Skip to main content
Library homepage
 
Global

1.7: جمع الكسور وطرحها

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • جمع أو طرح الكسور ذات المقام المشترك
  • جمع أو طرح الكسور ذات المقامات المختلفة
  • استخدم ترتيب العمليات لتبسيط الكسور المعقدة
  • إيجاد قيمة التعبيرات المتغيرة بالكسور
ملاحظة

يمكن العثور على مقدمة أكثر شمولاً للموضوعات التي يتم تناولها في هذا القسم في فصل ما قبل الجبر، الكسور.

جمع أو طرح الكسور ذات المقام المشترك

عندما نضرب الكسور، نضرب البسط ونضرب المقامات مباشرة. لجمع الكسور أو طرحها، يجب أن يكون لها قاسم مشترك.

جمع الكسور والطرح

إذا كانتa,b الأرقام وماc هي مكانهاc0، إذن

ac+bc=a+bcandacbc=abc

لجمع الكسور أو طرحها، قم بجمع البسط أو طرحه ووضع النتيجة فوق المقام المشترك.

الرياضيات المتلاعبة

سيساعدك القيام بأنشطة الرياضيات المتلاعبة «جمع الكسور النموذجية» و «طرح الكسر النموذجي» على تطوير فهم أفضل لجمع الكسور وطرحها.

التمارين1.7.1

ابحث عن المبلغ:x3+23.

إجابة

x3+23Add the numerators and place the sum over the common denominatorx+23

التمارين1.7.2

ابحث عن المبلغ:x4+34.

إجابة

x+34

التمارين1.7.3

ابحث عن المبلغ:y8+58.

إجابة

y+58

التمارين1.7.4

ابحث عن الفرق:23241324

إجابة

23241324Subtract the numerators and place the 231324difference over the common denominatorSimplify.3624Simplify. Remember, ab=ab32

التمارين1.7.5

ابحث عن الفرق:1928728

إجابة

2628

التمارين1.7.6

ابحث عن الفرق:2732132

إجابة

78

التمارين1.7.7

ابحث عن الفرق:10x4x

إجابة

10x4xSubtract the numerators and place the 14xdifference over the common denominatorRewrite with the sign in front of the fraction.14x

التمارين1.7.8

ابحث عن الفرق:9x7x

إجابة

16x

التمارين1.7.9

ابحث عن الفرق:17a5a

إجابة

22a

الآن سنقوم بعمل مثال يحتوي على الجمع والطرح.
التمارين1.7.10

قم بالتبسيط:38+(58)18

إجابة

Add and Subtract fractions — do they have a 38+(58)18common denominator? Yes.Add and subtract the numerators and place 3+(5)18the result over the common denominator.Simplify left to right.218Simplify.38

التمارين1.7.11

قم بالتبسيط:29+(49)79

إجابة

1

التمارين1.7.12

قم بالتبسيط:25+(49)79

إجابة

23

جمع أو طرح الكسور ذات المقامات المختلفة

كما رأينا، لجمع الكسور أو طرحها، يجب أن تكون مقاماتها هي نفسها. القاسم المشترك الأصغر (LCD) لكسرين هو أصغر رقم يمكن استخدامه كقاسم مشترك للكسور. شاشة LCD الخاصة بالكسرين هي المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمقاساتهما.

القاسم المشترك الأصغر

القاسم المشترك الأصغر (LCD) لكسرين هو المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمقاساتهما.

ملاحظة

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «العثور على القاسم المشترك الأقل» على تطوير فهم أفضل لشاشة LCD.

بعد العثور على المقام المشترك الأصغر لكسرين، نقوم بتحويل الكسور إلى كسور مكافئة باستخدام شاشة LCD. يتيح لنا تجميع هذه الخطوات جمع الكسور وطرحها لأن مقاماتها ستكون هي نفسها!

