10.6: حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام خصائص اللوغاريتمات
• حل المعادلات الأسية باستخدام اللوغاريتمات
• استخدم النماذج الأسية في التطبيقات

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. حل:$x^{2}=16$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.46.
2. حل:$x^{2}−5x+6=0$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.45.
3. حل:$x(x+6)=2x+5$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.47.

حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام خواص اللوغاريتمات

في القسم الخاص بالدوال اللوغاريتمية، قمنا بحل بعض المعادلات بإعادة كتابة المعادلة في الصورة الأسية. الآن لدينا خصائص اللوغاريتمات، لدينا طرق إضافية يمكننا استخدامها لحل المعادلات اللوغاريتمية.

إذا كانت معادلتنا تحتوي على لوغاريتمين، فيمكننا استخدام خاصية تقول أنه إذا كان$\log _{a} M=\log _{a} N$ الأمر كذلك، فهذا صحيح$M=N$. هذه هي خاصية واحد لواحد للمعادلات اللوغاريتمية.

تعريف$\PageIndex{1}$

خاصية واحد لواحد للمعادلات اللوغاريتمية

من أجل$M>0,N>0,a>0$،$a≠1$ وهو أي رقم حقيقي:

إذا كان$\log _{a} M=\log _{a} N,$ الأمر كذلك$M=N$.

لاستخدام هذه الخاصية، يجب أن نتأكد من كتابة طرفي المعادلة بنفس القاعدة.

تذكر أن اللوغاريتمات محددة فقط للأرقام الحقيقية الموجبة. تحقق من نتائجك في المعادلة الأصلية. ربما تكون قد حصلت على نتيجة تعطي لوغاريتمًا صفرًا أو رقمًا سالبًا.

مثال$\PageIndex{1}$

حل:$2 \log _{5} x=\log _{5} 81$.

الحل:

$2 \log _{5} x=\log _{5} 81$

استخدم خاصية الطاقة.

$\log _{5} x^{2}=\log _{5} 81$

استخدم خاصية «واحد إلى واحد»$\log _{a} M=\log _{a} N$، إذا كانت كذلك$M=N$.

$x^{2}=81$

حل باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

$x=\pm 9$

نتخلص$x=-9$ من ذلك لأنه لا يمكننا أخذ لوغاريتم الرقم السالب.

$x=9, \cancel{x=-9}$

تحقق. $x=9$

$\begin{aligned}2 \log _{5} x&=\log _{5} 81 \\ 2 \log _{5} 9 &\stackrel{?}{=} \log _{5} 81 \\ \log _{5} 9^{2} & \stackrel{?}{=}\log _{5} 81 \\ \log _{5} 81 & =\log _{5} 81\end{aligned}$

التمارين$\PageIndex{1}$

حل:$2 \log _{3} x=\log _{3} 36$

إجابة

$x=6$

التمارين$\PageIndex{2}$

حل:$3 \log x=\log 64$

إجابة

$x=4$

هناك إستراتيجية أخرى يمكن استخدامها لحل المعادلات اللوغاريتمية وهي تكثيف المجاميع أو الاختلافات في لوغاريتم واحد.

مثال$\PageIndex{2}$

حل:$\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2$.

الحل:

$\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2$

استخدم خاصية المنتج،$\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N$.

$\log _{3} x(x-8)=2$

أعد الكتابة في الصورة الأسية.

$3^{2}=x(x-8)$

قم بالتبسيط.

$9=x^{2}-8 x$

اطرح$9$ من كل جانب.

$0=x^{2}-8 x-9$

عامل.

$0=(x-9)(x+1)$

استخدم خاصية المنتج الصفري

$x-9=0, \quad x+1=0$

حل كل معادلة.

$x=9, \quad \cancel{x=-1}$

تحقق. $x=-1$

$\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8)&=2 \\ \log _{3}(-1)+\log _{3}(-1-8) &\stackrel{?}{=}2\end{aligned}$

لا يمكننا أخذ سجل الرقم السالب.

تحقق. $x=9$

$\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8) &=2 \\ \log _{3} 9+\log _{3}(9-8) & \stackrel{?}{=} 2 \\ 2+0 &\stackrel{?}{=}2 \\ 2 &=2 \end{aligned}$

التمارين$\PageIndex{3}$

حل:$\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3$

إجابة

$x=4$

التمارين$\PageIndex{4}$

حل:$\log _{2} x+\log _{2}(x-6)=4$

إجابة

$x=8$

عندما تكون هناك لوغاريتمات على كلا الجانبين، فإننا نكثف كل جانب في لوغاريتم واحد. تذكر استخدام خاصية الطاقة حسب الحاجة.

مثال$\PageIndex{3}$

حل:$\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x$.

الحل:

$\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x$

استخدم خاصية Quotient على الجانب الأيسر وPowerProperty على اليمين.

$\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} x^{-1}$

أعد كتابة$x^{-1}=\frac{1}{x}$.

$\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} \frac{1}{x}$

استخدم خاصية «واحد إلى واحد»$\log _{a} M=\log _{a} N$، إذا كانت كذلك$M=N$.

$\frac{x+6}{2 x+5}=\frac{1}{x}$

حل المعادلة العقلانية.

