Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

1.4: جمع الأعداد الصحيحة وطرحها

أهداف التعلم
  • استخدم السلبيات والأضداد
  • تبسيط: التعبيرات ذات القيمة المطلقة
  • إضافة أعداد صحيحة
  • طرح الأعداد الصحيحة

يمكن العثور على مقدمة أكثر شمولاً للموضوعات التي يتم تناولها في هذا القسم في فصل Prealgebra، الأعداد الصحيحة.

استخدم السلبيات والأضداد

لم يتضمن عملنا حتى الآن سوى أرقام العد والأرقام الصحيحة. ولكن إذا سبق لك أن واجهت درجة حرارة أقل من الصفر أو تجاوزت حسابك الجاري عن طريق الخطأ، فأنت على دراية بالفعل بالأرقام السالبة. الأرقام السالبة هي أرقام أقل من0. تظهر الأرقام السالبة على يسار الصفر على خط الأرقام. انظر الشكل1.4.1.

يمتد خط الأعداد من سالب 4 إلى 4. يوجد القوس تحت القيم «سالبة 4" إلى «0" ويُسمى «الأرقام السالبة». يوجد قوس آخر تحت القيم من 0 إلى 4 ويحمل اسم «الأرقام الموجبة». يوجد سهم بين القوسين يشير لأعلى إلى الصفر.
الشكل1.4.1. يُظهر خط الأرقام موقع الأرقام الموجبة والسالبة.

تشير الأسهم الموجودة على طرفي خط الأعداد إلى أن الأرقام تستمر إلى الأبد. لا يوجد أكبر رقم موجب، ولا يوجد أصغر رقم سالب.

هل الصفر رقم موجب أم سالب؟ الأرقام الأكبر من الصفر إيجابية، والأرقام الأصغر من الصفر سالبة. الصفر ليس إيجابيًا ولا سلبيًا.

ضع في اعتبارك كيفية ترتيب الأرقام على خط الأعداد. بالانتقال من اليسار إلى اليمين، تزداد الأرقام في القيمة. بالانتقال من اليمين إلى اليسار، تنخفض الأرقام في القيمة. انظر الشكل1.4.2.

يتراوح خط الأعداد من سالب 4 إلى 4. يمتد السهم الموجود فوق خط الأعداد من سالب 1 إلى 4 ويُسمى «أكبر». يمتد السهم الموجود أسفل خط الأعداد من 1 إلى سالب 4 ويُسمى «أصغر».
الشكل1.4.2. تزداد الأرقام الموجودة على خط الأرقام في القيمة من اليسار إلى اليمين وتنخفض القيمة من اليمين إلى اليسار.

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «خط الأرقام - الجزء 2" على تطوير فهم أفضل للأعداد الصحيحة.

تذكر أننا نستخدم الترميز:

a<b(اقرأ «aأقل منb») عندماa تكونb على يسار خط الأرقام.

a>b(اقرأ «aأكبر منb») عندماa تكونb على يمين خط الأعداد.

نحتاج الآن إلى توسيع خط الأعداد الذي أظهر الأرقام الكاملة لتشمل الأرقام السالبة أيضًا. الأرقام المميزة بالنقاط في الشكل1.4.3. تسمى الأعداد الصحيحة. الأعداد الصحيحة هي الأرقام...3,2,1,0,1,2,3

يمتد خط الأعداد من سالب أربعة إلى أربعة. يتم رسم النقاط بسالب أربعة، وسالب ثلاثة، وسالب اثنين، وسالب واحد، وصفر، وواحد، واثنين، و3، وأربعة.
الشكل1.4.3. جميع الأرقام المميزة تسمى الأعداد الصحيحة.
مثال1.4.1

قم بترتيب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام< أو>:

  1. 14___6
  2. 1___9
  3. 1___4
  4. 2___20

الحل:

قد يكون من المفيد الرجوع إلى سطر الأرقام المعروض.


يتراوح خط الأعداد من سالب عشرين إلى خمسة عشر مع علامات التأشير بين الأرقام. يتم تسمية كل علامة اختيار خامسة برقم. يتم رسم النقاط بالنقاط السالبة العشرين، السالبة 4، السالبة 1، 2، 6، 9، 14.

الشكل1.4.4

\ (\ ابدأ {محاذاة *} 1. \ رباعي & 14\;\ _\ _\ _\\; 6\\ [4pt]
و 14 > 6 &&\ النص {14على اليمين أو6 على خط الأرقام.}\\ [8pt]
2. \ رباعي & -1\;\ _\ _\ _\\\; 9\\ [4pt]
& -1 < 9 &\ النص {19على يسار خط الأرقام.}\\ [8pt]
3. \ رباعية و-1\؛\ _\ _\ _-4\\ [4pt]
& -1 > -4 &&\ النص {1على اليمين أو4 على خط الأرقام.}\\ [8pt]
4. \ رباعي & 2\;\ _\ _\ _\ _-20\\ [4pt]
و 2 > -20 &&\ النص {2على اليمين20 أو على خط الأرقام.} \
\ النهاية {محاذاة *}\)

جرب ذلك1.4.1

قم بترتيب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام< or >:

  1. 15___7
  2. 2___5
  3. 3___7
  4. 5___17
Answer
  1. <
  2. >
  3. <
  4. >
Try It 1.4.2

قم بترتيب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام< أو>:

  1. 8___13
  2. 3___4
  3. 5___2
  4. 9___21
إجابة
  1. <
  2. >
  3. <
  4. >

ربما لاحظت أن الأرقام السالبة، على خط الأعداد، هي صورة معكوسة للأرقام الموجبة، مع وجود صفر في المنتصف. نظرًا لأن الأرقام22 هي نفس المسافة من الصفر، فإنها تسمى s المقابلة. 2نقيضه2،2 ونقيضه2.