التمارين1.7.13

إضافة:712+518

إجابة

في هذا الشكل، لدينا جدول يحتوي على الاتجاهات على اليسار، وتلميحات أو تفسيرات في المنتصف، وبيانات رياضية على اليمين. في السطر الأول، لدينا «الخطوة 1. هل لديهم قاسم مشترك؟ لا - أعد كتابة كل جزء باستخدام شاشة LCD (القاسم المشترك الأقل).» على يمين هذا، لدينا عبارة «لا. ابحث عن شاشة LCD مقاس 12 أو 18.» على يمين هذا، لدينا 12 يساوي 2 في 2 في 3 و 18 يساوي 2 في 3 في 3. وبالتالي فإن شاشة LCD تكون مرتين مرتين أو ثلاث مرات 3، أي ما يعادل 36. كتلميح آخر، لدينا «التغيير إلى أجزاء مكافئة باستخدام شاشة LCD،. لا تبسط الكسور المتكافئة! إذا قمت بذلك، فستعود إلى الكسور الأصلية وتفقد القاسم المشترك!» على يمين هذا، لدينا 7/12 زائد 5/18، والتي تصبح الكمية (7 مرات 3) فوق الكمية (12 مرة 3) بالإضافة إلى الكمية (5 مرات 2) على الكمية (18 مرة 2)، والتي تصبح 21/36 زائد 10/36.الخطوة التالية تقرأ «الخطوة 2. قم بإضافة الكسور أو طرحها.» يشير التلميح إلى «إضافة». ولدينا 31/36.الخطوة الأخيرة تقرأ «الخطوة 3. قم بالتبسيط، إن أمكن.» يقول الشرح: «نظرًا لأن 31 هو عدد أولي، فليس له أي عوامل مشتركة مع 36. الإجابة مبسطة.»

التمارين1.7.14

إضافة:712+1115

إجابة

7960

التمارين1.7.15

إضافة:712+1115

إجابة

10360

قم بجمع الكسور أو طرحها.
  1. هل لديهم قاسم مشترك؟
    • نعم - انتقل إلى الخطوة 2.
    • لا - أعد كتابة كل جزء باستخدام شاشة LCD (القاسم المشترك الأقل). ابحث عن شاشة LCD. قم بتغيير كل جزء إلى كسر مكافئ باستخدام شاشة LCD كمقامه.
  2. قم بإضافة الكسور أو طرحها.
  3. قم بالتبسيط، إن أمكن.

عند إيجاد الكسور المتكافئة اللازمة لإنشاء المقامات المشتركة، توجد طريقة سريعة للعثور على العدد الذي نحتاجه لضرب كل من البسط والمقام. تعمل هذه الطريقة إذا وجدنا شاشة LCD عن طريق أخذ الأعداد الأولية في الاعتبار.

انظر إلى عوامل شاشة LCD ثم في كل عمود فوق هذه العوامل. العوامل «المفقودة» لكل قاسم هي الأرقام التي نحتاجها.

يتم أخذ الرقم 12 في الاعتبار مرتين مرتين في 3 مع مساحة إضافية بعد 3، والرقم 18 يؤخذ في الاعتبار مرتين 3 في 3 مع وجود مسافة إضافية بين 2 وأول 3. هناك سهام تشير إلى هذه المساحات الإضافية التي تم وضع علامة عليها «العوامل المفقودة». يتم وضع علامة على شاشة LCD على أنها 2 مرات 2 مرات 3، أي ما يعادل 36. الأرقام التي تنشئ شاشة LCD هي العوامل من 12 إلى 18، مع احتساب العوامل المشتركة مرة واحدة فقط (أي أول 2 وأول 3).
الشكل:1.7.1

في التمرين1.7.13، تحتوي شاشة LCD، 36 عامًا، على عاملين هما 2 وعاملين هما 3.

يحتوي البسط 12 على عاملين هما 2 ولكن واحد فقط من 3، لذا فهو «مفقود» واحد 3 - نضرب البسط والمقام في 3.

يفتقد البسط 18 إلى عامل واحد يساوي 2، لذلك نضرب البسط والمقام في 2.

سنطبق هذه الطريقة عندما نطرح الكسور في التمرين1.7.16.

التمارين1.7.16

طرح:7151924

إجابة

هل للكسور قاسم مشترك؟ لا، لذلك نحن بحاجة للعثور على شاشة LCD.

ابحث عن شاشة LCD. .  
لاحظ أن 15 «مفقود» ثلاثة عوامل من 2 و24 «تفتقد» 5 من عوامل شاشة LCD. لذلك نضرب 8 في الكسر الأول و5 في الكسر الثاني للحصول على شاشة LCD.  
أعد الكتابة كأجزاء مكافئة باستخدام شاشة LCD. .
قم بالتبسيط. .
اطرح. 39120
تحقق لمعرفة ما إذا كان يمكن تبسيط الإجابة. 133403
لكل من 39 و 120 عامل 3.  
قم بالتبسيط. 1340

لا تبسط الكسور المتكافئة! إذا قمت بذلك، فستعود إلى الكسور الأصلية وتفقد القاسم المشترك!

