1.7: جمع الكسور وطرحها

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• جمع أو طرح الكسور ذات المقام المشترك
• جمع أو طرح الكسور ذات المقامات المختلفة
• استخدم ترتيب العمليات لتبسيط الكسور المعقدة
• إيجاد قيمة التعبيرات المتغيرة بالكسور

ملاحظة

يمكن العثور على مقدمة أكثر شمولاً للموضوعات التي يتم تناولها في هذا القسم في فصل ما قبل الجبر، الكسور.

جمع أو طرح الكسور ذات المقام المشترك

عندما نضرب الكسور، نضرب البسط ونضرب المقامات مباشرة. لجمع الكسور أو طرحها، يجب أن يكون لها قاسم مشترك.

جمع الكسور والطرح

إذا كانت$a,b$ الأرقام وما$c$ هي مكانها$c\neq 0$، إذن

$$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c} \quad \text{and} \quad \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}$$

لجمع الكسور أو طرحها، قم بجمع البسط أو طرحه ووضع النتيجة فوق المقام المشترك.

الرياضيات المتلاعبة

سيساعدك القيام بأنشطة الرياضيات المتلاعبة «جمع الكسور النموذجية» و «طرح الكسر النموذجي» على تطوير فهم أفضل لجمع الكسور وطرحها.

التمارين$\PageIndex{1}$

ابحث عن المبلغ:$\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3}$.

إجابة

$$\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3}} \\ {\text{Add the numerators and place the sum over the common denominator}} &{\dfrac{x + 2}{3}} \end{array}$$

التمارين$\PageIndex{2}$

ابحث عن المبلغ:$\dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}$.

إجابة

$\dfrac{x + 3}{4}$

التمارين$\PageIndex{3}$

ابحث عن المبلغ:$\dfrac{y}{8} + \dfrac{5}{8}$.

إجابة

$\dfrac{y + 5}{8}$

التمارين$\PageIndex{4}$

ابحث عن الفرق:$-\dfrac{23}{24} - \dfrac{13}{24}$

إجابة

$$\begin{array} {ll} {} &{-\dfrac{23}{24} - \dfrac{13}{24}} \\ {\text{Subtract the numerators and place the }} &{\dfrac{-23 - 13}{24}} \\ {\text{difference over the common denominator}} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{-36}{24}} \\ {\text{Simplify. Remember, }-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b}} &{-\dfrac{3}{2}} \end{array}$$

التمارين$\PageIndex{5}$

ابحث عن الفرق:$-\dfrac{19}{28} - \dfrac{7}{28}$

إجابة

$-\dfrac{26}{28}$

التمارين$\PageIndex{6}$

ابحث عن الفرق:$-\dfrac{27}{32} - \dfrac{1}{32}$

إجابة

$-\dfrac{7}{8}$

التمارين$\PageIndex{7}$

ابحث عن الفرق:$-\dfrac{10}{x} - \dfrac{4}{x}$

إجابة

$$\begin{array} {ll} {} &{-\dfrac{10}{x} - \dfrac{4}{x}} \\ {\text{Subtract the numerators and place the }} &{\dfrac{-14}{x}} \\ {\text{difference over the common denominator}} &{} \\ {\text{Rewrite with the sign in front of the fraction.}} &{-\dfrac{14}{x}} \end{array}$$

التمارين$\PageIndex{8}$

ابحث عن الفرق:$-\dfrac{9}{x} - \dfrac{7}{x}$

إجابة

$-\dfrac{16}{x}$

التمارين$\PageIndex{9}$

ابحث عن الفرق:$-\dfrac{17}{a} - \dfrac{5}{a}$

إجابة

$-\dfrac{22}{a}$

الآن سنقوم بعمل مثال يحتوي على الجمع والطرح.