مقابل

نقيض الرقم هو الرقم الذي هو نفس المسافة من الصفر على خط الأعداد ولكن على الجانب الآخر من الصفر.

1.4.5يوضح الشكل التعريف.

يتراوح خط الأعداد من سالب 4 إلى 4. يوجد قوسان فوق خط الأرقام. يمتد القوس الموجود على اليسار من سالب ثلاثة إلى 0. يمتد القوس الموجود على اليمين من صفر إلى ثلاثة. يتم رسم النقاط على كل من سالب ثلاثة وثلاثة.
الشكل1.4.5:3 نقيضه3.

في بعض الأحيان في الجبر يكون للرمز نفسه معاني مختلفة. تمامًا مثل بعض الكلمات في اللغة الإنجليزية، يصبح المعنى المحدد واضحًا من خلال النظر في كيفية استخدامه. لقد رأيت الرمز «» مستخدمًا بثلاث طرق مختلفة.

\ [\ ابدأ {align*} &10 − 4\ رباعي\ نص {بين رقمين، يشير إلى تشغيل}\ textit {الطرح}.\\\\\ qquad\ quad\ text {نقرأ} 10 - 4\،\ النص {باسم «} 10\،\ text {ناقص}\، 4. \ text {»}\\ [5pt]
&-8\ quad\ text {أمام الرقم، يشير إلى}\ textit {سلبي}\\ نص {رقم.}\\\\\\\ quad\ t{ نقرأ} -8\ النص {كـ «ثمانية سالب».}\\ [5pt]
&-x\ quad\ text {يشير أمام المتغير إلى}\ النص المقابل.}\\\\ رباعي\ qquad\ text {نقرأ} -x\ text {على أنه «عكس} x\ text {»}\\ [5pt]
&- (-2)\ quad\ text {هنا توجد علامتان «−».} \\
&\ qquad\ qquad\ text {يخبرنا الرقم الموجود بين قوسين أن الرقم سالب} 2. \\
\ qquad\ qquad\ text {يخبرنا الشخص الموجود خارج الأقواس بأخذ}\ textit {العكس}\ text {of} −2. \\
\ qquad\ qquad\ text {نقرأ} − (−2)\ النص {على أنه «عكس سالب اثنين».} \ النهاية {محاذاة *}\]

الترميز المعاكس

aيعني عكس الرقمa.

aتتم قراءة الترميز على أنه «عكس»a.

مثال1.4.2

ابحث عن:

  1. على العكس من7
  2. على العكس من10
  3. على العكس من(6)

الحل:

1. 7هي نفس المسافة من0 as7، ولكن على الجانب الآخر من0. على العكس من7 ذلك7.

.

2. 10هي نفس المسافة من0 as10، ولكن على الجانب الآخر من0. على العكس من10 ذلك10.

.

3. على العكس من(6) ذلك6.


.

جرب ذلك1.4.3

ابحث عن:

  1. على العكس من4
  2. the opposite of 3
  3. (1)
Answer
  1. 4
  2. 3
  3. 1
Try It 1.4.4

ابحث عن:

  1. على العكس من8
  2. على العكس من5
  3. (5)
إجابة
  1. 8
  2. 5
  3. 5

يمنحنا عملنا مع الأضداد طريقة لتحديد الأعداد الصحيحة. تسمى الأعداد الصحيحة وأضدادها بالأعداد الصحيحة. الأعداد الصحيحة هي الأرقام3,2,1,0,1,2,3

الأعداد الصحيحة

تسمى الأعداد الصحيحة وأضدادها بالأعداد الصحيحة.

الأعداد الصحيحة هي الأرقام

3,2,1,0,1,2,3

عند تقييم عكس المتغير، يجب أن نكون حذرين للغاية. وبدون معرفة ما إذا كان المتغير يمثل عددًا موجبًا أم سالبًا، لا نعرف ما إذا كان −x−x موجبًا أم سالبًا. يمكننا أن نرى هذا في المثال1.4.1.

مثال1.4.3:

تقييم

  1. x، متىx=8
  2. x، متىx=8

الحل:

  1. .  
      -x
    . .
    اكتب عكس العدد ٨. -8
  2. .  
      -x
    . .
    اكتب عكس -8. 8
جرب ذلك1.4.5

تقييمn, when

  1. n=4
  2. n=4
Answer
  1. 4
  2. 4
Try It 1.4.6

قم بالتقييمm، متى

  1. m=11
  2. m=11
إجابة
  1. 11
  2. 11

تبسيط: التعبيرات ذات القيمة المطلقة

لقد رأينا أن الأرقام مثل2 و2 هي أضداد لأنها0 على نفس المسافة من خط الأعداد. كلاهما وحدتان من0. تُسمى المسافة0 بين أي رقم على خط الأعداد بالقيمة المطلقة لهذا الرقم.

