الفصل 10 تمارين المراجعة

تمارين مراجعة الفصل

إيجاد الدوال المركَّبة والعكسية

التمارين\(\PageIndex{1}\) Find and Evaluate Composite Functions

في التمارين التالية، لكل زوج من الوظائف، ابحث

1. \((f \circ g)(x)\)
2. \((g \circ f)(x)\)
3. \((f \cdot g)(x)\)

1. \(f(x)=7 x-2\)و\(g(x)=5 x+1\)

2. \(f(x)=4 x\)و\(g(x)=x^{2}+3 x\)

إجابة

2.

1. \(4 x^{2}+12 x\)
2. \(16 x^{2}+12 x\)
3. \(4 x^{3}+12 x^{2}\)

التمارين\(\PageIndex{2}\) Find and Evaluate Composite Functions

في التمارين التالية، قم بتقييم التركيبة.

1. للوظائف\(f(x)=3 x^{2}+2\) وابحث\(g(x)=4 x-3\)
   1. \((f \circ g)(-3)\)
   2. \((g \circ f)(-2)\)
   3. \((f \circ f)(-1)\)
2. للوظائف\(f(x)=2 x^{3}+5\) وابحث\(g(x)=3 x^{2}-7\)
   1. \((f \circ g)(-1)\)
   2. \((g \circ f)(-2)\)
   3. \((g \circ g)(1)\)

إجابة

2.

1. \(-123\)
2. \(356\)
3. \(41\)

التمارين\(\PageIndex{3}\) Determine Whether a Function is One-to-One

في التمارين التالية، بالنسبة لكل مجموعة من الأزواج المرتبة، حدد ما إذا كانت تمثل دالة أم لا، وإذا كان الأمر كذلك، فهي الدالة 1 إلى 1.

1. \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-4),(-1,-3),(0,-2)} , {(-1,-1),(-2,0),(-3,1) \}}\end{array}\)
2. \(\begin{array}{l}{\{(-3,0),(-2,-2),(-1,0),(0,1)} , {(1,2),(2,1),(3,-1) \}}\end{array}\)
3. \(\begin{array}{l}{\{(-3,3),(-2,1),(-1,-1),(0,-3)} , {(1,-5),(2,-4),(3,-2) \}}\end{array}\)

إجابة

2. الوظيفة؛ ليست واحدة لواحد

التمارين\(\PageIndex{4}\) Determine Whether a Function is One-to-One

في التمارين التالية، حدد ما إذا كان كل رسم بياني يمثل رسمًا بيانيًا لدالة، وإذا كان الأمر كذلك، فهل هو رسم بياني لواحد.

1. 1. 
      
      الشكل 10-هاء-1
   2. 
      
      الشكل 10-هاء-2
2. 1. 
      
      الشكل 10-هاء-3
   2. 
      
      الشكل 10-هاء-4

إجابة

1.

1. الوظيفة؛ ليست واحدة لواحد
2. ليست وظيفة

التمارين\(\PageIndex{5}\) Find the Inverse of a Function

في التمرين التالي، ابحث عن معكوس الدالة. حدِّد مجال ومدى الدالة العكسية.

1. \(\{(-3,10),(-2,5),(-1,2),(0,1)\}\)

إجابة

1. دالة عكسية:\(\{(10,-3),(5,-2),(2,-1),(1,0)\}\). اسم النطاق:\(\{1,2,5,10\}\). النطاق:\(\{-3,-2,-1,0\}\).

التمارين\(\PageIndex{6}\) Find the Inverse of a Function

في التمرين التالي، قم برسم معكوس دالة واحد إلى واحد كما هو موضح.

الشكل 10-هاء-5

إجابة

قم بحل المشكلة بنفسك

التمارين\(\PageIndex{7}\) Find the Inverse of a Function

في التمارين التالية، تحقق من أن الدوال هي دوال عكسية.

1. \(\begin{array}{l}{f(x)=3 x+7 \text { and }} {g(x)=\frac{x-7}{3}}\end{array}\)
2. \(\begin{array}{l}{f(x)=2 x+9 \text { and }} {g(x)=\frac{x+9}{2}}\end{array}\)

إجابة

1. \(g(f(x))=x,\)\(f(g(x))=x,\)وبالتالي فهي معكوسة.

