Processing math: 89%
Skip to main content
Library homepage
 
Global

1.9: الأرقام الحقيقية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • تبسيط التعبيرات باستخدام الجذور التربيعية
  • حدد الأعداد الصحيحة والأرقام العقلانية والأرقام غير المنطقية والأرقام الحقيقية
  • حدد موقع الكسور على خط الأعداد
  • حدد موقع الأرقام العشرية على خط الأرقام
ملاحظة

يمكن العثور على مقدمة أكثر شمولاً للموضوعات التي تم تناولها في هذا القسم في فصول الجبر المسبق والأرقام العشرية وخصائص الأعداد الحقيقية.

تبسيط التعبيرات باستخدام الجذور التربيعية

تذكر أنه عندماn يتم ضرب الرقم في حد ذاته، فإنناn2 نكتبه ونقرأه «nمربعًا». النتيجة تسمى مربعn. على سبيل المثال،

82 read '8 squared' 6464 is called the square of 8 . 

وبالمثل، 121 هو مربع 11، لأنه112 121.

مربع الرقم

إذا كانn2=m، إذنm هو مربعn.

ملاحظة

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «الأرقام المربعة» على تطوير فهم أفضل للأرقام المربعة المثالية.

أكمل الجدول التالي لتوضيح مربعات أعداد العد من 1 إلى 15.

يوجد جدول يحتوي على صفين و 17 عمودًا. يقرأ الصف الأول من اليسار إلى اليمين الأرقام، n، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15. يُقرأ الصف الثاني من اليسار إلى اليمين مربع، n مربع، فارغ، فارغ، فارغ، فارغ، فارغ، فارغ، فارغ، 64، فارغ، فارغ، فارغ، 121، فارغ، فارغ، فارغ، فارغ، فارغ.
الشكل1.9.1

تسمى الأرقام الموجودة في الصف الثاني بالأرقام المربعة المثالية. سيكون من المفيد تعلم التعرف على الأرقام المربعة المثالية.

مربعات أرقام العد هي أرقام موجبة. ماذا عن مربعات الأرقام السالبة؟ نحن نعلم أنه عندما تكون علامات الرقمين متماثلة، يكون منتجهما إيجابيًا. لذا فإن مربع أي رقم سالب يكون موجبًا أيضًا.

(3)2=9(8)2=64(11)2=121(15)2=225

هل لاحظت أن هذه المربعات هي نفس مربعات الأرقام الموجبة؟

في بعض الأحيان سنحتاج إلى النظر إلى العلاقة بين الأرقام ومربعاتها في الاتجاه المعاكس. لأننا102=100 نقول أن 100 هو مربع 10. نقول أيضًا أن 10 هو الجذر التربيعي لـ 100. يُطلق على الرقم الذي يكون مربعه مم اسم الجذر التربيعي لـm.

الجذر التربيعي لعدد

إذا كانn2=m، إذنn هو الجذر التربيعي لـm.

لاحظ(10)2=100 أيضًا10 أن الجذر التربيعي لـ100. لذلك،10 كلاهما10 لهما جذور مربعة لـ100.

لذلك، كل عدد موجب له جذران مربعان - أحدهما موجب والآخر سالب. ماذا لو أردنا فقط الجذر التربيعي الموجب لعدد موجب؟ تشير العلامة الراديكالية إلى الجذر التربيعي الإيجابي.m يسمى الجذر التربيعي الموجب بالجذر التربيعي الرئيسي. عندما نستخدم العلامة الجذرية فهذا يعني دائمًا أننا نريد الجذر التربيعي الرئيسي.

نستخدم أيضًا العلامة الجذرية للجذر التربيعي للصفر. بسبب02=0,0=0. لاحظ أن الصفر يحتوي على جذر مربع واحد فقط.

تدوين الجذر التربيعي

mيُقرأ «الجذر التربيعي لـm»

يتم إعطاء الجذر التربيعي، مع وجود سهم للإشارة الجذرية (يبدو وكأنه علامة اختيار بخط أفقي يمتد من نهايتها الطويلة) للإشارة الجذرية وسهم إلى الرقم الموجود أسفل العلامة الجذرية، والتي تم وضع علامة راديكاند عليها.

إذاm=n2، إذنm=n، من أجلn0.

الجذر التربيعي لـm,m, هو الرقم الموجب الذي يكون مربعهm.

بما أن 10 هو الجذر التربيعي الرئيسي لـ 100، فإننا نكتب100=10. قد ترغب في إكمال الجدول التالي لمساعدتك في التعرف على الجذور التربيعية.