القيمة المطلقة

القيمة المطلقة للرقم هي المسافة من0 على خط الأعداد.

تتم كتابة القيمة المطلقة\(n\) للرقم كـ|n|.

على سبيل المثال،

  • 5تبعد5 الوحدات عن0, وبالتالي|5|=5.
  • 5تبعد5 الوحدات عن0, وبالتالي|5|=5.

1.4.6يوضح الشكل هذه الفكرة.

يظهر خط أرقام يتراوح من سالب 5 إلى 5. يقع القوس المسمى «5 وحدات» فوق النقاط السالبة من 5 إلى 0. يتم كتابة السهم المسمى «سالب 5 هو 5 وحدات من 0، لذا فإن القيمة المطلقة للسالب 5 تساوي 5.» فوق القوس المسمى. يقع القوس المسمى «5 وحدات» فوق النقاط من «0" إلى «5". السهم المسمى «5 هو 5 وحدات من 0، لذا فإن القيمة المطلقة لـ 5 تساوي 5.» ويتم كتابته فوق القوس المسمى.
الشكل1.4.6: الأعداد الصحيحة55 والوحدات بعيدة عن0.

القيمة المطلقة للرقم ليست سالبة أبدًا (لأن المسافة لا يمكن أن تكون سالبة). الرقم الوحيد ذو القيمة المطلقة التي تساوي الصفر هو الرقم صفر نفسه، لأن المسافة من0 إلى0 على خط الأعداد هي صفر وحدة.

خاصية القيمة المطلقة

|n|0لجميع الأرقام

تكون القيم المطلقة دائمًا أكبر من أو تساوي الصفر!

يقول علماء الرياضيات ذلك بشكل أكثر دقة، «القيم المطلقة دائمًا ما تكون غير سلبية». غير السالب يعني أكبر من أو يساوي الصفر.

مثال1.4.4:

قم بالتبسيط:

  1. |3|
  2. |44|
  3. |0|

الحل:

القيمة المطلقة للرقم هي المسافة بين الرقم والصفر. لا تكون المسافة سالبة أبدًا، لذا فإن القيمة المطلقة لا تكون سالبة أبدًا.

  1. |3|=3
  2. |44|=44
  3. |0|=0
جرب ذلك1.4.7

قم بالتبسيط:

  1. |4|
  2. |28|
  3. |0|
Answer
  1. 4
  2. 28
  3. 0
Try It 1.4.8

قم بالتبسيط:

  1. |13|
  2. |47|
إجابة
  1. 13
  2. 47

في المثال التالي، سنرتب التعبيرات ذات القيم المطلقة. تذكر أن الأرقام الإيجابية دائمًا ما تكون أكبر من الأرقام السالبة!

مثال1.4.5:

املأ<,>,or= كل زوج من أزواج الأرقام التالية:

  1. |5|_|5|
  2. 8_|8|
  3. 9_|9|
  4. (16)_|16|

الحل:


  1. Simplification|5|_|5|Order.5_55>5|5|>|5|

  2. Simplification8_|8|Order.8_88>8so |8|>|8|

  3. Simplification9_|9|Order.9_99=9so 9=|9|

  4. Simplification(16)_|16|Order.16_1616>16so (16)>|16|
جرب ذلك1.4.9

املأ<,>,or= for each of the following pairs of numbers:

  1. |9|_|9|
  2. 2_|2|
  3. 8_|8|
  4. (9)_|9|
Answer
  1. >
  2. >
  3. <
  4. >
Try It 1.4.10

املأ<,>,or= كل زوج من أزواج الأرقام التالية:

  1. 7_|7|
  2. (10)_|10|
  3. |4|_|4|
  4. 1_|1|
إجابة
  1. >
  2. >
  3. >
  4. <

نضيف الآن أشرطة القيمة المطلقة إلى قائمة رموز التجميع الخاصة بنا. عندما نستخدم ترتيب العمليات، نقوم أولاً بالتبسيط داخل أشرطة القيمة المطلقة قدر الإمكان، ثم نأخذ القيمة المطلقة للرقم الناتج.

رموز التجميع

Parentheses()Braces{}Brackets[ ]Absolute| |

في المثال التالي، نقوم بتبسيط التعبيرات داخل أشرطة القيمة المطلقة أولاً، تمامًا كما نفعل مع الأقواس.