التمارين\(\PageIndex{8}\) Find the Inverse of a Function

1. \(f(x)=6 x-11\)
2. \(f(x)=x^{3}+13\)
3. \(f(x)=\frac{1}{x+5}\)
4. \(f(x)=\sqrt[5]{x-1}\)

إجابة

1. \(f^{-1}(x)=\frac{x+11}{6}\)

3. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-5\)

إيجاد قيمة الدالة الأسية وتمثيلها

التمارين\(\PageIndex{9}\) Graph Exponential Functions

في التمارين التالية، قم برسم بياني لكل وظيفة من الوظائف التالية.

1. \(f(x)=4^{x}\)
2. \(f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\)
3. \(g(x)=(0.75)^{x}\)
4. \(g(x)=3^{x+2}\)
5. \(f(x)=(2.3)^{x}-3\)
6. \(f(x)=e^{x}+5\)
7. \(f(x)=-e^{x}\)

إجابة

1.

الشكل 10 هاء -6

3.

الشكل 10 هاء - 7

5.

الشكل 10 هاء -8

7.

الشكل 10 هاء - 9

التمارين\(\PageIndex{10}\) Solve Exponential Equations

في التمارين التالية، قم بحل كل معادلة.

1. \(3^{5 x-6}=81\)
2. \(2^{x^{2}}=16\)
3. \(9^{x}=27\)
4. \(5^{x^{2}+2 x}=\frac{1}{5}\)
5. \(e^{4 x} \cdot e^{7}=e^{19}\)
6. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{15}}=e^{2 x}\)

إجابة

2. \(x=-2, x=2\)

4. \(x=-1\)

6. \(x=-3, x=5\)

التمارين\(\PageIndex{11}\) Use Exponential Models in Applications

في التمارين التالية، قم بحل.

1. استثمر فيليكس $\(12,000\) في حساب التوفير. إذا كان معدل الفائدة هو\(4\)% كم سيكون في الحساب\(12\) بالسنوات بكل طريقة من طرق التجميع؟
   1. مجمع ربع سنوي
   2. مجمع شهري
   3. مركب بشكل مستمر
2. يقوم سيد بإيداع $\(20,000\) في حساب استثماري. ماذا ستكون قيمة استثماره في\(30\) السنوات إذا كان الاستثمار يكسب\(7\) نسبة مئوية سنويًا ويتفاقم بشكل مستمر؟
3. يدرس باحث في مركز السيطرة على الأمراض والوقاية منها نمو البكتيريا. تبدأ تجربتها مع\(150\) البكتيريا التي تنمو بمعدل\(15\)% في الساعة. ستفحص البكتيريا كل\(24\) ساعة. كم عدد البكتيريا التي سيجدها في\(24\) ساعات؟
4. في السنوات الخمس الماضية، نما عدد سكان الولايات المتحدة بمعدل\(0.7\)% سنويًا إلى حوالي\(318,900,000\). إذا استمر هذا المعدل، فماذا سيكون عدد السكان في سنوات\(5\) أخرى؟

إجابة

2. \(\$ 163,323.40\)

4. \(330,259,000\)

إيجاد قيم الدوال اللوغاريتمية ورسمها

التمارين\(\PageIndex{12}\) Convert Between Exponential and Logarithmic Form

في التمارين التالية، قم بالتحويل من الصورة الأسية إلى الصورة اللوغاريتمية.

1. \(5^{4}=625\)
2. \(10^{-3}=\frac{1}{1,000}\)
3. \(63^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{63}\)
4. \(e^{y}=16\)

إجابة

2. \(\log \frac{1}{1,000}=-3\)

4. \(\ln 16=y\)

التمارين\(\PageIndex{13}\) Convert Between Exponential and Logarithmic Form

في التمارين التالية، قم بتحويل كل معادلة لوغاريتمية إلى صورة أسية.

1. \(7=\log _{2} 128\)
2. \(5=\log 100,000\)
3. \(4=\ln x\)

إجابة

2. \(100000=10^{5}\)

التمارين\(\PageIndex{14}\) Evaluate Logarithmic Functions

في التمارين التالية، قم بحل المشكلة\(x\).

1. \(\log _{x} 125=3\)
2. \(\log _{7} x=-2\)
3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}=x\)

إجابة

1. \(x=5\)

3. \(x=4\)

التمارين\(\PageIndex{15}\) Evaluate Logarithmic Functions

في التمارين التالية، ابحث عن القيمة الدقيقة لكل لوغاريتم بدون استخدام الآلة الحاسبة.