يوجد جدول يحتوي على صفين و 15 عمودًا. يقرأ الصف الأول من الجذر التربيعي الأيسر إلى الأيمن لـ 1، والجذر التربيعي لـ 4، والجذر التربيعي لـ 9، والجذر التربيعي لـ 16، والجذر التربيعي لـ 25، والجذر التربيعي لـ 36، والجذر التربيعي لـ 64، والجذر التربيعي لـ 81، والجذر التربيعي لـ 121، والجذر التربيعي لـ 144، والجذر التربيعي لـ 169، والجذر التربيعي لـ 196، الجذر التربيعي لـ 225. يتكون الصف الثاني من جميع الفراغات باستثناء الخلية العاشرة تحت الجذر التربيعي لـ 100، والتي تقرأ 10.
الشكل1.9.2
التمارين1.9.1

قم بالتبسيط:

  1. 25
  2. 121
إجابة
  1. 25Since 52=255
  2. 121Since 112=12111
التمارين1.9.2

قم بالتبسيط:

  1. 36
  2. 169
إجابة
  1. 6
  2. 13
التمارين1.9.3

قم بالتبسيط:

  1. 16
  2. 196
إجابة
  1. 4
  2. 14

نحن نعلم أن كل رقم موجب له جذران تربيعيان وأن العلامة الجذرية تشير إلى الموجب. نحن نكتب\boldsymbol{\sqrt{100)=10}. إذا أردنا إيجاد الجذر التربيعي السالب لعدد ما، فإننا نضع القيمة السالبة أمام العلامة الجذرية. على سبيل المثال،\boldsymbol{-\sqrt{100)=-10}. نقرأ على\boldsymbol{-\sqrt{100)} أنه «عكس الجذر التربيعي لـ 10".

التمارين1.9.4

قم بالتبسيط:

  1. 9
  2. 144
إجابة
  1. 9The negative is in front of the radical sign.3
  2. 144The negative is in front of the radical sign.12
التمارين1.9.5

قم بالتبسيط:

  1. 16
  2. 196
إجابة
  1. −2
  2. −15
التمارين1.9.6

قم بالتبسيط:

  1. 16
  2. 196
إجابة
  1. −9
  2. −10

تحديد الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية والأعداد غير النسبية والأعداد الحقيقية

لقد وصفنا بالفعل الأرقام على أنها عد الأرقام s والأرقام الصحيحة s والأعداد الصحيحة. ما الفرق بين هذه الأنواع من الأرقام؟

 Counting numbers 1,2,3,4, Whole numbers 0,1,2,3,4, Integers 3,2,1,0,1,2,3,

ما نوع الأرقام التي سنحصل عليها إذا بدأنا بجميع الأعداد الصحيحة ثم أدرجنا جميع الكسور؟ تشكل الأرقام التي سنحصل عليها مجموعة الأرقام العقلانية. الرقم العقلاني هو رقم يمكن كتابته كنسبة من عددين صحيحين.

رقم عقلاني

الرقم العقلاني هو رقم النموذجpq، حيث p و q عبارة عن أعداد صحيحة وq0

يمكن كتابة الرقم العقلاني كنسبة عددين صحيحين.

جميع الكسور الموقعة، مثل45،78،134،203 هي أرقام منطقية. كل عداد وكل قاسم هو عدد صحيح.

هل الأعداد الصحيحة أرقام عقلانية؟ لتحديد ما إذا كان العدد الصحيح هو رقم منطقي، نحاول كتابته كنسبة من عددين صحيحين. يمكن كتابة كل عدد صحيح كنسبة من الأعداد الصحيحة بعدة طرق. على سبيل المثال، 3 يعادل3162،93،124،155

طريقة سهلة لكتابة عدد صحيح كنسبة من الأعداد الصحيحة هي كتابته ككسر بمقامه واحد.

3=318=810=01

نظرًا لأنه يمكن كتابة أي عدد صحيح كنسبة من عددين صحيحين، فإن جميع الأعداد الصحيحة هي أرقام منطقية! تذكر أن أرقام العد والأرقام الصحيحة هي أيضًا أعداد صحيحة، وبالتالي فهي منطقية أيضًا.

ماذا عن الأرقام العشرية؟ هل هم عقلانيون؟ دعونا نلقي نظرة على بعضها لمعرفة ما إذا كان بإمكاننا كتابة كل منها كنسبة من عددين صحيحين.

لقد رأينا بالفعل أن الأعداد الصحيحة هي أرقام عقلانية. 8يمكن كتابة العدد الصحيح على هيئة عدد عشري8.0. لذلك، من الواضح أن بعض الأرقام العشرية منطقية.

فكر في الرقم العشري7.3. هل يمكننا كتابتها كنسبة من عددين صحيحين؟ لأنه7.3 يعني أنه7310 يمكننا كتابته ككسر غير صحيح،7310. هكذا7.3 هي نسبة الأعداد الصحيحة73 و10. إنه رقم عقلاني.

بشكل عام، أي رقم عشري ينتهي بعد عدد من الأرقام (مثل7.3 أو1.2684) هو رقم منطقي. يمكننا استخدام القيمة المكانية للرقم الأخير كمقام عند كتابة العدد العشري في صورة كسر.

