Processing math: 98%
Skip to main content
Library homepage
 
Global

1.10: خصائص الأعداد الحقيقية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • استخدم الخصائص التبادلية والترابطية
  • استخدم الهوية والخصائص العكسية للجمع والضرب
  • استخدم خصائص الصفر
  • قم بتبسيط التعبيرات باستخدام خاصية التوزيع
ملاحظة

يمكن العثور على مقدمة أكثر شمولاً للموضوعات التي يتم تناولها في هذا القسم في فصل ما قبل الجبر، «خصائص الأرقام الحقيقية».

استخدم الخصائص الإبدالية والترابطية

فكر في إضافة رقمين، قل 5 و 3. الترتيب الذي نضيفها به لا يؤثر على النتيجة، أليس كذلك؟

5+33+5885+3=3+5

النتائج هي نفسها.

كما نرى، لا يهم الترتيب الذي نضيف به!

ماذا عن ضرب 5 و 3؟

5335151553=35

مرة أخرى، النتائج هي نفسها!

الترتيب الذي نضرب به لا يهم!

توضح هذه الأمثلة الخاصية التبادلية. عند الإضافة أو الضرب، فإن تغيير الترتيب يعطي نفس النتيجة.

الملكية التبادلية

 of Addition  If a,b are real numbers, then a+b=b+a of Multiplication  If a,b are real numbers, then ab=ba

عند الإضافة أو الضرب، فإن تغيير الترتيب يعطي نفس النتيجة.

الخاصية التبادلية لها علاقة بالترتيب. إذا قمت بتغيير ترتيب الأرقام عند الجمع أو الضرب، فإن النتيجة هي نفسها.

ماذا عن الطرح؟ هل الترتيب مهم عندما نطرح الأرقام؟ هل يعطي 7−3 نفس النتيجة مثل 3−7؟

733744

447337

النتائج ليست هي نفسها.

نظرًا لأن تغيير ترتيب الطرح لا يعطي نفس النتيجة، فنحن نعلم أن الطرح ليس إبداليًا.

دعونا نرى ما يحدث عندما نقسم رقمين. هل التقسيم تبادلي؟

12÷44÷12124412313
31312÷44÷12

النتائج ليست هي نفسها.

نظرًا لأن تغيير ترتيب القسمة لا يعطي نفس النتيجة، فإن القسمة ليست تبديلية. تنطبق الخصائص التبادلية فقط على الجمع والضرب!

  • الجمع والضرب تبديلان.
  • الطرح والقسمة لا يتبادلان.

إذا طُلب منك تبسيط هذا التعبير، فكيف ستفعل ذلك وماذا ستكون إجابتك؟

7+8+2

قد يعتقد بعض الناس7+8 أنه 15 ثم15+2 17. قد يبدأ البعض الآخر بالرقم 10 ثم7+10 يصنع 17.8+2

في كلتا الحالتين تعطي نفس النتيجة. تذكر أننا نستخدم الأقواس كرموز تجميع للإشارة إلى العملية التي يجب إجراؤها أولاً.

 Add 7+8.(7+8)+2 Add. 15+2 Add. 177+(8+2) Add 8+2.7+10 Add. 77(7+8)+2=7+(8+2)

عند إضافة ثلاثة أرقام، فإن تغيير تجميع الأرقام يعطي نفس النتيجة.

هذا صحيح بالنسبة للضرب أيضًا.

(513)3 Multiply. 513533 Multiply. 55(133) Multiply. 13351 Multiply. 5(513)3=5(133)

عند ضرب ثلاثة أرقام، فإن تغيير تجميع الأرقام يعطي نفس النتيجة.

ربما تعرف هذا، لكن المصطلحات قد تكون جديدة بالنسبة لك. توضح هذه الأمثلة الخاصية الترابطية.

الملكية الترابطية

 of Addition  If a,b,c are real numbers, then (a+b)+c=a+(b+c) of Multiplication  If a,b,c are real numbers, then (ab)c=a(bc)

عند الإضافة أو الضرب، فإن تغيير التجميع يعطي نفس النتيجة.