مثال1.4.6:

قم بالتبسيط:24|193(62)|

الحل:

24|193(62)|Work inside parentheses first: subtract 2 from 624|193(4)|Multiply 3(4)24|1912|Subtract inside the absolute value bars. 24|7|Take the absolute value.247Subtract.17

جرب ذلك1.4.11

قم بالتبسيط:19|114(31)|

Answer

16

Try It 1.4.12

قم بالتبسيط:9|84(75)|

إجابة

9

مثال1.4.7

تقييم:

  1. |x|عندماx=35
  2. |y|عندماy=20
  3. |u|عندماu=12
  4. |p|عندماp=14

الحل:

1. |x|عندماx=35

|x|Substitute 35 for x|35|Take the absolute value.35

2. |y|عندماy=20

|y|Substitute 20 for y|(20)|Simplify|20|Take the absolute value.20

3. |u|عندماu=12

|u|Substitute 12 for u|12|Take the absolute value.12

4. |p|عندماp=14

|p|Substitute 14 for p|14|Take the absolute value.14

جرب ذلك1.4.13

تقييم:

  1. |x| when x=17
  2. |y| when y=39
  3. |m| when m=22
  4. |p| when p=11
Answer
  1. 17
  2. 39
  3. 22
  4. 11
Try It 1.4.14

تقييم:

  1. |y|عندماy=23
  2. |y|عندماy=21
  3. |n|عندماn=37
  4. |q|عندماq=49
إجابة
  1. 23
  2. 21
  3. 37
  4. 49

إضافة أعداد صحيحة

يشعر معظم الطلاب بالراحة تجاه حقائق الجمع والطرح للأرقام الموجبة. لكن القيام بالجمع أو الطرح بالأرقام الإيجابية والسلبية قد يكون أكثر صعوبة.

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «إضافة الأرقام الموقعة» على تطوير فهم أفضل لإضافة الأعداد الصحيحة».

سنستخدم عدادين للألوان لنمذجة الجمع والطرح للسلبيات بحيث يمكنك تصور الإجراءات بدلاً من حفظ القواعد.

نترك لونًا واحدًا (أزرق) يمثل إيجابيًا. سيمثل اللون الآخر (الأحمر) السلبيات. إذا كان لدينا عداد إيجابي واحد وعداد سلبي واحد، فإن قيمة الزوج هي صفر. إنهم يشكلون زوجًا محايدًا. قيمة هذا الزوج المحايد هي صفر.

في هذه الصورة لدينا عداد أزرق فوق عداد أحمر مع دائرة حول كليهما. المعادلة الموجودة على اليمين هي 1 زائد سالب 1 يساوي 0.
الشكل1.4.7

سنستخدم العدادات لإظهار كيفية إضافة حقائق الجمع الأربعة باستخدام الأرقام5,5 و3,3.

5+35+(3)5+35+(3)

للإضافة5+3، ندرك أن هذا5+3 يعني مجموع5 و3.

نبدأ5 بالإيجابيات. .
ثم نضيف3 الإيجابيات. .
لدينا الآن8 إيجابيات. مجموع5 و3 هو8. .

الآن سنضيف5+(3). راقب أوجه التشابه مع المثال الأخير5+3=8.

للإضافة5+(3)، ندرك أن هذا يعني مجموع5 و3.

نبدأ5 بالسلبيات. .
ثم نضيف3 السلبيات. .
لدينا الآن8 سلبية. مجموع5 و3 هو8. .

ما هي الطرق التي كان بها هذان المثالان الأولان متشابهين؟

  • يضيف المثال الأول5 الإيجابيات3 والإيجابيات - كلاهما إيجابي.
  • يضيف المثال الثاني53 السلبيات والسلبيات - كلا السلبيات.

في كل حالة حصلنا على8 - إما8 إيجابيات أو8 سلبيات.

عندما كانت العلامات هي نفسها، كانت العدادات كلها بنفس اللون، ولذا قمنا بإضافتها.

هذا الرقم مقسم إلى عمودين. يوجد في العمود الأيسر ثمانية عدادات زرقاء في صف أفقي. تحتهم يوجد النص «8 إيجابيات». تتمركز تحت هذا المعادلة 5 زائد 3 تساوي 8. يوجد في العمود الأيمن ثمانية عدادات حمراء في صف أفقي تم تسميتها أدناه بعبارة «8 سلبيات». تتمركز تحت هذا المعادلة سالب 5 زائد سالب 3 يساوي سالب 8، حيث يكون سالب 3 بين قوسين.
الشكل1.4.7
مثال1.4.8

إضافة:

  1. 1+4
  2. 1+(4)

الحل:

1. .

14الإيجابيات الإيجابية هي5 الإيجابيات.

2. .

1السلبيات بالإضافة إلى4 السلبيات هي5 السلبيات.

جرب ذلك1.4.15

إضافة:

  1. 2+4
  2. 2+(4)
Answer
  1. 6
  2. 6
Try It 1.4.16

إضافة:

  1. 2+5
  2. 2+(5)
إجابة
  1. 7
  2. 7

إذن ماذا يحدث عندما تكون العلامات مختلفة؟ دعونا نضيف5+3. نحن ندرك أن هذا يعني مجموع5 و3. عندما كانت العدادات بنفس اللون، وضعناها في صف واحد. عندما تكون العدادات بلون مختلف، نقوم بترتيبها تحت بعضها البعض.

  5+3يعني مجموع5 و3.
نبدأ5 بالسلبيات. .
ثم نضيف3 الإيجابيات. .
نقوم بإزالة أي أزواج محايدة. .
لدينا2 سلبيات متبقية. .
مجموع5 و3 هو2. 5+3=2
طاولة1.4.1

لاحظ أن هناك سلبيات أكثر من الإيجابيات، لذلك كانت النتيجة سلبية.

دعونا الآن نضيف المجموعة الأخيرة،5+(3).