التمارين1.7.17

طرح:13241732

إجابة

196

التمارين1.7.18

طرح:7151924

إجابة

75224

في المثال التالي، يحتوي أحد الكسور على متغير في البسط. لاحظ أننا نقوم بنفس الخطوات عندما يكون كلا البسطين أرقامًا.

التمارين1.7.19

إضافة:35+x8

إجابة

تحتوي الكسور على مقامات مختلفة.

  .
ابحث عن شاشة LCD. .  
أعد الكتابة كأجزاء مكافئة باستخدام شاشة LCD. .
قم بالتبسيط. .
أضف. .

تذكر أنه يمكننا فقط إضافة مصطلحات مماثلة:24\(5x\) وهي ليست مثل المصطلحات.

التمارين1.7.20

إضافة:y6+79

إجابة

3y+1418

التمارين1.7.21

إضافة:x6+715

إجابة

15x+42153

لدينا الآن جميع العمليات الأربع للكسور. 1.7.1يلخص الجدول عمليات الكسر.

ضرب الكسور قسم الكسر
abcd=acbd
اضرب البسط واضرب القواسم
ab÷cd=abdc
اضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني.
إضافة الكسر طرح الكسر
ac+bc=a+bc
اجمع البسط ثم ضع المجموع فوق المقام المشترك.
ac+bc=a+bc
اطرح البسط، ثم ضع الفرق على المقام المشترك.
لمضاعفة الكسور أو تقسيمها، ليست هناك حاجة إلى شاشة LCD. لإضافة أو طرح الكسور، يلزم وجود شاشة LCD.
طاولة1.7.1
التمارين1.7.22

قم بالتبسيط:

  1. 5x6310
  2. 5x6310.
إجابة

اسأل أولاً، «ما هي العملية؟» بمجرد تحديد العملية التي ستحدد ما إذا كنا بحاجة إلى قاسم مشترك. تذكر أننا نحتاج إلى قاسم مشترك للجمع أو الطرح، ولكن ليس للضرب أو القسمة.

1. ما هي العملية؟ العملية هي الطرح.

Do the fractions have a common denominator? No.5x6310Rewrite each fractions as an equivalent fraction with the LCD.5x5653310325x30930Subtract the numerators and place the difference over the25x930common denominators.Simplify, if possible. There are no common factors.The fraction is simplified.

2. ما هي العملية؟ عملية الضرب.

5x6310To multiply fractions, multiply the numerators and multiply5x3610the denominatorsRewrite, showing common factors.5x32325common denominators.Simplify.x4

التمارين1.7.23

قم بالتبسيط:

  1. 3a489
  2. 3a489
إجابة
  1. 27a3236
  2. 2a3
التمارين1.7.24

قم بالتبسيط:

  1. 4k516
  2. 4k516
إجابة
  1. 24k530
  2. 2k15

استخدم ترتيب العمليات لتبسيط الكسور المركبة

لقد رأينا أن الكسر المركب هو كسر يحتوي فيه العدد أو المقام على كسر. يشير شريط الكسر إلى القسمة. قمنا بتبسيط الكسر المعقد345834 بالقسمة على58.

سننظر الآن في الكسور المعقدة حيث يحتوي البسط أو المقام على تعبير يمكن تبسيطه. لذلك يجب علينا أولاً تبسيط البسط والمقام بشكل منفصل باستخدام ترتيب العمليات. ثم نقسم البسط على المقام.

التمارين1.7.25: How to simplify complex fractions

قم بالتبسيط:(12)24+32

إجابة

في هذا الشكل، لدينا جدول يحتوي على اتجاهات على اليسار وبيانات رياضية على اليمين. في السطر الأول، لدينا «الخطوة 1. قم بتبسيط البسط. تذكر أن نصف مربع يعني نصف في النصف». على يمين هذه الكمية، لدينا الكمية (1/2) مربعة في جميع أنحاء الكمية (4 زائد 3 مربعة). ثم لدينا 1/4 زيادة على الكمية (4 زائد 3 مربعة).
الخطوة 2.
الخطوة الأخيرة هي «الخطوة 3. اقسم البسط على المقام. قم بالتبسيط إن أمكن. تذكر أن ثلاثة عشر يساوي ثلاثة عشر على 1». إلى اليمين لدينا 1/4 مقسومًا على 13. ثم لدينا 1/4 في 1/13، أي ما يعادل 1/52.