1. \(\log _{2} 32\)
2. \(\log _{8} 1\)
3. \(\log _{3} \frac{1}{9}\)

إجابة

2. \(0\)

التمارين\(\PageIndex{16}\) Graph Logarithmic Functions

في التمارين التالية، قم برسم بياني لكل دالة لوغاريتمية.

1. \(y=\log _{5} x\)
2. \(y=\log _{\frac{1}{4}} x\)
3. \(y=\log _{0.8} x\)

إجابة

1.

الشكل 10 هاء -10

3.

الشكل 10 هاء -11

التمارين\(\PageIndex{17}\) Solve Logarithmic Equations

في التمارين التالية، قم بحل كل معادلة لوغاريتمية.

1. \(\log _{a} 36=5\)
2. \(\ln x=-3\)
3. \(\log _{2}(5 x-7)=3\)
4. \(\ln e^{3 x}=24\)
5. \(\log \left(x^{2}-21\right)=2\)

إجابة

2. \(x=e^{-3}\)

4. \(x=8\)

التمارين\(\PageIndex{18}\) Use Logarithmic Models in Applications

ما مستوى الديسيبل لصافرة قطار بكثافة\(10^{−3}\) الواط لكل بوصة مربعة؟

إجابة

\(90\)ديسيبل

استخدم خصائص اللوغاريتمات

التمارين\(\PageIndex{19}\) Use the Properties of Logarithms

في التمارين التالية، استخدم خصائص اللوغاريتمات للتقييم.

1. 1. \(\log _{7} 1\)
   2. \(\log _{12} 12\)
2. 1. \(5^{\log _{5} 13}\)
   2. \(\log _{3} 3^{-9}\)
3. 1. \(10^{\log \sqrt{5}}\)
   2. \(\log 10^{-3}\)
4. 1. \(e^{\ln 8}\)
   2. \(\ln e^{5}\)

إجابة

2.

1. \(13\)
2. \(-9\)

4.

1. \(8\)
2. \(5\)

التمارين\(\PageIndex{20}\) Use the Properties of Logarithms

في التمارين التالية، استخدم خاصية المنتج للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم في صورة مجموع اللوغاريتمات. قم بالتبسيط إن أمكن.

1. \(\log _{4}(64 x y)\)
2. \(\log 10,000 m\)

إجابة

2. \(4+\log m\)

التمارين\(\PageIndex{21}\) Use the Properties of Logarithms

في التمارين التالية، استخدم خاصية حاصل القسمة للوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم في صورة مجموع اللوغاريتمات. قم بالتبسيط، إن أمكن.

1. \(\log _{7} \frac{49}{y}\)
2. \(\ln \frac{e^{5}}{2}\)

إجابة

2. \(5-\ln 2\)

التمارين\(\PageIndex{22}\) Use the Properties of Logarithms

في التمارين التالية، استخدم خاصية قوة اللوغاريتمات لتوسيع كل لوغاريتم. قم بالتبسيط، إن أمكن.

1. \(\log x^{-9}\)
2. \(\log _{4} \sqrt[7]{z}\)

إجابة

2. \(\frac{1}{7} \log _{4} z\)

التمارين\(\PageIndex{23}\) Use the Properties of Logarithms

في التمارين التالية، استخدم خصائص اللوغاريتمات لكتابة كل لوغاريتم في صورة مجموع اللوغاريتمات. قم بالتبسيط إن أمكن.

1. \(\log _{3}\left(\sqrt{4} x^{7} y^{8}\right)\)
2. \(\log _{5} \frac{8 a^{2} b^{6} c}{d^{3}}\)
3. \(\ln \frac{\sqrt{3 x^{2}-y^{2}}}{z^{4}}\)
4. \(\log _{6} \sqrt[3]{\frac{7 x^{2}}{6 y^{3} z^{5}}}\)

إجابة

2. \(\begin{array}{l}{\log _{5} 8+2 \log _{5} a+6 \log _{5} b} {+\log _{5} c-3 \log _{5} d}\end{array}\)

4. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{3}\left(\log _{6} 7+2 \log _{6} x-1-3 \log _{6} y\right.} {-5 \log _{6} z )}\end{array}\)

التمارين\(\PageIndex{24}\) Use the Properties of Logarithms

في التمارين التالية، استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتم. قم بالتبسيط إن أمكن.