دعونا نفكر مرة أخرى في الضرب5133. حصلنا على نفس النتيجة في كلا الاتجاهين، ولكن ما هي الطريقة الأسهل؟ يؤدي الضرب13 و3 أولاً، كما هو موضح أعلاه على الجانب الأيمن، إلى إزالة الكسر في الخطوة الأولى. يمكن أن يؤدي استخدام الخاصية الترابطية إلى تسهيل الرياضيات!

الخاصية الترابطية لها علاقة بالتجميع. إذا قمنا بتغيير كيفية تجميع الأرقام، فستكون النتيجة هي نفسها. لاحظ أنها نفس الأرقام الثلاثة بنفس الترتيب - الاختلاف الوحيد هو التجميع.

لقد رأينا أن الطرح والقسمة ليسا بديلين. كما أنها ليست ترابطية.

عند تبسيط التعبير، من الجيد دائمًا التخطيط للخطوات التي ستكون. من أجل دمج المصطلحات المتشابهة في المثال التالي، سنستخدم خاصية الإبدال الخاصة بالإضافة لكتابة المصطلحات المتشابهة معًا.

التمارين1.10.1

قم بالتبسيط:18p+6q+15p+5q.

إجابة

18p+6q+15p+5q Use the commutative property of addition to re-order so that like terms are together.18p+15p+6q+5qAdd like terms.33p+11q

التمارين1.10.2

قم بالتبسيط:23r+14s+9r+15s.

إجابة

32r+29s

التمارين1.10.3

قم بالتبسيط:37m+21n+4m15n.

إجابة

41m+6n

عندما يتعين علينا تبسيط التعبير الجبري s، يمكننا غالبًا تسهيل العمل من خلال تطبيق الخاصية الإبدالية أو الترابطية أولاً، بدلاً من اتباع ترتيب العمليات تلقائيًا. عند جمع الكسور أو طرحها، اجمع تلك التي لها قاسم مشترك أولاً.

التمارين1.10.4

قم بالتبسيط:(513+34)+14

إجابة

(513+34)+14 Notice that the last 2 terms have a  common denominator, so change the 513+(34+14) grouping. Add in parentheses first.513+(44)Simplify the fraction.513+1Add.1513Convert to an improper fraction.1813

التمارين1.10.5

قم بالتبسيط:(715+58)+38

إجابة

1715

التمارين1.10.6

قم بالتبسيط:(29+712)+512

إجابة

129

التمارين1.10.7

استخدم الخاصية الترابطية للتبسيط6(3x).

إجابة

استخدم الخاصية الترابطية للضرب(ab)c=a(bc)، لتغيير التجميع.

6(3x) Change the grouping. (63)x Multiply in the parentheses. 18

لاحظ أنه يمكننا الضرب63 ولكن لا يمكننا الضرب\(3x\) دون الحصول على قيمة لـ\(x\).

التمارين1.10.8

استخدم الخاصية الترابطية للتبسيط8(4x).

إجابة

32x

التمارين1.10.9

استخدم الخاصية الترابطية للتبسيط9(7y).

إجابة

63y

استخدم خصائص الهوية والمعكوس للجمع والضرب

ماذا يحدث عندما نضيف 0 إلى أي رقم؟ لا تؤدي إضافة 0 إلى تغيير القيمة. لهذا السبب، نسمي 0 الهوية الإضافية.

على سبيل المثال،

13+014+00+(8)13148

توضح هذه الأمثلة خاصية الهوية الخاصة بالإضافة التي تنص على ذلك لأي رقم حقيقيa,a+0=a و0+a=a.

ماذا يحدث عندما نضرب أي رقم في واحد؟ الضرب في 1 لا يغير القيمة. لذلك نسمي 1 الهوية المضاعفة.

على سبيل المثال،431271135432735

توضح هذه الأمثلة خاصية الهوية الخاصة بالضرب التي تنص على ذلك لأي رقم حقيقيa،a1=a و1a=a.