  5+(3)يعني مجموع5 و3.
نبدأ5 بالإيجابيات. .
ثم نضيف3 السلبيات. .
نقوم بإزالة أي أزواج محايدة. .
لدينا2 إيجابيات متبقية. .
مجموع5 و3 هو2. 5+(3)=2
طاولة1.4.2

عندما نستخدم العدادات لتمثيل إضافة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة، يكون من السهل معرفة ما إذا كانت هناك عدادات أكثر إيجابية أو أكثر سالبة. لذلك نحن نعرف ما إذا كان المبلغ سيكون موجبًا أم سلبيًا.

يتم عرض صورتين وتمييزهما. تُظهر الصورة اليسرى خمسة عدادات حمراء في صف أفقي مرسوم فوق ثلاثة عدادات زرقاء في صف أفقي، حيث تكون أول ثلاثة أزواج من العدادات الحمراء والزرقاء محاطة بدائرة. فوق هذا الرسم البياني مكتوب «سالب 5 زائد 3" وأدناه مكتوب «المزيد من السلبيات - المجموع سالب». تُظهر الصورة اليمنى خمسة عدادات زرقاء في صف أفقي مرسوم فوق ثلاثة عدادات حمراء في صف أفقي، حيث تكون أول ثلاثة أزواج من العدادات الحمراء والزرقاء محاطة بدائرة. فوق هذا الرسم البياني مكتوب «5 زائد سالب 3" وأدناه مكتوب «المزيد من الإيجابيات - المجموع إيجابي».
الشكل1.4.8
مثال1.4.9

إضافة:

  1. 1+5
  2. 1+(5)

الحل:

1. 1+5

.

هناك المزيد من الإيجابيات، لذا فإن المجموع إيجابي.

لذلك،1+5=4.

2. 1+(5)

.

هناك المزيد من السلبيات، وبالتالي فإن المجموع سلبي.

لذا،1+(5)=4

جرب ذلك1.4.17

إضافة:

  1. 2+4
  2. 2+(4)
Answer
  1. 2
  2. 2
Try It 1.4.18

إضافة:

  1. 2+5
  2. 2+(5)
إجابة
  1. 3
  2. 3

الآن بعد أن أضفنا أعدادًا صغيرة إيجابية وسلبية مع نموذج، يمكننا تصور النموذج في أذهاننا لتبسيط المشكلات مع أي أرقام.

عندما تحتاج إلى إضافة أرقام مثل37+(53)، فأنت لا تريد حقًا حساب العدادات37 الزرقاء والعدادات53 الحمراء. مع وجود النموذج في ذهنك، هل يمكنك تصور ما ستفعله لحل المشكلة؟

عدادات الصورة37 الزرقاء مع عدادات53 حمراء تصطف تحتها. نظرًا لوجود عدادات حمراء (سالبة) أكثر من العدادات الزرقاء (الإيجابية)، سيكون المجموع سالبًا. كم عدد العدادات الحمراء الأخرى التي ستكون موجودة؟ لأن5337=16 هناك16 المزيد من العدادات الحمراء.

لذلك، مجموع37+(53) هو16.

37+(53)=16

دعونا نجرب واحدة أخرى. سنقوم بإضافة74+(27). مرة أخرى، تخيل العدادات74 الحمراء27 والمزيد من العدادات الحمراء، لذلك سيكون لدينا عدادات101 حمراء. هذا يعني أن المبلغ هو101.

74+(27)=101

دعونا ننظر مرة أخرى إلى نتائج إضافة مجموعات مختلفة من5,5 و3,3.

إضافة الأعداد الصحيحة الإيجابية والسلبية

5+3=85+(3)=8both positive, sum positiveboth positive, sum positive

عندما تكون العلامات هي نفسها، ستكون العدادات كلها بنفس اللون، لذا قم بإضافتها.

5+3=25+(3)=2different signs, more negatives, sum negativedifferent signs, more positives, sum positive

عندما تكون العلامات مختلفة، قد تشكل بعض العدادات أزواجًا محايدة، لذا اطرح لمعرفة العدد المتبقي.

قم بتصوير النموذج وأنت تقوم بتبسيط التعبيرات في الأمثلة التالية.

مثال1.4.10

قم بالتبسيط:

  1. 19+(47)
  2. 14+(36)

الحل:

1. بما أن العلامات مختلفة، فإننا نطرح19 منها47. ستكون الإجابة سلبية لأن هناك سلبيات أكثر من الإيجابيات.

Add.19+(47)=28

2. بما أن العلامات هي نفسها، نضيف. ستكون الإجابة سلبية لأن هناك سلبيات أكثر من الإيجابيات.

Add.14+(36)=50

جرب ذلك1.4.19

قم بالتبسيط:

  1. 31+(19)
  2. 15+(32)
Answer
  1. 50
  2. 17
Try It 1.4.20

قم بالتبسيط:

  1. 42+(28)
  2. 25+(61)
إجابة
  1. 70
  2. 36

تمتد التقنيات المستخدمة حتى الآن إلى مشاكل أكثر تعقيدًا، مثل تلك التي رأيناها من قبل. تذكر اتباع ترتيب العمليات!

