex{3}\): تم رسم عدم المساواة\(x>3\) بيانيًا على خط الأعداد هذا وكتابته بتدوين فاصل زمني.

    عدم المساواة\(x\leq 1\) يعني جميع الأرقام التي تقل عن أو تساوي 1. لا يوجد حد أدنى لهذه الأرقام. نكتب\(x\leq 1\) بالتدوين الفاصل الزمني كـ\((-\infty, 1]\). \(-\infty\)تتم قراءة الرمز على أنه «اللانهاية السالبة». \(\PageIndex{4}\)يوضح الشكل كلاً من خط الأرقام والترميز الفاصل الزمني.

    هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم التباين x الذي يقل عن أو يساوي 1 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي 1، وخط أحمر يمتد إلى يسار القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كأقواس، وفاصلة اللانهاية السالبة 1، والقوس.
    الشكل\(\PageIndex{4}\): تم رسم عدم المساواة\(x\leq 1\) بيانيًا على خط الأعداد هذا وكتابته بتدوين فاصل زمني.
    المتباينات وخطوط الأرقام وتدوين الفاصل الزمني

    يوضح هذا الشكل أربعة أسطر رقمية، كلها بدون علامات تحديد. التباين x أكبر من a يتم رسمه بيانيًا على خط الأرقام الأول، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي a، وخط أحمر يمتد إلى يمين الأقواس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بتدوين الفاصل الزمني كأقواس، وفاصلة، اللانهاية، الأقواس. يتم رسم عدم المساواة x الأكبر من أو يساوي a على خط الأرقام الثاني، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي a، وخط أحمر يمتد إلى يمين القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كقوس، وفاصلة لا نهاية، وقوس. يتم رسم عدم المساواة x أقل من a في خط الأعداد الثالث، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي a، وخط أحمر يمتد إلى يسار الأقواس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بتدوين الفاصل الزمني كأقواس، وفاصلة اللانهاية السالبة a، والقوس. يتم رسم التباين x الذي يقل عن أو يساوي a على خط الأرقام الأخير، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي a، وخط أحمر يمتد إلى يسار القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كأقواس، اللانهاية السالبة، الفاصلة أ، القوس.

    هل لاحظت كيف يتطابق القوس أو القوس في ترقيم الفاصل الزمني مع الرمز الموجود في نقطة نهاية السهم؟ تظهر هذه العلاقات في الشكل\(\PageIndex{5}\).

    يوضح هذا الشكل نفس أسطر الأرقام الأربعة المذكورة أعلاه، مع نفس تسميات الترميز الفاصلة. تحت الترميز الفاصل الزمني لكل سطر رقمي، يوجد نص يشير إلى كيفية تشابه الترميز على أسطر الأرقام مع الترميز الفاصل الزمني. خط الأرقام الأول هو رسم بياني لـ x أكبر من a، وترميز الفاصل الزمني هو الأقواس، والفاصلة اللانهاية، والقوس. ينص النص أدناه على ما يلي: «لكل منهما قوس أيسر». خط الأرقام الثاني هو رسم بياني لـ x أكبر من أو يساوي a، وترميز الفاصل الزمني هو القوس، والفاصلة اللانهاية، والقوس. النص أدناه يقرأ: «كلاهما يحتوي على قوس يساري». خط الأرقام الثالث هو رسم بياني لـ x أقل من a، وتدوين الفاصل الزمني هو الأقواس، والفاصلة اللانهائية السالبة a، والقوس. ينص النص أدناه على ما يلي: «لكل منهما قوس أيمن». خط الأرقام الأخير هو رسم بياني لـ x أقل من أو يساوي a، وتدوين الفاصل الزمني هو الأقواس، والفاصلة اللانهائية السالبة a، والقوس. يقرأ النص أدناه: «كلاهما يحتوي على قوس صحيح».
    الشكل\(\PageIndex{5}\): يستخدم الترميز الخاص بالمتباينات على خط الأرقام وفي الترميز الفاصل رموزًا متشابهة للتعبير عن نقاط نهاية الفواصل الزمنية.
    التمارين\(\PageIndex{4}\)

    رسم بياني على خط الأعداد واكتب بتدوين الفاصل الزمني.