التمارين1.9.7

اكتب كنسبة من عددين صحيحين:

  1. −27
  2. 7.31
إجابة
  1. 27Write it as a fraction with denominator 1.271
  2. 7.31Write is as a mixed number. Remember.7 is the whole number and the decimal731100part, 0.31, indicates hundredths.Convert to an improper fraction.731100

لذلك نرى أن −27 و7.31 كلاهما عددان منطقيان، حيث يمكن كتابتهما كنسبة من عددين صحيحين.

التمارين1.9.8

اكتب كنسبة من عددين صحيحين:

  1. −24
  2. 3.57
إجابة
  1. 241
  2. 357100
التمارين1.9.9

اكتب كنسبة من عددين صحيحين:

  1. −19
  2. 8.41
إجابة
  1. 191
  2. 841100
دعونا ننظر إلى الشكل العشري للأرقام التي نعرف أنها منطقية.

لقد رأينا أن كل عدد صحيح هو رقم منطقي، لأنهa=a1 بالنسبة لأي عدد صحيح،\(a\). يمكننا أيضًا تغيير أي عدد صحيح إلى رقم عشري بإضافة نقطة عشرية وصفر.

 Integer 210123 Decimal form 2.01.00.01.02.03.0 These decimal numbers stop. 

لقد رأينا أيضًا أن كل كسر هو رقم منطقي. انظر إلى الشكل العشري للكسور التي اعتبرناها أعلاه.

 Ratio of integers 4578134203 The decimal form 0.80.8753.256.6666.¯6 These decimal either stop or repeat. 

ماذا تخبرنا هذه الأمثلة؟

يمكن كتابة كل رقم منطقي كنسبة من الأعداد الصحيحة، (pq، حيث p و q عبارة عن أعداد صحيحة وq0وكرقم عشري يتوقف أو يتكرر.

فيما يلي الأرقام التي نظرنا إليها أعلاه معبرًا عنها كنسبة من الأعداد الصحيحة وكعدد عشري:

الكسور الأعداد الصحيحة
رقم 45 78 134 203 −2 −1 0 1 2 3
نسبة الأعداد الصحيحة 45 78 134 203 21 11 01 11 21 31
نموذج عشري 0.8 −0.875 3.25 6.¯6 −2.0 −1.0 0.0 1.0 2.0 3.0
طاولة1.9.1
رقم عقلاني

الرقم العقلاني هو رقم النموذجpq، حيث p و q عبارة عن أعداد صحيحة وq0

يتوقف النموذج العشري الخاص به أو يتكرر.

هل هناك أي أرقام عشرية لا تتوقف أو تتكرر؟ نعم!

الرقمπ (الحرف اليوناني pi، يُنطق «pie»)، وهو مهم جدًا في وصف الدوائر، له شكل عشري لا يتوقف أو يتكرر.

π=3.141592654

يمكننا أيضًا إنشاء نمط عشري لا يتوقف أو يتكرر، مثل

2.01001000100001

لا يمكن كتابة الأرقام التي لا يتوقف شكلها العشري أو يتكرر ككسر من الأعداد الصحيحة. نسمي هذه الأرقام غير منطقية.

رقم غير منطقي

الرقم غير العقلاني هو رقم لا يمكن كتابته كنسبة من عددين صحيحين.

لا يتوقف شكله العشري ولا يتكرر.

دعونا نلخص طريقة يمكننا استخدامها لتحديد ما إذا كان الرقم عقلانيًا أم غير منطقي.

عقلاني أو غير عقلاني؟

إذا كان الشكل العشري للرقم

  • يتكرر أو يتوقف، الرقم عقلاني.
  • لا يتكرر ولا يتوقف، الرقم غير منطقي.
التمارين1.9.10

بالنظر إلى0.58¯3,0.47,3.605551275 قائمة الأرقام

  1. أرقام عقلانية
  2. أرقام غير منطقية.
إجابة
  1. Look for decimals that repeat or stopThe 3 repeats in 0.58¯3.The decimal 0.47 stops after the 7.So 0.58¯3 and 0.47are rational
  2. Look for decimals that repeat or stop3.605551275has no repeating block ofdigits and it does not stop.So 3.605551275 is irrational.
التمارين1.9.11

للحصول على قائمة الأرقام المعطاة

  1. أرقام عقلانية
  2. أرقام غير منطقية:0.29,0.81¯6,2.515115111.
إجابة
  1. 0.29,0.81¯6
  2. 2.515115111.
التمارين1.9.12

للحصول على قائمة الأرقام المعطاة

  1. أرقام عقلانية
  2. أرقام غير منطقية:2.6¯3,0.125,0.418302
إجابة
  1. 2.6¯3,0.125
  2. 0.418302
التمارين1.9.13

بالنسبة لكل رقم معطى، حدد ما إذا كان عقلانيًا أم غير منطقي:

  1. 36
  2. 44
إجابة
  1. اعلم أن 36 هو مربع مثالي، منذ ذلك الحين62=36. لذلك36=6،36 فمن المنطقي.
  2. تذكر62=36 ذلك72=49،44 وكذلك ليس مربعًا مثاليًا. لذلك، لن يتكرر الشكل العشري أبدًا44 ولن يتوقف أبدًا، لذلك44 فهو غير منطقي.
التمارين1.9.14

بالنسبة لكل رقم معطى، حدد ما إذا كان عقلانيًا أم غير منطقي:

  1. 81
  2. 17
إجابة
  1. معقول
  2. غير منطقي
التمارين1.9.15

بالنسبة لكل رقم معطى، حدد ما إذا كان عقلانيًا أم غير منطقي:

  1. 116
  2. 121
إجابة
  1. غير منطقي
  2. معقول

لقد رأينا أن جميع أرقام العد هي أعداد صحيحة، وجميع الأرقام الصحيحة هي أعداد صحيحة، وجميع الأعداد الصحيحة هي أرقام عقلانية. الأرقام غير المنطقية هي الأرقام التي لا يتوقف شكلها العشري ولا يتكرر. عندما نجمع الأعداد النسبية والأرقام غير المنطقية، نحصل على مجموعة الأعداد الحقيقية s.

الرقم الحقيقي

الرقم الحقيقي هو رقم عقلاني أو غير منطقي.

جميع الأرقام التي نستخدمها في الجبر الأولي هي أرقام حقيقية. 1.9.3يوضح الشكل كيفية توافق مجموعات الأرقام التي ناقشناها في هذا القسم معًا.

يتكون هذا الشكل من مخطط Venn. للبدء، يوجد مستطيل كبير يحمل علامة الأرقام الحقيقية. يتكون النصف الأيمن من المستطيل من الأرقام غير النسبية. يتكون النصف الأيسر من الأرقام النسبية. داخل مستطيل الأرقام النسبية، توجد أعداد صحيحة...، سالب 2، سالب 1، 0، 1، 2،... داخل مستطيل الأعداد الصحيحة، توجد أعداد صحيحة 0، 1، 2، 3،... داخل مستطيل الأعداد الصحيحة، هناك عد الأعداد 1، 2، 3،...
الشكل1.9.3: يعرض هذا المخطط مجموعات الأرقام التي تشكل مجموعة الأرقام الحقيقية. هل يبدو مصطلح «الأرقام الحقيقية» غريبًا بالنسبة لك؟ هل هناك أي أرقام غير «حقيقية»، وإذا كان الأمر كذلك، فماذا يمكن أن تكون؟

هل يمكننا التبسيط25؟ هل هناك رقم مربعه25؟

()2=25?

لا يحتوي أي من الأرقام التي تعاملنا معها حتى الآن على مربع25. لماذا؟ أي رقم موجب مربع يكون موجبًا. أي رقم سالب مربّع يكون موجبًا. لذلك نقول أنه لا يوجد رقم حقيقي يساوي25.

الجذر التربيعي للرقم السالب ليس رقمًا حقيقيًا.

التمارين1.9.16

بالنسبة لكل رقم معطى، حدد ما إذا كان رقمًا حقيقيًا أم لا:

  1. 169
  2. 64
إجابة
  1. لا يوجد رقم حقيقي مربعه169. لذلك،169 ليس رقمًا حقيقيًا.
  2. بما أن السالب أمام الراديكالي، أي8،64 بما أن الرقم الحقيقي8 هو رقم حقيقي،64 فهو رقم حقيقي.
التمارين1.9.17

بالنسبة لكل رقم معطى، حدد ما إذا كان رقمًا حقيقيًا أم لا:

  1. 196
  2. 81
إجابة
  1. ليس رقمًا حقيقيًا
  2. رقم حقيقي
التمارين1.9.18

بالنسبة لكل رقم معطى، حدد ما إذا كان رقمًا حقيقيًا أم لا:

  1. 49
  2. 121
إجابة
  1. رقم حقيقي
  2. ليس رقمًا حقيقيًا
التمارين1.9.19

بالنظر إلى الأرقام7,145,8,5,5.9,64، ضع قائمة بـ

  1. أرقام صحيحة
  2. الأعداد الصحيحة
  3. أرقام عقلانية
  4. أرقام غير منطقية
  5. أرقام حقيقية
إجابة
  1. تذكر أن الأعداد الصحيحة هي 0، 1، 2، 3،... و8 هو العدد الصحيح الوحيد المعطى.
  2. الأعداد الصحيحة هي الأعداد الصحيحة، أضدادها، و 0. لذا فإن العدد الكامل 8 هو عدد صحيح، و−7 هو عكس عدد صحيح، لذا فهو عدد صحيح أيضًا. لاحظ أيضًا أن 64 هو مربع 8 إذن64=8. لذا فإن الأعداد الصحيحة هي7,8,64.
  3. نظرًا لأن جميع الأعداد الصحيحة عقلانية،7,8,64 فهي عقلانية. تتضمن الأرقام العقلانية أيضًا الكسور والأرقام العشرية التي تتكرر أو تتوقف،145 وهكذا5.9 تكون منطقية. لذا فإن قائمة الأرقام العقلانية هي7,145,8,5.9,64
  4. تذكر أن الرقم 5 ليس مربعًا مثاليًا، لذا فهو5 أمر غير منطقي.
  5. جميع الأرقام المدرجة هي أرقام حقيقية.
التمارين1.9.20