نحن نلخص خصائص الهوية أدناه.

خاصية الهوية

of addition For any real number a:a+0=a0+a=a0 is the additive identity of multiplication For any real number a:a1=a1a=a1 is the multiplicative identity 

في السطر العلوي من هذا الشكل، لدينا السؤال «ما العدد المضاف إلى العدد ٥ الذي يعطي الهوية الإضافية، ٠؟» في السطر التالي، لدينا 5 زائد مساحة فارغة تساوي 0. ثم يُذكر أن «نعرف أن 5 زائد سالب 5 يساوي 0». في السطر التالي، لدينا سؤال «ما العدد المضاف إلى سالب 6 الذي يعطي الهوية الإضافية، 0؟» في السطر التالي، لدينا سالب 6 زائد مساحة فارغة تساوي 0. ثم يُذكر أن «سالب 6 زائد 6 يساوي 0».
الشكل1.10.1

لاحظ أنه في كل حالة، كان الرقم المفقود هو عكس الرقم!

نحن نسميa. المعكوس الجمعي لـ a. نقيض الرقم هو معكوسه الإضافي. الرقم ونقيضه يضيفان إلى الصفر، وهو الهوية الإضافية. يؤدي هذا إلى خاصية الجمع العكسية التي تنص على أي رقم حقيقيa,a+(a)=0. تذكر أن الرقم ونقيضه يضيفان إلى الصفر.

ما العدد23 مضروبًا في إعطاء الهوية المضاعفة، ١؟ بعبارة أخرى،23 أضعاف ما هي النتائج في 1؟

لدينا عبارة مفادها أن 2/3 مرات في المساحة الفارغة تساوي 1. ثم يُذكر أن «نعلم أن 2/3 مرات 3/2 تساوي 1.»
الشكل1.10.2

ما العدد مضروبًا في ٢ الذي يُعطي الهوية الضربية، ١؟ بمعنى آخر مرتين ما هي النتائج في 1؟

لدينا عبارة مفادها أن ضعف المساحة الفارغة يساوي 1. ثم يُذكر أن «نحن نعلم أن 2 في 1/2 يساوي 1.»
الشكل1.10.3

لاحظ أنه في كل حالة، كان الرقم المفقود هو مقلوب الرقم!

نسمي1a المعكوس الضربي لـ a. مقلوب العدد هو معكوسه الضربي. عدد وضربه في واحد، وهو الهوية المضاعفة. يؤدي هذا إلى خاصية الضرب العكسية التي تنص على ذلك لأي رقم حقيقيa,a0,a1a=1.

سنذكر رسميًا الخصائص العكسية هنا:

خاصية عكسية

 of addition  For any real number a,a+(a)=0a. is the additive inverse of a A number and its opposite add to zero.  of multiplication  For any real number a,a0a1a=11a. is the multiplicative inverse of a A number and its reciprocal multiply to zero. 

التمارين1.10.10

أوجد المعكوس الجمعي لـ

  1. 58
  2. 0.6
  3. 8
  4. 43
إجابة

لإيجاد المعكوس الجمعي، نجد العكس.

  1. المعكوس الجمعي لـ58 هو عكس58. المعكوس الجمعي لـ58 هو58
  2. المعكوس الجمعي لـ0.6 هو عكس0.6. المعكوس الجمعي لـ0.6 is0.6.
  3. المعكوس الجمعي لـ8 هو عكس8. نكتب عكس8 as(8)، ثم نبسطه إلى8. لذلك، فإن المعكوس الجمعي لـ8 هو8.
  4. المعكوس الجمعي لـ43 هو عكس43. نكتب هذا كـ(43)، ثم نبسطه43. وبالتالي، فإن المعكوس الجمعي لـ43 هو43.
التمارين1.10.11

أوجد المعكوس الجمعي لـ

  1. 79
  2. 1.2
  3. 14
  4. 94
إجابة
  1. 79
  2. 1.2
  3. 14
  4. 94
التمارين1.10.12

أوجد المعكوس الجمعي لـ

  1. 713
  2. 8.4
  3. 46
  4. 52
إجابة
  1. 713
  2. 8.4
  3. 46
  4. 52
التمارين1.10.13

أوجد المعكوس الضربي لـ

  1. 9
  2. 19
  3. 0.9
إجابة

لإيجاد المعكوس الضربي، نجد المقلوب.