مثال1.4.11

قم بالتبسيط:

5+3(2+7)

الحل:

5+3(2+7)Simplify inside the parenthesis5+3(5)Multiply5+15add left to right10

جرب ذلك1.4.21

قم بالتبسيط:

2+5(4+7)

Answer

13

Try It 1.4.22

قم بالتبسيط:

4+2(3+5)

إجابة

0

طرح الأعداد الصحيحة

ملاحظة

سيساعدك القيام بنشاط الرياضيات المتلاعبة «طرح الأرقام الموقعة» على تطوير فهم أفضل لطرح الأعداد الصحيحة.

سنستمر في استخدام العدادات لتمثيل الطرح. تذكر أن العدادات الزرقاء تمثل الأرقام الموجبة والعدادات الحمراء تمثل الأرقام السالبة.

ربما عندما كنت أصغر سنًا، كنت تقرأ «53» كـ «5take away»3. عند استخدام العدادات، يمكنك التفكير في الطرح بنفس الطريقة!

سنمثل حقائق الطرح الأربعة باستخدام الأرقام5 و3.

535(3))535(3)

للطرح53، نعيد ذكر المشكلة باسم «5take away»3.

نبدأ5 بالإيجابيات. .
نحن «نزيل»3 الإيجابيات. .
لدينا2 إيجابيات متبقية.  
الفرق بين5 و3 هو2. 2
طاولة1.4.3

الآن سنطرح5(3). راقب أوجه التشابه مع المثال الأخير53=2.

للطرح5(3)، نعيد ذكر هذا بـ «–5take away–3»

نبدأ5 بالسلبيات. .

نحن «نزيل»3 السلبيات.

.
لدينا2 سلبيات متبقية.  
الفرق بين-5 و-3 هو-2.

-2

طاولة\PageIndex{4}

لاحظ أن هذين المثالين متشابهان إلى حد كبير: المثال الأول، نطرح 3 إيجابيات من 5 إيجابيات وننتهي بإيجابيتين.

في المثال الثاني، نطرح 3 سلبيات من 5 سلبيات وننتهي بـ 2 سلبيات.

استخدم كل مثال عدادات بلون واحد فقط، وكان نموذج «take away» للطرح سهل التطبيق.

يتم عرض صورتين وتمييزهما. تُظهر الصورة الأولى خمسة عدادات زرقاء، ثلاثة منها محاطة بدائرة بسهم. فوق العدادات توجد المعادلة «5 ناقص 3 يساوي 2.» تُظهر الصورة الثانية خمسة عدادات حمراء، ثلاثة منها محاطة بدائرة بسهم. فوق العدادات توجد المعادلة «سالب 5، ناقص، سالب 3، يساوي سالب 2.»
الشكل\PageIndex{9}
مثال\PageIndex{12}

طرح:

  1. 7 - 5
  2. -7 - (-5)

الحل:

  1. \begin{array} {ll} {7 - 5} \\ {2}&{\text{Take }5\space \text{positives from }7 \space \text{positives and get }2\space \text{positives}} & \end{array}\nonumber
  2. \begin{array} {ll} {-7 - (-5)} \\ {-2} &{\text{Take }5\space \text{negatives from }7 \space \text{negatives and get }2\space \text{negatives}} \end{array}\nonumber
جرب ذلك\PageIndex{23}

طرح:

  1. 6 - 4
  2. -6 - (-4)
Answer
  1. 2
  2. -2
Try It \PageIndex{24}

طرح:

  1. 7 - 4
  2. -7 - (-4)
إجابة
  1. 3
  2. -3

ماذا يحدث عندما يتعين علينا طرح عدد موجب واحد وعدد سالب واحد؟ سنحتاج إلى استخدام كل من العدادات البيضاء والحمراء بالإضافة إلى بعض الأزواج المحايدة. لا تؤدي إضافة زوج محايد إلى تغيير القيمة. إنه مثل تغيير الأرباع إلى النيكل - القيمة هي نفسها، لكنها تبدو مختلفة.

  • للطرح−5−3، نعيد ذكر ذلك على−5 أنه سحب3.

نبدأ5 بالسلبيات. نحن بحاجة إلى التخلص من3 الإيجابيات، ولكن ليس لدينا أي إيجابيات نستخلصها.

تذكر أن الزوج المحايد له قيمة صفر. إذا أضفنا0 إلى5 قيمتها فلا يزال5. نضيف أزواجًا محايدة إلى5 السلبيات حتى نحصل على3 الإيجابيات التي يجب التخلص منها.

  -5 -3يعني-5 يسلب3
نبدأ5 بالسلبيات. .
نضيف الآن المحايدين اللازمين للحصول على3 الإيجابيات. .
نزيل3 الإيجابيات. .
لقد تركنا مع8 السلبيات. .
الفرق بين-5 و3 هو-8. -5 - 3 = -8
طاولة\PageIndex{5}

والآن، الحالة الرابعة،5−(−3). نبدأ5 بالإيجابيات. نحن بحاجة إلى إزالة3 السلبيات، ولكن لا توجد سلبيات يمكن إزالتها. لذلك نضيف أزواجًا محايدة حتى نحصل على3 سلبيات يجب إزالتها.