التمارين$\PageIndex{10}$

قم بالتبسيط:$\dfrac{3}{8} + (-\dfrac{5}{8}) - \dfrac{1}{8}$

إجابة

$$\begin{array} {ll} {\text{Add and Subtract fractions — do they have a }} &{\frac{3}{8} + (-\frac{5}{8}) - \frac{1}{8}} \\ {\text{common denominator? Yes.}} &{} \\ {\text{Add and subtract the numerators and place }} &{\frac{3 + (-5) - 1}{8}} \\ {\text{the result over the common denominator.}} &{} \\ {\text{Simplify left to right.}} &{\frac{-2 - 1}{8}} \\ {\text{Simplify.}} &{-\frac{3}{8}} \end{array}$$

التمارين$\PageIndex{11}$

قم بالتبسيط:$\dfrac{2}{9} + (-\dfrac{4}{9}) - \dfrac{7}{9}$

إجابة

$-1$

التمارين$\PageIndex{12}$

قم بالتبسيط:$\dfrac{2}{5} + (-\dfrac{4}{9}) - \dfrac{7}{9}$

إجابة

$-\dfrac{2}{3}$

جمع أو طرح الكسور ذات المقامات المختلفة

كما رأينا، لجمع الكسور أو طرحها، يجب أن تكون مقاماتها هي نفسها. القاسم المشترك الأصغر (LCD) لكسرين هو أصغر رقم يمكن استخدامه كقاسم مشترك للكسور. شاشة LCD الخاصة بالكسرين هي المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمقاساتهما.

القاسم المشترك الأصغر

القاسم المشترك الأصغر (LCD) لكسرين هو المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمقاساتهما.

ملاحظة

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «العثور على القاسم المشترك الأقل» على تطوير فهم أفضل لشاشة LCD.

بعد العثور على المقام المشترك الأصغر لكسرين، نقوم بتحويل الكسور إلى كسور مكافئة باستخدام شاشة LCD. يتيح لنا تجميع هذه الخطوات جمع الكسور وطرحها لأن مقاماتها ستكون هي نفسها!

التمارين$\PageIndex{13}$

إضافة:$\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{18}$

إجابة

التمارين$\PageIndex{14}$

إضافة:$\dfrac{7}{12} + \dfrac{11}{15}$

إجابة

$\dfrac{79}{60}$

التمارين$\PageIndex{15}$

إضافة:$\dfrac{7}{12} + \dfrac{11}{15}$

إجابة

$\dfrac{103}{60}$

قم بجمع الكسور أو طرحها.

1. هل لديهم قاسم مشترك؟
   • نعم - انتقل إلى الخطوة 2.
   • لا - أعد كتابة كل جزء باستخدام شاشة LCD (القاسم المشترك الأقل). ابحث عن شاشة LCD. قم بتغيير كل جزء إلى كسر مكافئ باستخدام شاشة LCD كمقامه.
2. قم بإضافة الكسور أو طرحها.
3. قم بالتبسيط، إن أمكن.

عند إيجاد الكسور المتكافئة اللازمة لإنشاء المقامات المشتركة، توجد طريقة سريعة للعثور على العدد الذي نحتاجه لضرب كل من البسط والمقام. تعمل هذه الطريقة إذا وجدنا شاشة LCD عن طريق أخذ الأعداد الأولية في الاعتبار.

انظر إلى عوامل شاشة LCD ثم في كل عمود فوق هذه العوامل. العوامل «المفقودة» لكل قاسم هي الأرقام التي نحتاجها.

الشكل:$\PageIndex{1}$

في التمرين$\PageIndex{13}$، تحتوي شاشة LCD، 36 عامًا، على عاملين هما 2 وعاملين هما 3.

يحتوي البسط 12 على عاملين هما 2 ولكن واحد فقط من 3، لذا فهو «مفقود» واحد 3 - نضرب البسط والمقام في 3.

يفتقد البسط 18 إلى عامل واحد يساوي 2، لذلك نضرب البسط والمقام في 2.

سنطبق هذه الطريقة عندما نطرح الكسور في التمرين$\PageIndex{16}$.

التمارين$\PageIndex{16}$

طرح:$\dfrac{7}{15} - \dfrac{19}{24}$

إجابة

هل للكسور قاسم مشترك؟ لا، لذلك نحن بحاجة للعثور على شاشة LCD.

ابحث عن شاشة LCD.
لاحظ أن 15 «مفقود» ثلاثة عوامل من 2 و24 «تفتقد» 5 من عوامل شاشة LCD. لذلك نضرب 8 في الكسر الأول و5 في الكسر الثاني للحصول على شاشة LCD.
أعد الكتابة كأجزاء مكافئة باستخدام شاشة LCD.
قم بالتبسيط.
اطرح.	$-\dfrac{39}{120}$
تحقق لمعرفة ما إذا كان يمكن تبسيط الإجابة.	$-\dfrac{13\cdot3}{40\cdot3}$
لكل من 39 و 120 عامل 3.
قم بالتبسيط.	$-\dfrac{13}{40}$

لا تبسط الكسور المتكافئة! إذا قمت بذلك، فستعود إلى الكسور الأصلية وتفقد القاسم المشترك!