بالنسبة للأرقام المعطاة، قم بإدراج

  1. أرقام صحيحة
  2. الأعداد الصحيحة
  3. أرقام عقلانية
  4. أرقام غير منطقية
  5. الأرقام الحقيقية:3,2,0.¯3,95,4,49
إجابة
  1. 4,49.
  2. 3,4,49
  3. 3,0.¯3,95,4,49
  4. 2
  5. 3,2,0.¯3,95,4,49
التمارين1.9.21

بالنسبة للأرقام المعطاة، قم بإدراج

  1. أرقام صحيحة
  2. الأعداد الصحيحة
  3. أرقام عقلانية
  4. أرقام غير منطقية
  5. الأرقام الحقيقية:25,38,1,6,121,2.041975
إجابة
  1. 6,121.
  2. 25,1,6,121
  3. 25,38,1,6,121
  4. 2.041975
  5. 25,38,1,6,121,2.041975

حدد موقع الكسور على خط الأعداد

في المرة الأخيرة التي نظرنا فيها إلى خط الأعداد، كان عليه فقط أعداد صحيحة موجبة وسالبة. نريد الآن تضمين الكسور s والأرقام العشرية عليها.

ملاحظة

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «خط الأرقام الجزء 3" على تطوير فهم أفضل لموقع الكسور على خط الأعداد.

لنبدأ بالكسور وتحديد الموقع15,45,3,74,92,583 وعلى خط الأعداد.

سنبدأ بالأعداد الصحيحة 3 و −5. لأنها أسهل طريقة للرسم. انظر الشكل1.9.4.

الكسور المناسبة المدرجة هي15 and 45. نحن نعلم أن الكسر المناسب15 له قيمة أقل من واحد وبالتالي سيكون بين 0 و 1. المقام هو 5، لذلك نقسم الوحدة من 0 إلى 1 إلى 5 أجزاء متساوية15,25,35,45. نحن نتآمر15. انظر الشكل1.9.4.

وبالمثل،45 يتراوح بين 0 و−1. بعد تقسيم الوحدة إلى 5 أجزاء متساوية نرسم45. انظر الشكل1.9.4.

أخيرًا، انظر إلى الكسور غير الصحيحة74,92,83. هذه هي الكسور التي يكون البسط فيها أكبر من المقام. قد يكون تحديد موقع هذه النقاط أسهل إذا قمت بتغيير كل منها إلى رقم مختلط. انظر الشكل1.9.4.

74=13492=41283=223

1.9.4يوضح الشكل خط الأرقام مع رسم جميع النقاط.

يوجد خط أرقام موضح يمتد من سالب 6 إلى موجب 6. من اليسار إلى اليمين، الأرقام المحددة هي السالب 5، السالب 9/2، السالب 4/5، 1/5، 4/5، 8/3، و 3. يقع الرقم السالب 9/2 في منتصف الطريق بين سالب 5 وسالب 4. الرقم السالب 4/5 يقع قليلاً على يمين السالب 1. الرقم 1/5 يقع قليلاً على يمين 0. الرقم 4/5 على يسار 1 قليلاً. الرقم 8/3 بين 2 و 3، ولكنه أقرب قليلاً إلى 3.
الشكل1.9.4
التمارين1.9.22

حدد موقع ما يلي وقم بتسميته على سطر الأرقام:4,34,14,3,65,52 و73.

إجابة

حدد موقع الأعداد الصحيحة، ٤، −٣، وارسمها.

حدد موقع الكسر المناسب34 أولاً. 34يقع الكسر بين 0 و1. قسّم المسافة بين 0 و 1 إلى أربعة أجزاء متساوية ثم نرسم34. مؤامرة مماثلة14.

الآن حدد موقع الكسور غير الصحيحة65،52،73. من الأسهل رسمها إذا قمنا بتحويلها إلى أرقام مختلطة ثم رسمها كما هو موضح أعلاه:65=115،52=212،73=213.