  1. المعكوس الضربي لـ9 هو مقلوب9، وهو19. لذلك، فإن المعكوس الضربي لـ9 is19.
  2. المعكوس الضربي لـ19 هو مقلوب19، وهو9. وبالتالي، فإن المعكوس الضربي لـ19 is9.
  3. لإيجاد المعكوس الضربي لـ0.9، نقوم أولاً بالتحويل0.9 إلى كسر،910. ثم نجد مقلوب الكسر. المعاملة بالمثل910 هي109. لذا فإن المعكوس الضربي لـ0.9 هو109.
التمارين1.10.14

أوجد المعكوس الضربي لـ

  1. 4
  2. 17
  3. 0.3
إجابة
  1. 14
  2. 7
  3. 103
التمارين1.10.15

أوجد المعكوس الضربي لـ

  1. 18
  2. 45
  3. 0.6
إجابة
  1. 118
  2. 54
  3. 53

استخدم خصائص الصفر

تقول خاصية الهوية الخاصة بالإضافة أنه عندما نضيف 0 إلى أي رقم، تكون النتيجة هي نفس الرقم. ماذا يحدث عندما نضرب عددًا في 0؟ الضرب في 0 يجعل المنتج يساوي صفرًا.

الضرب بالصفر

لأي رقم حقيقي a.

a0=00a=0

منتج أي رقم حقيقي و 0 هو 0.

ماذا عن القسمة التي تتضمن الصفر؟ ما هي0÷3؟ فكر في مثال حقيقي: إذا لم تكن هناك ملفات تعريف الارتباط في جرة ملفات تعريف الارتباط وكان على 3 أشخاص مشاركتها، فما عدد ملفات تعريف الارتباط التي يحصل عليها كل شخص؟ لا توجد ملفات تعريف ارتباط لمشاركتها، لذلك يحصل كل شخص على 0 ملفات تعريف الارتباط. لذا،

0÷3=0

يمكننا التحقق من القسمة بحقيقة الضرب ذات الصلة.

12÷6=2 because 26=12

لذلك نحن نعرف0÷3=0 ذلك بسبب03=0.

قسم الصفر

لأي رقم حقيقي a، باستثناء0,0a=0 و0÷a=0.

الصفر مقسومًا على أي رقم حقيقي باستثناء الصفر هو صفر.

الآن فكر في القسمة على الصفر. ما نتيجة قسمة 4 على 0؟ فكر في حقيقة الضرب ذات الصلة:4÷0=? الوسائل?0=4. هل هناك رقم مضروبًا في 0 يعطي 4؟ نظرًا لأن أي رقم حقيقي مضروبًا في 0 يعطي 0، فلا يوجد رقم حقيقي يمكن ضربه في 0 للحصول على 4.

نستنتج أنه لا توجد إجابة لذلك نقول أن القسمة على 0 غير محددة.4÷0

القسمة على صفر

لأي رقم حقيقي a، باستثناء0,a0a÷0 وغير معرف.

القسمة على الصفر غير محددة.

نحن نلخص خصائص الصفر أدناه.

خصائص الصفر

الضرب بالصفر: لأي رقم حقيقي a،

a0=00a=0 The product of any number and 0 is 0

قسمة الصفر، القسمة على الصفر: لأي رقم حقيقيa,a0

0a=0 Zero divided by any real number, except itself is zero. a0 is undefined  Division by zero is undefined. 