التمارين$\PageIndex{17}$

طرح:$\dfrac{13}{24} - \dfrac{17}{32}$

إجابة

$\dfrac{1}{96}$

التمارين$\PageIndex{18}$

طرح:$\dfrac{7}{15} - \dfrac{19}{24}$

إجابة

$\dfrac{75}{224}$

في المثال التالي، يحتوي أحد الكسور على متغير في البسط. لاحظ أننا نقوم بنفس الخطوات عندما يكون كلا البسطين أرقامًا.

التمارين$\PageIndex{19}$

إضافة:$\dfrac{3}{5} + \dfrac{x}{8}$

إجابة

تحتوي الكسور على مقامات مختلفة.

ابحث عن شاشة LCD.
أعد الكتابة كأجزاء مكافئة باستخدام شاشة LCD.
قم بالتبسيط.
أضف.

تذكر أنه يمكننا فقط إضافة مصطلحات مماثلة:$24$\(5x\) وهي ليست مثل المصطلحات.

التمارين$\PageIndex{20}$

إضافة:$\dfrac{y}{6} + \dfrac{7}{9}$

إجابة

$\dfrac{3y + 14}{18}$

التمارين$\PageIndex{21}$

إضافة:$\dfrac{x}{6} + \dfrac{7}{15}$

إجابة

$\dfrac{15x + 42}{153}$

لدينا الآن جميع العمليات الأربع للكسور. $\PageIndex{1}$يلخص الجدول عمليات الكسر.

طاولة$\PageIndex{1}$

ضرب الكسور	قسم الكسر
$\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ اضرب البسط واضرب القواسم	$\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$ اضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني.
إضافة الكسر	طرح الكسر
$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$ اجمع البسط ثم ضع المجموع فوق المقام المشترك.	$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$ اطرح البسط، ثم ضع الفرق على المقام المشترك.
لمضاعفة الكسور أو تقسيمها، ليست هناك حاجة إلى شاشة LCD. لإضافة أو طرح الكسور، يلزم وجود شاشة LCD.

التمارين$\PageIndex{22}$

قم بالتبسيط:

1. $\dfrac{5x}{6} - \dfrac{3}{10}$
2. $\dfrac{5x}{6}\cdot \dfrac{3}{10}$.

إجابة

اسأل أولاً، «ما هي العملية؟» بمجرد تحديد العملية التي ستحدد ما إذا كنا بحاجة إلى قاسم مشترك. تذكر أننا نحتاج إلى قاسم مشترك للجمع أو الطرح، ولكن ليس للضرب أو القسمة.

1. ما هي العملية؟ العملية هي الطرح.

$$\begin{array} {ll} {\text{Do the fractions have a common denominator? No.}} &{\frac{5x}{6} - \frac{3}{10}} \\ {\text{Rewrite each fractions as an equivalent fraction with the LCD.}} &{\frac{5x\cdot 5}{6\cdot 5} - \frac{3\cdot3}{10\cdot3}} \\ {} &{\frac{25x}{30} - \frac{9}{30}} \\{\text{Subtract the numerators and place the difference over the}} &{\frac{25x - 9}{30}} \\ {\text{common denominators.}} &{} \\ {\text{Simplify, if possible. There are no common factors.}} &{} \\ {\text{The fraction is simplified.}} &{} \end{array}$$

2. ما هي العملية؟ عملية الضرب.

$$\begin{array} {ll} {} &{\frac{5x}{6}\cdot \frac{3}{10}} \\ {\text{To multiply fractions, multiply the numerators and multiply}} &{\frac{5x\cdot 3}{6\cdot 10}} \\ {\text{the denominators}} &{} \\{\text{Rewrite, showing common factors.}} &{\frac{\not 5 x\cdot\not3}{2\cdot\not3\cdot2\cdot\not5}} \\ {\text{common denominators.}} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{\frac{x}{4}} \end{array}$$

التمارين$\PageIndex{23}$

قم بالتبسيط:

1. $\dfrac{3a}{4} - \dfrac{8}{9}$
2. $\dfrac{3a}{4}\cdot\dfrac{8}{9}$

إجابة

1. $\dfrac{27a - 32}{36}$
2. $\dfrac{2a}{3}$

التمارين$\PageIndex{24}$

قم بالتبسيط:

1. $\dfrac{4k}{5} - \dfrac{1}{6}$
2. $\dfrac{4k}{5}\cdot\dfrac{1}{6}$

إجابة

1. $\dfrac{24k - 5}{30}$
2. $\dfrac{2k}{15}$

استخدم ترتيب العمليات لتبسيط الكسور المركبة

لقد رأينا أن الكسر المركب هو كسر يحتوي فيه العدد أو المقام على كسر. يشير شريط الكسر إلى القسمة. قمنا بتبسيط الكسر المعقد$\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}$$\dfrac{3}{4}$ بالقسمة على$\dfrac{5}{8}$.

سننظر الآن في الكسور المعقدة حيث يحتوي البسط أو المقام على تعبير يمكن تبسيطه. لذلك يجب علينا أولاً تبسيط البسط والمقام بشكل منفصل باستخدام ترتيب العمليات. ثم نقسم البسط على المقام.

التمارين$\PageIndex{25}$: How to simplify complex fractions

قم بالتبسيط:$\dfrac{(\frac{1}{2})^{2}}{4 + 3^{2}}$

إجابة

التمارين$\PageIndex{26}$

قم بالتبسيط:$\dfrac{(\frac{1}{3})^{2}}{2^{3} + 2}$

إجابة

$\dfrac{1}{90}$

التمارين$\PageIndex{27}$

قم بالتبسيط:$\dfrac{1 + 4^{2}}{(\frac{1}{4})^{2}}$

إجابة

$272$

قم بتبسيط الكسور المعقدة.

1. قم بتبسيط البسط.
2. قم بتبسيط المقام.
3. اقسم البسط على المقام. قم بالتبسيط إن أمكن.

التمارين$\PageIndex{28}$

قم بالتبسيط:$\dfrac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}}$

إجابة

$$\begin{array} {ll} {} &{\frac{(\frac{1}{2} + \frac{2}{3})}{(\frac{3}{4} - \frac{1}{6})}} \\ {\text{Simplify the numerator (LCD = 6) and simplify the denominator (LCD = 12).}} &{\frac{(\frac{3}{6} + \frac{4}{6})}{(\frac{9}{12} - \frac{2}{12})}} \\ {\text{Simplify.}} &{\frac{(\frac{7}{6})}{(\frac{7}{12})}} \\{\text{Divide the numerator by the denominator.}} &{\frac{7}{6}\div\frac{7}{12}} \\ {\text{Simplify.}} &{\frac{7}{6}\cdot\frac{12}{7}} \\ {\text{Divide out common factors.}} &{\frac{7\cdot6\cdot2}{6\cdot7}} \\ {\text{Simplify.}} &{2} \end{array}$$

التمارين$\PageIndex{29}$

قم بالتبسيط:$\dfrac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}}$

إجابة

$2$

التمارين$\PageIndex{30}$

قم بالتبسيط:$\dfrac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}}$

إجابة

$\dfrac{2}{7}$

إيجاد قيمة التعبيرات المتغيرة التي تحتوي على كسور

لقد قمنا بتقييم التعبيرات من قبل، ولكن يمكننا الآن تقييم التعبيرات بالكسور. تذكر أنه لتقييم التعبير، نستبدل قيمة المتغير في التعبير ثم نبسطه.

التمارين$\PageIndex{31}$

قم بالتقييم$x + \dfrac{1}{3}$ عندما

1. $x = -\dfrac{1}{3}$
2. $x = -\dfrac{3}{4}$

إجابة

1. لتقييم$x + \dfrac{1}{3}$ متى$x = -\dfrac{1}{3}$، استبدل$-\dfrac{1}{3}$$x$ في التعبير.

قم بالتبسيط.	$0$

2. لتقييم$x + \dfrac{1}{3}$ متى$x = -\dfrac{3}{4}$، استبدل$-\dfrac{3}{4}$$x$ في التعبير.