    1. \(x \geq -3\)
    2. \(x<2.5\)
    3. \(x\leq \frac{3}{5}\)
    إجابة

    1.

      .
    ظلل على يمين −3، ثم ضع قوسًا عند −3. .
    اكتب بالتدوين الفاصل الزمني. .
    2.
      .
    ظلل على يسار 2.5، ثم ضع قوسًا عند 2.5. .
    اكتب بالتدوين الفاصل الزمني. .
    3.
      .
    ظلل على يسار الصورة\(-\frac{3}{5}\)، ثم ضع قوسًا عليها\(-\frac{3}{5}\). .
    اكتب بالتدوين الفاصل الزمني. .
    التمارين\(\PageIndex{5}\)

    رسم بياني على خط الأعداد واكتب بتدوين الفاصل الزمني:

    1. \(x>2\)
    2. \(x\leq −1.5\)
    3. \(x\geq \frac{3}{4}\)
    إجابة
    1. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة x الأكبر من 2 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي 2، وخط داكن يمتد إلى يمين الأقواس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كأقواس، فاصلة 2، اللانهاية، الأقواس.
    2. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم التباين x الذي يقل عن أو يساوي سالب 1.5 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي سالب 1.5، وخط داكن يمتد إلى يسار القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كأقواس، وفاصلة اللانهاية السالبة 1.5، والقوس.
    3. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة x الذي يزيد عن أو يساوي 3/4 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي 3/4، وخط داكن يمتد إلى يمين القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كقوس، و3/4 فاصلة اللانهاية، والأقواس.
    التمارين\(\PageIndex{6}\)

    رسم بياني على خط الأعداد واكتب بتدوين الفاصل الزمني:

    1. \(x\leq −4\)
    2. \(x\geq 0.5\)
    3. \(x<-\frac{2}{3}\)
    إجابة
    1. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم التباين x الذي يقل عن أو يساوي سالب 4 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي سالب 4، وخط داكن يمتد إلى يسار القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بتدوين الفاصل الزمني كأقواس، وفاصلة اللانهاية السالبة، وسالب 4، والقوس.
    2. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم التباين x الذي يزيد عن أو يساوي 0.5 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي 0.5، وخط داكن يمتد إلى يمين القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كقوس، o.5، فاصلة اللانهاية، الأقواس.
    3. هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. عدم المساواة x أقل من سالب 2/3 يتم رسمه بيانيًا على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي سالب 2/3، وخط داكن يمتد إلى يسار الأقواس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بترميز الفاصل الزمني كأقواس، وفاصلة اللانهاية السالبة، وسالب 2/3، والأقواس.

    حل المتباينات باستخدام خواص الطرح والجمع للتفاوت

    تنص خاصيتا الطرح والجمع للمساواة على أنه إذا تساوت كميتان، فعندما نجمع أو نطرح نفس الكمية من كلتا الكميتين، ستكون النتائج متساوية.

    خصائص المساواة

    \[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Equality } } & { \textbf { Addition Property of Equality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if } \qquad \quad a = b , } & { \text { if } \qquad \quad a = b } \\ { \text { then } a - c = b - c . } & { \text { then } a + c = b + c } \end{array}\]

    تنطبق الخصائص المماثلة على عدم المساواة.

    على سبيل المثال، نعلم أن −4 أقل من 2. .
    إذا طرحنا 5 من كلتا الكميتين، فهل يظل الجانب الأيسر أقل من الجانب الأيمن؟ .
    نحصل على −9 على اليسار و−3 على اليمين. .
    ونعلم أن −9 أقل من −3. .
     

    بقيت علامة عدم المساواة كما هي.

    طاولة\(\PageIndex{1}\)

    وبالمثل يمكننا أن نظهر أن عدم المساواة يظل أيضًا كما هو بالنسبة للإضافة.

    هذا يقودنا إلى خصائص الطرح والجمع لعدم المساواة.