التمارين1.10.16

قم بالتبسيط:

  1. 80
  2. 02
  3. 320
إجابة
  1. 80The product of any real number and 0 is 00
  2. 02Zero divided by any real number, exceptitself, is 00
  3. 320Division by 0 is undefined.undefined
التمارين1.10.17

قم بالتبسيط:

  1. 140
  2. 06
  3. 20
إجابة
  1. 0
  2. 0
  3. غير محدد
التمارين1.10.18

قم بالتبسيط:

  1. 0(17)
  2. 010
  3. 50
إجابة
  1. 0
  2. 0
  3. غير محدد

سنتدرب الآن على استخدام خصائص الهويات والمعكوسات والصفر لتبسيط التعبيرات.

التمارين1.10.19

قم بالتبسيط:

  1. 0n+5، أينn5
  2. 103p0أين103p0
إجابة
  1. 0n+5 Zero divided by any real number except 0 itself is 0.
  2. 103p0 Division by 0 is undefined undefined
التمارين1.10.20

قم بالتبسيط:84n+(73n)+84n.

إجابة

84n+(73n)+84n Notice that the first and third terms are  opposites; use the commutative property of 84n+84n+(73n) addition to re-order the terms.  Add left to right. 0+(73) Add. 73n

التمارين1.10.21

قم بالتبسيط:27a+(48a)+27a.

إجابة

48a

التمارين1.10.22

قم بالتبسيط:39x+(92x)+(39x).

إجابة

92x

سنرى الآن كيف أن التعرف على المعاملة بالمثل مفيد. قبل الضرب من اليسار إلى اليمين، ابحث عن الترددية - منتجها هو 1.

التمارين1.10.23

قم بالتبسيط:715823157

إجابة

715823157 Notice that the first and third terms are  reciprocals, so use the commutative 715157823 property of multiplication to re-order the  factors.  Multiply left to right. 1823Multiply.823

التمارين1.10.24

قم بالتبسيط:916549169

إجابة

549

التمارين1.10.25

قم بالتبسيط:6171125176

إجابة

1125

التمارين1.10.26

قم بالتبسيط:

  1. 0m+7، أينm7
  2. 186c0، أين186c0
إجابة
  1. 0
  2. غير محدد
التمارين1.10.27

قم بالتبسيط:

  1. 0d4، أينd4
  2. 154q0، أين154q0
إجابة
  1. 0
  2. غير محدد
التمارين1.10.28

قم بالتبسيط:3443(6x+12)

إجابة

3443(6x+12) There is nothing to do in the parentheses,  so multiply the two fractions first—notice, 1(6x+12) they are reciprocals.  Simplify by recognizing the multiplicative  identity.6x+12

التمارين1.10.29

قم بالتبسيط:2552(20y+50)

إجابة

20y+50

التمارين1.10.30

قم بالتبسيط:3883(12z+16)

إجابة

12z+16

تبسيط التعبيرات باستخدام خاصية التوزيع

لنفترض أن ثلاثة أصدقاء سيذهبون إلى السينما. يحتاج كل منهم إلى 9.25 دولارًا - أي 9 دولارات وربع واحد - لدفع ثمن تذاكرهم. كم من المال يحتاجون إليه جميعًا معًا؟

يمكنك التفكير في الدولارات بشكل منفصل عن الأرباع. إنهم بحاجة إلى 3 أضعاف 9 دولارات، أي 27 دولارًا، و 3 مرات في الربع الأول، أي 75 سنتًا. في المجموع، يحتاجون إلى 27.75 دولارًا. إذا فكرت في إجراء الرياضيات بهذه الطريقة، فأنت تستخدم خاصية التوزيع.

خاصية التوزيع

 If a,b,c are real numbers, then a(b+c)=ab+ac Also,(b+c)a=ba+caa(bc)=abac(bc)a=baca

بالعودة إلى أصدقائنا في الأفلام، يمكننا العثور على المبلغ الإجمالي للأموال التي يحتاجونها على النحو التالي:

3(9.25)3(9+0.25)3(9)+3(0.25)27+0.7527.75

في الجبر، نستخدم خاصية التوزيع لإزالة الأقواس أثناء تبسيط التعبيرات.