  5 -(-3)يعني5 يسلب-3
نبدأ5 بالإيجابيات. .
نضيف الآن الأزواج المحايدة المطلوبة. .
نزيل3 السلبيات. .
لدينا الكثير من8 الإيجابيات. .
الفرق بين5 و-3 هو8. 5 - (-3) = 8
طاولة\PageIndex{6}
مثال\PageIndex{13}

طرح:

  1. -3 -1
  2. 3 - (-1)

الحل:

1.

خذ 1 إيجابيًا من الزوج المحايد المضاف.

.
.

\begin{array} {l} {-3 -1} \\ {-4} \end{array}

2.

خذ سالبًا واحدًا من الزوج المحايد المضاف.

.
.

\begin{array} {l} {3 - (-1)} \\ {4} \end{array}
جرب ذلك\PageIndex{25}

طرح:

  1. -6 -4
  2. 6 - (-4)
Answer
  1. -10
  2. 10
Try It \PageIndex{26}

طرح:

  1. -7-4
  2. 7 - (-4)
إجابة
  1. -11
  2. 11

هل لاحظت أن طرح الأرقام الموقعة يمكن أن يتم بإضافة العكس؟ في التمرين\PageIndex{33}،−3−1 هو نفسه−3+(−1)3−(−1) وهو نفسه3+1. غالبًا ما سترى هذه الفكرة، خاصية الطرح، مكتوبة على النحو التالي:

خاصية الطرح

a−b=a+(−b) \nonumber

طرح رقم هو نفس إضافة نقيضه.

انظر إلى هذين المثالين.

يتم عرض صورتين وتمييزهما. تُظهر الصورة الأولى أربع كرات رمادية مرسومة بجانب كرتين رماديتين، حيث تُحاط الأربع بدائرة حمراء، مع وجود سهم أحمر يؤدي بعيدًا إلى أسفل اليسار. تم تسمية هذا الرسم أعلاه بـ «6 ناقص 4" وأدناه بـ «2". تُظهر الصورة الثانية أربع كرات رمادية وأربع كرات حمراء، مرسومة واحدة فوق الأخرى ومحاطة بدائرة باللون الأحمر، مع سهم أحمر يؤدي بعيدًا إلى أسفل اليسار، وكرتان رماديتان مرسومتان إلى جانب الكرات الرمادية الأربعة. تم تسمية هذا الرسم أعلاه بـ «6 زائد، الأقواس المفتوحة، السالب 4، الأقواس القريبة» وأدناه بـ «2".
الشكل\PageIndex{10}:6−4 يعطي نفس الإجابة مثل6+(−4).

بالطبع، عندما تكون لديك مشكلة طرح تحتوي على أرقام موجبة فقط، مثل6−4، تقوم فقط بعملية الطرح. لقد عرفت بالفعل كيفية الطرح منذ6−4 فترة طويلة. لكن معرفة ذلك6−4 يعطي نفس الإجابة التي6+(−4) تساعد عند طرح الأرقام السالبة. تأكد من أنك تفهم كيف6−46+(−4) وتعطي نفس النتائج!

مثال\PageIndex{14}

قم بالتبسيط:

  1. 13 - 8 \space \text{and } 13 + (-8)
  2. -17 - 9 \space \text{and } -17 + (-9)

الحل:

  1. \begin{array} {llll} {\text{Subtract.}} &{13 - 8} &{\text{and}} &{13 + (-8)} \\ {} &{5} &{} &{5} \end{array}
  2. \begin{array} {llll} {\text{Subtract.}} &{-17 - 9} &{\text{and}} &{-17 + (-9)} \\ {} &{-26} &{} &{-26} \end{array}
جرب ذلك\PageIndex{27}

قم بالتبسيط:

  1. 21 - 13 \space \text{and } 21 + (-13)
  2. -11 - 7 \space \text{and } -11 + (-7)
Answer
  1. 8
  2. -18
Try It \PageIndex{28}

قم بالتبسيط:

  1. 15 - 7 \space \text{and } 15 + (-7)
  2. -14 - 8 \space \text{and } -14 + (-8)
إجابة
  1. 8
  2. -22

انظر إلى ما يحدث عندما نطرح سالبًا.

ينقسم هذا الرقم عموديًا إلى نصفين. يحتوي الجزء الأيسر من الشكل على التعبير 8 ناقص سالب 5، حيث يكون سالب 5 بين قوسين. يقع التعبير فوق مجموعة من 8 عدادات زرقاء بجوار مجموعة من خمسة عدادات زرقاء على التوالي، مع وجود مسافة بين المجموعتين. تحت المجموعة المكونة من خمسة عدادات زرقاء توجد مجموعة من خمسة عدادات حمراء محاطة بدائرة. تحتوي الدائرة على سهم يشير بعيدًا نحو الجزء السفلي الأيسر من الصورة، ويرمز إلى الطرح. يوجد أسفل العدادات الرقم 13. يحتوي الجزء الأيمن من الشكل على التعبير 8 زائد 5. يقع التعبير فوق مجموعة من 8 عدادات زرقاء بجوار مجموعة من خمسة عدادات زرقاء على التوالي، مع وجود مسافة بين المجموعتين. يوجد الرقم 13 أسفل العدادات.
الشكل\PageIndex{11}:8−(−5) يعطي نفس الإجابة8+5

طرح رقم سالب يشبه إضافة رقم موجب!

غالبًا ما سترى هذا مكتوبًا كـa−(−b)=a+b.