    خصائص عدم المساواة

    \[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Inequality } } & { \textbf { Addition Property of Inequality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if }\qquad \quad a < b } & { \text { if } \qquad \quad a < b } \\ { \text { then } a - c < b - c . } & { \text { then } a + c < b + c } \\\\ { \text { if } \qquad \quad a > b } & { \text { if } \qquad \quad a > b } \\ { \text { then } a - c > b - c . } & { \text { then } a + c > b + c } \end{array}\]

    نحن نستخدم هذه الخصائص لحل المتباينات، مع اتخاذ نفس الخطوات التي استخدمناها لحل المعادلات. لحل عدم المساواة\(x+5>9\)، ستبدو الخطوات كما يلي:

    \[\begin{array}{rrll} {} &{x + 5} &{ >} &{9} \\ {\text{Subtract 5 from both sides to isolate }x.} &{x + 5 - 5} &{ >} &{9 - 5} \\{} &{x} &{ >} &{4} \\ \end{array}\]

    أي رقم أكبر من 4 هو حل لهذا التفاوت.

    التمارين\(\PageIndex{7}\)

    حل عدم المساواة\(n - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{8}\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة
      .
    أضف\(\frac{1}{2}\) إلى كلا جانبي عدم المساواة. .
    قم بالتبسيط. .
    ارسم حلًا بيانيًا على خط الأعداد. .
    اكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.  
    التمارين\(\PageIndex{8}\)

    حل عدم المساواة، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    \(p - \frac{3}{4} \geq \frac{1}{6}\)

    إجابة

    يوضح هذا الشكل عدم المساواة p أكبر من أو يساوي 11/12. يوجد أسفل عدم المساواة رسم بياني على خط أرقام يتراوح من 0 إلى 4، مع علامات التأشير في كل عدد صحيح. يوجد قوس عند p يساوي 11/12، ويمتد الخط الداكن إلى اليمين من 11/12. يوجد أسفل سطر الأرقام الحل المكتوب بترميز الفاصل الزمني: القوس، اللانهاية الفاصلة 11/12، الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{9}\)

    حل عدم المساواة، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    \(r - \frac{1}{3} \leq \frac{7}{12}\)

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة r أقل من أو يساوي 11/12. يوجد أسفل عدم المساواة رسم بياني على خط أرقام يتراوح من 0 إلى 4، مع علامات التأشير في كل عدد صحيح. يوجد قوس عند r يساوي 11/12، ويمتد الخط الداكن إلى اليسار من 11/12. يوجد أسفل خط الأرقام الحل المكتوب بتدوين الفاصل الزمني: الأقواس، فاصلة اللانهاية السالبة 11/12، القوس.

    حل المتباينات باستخدام خواص القسمة والضرب في عدم المساواة

    تنص خصائص القسمة والضرب للمساواة على أنه إذا تساوت كميتان، فعندما نقسم أو نضرب كلتا الكميتين بنفس المقدار، ستكون النتائج متساوية أيضًا (بشرط ألا نقسم على 0).

    خصائص المساواة

    \[\begin{array}{ll} {\textbf{Division Property of Equality}} &{\textbf{MUltiplication Property of Equality}} \\ {\text{For any numbers a, b, c, and c} \neq 0} &{\text{For any numbers a, b, c}} \\ {\text{if } \qquad a = b} &{\text{if} \qquad \quad a = b} \\ {\text{then }\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{c}} &{\text{then } \quad ac = bc} \end{array}\]

    هل هناك خصائص مماثلة لعدم المساواة؟ ماذا يحدث لعدم المساواة عندما نقسم أو نضرب كلا الجانبين بثابت؟

    فكر في بعض الأمثلة العددية.

      .   .
    قسّم كلا الجانبين على 5. . اضرب كلا الجانبين في 5. .
    قم بالتبسيط. .   .
    املأ علامات عدم المساواة. .   .
    طاولة\(\PageIndex{2}\)

    بقيت علامات عدم المساواة كما هي.

    هل تظل اللامساواة كما هي عندما نقسم أو نضرب عددًا سالبًا؟

      .   .
    قسّم كلا الجانبين بنسبة -5. . اضرب كلا الجانبين في -5. .
    قم بالتبسيط. .   .
    املأ علامات عدم المساواة. .   .
    طاولة\(\PageIndex{3}\)

    عكست علامات عدم المساواة اتجاهها.