على سبيل المثال، إذا طُلب منا تبسيط التعبير3(x+4)، فإن ترتيب العمليات ينص على العمل بين قوسين أولاً. ولكن لا يمكننا إضافة x و 4، لأنها ليست مثل المصطلحات. لذلك نستخدم خاصية التوزيع، كما هو موضح في التمرين1.10.31.

التمارين1.10.31

قم بالتبسيط:3(x+4).

إجابة

3(x+4) Distribute. 3x+34 Multiply. 3x+12

التمارين1.10.32

قم بالتبسيط:4(x+2).

إجابة

4x+8

التمارين1.10.33

قم بالتبسيط:6(x+7).

إجابة

6x+42

يجد بعض الطلاب أنه من المفيد رسم الأسهم لتذكيرهم بكيفية استخدام خاصية التوزيع. ثم1.10.31 ستبدو الخطوة الأولى في التمرين كما يلي:

لدينا التعبير ٣ مرات (x زائد ٤) مع سهمين قادمين من العدد ٣. يشير أحد الأسهم إلى x، بينما يشير السهم الآخر إلى 4.

التمارين1.10.34

قم بالتبسيط:8(38x+14).

إجابة
  .
قم بالتوزيع. .
اضرب. .
التمارين1.10.35

قم بالتبسيط:6(56y+12).

إجابة

5y+3

التمارين1.10.36

قم بالتبسيط:12(13n+34).

إجابة

4n+9

1.10.37سيكون استخدام خاصية التوزيع كما هو موضح في التمرين مفيدًا جدًا عندما نحل تطبيقات النقود في الفصول اللاحقة.

التمارين1.10.37

قم بالتبسيط:100(0.3+0.25q).

إجابة
  .
قم بالتوزيع. .
اضرب. .
التمارين1.10.38

قم بالتبسيط:100(0.7+0.15p).

إجابة

70+15p

التمارين1.10.39

قم بالتبسيط:100(0.04+0.35d).

إجابة

4+35d

عندما نوزع رقمًا سالبًا، نحتاج إلى توخي الحذر الشديد لتصحيح العلامات!

التمارين1.10.40

قم بالتبسيط:2(4y+1).

إجابة
  .
قم بالتوزيع. .
اضرب. .
التمارين1.10.41

قم بالتبسيط:3(6m+5).

إجابة

18m15)

التمارين1.10.42

قم بالتبسيط:6(8n+11).

إجابة

48n66)

التمارين1.10.43

قم بالتبسيط:11(43a).

إجابة
قم بالتوزيع. .
اضرب. .
قم بالتبسيط. .

لاحظ أنه يمكنك أيضًا كتابة النتيجة كـ33a44. هل تعرف لماذا؟

التمارين1.10.44

قم بالتبسيط:5(23a).

إجابة

10+15a

التمارين1.10.45

قم بالتبسيط:7(815y).

إجابة

56+105y

1.10.46سيوضح التمرين كيفية استخدام خاصية التوزيع للعثور على عكس التعبير.

التمارين1.10.46

قم بالتبسيط:(y+5).

إجابة

(y+5)Multiplying by -1 results in the opposite.1(y+5)Distribute.1y+(1)5Simplify.y+(5)y5

التمارين1.10.47

قم بالتبسيط:(z11).

إجابة

z+11

التمارين1.10.48

قم بالتبسيط:(x4).

إجابة

x+4

ستكون هناك أوقات سنحتاج فيها إلى استخدام خاصية التوزيع كجزء من ترتيب العمليات. ابدأ بالنظر إلى الأقواس. إذا تعذر تبسيط التعبير الموجود داخل الأقواس، فستكون الخطوة التالية هي الضرب باستخدام خاصية التوزيع، التي تزيل الأقواس. سيوضح المثالان التاليان هذا.

التمارين1.10.49

قم بالتبسيط:82(x+3).

تأكد من اتباع ترتيب العمليات. يأتي الضرب قبل الطرح، لذلك سنقوم بتوزيع 2 أولاً ثم الطرح.