التمارين1.7.26

قم بالتبسيط:(13)223+2

إجابة

190

التمارين1.7.27

قم بالتبسيط:1+42(14)2

إجابة

272

قم بتبسيط الكسور المعقدة.
  1. قم بتبسيط البسط.
  2. قم بتبسيط المقام.
  3. اقسم البسط على المقام. قم بالتبسيط إن أمكن.
التمارين1.7.28

قم بالتبسيط:12+233416

إجابة

(12+23)(3416)Simplify the numerator (LCD = 6) and simplify the denominator (LCD = 12).(36+46)(912212)Simplify.(76)(712)Divide the numerator by the denominator.76÷712Simplify.76127Divide out common factors.76267Simplify.2

التمارين1.7.29

قم بالتبسيط:13+123413

إجابة

2

التمارين1.7.30

قم بالتبسيط:231214+13

إجابة

27

إيجاد قيمة التعبيرات المتغيرة التي تحتوي على كسور

لقد قمنا بتقييم التعبيرات من قبل، ولكن يمكننا الآن تقييم التعبيرات بالكسور. تذكر أنه لتقييم التعبير، نستبدل قيمة المتغير في التعبير ثم نبسطه.

التمارين1.7.31

قم بالتقييمx+13 عندما

  1. x=13
  2. x=34
إجابة

1. لتقييمx+13 متىx=13، استبدل13x في التعبير.

  .
. .
قم بالتبسيط. 0


2. لتقييمx+13 متىx=34، استبدل34x في التعبير.
  .
. .
أعد الكتابة كأجزاء مكافئة باستخدام شاشة LCD، 12. .
قم بالتبسيط. .
أضف. 512
التمارين1.7.32

قم بالتقييمx+34 عندما

  1. x=74
  2. x=54
إجابة
  1. 1
  2. 12
التمارين1.7.33

قم بالتقييمy+12 عندما

  1. y=23
  2. y=34
إجابة
  1. 76
  2. 112
التمارين1.7.34

قم بالتقييم56y عندماy=23

إجابة
  .
. .
أعد الكتابة كأجزاء مكافئة باستخدام شاشة LCD،6. .
اطرح. .
قم بالتبسيط. 16
التمارين1.7.35

قم بالتقييمy+12 عندماy=23

إجابة

14

التمارين1.7.36

قم بالتقييمy+12 عندماy=23

إجابة

178

التمارين1.7.37

قم بتقييم2x2y متىx=14 وy=23.

إجابة

استبدل القيم في التعبير.

  2x2y
. .
قم بتبسيط الأسس أولاً. 2(116)(23)
اضرب. قسّم العوامل المشتركة. لاحظ أننا نكتب16224 لتسهيل الإزالة 2122243
قم بالتبسيط. 112
التمارين1.7.38

قم بتقييم3ab2 متىa=23 وb=12.

إجابة

12

التمارين1.7.39

قم بتقييم4c3d متىc=12 وd=43.

إجابة

23

سيحتوي المثال التالي على متغيرات فقط، بدون ثوابت.

التمارين1.7.40

قم بتقييمp+qr متىp=4,q=2 وr=8.

إجابة

لتقييمp+qr متىp=4,q=2r=8، ونقوم باستبدال القيم في التعبير.

  p+qr
. .
أضف البسط أولاً. 68
قم بالتبسيط. 34
التمارين1.7.41

قم بتقييمa+bc متىa=8,b=7 وc=6.

إجابة

52

التمارين1.7.42

قم بتقييمx+yz متىx=9,y=18 وz=6.

إجابة

32

المفاهيم الرئيسية

  • جمع الكسور وطرحها: إذا كانتa,b الأرقامc موجودة حيثc0، ثم
    ac+bc=a+bcacbc=abc
    ولجمع الكسور أو طرحها، قم بجمع البسط أو طرحه ووضع النتيجة فوق المقام المشترك.
  • إستراتيجية جمع الكسور أو طرحها
    1. هل لديهم قاسم مشترك؟
      نعم - انتقل إلى الخطوة 2.
      لا - أعد كتابة كل جزء باستخدام شاشة LCD (القاسم المشترك الأصغر). ابحث عن شاشة LCD. قم بتغيير كل جزء إلى كسر مكافئ باستخدام شاشة LCD كمقامه.
    2. قم بإضافة الكسور أو طرحها.
    3. قم بالتبسيط، إن أمكن. لمضاعفة الكسور أو تقسيمها، لا توجد حاجة إلى شاشة LCD. لإضافة الكسور أو طرحها، يلزم وجود شاشة LCD.
  • تبسيط الكسور المركبة
    1. قم بتبسيط البسط.
    2. قم بتبسيط المقام.
    3. اقسم البسط على المقام. قم بالتبسيط إن أمكن.