    عندما نقسم أو نضرب عدم المساواة في رقم موجب، تظل علامة عدم المساواة كما هي. عندما نقسم أو نضرب عدم المساواة برقم سالب، تنعكس علامة عدم المساواة.

    فيما يلي خصائص القسمة والضرب لعدم المساواة للرجوع إليها بسهولة.

    خصائص القسمة والضرب لعدم المساواة

    لأي أرقام حقيقية أ، ب، ج

    \[\begin{array}{ll} {\text{if } a < b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a < b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \end{array}\]

    عندما نقسم أو نضرب عدم المساواة بـ:

    • الرقم الموجب، يبقى عدم المساواة كما هو.
    • الرقم السالب، ينعكس عدم المساواة.
    التمارين\(\PageIndex{10}\)

    حل عدم المساواة\(7y<​​42\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة
      .
    قسّم جانبي عدم المساواة على 7.
    منذ ذلك الحين\(7>0\)، يبقى عدم المساواة على حاله.    		 .
    قم بالتبسيط. .
    ارسم حلًا بيانيًا على خط الأعداد. .
    اكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني. .
    التمارين\(\PageIndex{11}\)

    حل عدم المساواة، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    \(9c>72\)

    إجابة

    \(c>8\)

    هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من 6 إلى 10 مع علامات الاختيار لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة c الأكبر من 8 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند c يساوي 8، وخط داكن يمتد إلى يمين الأقواس.

    \((8, \infty)\)

    التمارين\(\PageIndex{12}\)

    حل عدم المساواة، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    \(12d\leq 60\)

    إجابة

    \(d\leq 5\)

    هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من 3 إلى 7 مع علامات الاختيار لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة d الذي يقل عن أو يساوي 5 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند d يساوي 5، وخط داكن يمتد إلى يسار القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كأقواس، اللانهاية السالبة، الفاصلة 5، القوس.

    \((-\infty, 5]\)

    التمارين\(\PageIndex{13}\)

    حل عدم المساواة\(−10a\geq 50\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة
      .
    قسّم كلا جانبي عدم المساواة على −10.
    منذ\(−10<0\) ذلك الحين، ينعكس عدم المساواة.    		 .
    قم بالتبسيط. .
    ارسم حلًا بيانيًا على خط الأعداد. .
    اكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني. .
    التمارين\(\PageIndex{14}\)

    حل كل تفاوت، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    \(−8q<32\)

    إجابة

    \(q>−4\)

    هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من سالب 6 إلى سالب 3 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة q الأكبر من سالب 4 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند q يساوي سالب 4، وخط داكن يمتد إلى يمين الأقواس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بتدوين الفاصل الزمني كأقواس، وسالب 4 فاصلة، اللانهاية، الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{15}\)

    حل كل تفاوت، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    \(−7r\leq −70\)

    إجابة

    هذا الرقم هو خط أرقام يتراوح من 9 إلى 13 مع علامات الاختيار لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة r الذي يزيد عن أو يساوي 10 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند r يساوي 10، وخط داكن يمتد إلى يمين القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كقوس، 10 فاصلة، اللانهاية، الأقواس.

    حل عدم المساواة
    في بعض الأحيان عند حل عدم المساواة، ينتهي المتغير على اليمين. يمكننا إعادة كتابة عدم المساواة في الاتجاه المعاكس للحصول على المتغير إلى اليسار.

    \[\begin{array}{l} x > a\text{ has the same meaning as } a < x \end{array}\]

    فكر في الأمر على أنه «إذا كان Xavier أطول من أليكس، فإن أليكس أقصر من Xavier».