يوجد خط أرقام موضح يمتد من سالب 6 إلى موجب 6. من اليسار إلى اليمين، الأرقام المحددة هي سالب 3، سالب 5/2، سالب 1/4، 3/4، 6/5، 7/3، و 4. الرقم السالب 5/2 يقع في منتصف الطريق بين سالب 3 وسالب 2. الرقم السالب 1/4 يقع قليلاً على يسار 0. الرقم 3/4 يقع قليلاً على يسار 1. الرقم 6/5 يقع قليلاً على يمين 1. الرقم 7/3 بين 2 و 3، ولكنه أقرب قليلاً إلى 2.

التمارين1.9.23

حدد موقع ما يلي وقم بتسميته على سطر الأرقام:1,13,65,74,92,5 و83.

إجابة

يوجد خط أرقام موضح يمتد من سالب 4 إلى موجب 5. من اليسار إلى اليمين، الأرقام المحددة هي سالب 8/3، سالب 7/4، سالب 1، 1/3، 6/5، 9/2، و 5. الرقم السالب 8/3 يقع بين سالب 3 وسالب 2 ولكنه أقرب قليلاً إلى سالب 3. الرقم السالب 7/4 يقع قليلاً على يمين السالب 2. الرقم 1/3 يقع قليلاً على يمين 0. الرقم 6/5 يقع قليلاً على يمين 1. الرقم 9/2 يقع في منتصف الطريق بين 4 و 5.

التمارين1.9.24

حدد موقع ما يلي وقم بتسميته على سطر الأرقام:15,45,3,74,92,5 و83.

إجابة

يوجد خط أرقام موضح يمتد من سالب 4 إلى موجب 5. من اليسار إلى اليمين، الأرقام المحددة هي السالب 7/3، السالب 2، السالب 7/4، 2/3، 7/5، 3، 7/2. الرقم السالب 7/3 يقع بين سالب 3 وسالب 2 ولكنه أقرب قليلاً إلى سالب 2. الرقم السالب 7/4 يقع قليلاً على يمين السالب 2. الرقم 2/3 يقع قليلاً على يسار 1. يقع الرقم 7/5 بين 1 و 2، ولكنه أقرب إلى 1. الرقم 7/2 يقع في منتصف الطريق بين 3 و 4.

في التمرين1.9.25، سنستخدم رموز عدم المساواة لترتيب الكسور. في الفصول السابقة، استخدمنا خط الأعداد لترتيب الأرقام.

  • a<b«a أقل من b» عندما تكون a على يسار b على خط الأعداد
  • a>b«a أكبر من b» عندما تكون a على يمين b على خط الأعداد

عندما ننتقل من اليسار إلى اليمين على خط الأرقام، تزداد القيم.

التمارين1.9.25

رتب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام< أو>. قد يكون من المفيد الرجوع إلى الشكل1.9.5.

  1. 23___1
  2. 312___3
  3. 34___14
  4. 2___83
يوجد خط أرقام موضح يمتد من سالب 4 إلى موجب 4. من اليسار إلى اليمين، الأرقام المحددة هي سالب 3 و 1/2، وسالب 3، وسالب 8/3، وسالب 2، وسالب 1، وسالب 3/4، وسالب 2/3، وسالب 1/4. الرقم السالب 3 و 1/2 يقع بين سالب 4 وسالب 3 والرقم السالب 8/3 يقع بين سالب 3 وسالب 2، ولكنه أقرب إلى سالب 3. الأرقام السالبة 3/4 والسالبة 2/3 والسالبة 1/4 كلها بين السالب 1 و 0.
الشكل1.9.5
إجابة

كن حذرًا عند طلب الأرقام السالبة.

  1. 23 ___ 123 is to the right of 1 on the number line. 23>1
  2. 312 ___ 3312 is to the right of 3 on the number line. 23>1
  3. 34 ___ 1434 is to the right of 14 on the number line. 34<14
  4. \-2 ___ 832 is to the right of 83 on the number line. 2>83
التمارين1.9.26

رتب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام< أو>.

  1. 13___1
  2. 112___2
  3. 23___13
  4. 3___73
إجابة
  1. >
  2. >
  3. <
  4. <
التمارين1.9.27

رتب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام< أو>.

  1. 1___23
  2. 214___2
  3. 35___45
  4. 4___103
إجابة
  1. <
  2. <
  3. >
  4. <

حدد موقع الأعداد العشرية على خط الأعداد

نظرًا لأن الأعداد العشرية هي أشكال من الكسور، فإن تحديد موضع الأعداد العشرية على خط الأعداد يشبه تحديد موقع الكسور على خط الأعداد.

التمارين1.9.28

حدد موقع 0.4 على خط الأعداد.

إجابة

الكسر المناسب له قيمة أقل من واحد. الرقم العشري0.4 يعادل الكسر المناسب410، لذلك0.4 يقع بين 0 و 1. في خط الأعداد، قسّم الفاصل الزمني بين 0 و1 إلى 10 أجزاء متساوية. الآن قم بتسمية الأجزاء0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0. نكتب 0 كـ 0.0 و 1 و 1.0، بحيث تكون الأرقام ثابتة في الأجزاء من عشرة. أخيرًا، ضع علامة0.4 على خط الأرقام. انظر الشكل1.9.6.