1. \(\log _{2} 56-\log _{2} 7\)
2. \(3 \log _{3} x+7 \log _{3} y\)
3. \(\log _{5}\left(x^{2}-16\right)-2 \log _{5}(x+4)\)
4. \(\frac{1}{4} \log y-2 \log (y-3)\)

إجابة

2. \(\log _{3} x^{3} y^{7}\)

4. \(\log \frac{\sqrt[4]{y}}{(y-3)^{2}}\)

التمارين\(\PageIndex{25}\) Use the Change-of-Base Formula

في التمارين التالية، بالتقريب إلى ثلاث منازل عشرية، قم بتقريب كل لوغاريتم تقريبًا.

1. \(\log _{5} 97\)
2. \(\log _{\sqrt{3}} 16\)

إجابة

2. \(5.047\)

حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية

التمارين\(\PageIndex{26}\) Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms

في التمارين التالية، قم بحل المشكلة\(x\).

1. \(3 \log _{5} x=\log _{5} 216\)
2. \(\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3\)
3. \(\log (x-1)-\log (3 x+5)=-\log x\)
4. \(\log _{4}(x-2)+\log _{4}(x+5)=\log _{4} 8\)
5. \(\ln (3 x-2)=\ln (x+4)+\ln 2\)

إجابة

2. \(x=4\)

4. \(x=3\)

التمارين\(\PageIndex{27}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

في التمارين التالية، حل كل معادلة أسية. ابحث عن الإجابة الصحيحة ثم قربها إلى ثلاث منازل عشرية.

1. \(2^{x}=101\)
2. \(e^{x}=23\)
3. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=7\)
4. \(7 e^{x+3}=28\)
5. \(e^{x-4}+8=23\)

إجابة

1. \(x=\frac{\log 101}{\log 2} \approx 6.658\)

3. \(x=\frac{\log 7}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.771\)

5. \(x=\ln 15+4 \approx 6.708\)

التمارين\(\PageIndex{28}\) Use Exponential Models in Applications

1. جيروم يستثمر $\(18,000\) في العمر\(17\). يأمل أن تبلغ قيمة الاستثمارات $\(30,000\) عندما يتحول\(26\). إذا كانت الفائدة تتزايد باستمرار، فما معدل النمو الذي سيحتاجه تقريبًا لتحقيق هدفه؟ هل هذا توقع معقول؟
2. تستثمر إليز دولارًا\(4500\) في حساب يضاعف الفائدة شهريًا ويكسب\(6\) %.كم من الوقت ستستغرق مضاعفة أموالها؟
3. سجل الباحثون أن عددًا معينًا من البكتيريا نما من\(100\) إلى\(300\) في\(8\) ساعات. عند معدل النمو هذا، كم عدد البكتيريا التي ستكون موجودة في\(24\) غضون ساعات؟
4. يمكن أن تتضاعف أعداد الماوس في\(8\) الأشهر\(\left(A=2 A_{0}\right)\). كم من الوقت سيستغرق عدد الفئران ثلاثة أضعاف؟
5. عمر النصف لليود المشع هو\(60\) أيام. ما مقدار عينة\(50\) الملجم المتبقية في\(40\) الأيام؟

إجابة

2. \(11.6\)سنوات

4. \(12.7\)أشهر

اختبار الممارسة

التمارين\(\PageIndex{29}\)

1. للوظائف\(g(x)=8x−3\)،\(f(x)=6x+1\) وابحث
   1. \((f \circ g)(x)\)
   2. \((g \circ f)(x)\)
   3. \((f \cdot g)(x)\)
2. حدد ما إذا كانت المجموعة التالية من الأزواج المرتبة تمثل دالة أم لا، وإذا كان الأمر كذلك، فهي الدالة من واحد إلى واحد. \(\{(-2,2),(-1,-3),(0,1),(1,-2),(2,-3)\}\)
3. حدِّد هل كل رسم بياني يمثل رسمًا بيانيًا لدالة، وإذا كان الأمر كذلك، فهل هو رسم بياني لدالة
   1. 
      
      الشكل 10 هاء - 12
   2. 
      
      الشكل 10 هاء - 13
4. رسم بياني، على نفس النظام الإحداثي، يظهر معكوس الدالة الفردية.

الشكل 10 هاء - 14

5. أوجد معكوس الدالة\(f(x)=x^{5}−9\).