    التمارين\(\PageIndex{16}\)

    حل عدم المساواة\(-20 < \frac{4}{5}u\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة
      .
    اضرب كلا جانبي عدم المساواة في\(\frac{5}{4}\).
    منذ ذلك الحين\(\frac{5}{4} > 0\)، يبقى عدم المساواة على حاله.    		 .
    قم بالتبسيط. .
    أعد كتابة المتغير الموجود على اليسار. .
    ارسم حلًا بيانيًا على خط الأعداد. .
    اكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني. .
    التمارين\(\PageIndex{17}\)

    حل عدم المساواة، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    \(24 \leq \frac{3}{8}m\)

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة m أكبر من أو يساوي 64. يوجد أسفل عدم المساواة هذا خط أرقام يتراوح من 63 إلى 67 بعلامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة m الذي يزيد عن أو يساوي 64 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند m يساوي 64، وخط داكن يمتد إلى يمين القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كقوس، 64 فاصلة، اللانهاية، الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{18}\)

    حل عدم المساواة، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    \(-24 < \frac{4}{3}n\)

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة n أكبر من سالب 18. يوجد أسفل هذا التفاوت خط أرقام يتراوح من سالب 20 إلى سالب 16 بعلامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم التباين n الأكبر من سالب 18 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند n يساوي سالب 18، وخط داكن يمتد إلى يمين الأقواس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بتدوين الفاصل الزمني كأقواس، وسالب 18 فاصلة، اللانهاية، الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{19}\)

    حل عدم المساواة\(\frac{t}{-2} \geq 8\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة
      .
    اضرب كلا جانبي عدم المساواة في −2.
    منذ\(−2<0\) ذلك الحين، ينعكس عدم المساواة.    		 .
    قم بالتبسيط. .
    ارسم حلًا بيانيًا على خط الأعداد. .
    اكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني. .
    التمارين\(\PageIndex{20}\)

    حل عدم المساواة، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    \(\frac{k}{-12}\leq 15\)

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة k أكبر من أو يساوي سالب 180. يوجد أسفل هذا التفاوت خط أرقام يتراوح من سالب 181 إلى سالب 177 بعلامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة k الأكبر من أو يساوي سالب 180 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند n يساوي سالب 180، وخط داكن يمتد إلى يمين القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بتدوين الفاصل الزمني كقوس، وسالب 180 فاصلة، اللانهاية، الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{21}\)

    حل عدم المساواة، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    \(\frac{u}{-4}\geq -16\)

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة u أقل من أو يساوي 64. يوجد أسفل عدم المساواة هذا خط أرقام يتراوح من 62 إلى 66 بعلامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة u الذي يقل عن أو يساوي 64 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند u يساوي 64، وخط داكن يمتد إلى يسار القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بتدوين الفاصل الزمني كأقواس، وفاصلة اللانهاية السالبة 64، والقوس.

    ​​​​​

    حل عدم المساواة التي تتطلب التبسيط

    ستستغرق معظم حالات عدم المساواة أكثر من خطوة لحلها. نحن نتبع نفس الخطوات التي استخدمناها في الاستراتيجية العامة لحل المعادلات الخطية، ولكن تأكد من إيلاء اهتمام وثيق أثناء الضرب أو القسمة.

    التمارين\(\PageIndex{22}\)

    حل عدم المساواة\(4m\leq 9m+17\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة
      .
    اطرح 9 أمتار من كلا الجانبين لتجميع المتغيرات الموجودة على اليسار. .
    قم بالتبسيط. .
    قسّم كلا جانبي عدم المساواة على −5، وعكسوا عدم المساواة. .
    قم بالتبسيط. .
    ارسم حلًا بيانيًا على خط الأعداد. .
    اكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني. .
    التمارين\(\PageIndex{23}\)

    حل عدم المساواة\(3q\geq 7q−23\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة q أقل من أو يساوي 23/4. يوجد أسفل هذا التفاوت خط أرقام يتراوح من 4 إلى 8 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة q الذي يقل عن أو يساوي 23/4 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند q يساوي 23/4 (مكتوبًا)، وخط داكن يمتد إلى يسار القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بتدوين الفاصل الزمني كأقواس، وفاصلة اللانهاية السالبة 23/4، والقوس.