إجابة

82(x+3)Distribute.82x23Multiply.82x6Combine like terms.2x+2

التمارين1.10.50

قم بالتبسيط:93(x+2).

إجابة

33x

التمارين1.10.51

قم بالتبسيط:7x5(x+4).

إجابة

2x20

التمارين1.10.52

قم بالتبسيط:4(x8)(x+3).

إجابة

4(x8)(x+3)Distribute.4x32x3Combine like terms.3x35

التمارين1.10.1

قم بالتبسيط:6(x9)(x+12).

إجابة

5x66

التمارين1.10.1

قم بالتبسيط:8(x1)(x+5).

إجابة

7x13

تم تلخيص جميع خصائص الأرقام الحقيقية التي استخدمناها في هذا الفصل في الجدول1.10.1.

الملكية التبادلية  
من الجمع إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية، ثم

الضرب إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية، إذن
a+b=b+a

ab=ba
الملكية الترابطية  
من الجمع إذا كانت a و b و c أرقامًا حقيقية، ثم

الضرب إذا كانت a و b و c أرقامًا حقيقية، إذن
(a+b)+c=a+(b+c)

(ab)c=a(bc)
خاصية التوزيع  
إذا كانت a، b، c هي أرقام حقيقية، إذن a(b+c)=ab+ac
خاصية الهوية  

إضافة: بالنسبة لأي رقم حقيقي a:
0 هي الهوية المضافة

الضرب لأي رقم حقيقي a:
1 هي الهوية المضاعفة

a+0=a

0+a=a

a·1=a

1·a=a

خاصية عكسية  
الجمع: بالنسبة لأي رقم حقيقي، أ،
a هو المعكوس الجمعي

لـ a من الضرب لأي رقم حقيقيa,a0
1a هو معكوس ضربي لـ
a+(a)=0


a1a=1
خصائص الصفر  

لأي رقم حقيقي a،

لأي رقم حقيقيa,a0

لأي رقم حقيقيa,a0

a0=0

0a=0

0a=0

a0غير محدد

طاولة1.10.1

المفاهيم الرئيسية

  • الملكية التبادلية لـ
    • إضافة: إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية، إذنa+b=b+a.
    • الضرب: إذا كانت a و b أرقامًا حقيقية، إذنab=ba. عند الإضافة أو الضرب، فإن تغيير الترتيب يعطي نفس النتيجة.
  • الملكية الترابطية لـ
    • الإضافة: إذا كانت a و b و c أرقامًا حقيقية، إذن(a+b)+c=a+(b+c).
    • الضرب: إذا كانت a و b و c أرقامًا حقيقية، إذن(ab)c=a(bc).
      عند الإضافة أو الضرب، فإن تغيير التجميع يعطي نفس النتيجة.
  • خاصية التوزيع: إذا كانت a و b و c أرقامًا حقيقية، إذن
    • a(b+c)=ab+ac
    • (b+c)a=ba+ca
    • a(bc)=abac
    • (b+c)a=baca
  • خاصية الهوية
    • من الإضافة: لأي رقم حقيقي a:a+0=a
      0 هي الهوية المضافة
    • من الضرب: لأي رقم حقيقي a:a1=a1·a=a
      1 1 هي الهوية المضاعفة
  • خاصية عكسية
    • من الإضافة: لأي رقم حقيقيa,a+(a)=0. الرقم ونقيضه يضيفان إلى الصفر. aهو المعكوس الجمعي لـ a.
    • من الضرب: لأي رقم حقيقيa,(a0)a1a=1. عدد ومقتضبيه في واحد. \frac{1}{a}هو المعكوس الضربي لـ a.
  • خصائص الصفر
    • لأي رقم حقيقي a،
      a\cdot 0=0 \quad 0·a=0 - منتج أي رقم حقيقي و 0 هو 0.
    • \frac{0}{a}=0لـa\neq 0 - صفر مقسومًا على أي رقم حقيقي باستثناء الصفر هو صفر.
    • \frac{a}{0}غير محدد - القسمة على الصفر غير محددة.