6. رسم بياني للدالة\(g(x)=2^{x-3}\).

7. حل المعادلة\(2^{2 x-4}=64\).

8. حل المعادلة\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{4}}=e^{3 x}\).

9. استثمرت ميغان $\(21,000\) في حساب التوفير. إذا كان معدل الفائدة هو\(5\)%، فكم سيكون في الحساب\(8\) بالسنوات حسب كل طريقة من طرق التجميع؟

1. مجمع ربع سنوي
2. مجمع شهري
3. مركب بشكل مستمر

10. حوِّل المعادلة من الصورة الأسية إلى الصورة اللوغاريتمية:\(10^{-2}=\frac{1}{100}\).

11. حوِّل المعادلة من المعادلة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية:\(3=\log _{7} 343\).

12. حل لـ\(x\):\(\log _{5} x=-3\)

13. سجل التقييم\(_{11} 1\).

14. تقييم\(\log _{4} \frac{1}{64}\).

15. رسم بياني للدالة\(y=\log _{3} x\).

16. حل لـ\(x\):\(\log \left(x^{2}-39\right)=1\)

17. ما مستوى الديسيبل لمروحة صغيرة بكثافة\(10^{−8}\) الواط لكل بوصة مربعة؟

18. قم بتقييم كل منها.

1. \(6^{\log _{6} 17}\)
2. \(\log _{9} 9^{-3}\)

إجابة

1.

1. \(48 x-17\)
2. \(48 x+5\)
3. \(48 x^{2}-10 x-3\)

3.

1. ليست وظيفة
2. وظيفة واحدة إلى واحدة

5. \(f^{-1}(x)=\sqrt[5]{x+9}\)

7. \(x=5\)

9.

1. $\(31,250.74\)
2. $\(31,302.29\)
3. $\(31,328.32\)

11. \(343=7^{3}\)

13. \(0\)

15.

الشكل 10 هاء - 15

17. \(40\)ديسيبل

التمارين\(\PageIndex{30}\)

في التمارين التالية، استخدم خصائص اللوغاريتمات لكتابة كل تعبير كمجموع اللوغاريتمات، مع التبسيط إن أمكن.

1. \(\log _{5} 25 a b\)
2. \(\ln \frac{e^{12}}{8}\)
3. \(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{5 x^{3}}{16 y^{2} z^{7}}}\)

إجابة

1. \(2+\log _{5} a+\log _{5} b\)

3. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{4}\left(\log _{2} 5+3 \log _{2} x-4-2 \log _{2} y\right.} {-7 \log _{2} z )}\end{array}\)

التمارين\(\PageIndex{31}\)

في التمارين التالية، استخدم خصائص اللوغاريتمات لتكثيف اللوغاريتم وتبسيطه إن أمكن.

1. \(5 \log _{4} x+3 \log _{4} y\)
2. \(\frac{1}{6} \log x-3 \log (x+5)\)
3. التقريب إلى ثلاث منازل عشرية، بشكل تقريبي\(\log _{4} 73\).
4. حل لـ\(x\):\(\log _{7}(x+2)+\log _{7}(x-3)=\log _{7} 24\)

إجابة

2. \(\log \frac{\sqrt[6]{x}}{(x+5)^{3}}\)

4. \(x=6\)

التمارين\(\PageIndex{32}\)

في التمارين التالية، حل كل معادلة أسية. ابحث عن الإجابة الصحيحة ثم قربها إلى ثلاث منازل عشرية.

1. \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=9\)
2. \(5 e^{x-4}=40\)
3. يستثمر جاكوب $\(14,000\) في حساب يضاعف الفائدة كل ثلاثة أشهر ويكسب\(4\)%. كم من الوقت سيستغرق مضاعفة أمواله؟
4. سجل الباحثون أن عددًا معينًا من البكتيريا نما من\(500\) إلى\(700\) في\(5\) ساعات. عند معدل النمو هذا، كم عدد البكتيريا التي ستكون موجودة في\(20\) غضون ساعات؟
5. يمكن أن تتضاعف أعداد خنفساء معينة في\(3\) غضون أشهر\(\left(A=2 A_{0}\right)\). كم من الوقت سيستغرق عدد هذه الخنافس ثلاث مرات؟

إجابة

2. \(x=\ln 8+4 \approx 6.079\)

4. \(1,921\)بكتيريا