هل يصلح ذلك للأرقام الأخرى أيضًا؟ دعونا نفعل المثال التالي ونرى.

مثال\PageIndex{15}

قم بالتبسيط:

  1. 9 - (-15) \space \text{and } 9 + 15
  2. -7 - (-4) \space \text{and } -7 + 4

الحل:

  1. \begin{array} {lll} {} &{9 - (-15)} &{9 + 15} \\ {\text{Subtract}} &{24} &{24} \end{array}
  2. \begin{array} {lll} {} &{-7 - (-4)} &{-7 + 4} \\ {\text{Subtract}} &{-3} &{-3} \end{array}
جرب ذلك\PageIndex{29}

قم بالتبسيط:

  1. 6 - (-13) \space \text{and } 6 + 13
  2. -5 - (-1) \space \text{and } -5 + 1
Answer
  1. 19
  2. -4
Try It \PageIndex{30}

قم بالتبسيط:

  1. 4 - (-19) \space \text{and } 4 + 19
  2. -4 - (-7) \space \text{and } -4 + 7
إجابة
  1. 23
  2. 3

دعونا ننظر مرة أخرى إلى نتائج طرح المجموعات المختلفة من5,−5 و3,−3.

طرح الأعداد الصحيحة

\begin{array} {l} {5 - 3} &{-5 - (-3)} \\ {2} &{-2} \\ {5\space\text{positives take away }3\space\text{positives}} &{5\space\text{negatives take away }3\space\text{negatives}} \\ {2\space\text{positives}} &{2\space\text{negatives}} \end{array}\nonumber

عندما يكون هناك عدد كافٍ من عدادات اللون لأخذها، اطرح.

\begin{array} {l} {-5 - 3} &{5 - (-3)} \\ {-8} &{8} \\ {5\space\text{negatives, want to take away }3\space\text{positives}} &{5\space\text{positives, want to take away }3\space\text{negatives}} \\ {\text{need neutral pairs}} &{\text{need neutral pairs}} \end{array}\nonumber

عندما لا تكون هناك عدادات كافية للون لإزالتها، قم بإضافتها.

ماذا يحدث عندما يكون هناك أكثر من ثلاثة أعداد صحيحة؟ نحن فقط نستخدم ترتيب العمليات كالمعتاد.

مثال\PageIndex{16}

قم بالتبسيط:

7 - (-4 -3) - 9

الحل:

\begin{array} {ll} {} &{7 - (-4 - 3) - 9} \\ {\text{Simplify inside the parenthesis first.}} &{7 - (-7) - 9} \\ {\text{Subtract left to right.}} &{14 - 9} \\ {\text{Subtract}} &{5} \end{array}\nonumber

جرب ذلك\PageIndex{31}

قم بالتبسيط:

8−(−3−1)−9

Answer

3

Try It \PageIndex{32}

قم بالتبسيط:

12−(−9−6)−14

إجابة

12

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية مع إضافة الأعداد الصحيحة وطرحها. ستحتاج إلى تمكين Java في متصفح الويب الخاص بك لاستخدام التطبيقات.

المفاهيم الرئيسية

  • جمع الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة

\begin{array} {ll} {5 + 3} &{-5+(-3)} \\ {8} &{-8} \\ {\text{both positive,}} &{\text{both negative,}} \\ {\text{sum positive}} &{\text{sum negative}} \end{array}\nonumber

\begin{array} {ll} {-5 + 3} &{5+(-3)} \\ {-2} &{2} \\ {\text{different signs,}} &{\text{different signs,}} \\ {\text{more negatives}} &{\text{more positives}} \\ {\text{sum negative}} &{\text{sum positive}} \end{array}\nonumber

  • خاصية القيمة المطلقة:

|n| \geq 0لجميع الأرقام. تكون القيم المطلقة دائمًا أكبر من أو تساوي الصفر!

  • طرح الأعداد الصحيحة

\begin{array} {ll} {5 - 3} &{-5-(-3)} \\ {2} &{-2} \\ {5\space\text{positives}} &{5\space\text{negatives}} \\ {\text{take away 3 positives}} &{\text{take away 3 negatives}} \\ {\text{2 positives}} &{\text{2 negatives}} \end{array}\nonumber

\begin{array} {ll} {-5 - 3} &{5-(-3)} \\ {-8} &{8} \\ {\text{5 negatives, want to}} &{\text{5 positives, want to}} \\ {\text{subtract 3 positives}} &{\text{subtract 3 negatives}} \\ {\text{need neutral pairs}} &{\text{need neutral pairs}}\end{array}\nonumber

  • خاصية الطرح: طرح رقم هو نفس إضافة نقيضه.

مسرد المصطلحات

القيمة المطلقة
القيمة المطلقة للرقم هي المسافة من 0 على خط الأعداد. تتم كتابة القيمة المطلقة للرقم nn كـ |n|.
الأعداد الصحيحة
تسمى الأرقام الصحيحة وأضدادها بالأعداد الصحيحة:...−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...
مقابل
نقيض العدد هو العدد الذي هو نفس المسافة من الصفر على خط الأعداد ولكن على الجانب الآخر من الصفر: −a يعني عكس العدد. aتتم قراءة الترميز - «عكس»a.