يوجد خط أرقام معروض يمتد من 0.0 إلى 1. النقطة الوحيدة المعطاة هي 0.4، والتي تتراوح بين 0.3 و 0.5.
الشكل1.9.6
التمارين1.9.29

حدد موقع على خط الأرقام: 0.6.

إجابة

يوجد خط أرقام معروض يمتد من 0.0 إلى 1. النقطة الوحيدة المعطاة هي 0.6، والتي تتراوح بين 0.5 و 0.7.

التمارين1.9.30

حدد موقع على خط الأرقام: 0.9.

إجابة

يوجد خط أرقام معروض يمتد من 0.0 إلى 1. النقطة الوحيدة المعطاة هي 0.9، والتي تتراوح بين 0.8 و 1.

التمارين1.9.31

حدد موقع0.74 على خط الأرقام.

إجابة

الرقم العشري (−0.74\) يعادل74100، لذا فهو يقع بين 0 و−1. على خط الأعداد، ضع علامة على الأجزاء من مائة في الفترة بين 0 و−1. انظر الشكل1.9.7.

يوجد خط أرقام موضح يمتد من سالب 1.00 إلى 0.00. النقطة الوحيدة المعطاة هي سالب 0.74، والذي يقع بين سالب 0.8 وسالب 0.7.
الشكل1.9.7
التمارين1.9.32

حدد الموقع على خط الأعداد: −0.6.

إجابة

يوجد خط أرقام موضح يمتد من سالب 1.00 إلى 0.00. النقطة الوحيدة المعطاة هي سالب 0.6، والذي يقع بين سالب 0.8 وسالب 0.4.

التمارين1.9.33

حدد الموقع على خط الأعداد: −0.7.

إجابة

يوجد خط أرقام موضح يمتد من سالب 1.00 إلى 0.00. النقطة الوحيدة المعطاة هي سالب 0.7، والذي يقع بين سالب 0.8 وسالب 0.6.

أيهما أكبر، 0.04 أم 0.40؟ إذا كنت تفكر في هذا على أنه أموال، فأنت تعلم أن 0.40 دولارًا (أربعين سنتًا) أكبر من 0.04 دولار (أربعة سنتات). لذا،0.40>0.04

مرة أخرى، يمكننا استخدام خط الأرقام لطلب الأرقام.

  • a<b«a أقل من b» عندما تكون a على يسار b على خط الأعداد
  • a>b«a أكبر من b» عندما تكون a على يمين b على خط الأعداد

أين تقع 0.04 و 0.40 على خط الأعداد؟ انظر الشكل1.9.8.

يوجد خط أرقام معروض يتم تشغيله من سالب 0.0 إلى 1.0. من اليسار إلى اليمين، تم وضع علامة على النقاط 0.04 و 0.4. النقطة 0.04 هي بين 0.0 و 0.1. النقطة 0.4 هي بين 0.3 و 0.5.
الشكل1.9.8

نرى أن 0.40 على يمين 0.04 على خط الأعداد. هذه طريقة أخرى لإثبات ذلك0.40>0.04.

كيف يقارن 0.31 بـ 0.308؟ لا يُترجم هذا إلى أموال لتسهيل المقارنة. ولكن إذا قمنا بتحويل 0.31 و 0.308 إلى كسور، يمكننا معرفة أيهما أكبر.

  0.31 0.308
قم بالتحويل إلى كسور. 31100 3081000
نحن بحاجة إلى قاسم مشترك لمقارنتها. . .
  3101000 3081000
طاولة1.9.2

لأننا نعرف310>308 ذلك3101000>3081000. لذلك،0.31>0.308.

لاحظ ما فعلناه عند التحويل0.31 إلى كسر - بدأنا بالكسر وانتهينا31100 بالكسر المكافئ3101000. التحويل3101000 مرة أخرى إلى رقم عشري يعطي 0.310. لذا فإن 0.31 يعادل 0.310. كتابة الأصفار في نهاية العدد العشري لا يغير قيمته!

31100=3101000 and 0.31=0.310

نقول أن 0.31 و 0.310 هي أعداد عشرية مكافئة.

الأرقام العشرية المكافئة

يتساوى عددان عشريان إذا تم تحويلهما إلى كسور مكافئة.

نحن نستخدم الأرقام العشرية المكافئة عندما نقوم بترتيب الكسور العشرية.

يتم تلخيص الخطوات التي نتخذها لترتيب الكسور العشرية هنا.