    التمارين\(\PageIndex{24}\)

    حل عدم المساواة\(6x<10x+19\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة x أكبر من سالب 19/4. يوجد أسفل هذا التفاوت خط أرقام يتراوح من سالب 7 إلى سالب 3، مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. التباين x أكبر من سالب 19/4 مرسوم بيانيًا على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند x يساوي سالب 19/4 (مكتوبًا)، وخط داكن يمتد إلى يمين الأقواس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بالتدوين الفاصل الزمني كأقواس، وفاصلة سالبة 19/4، اللانهاية، الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{25}\)

    حل حل حل\(8p+3(p−12)>7p−28\) التمثيل البياني للتفاوت على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة
    قم بتبسيط كل جانب قدر الإمكان. 8p+3 (p−12) >7p−28
    توزيع. 8 ص+3p−36> 7p−28
    اجمع بين المصطلحات المتشابهة. 11p−36>7p−28
    اطرح 7p من كلا الجانبين لتجميع المتغيرات الموجودة على اليسار. 11p−36-7p>7p−28-7p
    قم بالتبسيط. 4p−36>−28
    أضف 36 إلى كلا الجانبين لجمع الثوابت على اليمين. 4p−36+36>−28+36
    قم بالتبسيط. 4p>8
    قسّم كلا جانبي عدم المساواة على 4؛ يبقى عدم المساواة كما هو. \(\frac{4p}{4}>84\)
    قم بالتبسيط. \(p>2\)
    ارسم حلًا بيانيًا على خط الأعداد. .
    اكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني. \((2, \infty)\)
    التمارين\(\PageIndex{26}\)

    حل عدم المساواة\(9y+2(y+6)>5y−24\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة y أكبر من سالب 6. يوجد أسفل هذا التفاوت خط أرقام يتراوح من سالب 7 إلى سالب 3 بعلامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم التباين y الأكبر من سالب 6 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند y يساوي سالب 6، وخط داكن يمتد إلى يمين الأقواس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بتدوين الفاصل الزمني كأقواس، وسالب 6 فاصلة، اللانهاية، الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{27}\)

    حل عدم المساواة\(6u+8(u−1)>10u+32\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة u أكبر من 10. يوجد أسفل عدم المساواة هذا خط أرقام يتراوح من 9 إلى 13 بعلامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة u الأكبر من 10 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند u يساوي 10، وخط داكن يمتد إلى يمين الأقواس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا بتدوين الفاصل الزمني كأقواس، 10 فاصلة، اللانهاية، الأقواس.

    تمامًا مثل بعض المعادلات عبارة عن هويات وبعضها تناقضات، قد تكون أوجه عدم المساواة هويات أو تناقضات أيضًا. نحن ندرك هذه الأشكال عندما يتبقى لنا ثوابت فقط أثناء حل عدم المساواة. إذا كانت النتيجة عبارة صحيحة، فلدينا هوية. إذا كانت النتيجة عبارة خاطئة، فلدينا تناقض.

    التمارين\(\PageIndex{28}\)

    حل عدم المساواة\(8x−2(5−x)<4(x+9)+6x\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة
    قم بتبسيط كل جانب قدر الإمكان. 8x−2 (5−x) <4 (x+9) +6x
    توزيع. 8x−10+2 × <4x+36+6x
    اجمع بين المصطلحات المتشابهة. 10x−10<10x+36
    اطرح 10x من كلا الجانبين لتجميع المتغيرات الموجودة على اليسار. 10x−10−10x<10x+36−10x
    قم بالتبسيط. −10<36
    اختفت xx، ولدينا بيان حقيقي. عدم المساواة هي هوية.
    الحل هو جميع الأرقام الحقيقية.
    ارسم حلًا بيانيًا على خط الأعداد. .
    اكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني. \((-\infty, \infty)\)
    التمارين\(\PageIndex{29}\)

    حل عدم المساواة\(4b−3(3−b)>5(b−6)+2b\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة

    يوضح هذا الشكل عدم المساواة التي تمثل الهوية. يوجد أسفل هذا التفاوت خط أرقام يتراوح من سالب 2 إلى 2 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم الهوية على خط الأرقام، مع خط داكن يمتد في كلا الاتجاهين. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كأقواس، اللانهاية السالبة، الفاصلة، اللانهاية، الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{30}\)

    حل عدم المساواة\(9h−7(2−h)<8(h+11)+8h\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة

    يوضح هذا الشكل عدم المساواة التي تمثل الهوية. يوجد أسفل هذا التفاوت خط أرقام يتراوح من سالب 2 إلى 2 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم الهوية على خط الأرقام، مع خط داكن يمتد في كلا الاتجاهين. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كأقواس، اللانهاية السالبة، الفاصلة، اللانهاية، الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{31}\)

