Skip to main content
Global

10.6E: تمارين

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    201602

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    الممارسة تجعل من الكمال

    التمارين\(\PageIndex{17}\) Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms

    في التمارين التالية، قم بحل المشكلة\(x\).

    1. \(\log _{4} 64=2 \log _{4} x\)
    2. \(\log 49=2 \log x\)
    3. \(3 \log _{3} x=\log _{3} 27\)
    4. \(3 \log _{6} x=\log _{6} 64\)
    5. \(\log _{5}(4 x-2)=\log _{5} 10\)
    6. \(\log _{3}\left(x^{2}+3\right)=\log _{3} 4 x\)
    7. \(\log _{3} x+\log _{3} x=2\)
    8. \(\log _{4} x+\log _{4} x=3\)
    9. \(\log _{2} x+\log _{2}(x-3)=2\)
    10. \(\log _{3} x+\log _{3}(x+6)=3\)
    11. \(\log x+\log (x+3)=1\)
    12. \(\log x+\log (x-15)=2\)
    13. \(\log (x+4)-\log (5 x+12)=-\log x\)
    14. \(\log (x-1)-\log (x+3)=\log \frac{1}{x}\)
    15. \(\log _{5}(x+3)+\log _{5}(x-6)=\log _{5} 10\)
    16. \(\log _{5}(x+1)+\log _{5}(x-5)=\log _{5} 7\)
    17. \(\log _{3}(2 x-1)=\log _{3}(x+3)+\log _{3} 3\)
    18. \(\log (5 x+1)=\log (x+3)+\log 2\)
    إجابة

    2. \(x=7\)

    4. \(x=4\)

    6. \(x=1, x=3\)

    8. \(x=8\)

    10. \(x=3\)

    12. \(x=20\)

    14. \(x=3\)

    16. \(x=6\)

    18. \(x=\frac{5}{3}\)

    التمارين\(\PageIndex{18}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    في التمارين التالية، حل كل معادلة أسية. ابحث عن الإجابة الصحيحة ثم قربها إلى ثلاث منازل عشرية.

    1. \(3^{x}=89\)
    2. \(2^{x}=74\)
    3. \(5^{x}=110\)
    4. \(4^{x}=112\)
    5. \(e^{x}=16\)
    6. \(e^{x}=8\)
    7. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=6\)
    8. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=8\)
    9. \(4 e^{x+1}=16\)
    10. \(3 e^{x+2}=9\)
    11. \(6 e^{2 x}=24\)
    12. \(2 e^{3 x}=32\)
    13. \(\frac{1}{4} e^{x}=3\)
    14. \(\frac{1}{3} e^{x}=2\)
    15. \(e^{x+1}+2=16\)
    16. \(e^{x-1}+4=12\)
    إجابة

    2. \(x=\frac{\log 74}{\log 2} \approx 6.209\)

    4. \(x=\frac{\log 112}{\log 4} \approx 3.404\)

    6. \(x=\ln 8 \approx 2.079\)

    8. \(x=\frac{\log 8}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.893\)

    10. \(x=\ln 3-2 \approx-0.901\)

    12. \(x=\frac{\ln 16}{3} \approx 0.924\)

    14. \(x=\ln 6 \approx 1.792\)

    16. \(x=\ln 8+1 \approx 3.079\)

    التمارين\(\PageIndex{19}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    في التمارين التالية، قم بحل كل معادلة.

    1. \(3^{3 x+1}=81\)
    2. \(6^{4 x-17}=216\)
    3. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{14}}=e^{5 x}\)
    4. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{20}\)
    5. \(\log _{a} 64=2\)
    6. \(\log _{a} 81=4\)
    7. \(\ln x=-8\)
    8. \(\ln x=9\)
    9. \(\log _{5}(3 x-8)=2\)
    10. \(\log _{4}(7 x+15)=3\)
    11. \(\ln e^{5 x}=30\)
    12. \(\ln e^{6 x}=18\)
    13. \(3 \log x=\log 125\)
    14. \(7 \log _{3} x=\log _{3} 128\)
    15. \(\log _{6} x+\log _{6}(x-5)=\log _{6} 24\)
    16. \(\log _{9} x+\log _{9}(x-4)=\log _{9} 12\)
    17. \(\log _{2}(x+2)-\log _{2}(2 x+9)=-\log _{2} x\)
    18. \(\log _{6}(x+1)-\log _{6}(4 x+10)=\log _{6} \frac{1}{x}\)
    إجابة

    2. \(x=5\)

    4. \(x=-4, x=5\)

    6. \(a=3\)

    8. \(x=e^{9}\)

    10. \(x=7\)

    12. \(x=3\)

    14. \(x=2\)

    16. \(x=6\)

    18. \(x=5\)

    التمارين\(\PageIndex{20}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    في التمارين التالية، قم بحل المشكلة\(x\)، مع إعطاء إجابة دقيقة بالإضافة إلى تقريب الأرقام العشرية الثلاث.