أعد الكتابة كأجزاء مكافئة باستخدام شاشة LCD، 12.
قم بالتبسيط.
أضف.	$-\dfrac{5}{12}$

التمارين$\PageIndex{32}$

قم بالتقييم$x + \dfrac{3}{4}$ عندما

1. $x = -\dfrac{7}{4}$
2. $x = -\dfrac{5}{4}$

إجابة

1. $-1$
2. $-\dfrac{1}{2}$

التمارين$\PageIndex{33}$

قم بالتقييم$y + \dfrac{1}{2}$ عندما

1. $y = \dfrac{2}{3}$
2. $y = -\dfrac{3}{4}$

إجابة

1. $\dfrac{7}{6}$
2. $-\dfrac{1}{12}$

التمارين$\PageIndex{34}$

قم بالتقييم$-\dfrac{5}{6} - y$ عندما$y = -\dfrac{2}{3}$

إجابة

أعد الكتابة كأجزاء مكافئة باستخدام شاشة LCD،$6$.
اطرح.
قم بالتبسيط.	$-\dfrac{1}{6}$

التمارين$\PageIndex{35}$

قم بالتقييم$y + \dfrac{1}{2}$ عندما$y = \dfrac{2}{3}$

إجابة

$-\dfrac{1}{4}$

التمارين$\PageIndex{36}$

قم بالتقييم$y + \dfrac{1}{2}$ عندما$y = \dfrac{2}{3}$

إجابة

$-\dfrac{17}{8}$

التمارين$\PageIndex{37}$

قم بتقييم$2x^{2}y$ متى$x = \dfrac{1}{4}$ و$y = -\dfrac{2}{3}$.

إجابة

استبدل القيم في التعبير.

	$2x^{2}y$
قم بتبسيط الأسس أولاً.	$2(\frac{1}{16})(-\frac{2}{3})$
اضرب. قسّم العوامل المشتركة. لاحظ أننا نكتب$16$$2\cdot2\cdot4$ لتسهيل الإزالة	$-\frac{\not2\cdot1\cdot\not2}{\not2\cdot\not2\cdot4\cdot3}$
قم بالتبسيط.	$-\frac{1}{12}$

التمارين$\PageIndex{38}$

قم بتقييم$3ab^{2}$ متى$a = -\dfrac{2}{3}$ و$b = -\dfrac{1}{2}$.

إجابة

$-\dfrac{1}{2}$

التمارين$\PageIndex{39}$

قم بتقييم$4c^{3}d$ متى$c = -\dfrac{1}{2}$ و$d = -\dfrac{4}{3}$.

إجابة

$\dfrac{2}{3}$

سيحتوي المثال التالي على متغيرات فقط، بدون ثوابت.

التمارين$\PageIndex{40}$

قم بتقييم$\dfrac{p + q}{r}$ متى$p = -4, q = -2$ و$r = 8$.

إجابة

لتقييم$\dfrac{p + q}{r}$ متى$p = -4, q = -2$$r = 8$، ونقوم باستبدال القيم في التعبير.

	$\dfrac{p + q}{r}$
أضف البسط أولاً.	$\dfrac{-6}{8}$
قم بالتبسيط.	$-\dfrac{3}{4}$

التمارين$\PageIndex{41}$

قم بتقييم$\dfrac{a+b}{c}$ متى$a = -8, b = -7$ و$c = 6$.

إجابة

$-\dfrac{5}{2}$

التمارين$\PageIndex{42}$

قم بتقييم$\dfrac{x+y}{z}$ متى$x = 9, y = -18$ و$z = -6$.

إجابة

$\dfrac{3}{2}$

المفاهيم الرئيسية

• جمع الكسور وطرحها: إذا كانت$a, b$ الأرقام$c$ موجودة حيث$c\neq 0$، ثم
  $\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}$$\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}$
  ولجمع الكسور أو طرحها، قم بجمع البسط أو طرحه ووضع النتيجة فوق المقام المشترك.
  
• إستراتيجية جمع الكسور أو طرحها
  1. هل لديهم قاسم مشترك؟
     نعم - انتقل إلى الخطوة 2.
     لا - أعد كتابة كل جزء باستخدام شاشة LCD (القاسم المشترك الأصغر). ابحث عن شاشة LCD. قم بتغيير كل جزء إلى كسر مكافئ باستخدام شاشة LCD كمقامه.
  2. قم بإضافة الكسور أو طرحها.
  3. قم بالتبسيط، إن أمكن. لمضاعفة الكسور أو تقسيمها، لا توجد حاجة إلى شاشة LCD. لإضافة الكسور أو طرحها، يلزم وجود شاشة LCD.
     
• تبسيط الكسور المركبة
  1. قم بتبسيط البسط.
  2. قم بتبسيط المقام.
  3. اقسم البسط على المقام. قم بالتبسيط إن أمكن.