    حل عدم المساواة\(\frac{1}{3}a - \frac{1}{8}a > \frac{5}{24}a + \frac{3}{4}\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة
      .
    اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD، 24، لمسح الكسور. .
    قم بالتبسيط. .
    اجمع بين المصطلحات المتشابهة. .
    اطرح 5a من كلا الجانبين لتجميع المتغيرات الموجودة على اليسار. .
    قم بالتبسيط. .
    البيان خاطئ! عدم المساواة هو تناقض.
      لا يوجد حل.
    ارسم حلًا بيانيًا على خط الأعداد. .
    اكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني. لا يوجد حل.
    التمارين\(\PageIndex{32}\)

    حل عدم المساواة\(\frac{1}{4}x - \frac{1}{12}x > \frac{1}{6}x + \frac{7}{8}\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة

    يوضح هذا الشكل عدم المساواة الذي يمثل تناقضًا. يوجد أدناه خط أرقام يتراوح من سالب 2 إلى 2 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. لم يتم رسم أي تفاوت بيانيًا على خط الأعداد. أسفل سطر الأرقام توجد العبارة: «لا يوجد حل».

    التمارين\(\PageIndex{33}\)

    حل عدم المساواة\(\frac{2}{5}z - \frac{1}{3}z < \frac{1}{15}z - \frac{3}{5}\)، ورسم الحل بيانيًا على خط الأعداد، واكتب الحل بالتدوين الفاصل الزمني.

    إجابة

    يوضح هذا الشكل عدم المساواة الذي يمثل تناقضًا. يوجد أدناه خط أرقام يتراوح من سالب 2 إلى 2 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. لم يتم رسم أي تفاوت بيانيًا على خط الأعداد. أسفل سطر الأرقام توجد العبارة: «لا يوجد حل».

    ترجم إلى عدم المساواة وحلّها

    لترجمة الجمل الإنجليزية إلى تفاوتات، نحتاج إلى التعرف على العبارات التي تشير إلى عدم المساواة. بعض الكلمات سهلة، مثل «أكثر من» و «أقل من». لكن البعض الآخر ليس واضحًا.

    فكر في عبارة «على الأقل» - ماذا يعني أن يكون عمرك «21 عامًا على الأقل»؟ يعني 21 أو أكثر. عبارة «على الأقل» هي نفس عبارة «أكبر من أو تساوي».

    \(\PageIndex{4}\)[1]يعرض الجدول بعض العبارات الشائعة التي تشير إلى عدم المساواة.

    > \(\geq\) < \(\leq\)
    فئة «data-valign=» middle = «lt-math-15134">أكبر من \ (\ geq\)» data-valign= «middle» class="lt-math-15134">أكبر من أو يساوي أقل من \ (\ leq\)» data-valign= «middle» class="lt-math-15134">أقل من أو يساوي
    فئة «data-valign=» middle = «lt-math-15134">هي أكثر من \ (\ geq\)» data-valign= «middle» class="lt-math-15134">على الأقل أصغر من \ (\ leq\)» data-valign= «middle» class="lt-math-15134">على الأكثر
    فئة «data-valign=» middle = «lt-math-15134">أكبر من \ (\ geq\)» data-valign= «middle» class="lt-math-15134">لا تقل عن لديه أقل من \ (\ leq\)» data-valign= «middle» class="lt-math-15134">لا تزيد عن
    فئة «data-valign=» middle = «lt-math-15134">تتجاوز \ (\ geq\)» data-valign= «middle» class="lt-math-15134">هو الحد الأدنى أقل من \ (\ leq\)» data-valign= «middle» class="lt-math-15134">هو الحد الأقصى
    طاولة\(\PageIndex{4}\)
    التمارين\(\PageIndex{34}\)

    قم بالترجمة والحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفاصل الزمني والرسم البياني على خط الأعداد.

    اثنا عشر مرة في c لا تزيد عن 96.

    إجابة
    ترجم. .
    الحل - قسّم كلا الجانبين بمقدار 12. .
    قم بالتبسيط. .
    اكتب بالتدوين الفاصل الزمني. .
    رسم بياني على خط الأعداد. .
    التمارين\(\PageIndex{35}\)

    قم بالترجمة والحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفاصل الزمني والرسم البياني على خط الأعداد.