    1. \(6^{x}=91\)
    2. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=10\)
    3. \(7 e^{x-3}=35\)
    4. \(8 e^{x+5}=56\)
    إجابة

    2. \(x=\frac{\log 10}{\log \frac{1}{2}} \approx-3.322\)

    4. \(x=\ln 7-5 \approx-3.054\)

    التمارين\(\PageIndex{21}\) Use Exponential Models in Applications

    في التمارين التالية، قم بحل.

    1. تستثمر سونغ لي $\(5,000\) في العمر\(18\). يأمل أن تبلغ قيمة الاستثمارات $\(10,000\) عندما يتحول\(25\). إذا كانت الفائدة تتزايد باستمرار، فما معدل النمو الذي سيحتاجه تقريبًا لتحقيق هدفه؟ هل هذا توقع معقول؟
    2. تستثمر أليس دولارًا\(15,000\) في سنها\(30\) من مكافأة التوقيع على وظيفتها الجديدة. إنها تأمل أن تبلغ قيمة الاستثمارات $\(30,000\) عندما تتحول\(40\). إذا كانت الفائدة تتزايد باستمرار، فما هو معدل النمو الذي ستحتاجه تقريبًا لتحقيق هدفها؟
    3. تستثمر Coralee $\(5,000\) في حساب يضاعف الفائدة شهريًا ويكسب\(7\)%. كم من الوقت ستستغرق مضاعفة أموالها؟
    4. تستثمر Simone $\(8,000\) في حساب يضاعف الفائدة كل ثلاثة أشهر ويكسب\(5\)%. كم من الوقت سيستغرق مضاعفة أمواله؟
    5. سجل الباحثون أن عددًا معينًا من البكتيريا انخفض من\(100,000\) إلى\(100\) في\(24\) ساعات. عند معدل التحلل هذا، كم عدد البكتيريا التي ستكون موجودة في\(16\) ساعات؟
    6. سجل الباحثون أن عددًا معينًا من البكتيريا انخفض من\(800,000\) إلى\(500,000\) بعد\(6\) ساعات من تناول الدواء. عند معدل التحلل هذا، كم عدد البكتيريا التي ستكون موجودة في\(24\) ساعات؟
    7. يستغرق الفيروس\(6\) أيامًا لمضاعفة عدد سكانه الأصليين\(\left(A=2 A_{0}\right)\). كم من الوقت سيستغرق ثلاثة أضعاف عدد سكانها؟
    8. تضاعف البكتيريا عدد سكانها الأصلي في\(24\) ساعات\(\left(A=2 A_{0}\right)\). كم سيكون عدد سكانها في\(72\) ساعات؟
    9. يستخدم الكربون 14 لتأريخ الكربون الأثري. نصف عمرها هو\(5,730\) سنوات. ما مقدار عينة\(100\) -جرام من الكربون 14 التي ستبقى في\(1000\) السنوات؟
    10. غالبًا ما تستخدم التقنية المشعة 99m في الطب التشخيصي لأنها تتمتع بنصف عمر قصير نسبيًا ولكنها تدوم لفترة كافية لإجراء الاختبار المطلوب على المريض. إذا كان عمر النصف\(6\) ساعات، فما مقدار المادة المشعة التي تتكون منها حقنة\(0.5\) مليلتر التي ستكون في الجسم\(24\) خلال ساعات؟
    إجابة

    2. \(6.9\)%

    4. \(13.9\)سنوات

    6. \(122,070\)بكتيريا

    8. \(8\)أضعاف عدد السكان الأصليين

    10. \(0.03\)مل

    التمارين\(\PageIndex{22}\) Writing Exercises
    1. اشرح الطريقة التي ستستخدمها لحل هذه المعادلات:\(3^{x+1}=81\),\(3^{x+1}=75\). هل تتطلب طريقتك لوغاريتمات لكلتا المعادلتين؟ لماذا أو لماذا لا؟
    2. ما الفرق بين معادلة النمو الأسي ومعادلة الاضمحلال الأسي؟
    إجابة

    2. سوف تتنوع الإجابات.

    فحص ذاتي

    أ- بعد الانتهاء من التمارين، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم مدى إتقانك لأهداف هذا القسم.

    يحتوي هذا الجدول على أربعة صفوف وأربعة أعمدة. يقرأ الصف الأول، الذي يعمل كعنوان، «يمكنني»، «بكل ثقة، مع بعض المساعدة، والآن» لا أحصل عليه.™ يقرأ العمود الأول الموجود أسفل صف العنوان حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام خصائص اللوغاريتمات، وحل المعادلات الأسية باستخدام اللوغاريتمات، واستخدام النماذج الأسية في التطبيقات. باقي الخلايا فارغة.
    الشكل 10.5.1

    ب- بعد الاطلاع على قائمة المراجعة، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للقسم التالي؟ لماذا أو لماذا لا؟