ترتيب الأعداد العشرية.
  1. اكتب العددين واحدًا تحت الآخر، مع ترتيب النقاط العشرية.
  2. تحقق لمعرفة ما إذا كان كلا الرقمين لهما نفس عدد الأرقام. إذا لم يكن الأمر كذلك، فاكتب الأصفار في نهاية الواحد بعدد أقل من الأرقام لجعلها متطابقة.
  3. قارن الأرقام كما لو كانت أرقامًا صحيحة.
  4. رتِّب الأرقام باستخدام علامة عدم المساواة المناسبة.
التمارين1.9.34

اطلب0.64 ___ 0.6 باستخدام< أو>.

إجابة

Write the numbers one under the other, 0.64lining up the decimal points. 0.6Add a zero to 0.6 to make it a decimal 0.64with 2 decimal places.0.60Now they are both hundredths.64 is greater than 60.64>6064 hundredths is greater than 60 hundredths.0.64>0.600.64>0.6

التمارين1.9.35

رتب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام< أو>:0.42 ___ 0.4.

إجابة

>

التمارين1.9.36

رتب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام< أو>:0.18 ___ 0.1.

إجابة

>

التمارين\PageIndex{37}

اطلب0.83 \text{ ___ } 0.803 باستخدام< أو>.

إجابة

\begin{array} { ll } {} &{0.83\text{ ___ }0.803} \\ \\{ \text {Write the numbers one under the other, } } &{0.83} \\ { \text {lining up the decimal points. } } &{0.803} \\ \\ { \text {They do not have the same number of} } &{0.830} \\ {\text{digits.}} &{0.803} \\ {\text{Write one zero at the end of 0.83.}} &{} \\ \\ {\text{Since 830 > 803, 830 hundredths is}} &{0.830 > 0.803} \\ {\text{greater than 803 thousandths.}} &{}\\ \\ {} &{0.83 > 0.803}\end{array}

التمارين\PageIndex{38}

رتب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام< أو>:0.76 \text{ ___ } 0.706.

إجابة

>

التمارين\PageIndex{39}

رتب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام< أو>:0.305 \text{ ___ } 0.35.

إجابة

<

عند ترتيب الأرقام العشرية السالبة، من المهم تذكر كيفية ترتيب الأعداد الصحيحة السالبة. تذكر أن الأرقام الأكبر موجودة على اليمين على خط الأعداد. على سبيل المثال، نظرًا لأن −2 تقع على يمين -3 على خط الأعداد، فإننا نعرف ذلك−2>−3. وبالمثل، تقع الأرقام الصغيرة على اليسار على خط الأعداد. على سبيل المثال، نظرًا لأن −9 تقع على يسار −6 على خط الأعداد، فإننا نعرف ذلك−9<−6. انظر الشكل\PageIndex{9}.

يوجد خط أرقام موضح يمتد من سالب 10 إلى 0. لا توجد نقاط محددة وتوجد علامات التجزئة في كل عدد صحيح بين سالب 10 و 0.
الشكل\PageIndex{9}

إذا قمنا بتكبير الفاصل الزمني بين 0 و−1، كما هو موضح في التمرين\PageIndex{40}، فسوف نرى بنفس الطريقة التي نرى بها−0.2>−0.3 و−0.9<−0.6.

التمارين\PageIndex{40}

استخدم< أو> للطلب−0.1\text{ ___ }−0.8.

إجابة

\begin{array} { ll } {} &{-0.1 \text{ ___ } -0.8} \\ \\ { \text { Write the numbers one under the other, lining up the } } &{-0.1} \\ { \text { decimal points. } } &{-0.8} \\ { \text { They have the same number of digits. } } &{} \\ \\ { \text { since } - 1 > - 8 , - 1 \text { tenth is greater than } - 8 \text { tenths. } } &{-0.1 > -0.8} \end{array}

التمارين\PageIndex{41}

اطلب زوج الأرقام التالي باستخدام< أو>:−0.3\text{ ___ }−0.5.

إجابة

>

التمارين\PageIndex{42}

اطلب زوج الأرقام التالي باستخدام< أو>:−0.6\text{ ___ }−0.7.

إجابة

>

المفاهيم الرئيسية


  • \sqrt{m}تتم قراءة تدوين الجذر التربيعي «الجذر التربيعي لـ»m. إذاm = n^{2}، إذن\sqrt{m} = n، من أجلn \geq 0.
  • ترتيب الأعداد العشرية
    1. اكتب العددين واحدًا تحت الآخر، مع ترتيب النقاط العشرية.
    2. تحقق لمعرفة ما إذا كان كلا الرقمين لهما نفس عدد الأرقام. إذا لم يكن الأمر كذلك، فاكتب الأصفار في نهاية الواحد بعدد أقل من الأرقام لجعلها متطابقة.
    3. قارن الأرقام كما لو كانت أرقامًا صحيحة.
    4. رتِّب الأرقام باستخدام علامة عدم المساواة المناسبة.

الممارسة تجعل من الكمال

تبسيط التعبيرات باستخدام الجذور التربيعية

في التمارين التالية، قم بالتبسيط.