    عشرون مرة y هي 100 على الأكثر

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة 20y أقل من أو يساوي 100، ثم الحل: y أقل من أو يساوي 5. يوجد أسفل هذا التفاوت خط أرقام يتراوح من 4 إلى 8 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة y الذي يقل عن أو يساوي 5 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند y يساوي 5، وخط داكن يمتد إلى يسار القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كأقواس، اللانهاية السالبة، الفاصلة 5، القوس.

    التمارين\(\PageIndex{36}\)

    قم بالترجمة والحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفاصل الزمني والرسم البياني على خط الأعداد.

    تسع مرات z لا تقل عن 135

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة 9z أكبر من أو يساوي 135، ثم الحل: z أكبر من أو يساوي 15. يوجد أسفل عدم المساواة هذا خط أرقام يتراوح من 14 إلى 18 بعلامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم التباين z الذي يزيد عن أو يساوي 15 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند z يساوي 15، وخط داكن يمتد إلى يمين القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كقوس، 15 فاصلة، اللانهاية، الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{37}\)

    قم بالترجمة والحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفاصل الزمني والرسم البياني على خط الأعداد.

    أقل بثلاثين من x يساوي 45 على الأقل.

    إجابة
    ترجم. .
    الحل - أضف 30 إلى كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .
    اكتب بالتدوين الفاصل الزمني. .
    رسم بياني على خط الأعداد. .
    التمارين\(\PageIndex{38}\)

    قم بالترجمة والحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفاصل الزمني والرسم البياني على خط الأعداد.

    تسعة عشر أقل من p لا تقل عن 47

    إجابة

    يوضح هذا الشكل أن عدم المساواة p ناقص 19 أكبر من أو يساوي 47، ثم حلها: p أكبر من أو يساوي 66. يوجد أسفل عدم المساواة هذا خط أرقام يتراوح من 65 إلى 69 بعلامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة p الذي يزيد عن أو يساوي 66 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند p يساوي 66، وخط داكن يمتد إلى يمين القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كقوس، 66 فاصلة، اللانهاية، الأقواس.

    التمارين\(\PageIndex{39}\)

    قم بالترجمة والحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفاصل الزمني والرسم البياني على خط الأعداد.

    أربعة أكثر من a يساوي 15 على الأكثر.

    إجابة

    يوضح هذا الشكل عدم المساواة a زائد 4 أقل من أو يساوي 15، ثم حلها: a أقل من أو يساوي 11. يوجد أسفل هذا التفاوت خط أرقام يتراوح من 10 إلى 14 مع علامات تحديد لكل عدد صحيح. يتم رسم عدم المساواة a الذي يقل عن أو يساوي 11 على خط الأعداد، مع وجود قوس مفتوح عند a يساوي 11، وخط داكن يمتد إلى يسار القوس. تتم كتابة عدم المساواة أيضًا في الترميز الفاصل الزمني كأقواس، اللانهاية السالبة 11، القوس.

    المفاهيم الرئيسية

    • خاصية الطرح في عدم المساواة
      بالنسبة لأي أعداد أ، ب، ج،
      إذا كانت a<b ثم a−c<b−c
      وإذا a>b ثم a−c>b−c.
    • خاصية إضافة عدم المساواة
      لأي أرقام a و b و c،
      إذا كانت a<b ثم a+c<b+c
      وإذا a>b ثم a+c>b+c.
    • خصائص القسمة والضرب في عدم المساواة y
      بالنسبة لأي أرقام أ، ب، ج،
      إذا كانت a <b and c>0، ثم c <bc and ac>bc.
      إذا كان a> b و c>0، ثم ac>bc و ac>bc.
      إذا كان <b و cbc<0, then ac> و ac>bc.
      إذا كان a>b و c <0، ثم ac<bc و ac<bc.
    • عندما نقسم أو نضرب عدم المساواة بـ:
      • الرقم الموجب، يبقى عدم المساواة كما هو.
      • الرقم السالب، ينعكس عدم المساواة.