$x(x+6)=2 x+5$

قم بالتوزيع.

$x^{2}+6 x=2 x+5$

اكتب في النموذج القياسي.

$x^{2}+4 x-5=0$

عامل.

$(x+5)(x-1)=0$

استخدم خاصية المنتج الصفري.

$x+5=0, \quad x-1=0$

حل كل معادلة.

$\cancel{x=-5}, \quad x=1$

تحقق.

نترك الشيك لك.

التمارين$\PageIndex{5}$

حل:$\log (x+2)-\log (4 x+3)=-\log x$.

إجابة

$x=3$

التمارين$\PageIndex{6}$

حل:$\log (x-2)-\log (4 x+16)=\log \frac{1}{x}$.

إجابة

$x=8$

مثال$\PageIndex{4}$ Solve Exponential Equations Using Logarithms

حل$5^{x}=11$. ابحث عن الإجابة الصحيحة ثم قربها إلى ثلاث منازل عشرية.

الحل:

$5^{x}=11$

بما أن الأسي معزول، خذ لوغاريتم كلا الجانبين.

$\log 5^{x}=\log 11$

استخدم خاصية الطاقة للحصول على القيمة$x$ كعامل وليس أس.

$x \log 5=\log 11$

حل لـ$x$. ابحث عن الإجابة الدقيقة.

$x=\frac{\log 11}{\log 5}$

قم بتقريب الإجابة.

$x \approx 1.490$

منذ$5^{1}=5$ ذلك الحين$5^{2}=25$، هل من المنطقي ذلك$5^{1.490}≈11$؟

التمارين$\PageIndex{7}$

حل$7^{x}=43$. ابحث عن الإجابة الصحيحة ثم قربها إلى ثلاث منازل عشرية.

إجابة

$x=\frac{\log 43}{\log 7} \approx 1.933$

التمارين$\PageIndex{8}$

حل$8^{x}=98$. ابحث عن الإجابة الصحيحة ثم قربها إلى ثلاث منازل عشرية.

إجابة

$x=\frac{\log 98}{\log 8} \approx 2.205$

عندما نأخذ لوغاريتم كلا الجانبين سنحصل على نفس النتيجة سواء استخدمنا اللوغاريتم المشترك أو الطبيعي (حاول استخدام السجل الطبيعي في المثال الأخير). هل حصلت على نفس النتيجة؟) عندما يكون للأسي أساس$e$، نستخدم اللوغاريتم الطبيعي.

مثال$\PageIndex{5}$

حل$3e^{x+2}=24$. ابحث عن الإجابة الصحيحة ثم قربها إلى ثلاث منازل عشرية.

الحل:

$3 e^{x+2}=24$

اعزل الرقم الأسي بقسمة كلا الطرفين على$3$.

$e^{x+2}=8$

خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين.

$\ln e^{x+2}=\ln 8$

استخدم خاصية الطاقة للحصول على القيمة$x$ كعامل وليس أس.

$(x+2) \ln e=\ln 8$

استخدم الخاصية$\ln e=1$ للتبسيط.

$x+2=\ln 8$

حل المعادلة. ابحث عن الإجابة الدقيقة.

$x=\ln 8-2$

قم بتقريب الإجابة.

$x \approx 0.079$

التمارين$\PageIndex{9}$

حل$2e^{x−2}=18$. ابحث عن الإجابة الصحيحة ثم قربها إلى ثلاث منازل عشرية.

إجابة

$x=\ln 9+2 \approx 4.197$

التمارين$\PageIndex{10}$

حل$5e^{2x}=25$. ابحث عن الإجابة الصحيحة ثم قربها إلى ثلاث منازل عشرية.

إجابة

$x=\frac{\ln 5}{2} \approx 0.805$

استخدم النماذج الأسية في التطبيقات

في الأقسام السابقة، تمكنا من حل بعض التطبيقات التي تم تصميمها باستخدام المعادلات الأسية. الآن لدينا العديد من الخيارات لحل هذه المعادلات، نحن قادرون على حل المزيد من التطبيقات.

سنستخدم مرة أخرى صيغ الفائدة المركبة ولذا نقوم بإدراجها هنا كمرجع.

تعريف$\PageIndex{2}$

الفائدة المركبة

بالنسبة لرأس المال$P$، المستثمر بسعر فائدة$r$،$t$ لسنوات، فإن الرصيد الجديد$A$ هو:

$\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}$

مثال$\PageIndex{6}$

وضع والدا جرمايل $$10,000$ في استثمارات لنفقات كليته في عيد ميلاده الأول. يأملون أن تكون الاستثمارات ذات قيمة $$50,000$ عندما يتحول$18$. إذا كانت الفائدة تتزايد باستمرار، فما هو معدل النمو الذي سيحتاجونه تقريبًا لتحقيق هدفهم؟

الحل:

حدد المتغيرات في الصيغة.

$\begin{aligned} A &=\$ 50,000 \\ P &=\$ 10,000 \\ r &=? \\ t &=17 \text { years } \\ A &=P e^{r t} \end{aligned}$

استبدل القيم في الصيغة.

$50,000=10,000 e^{r \cdot 17}$

حل لـ$r$. قسّم كل جانب على$10,000$.

$5=e^{17 r}$

خذ السجل الطبيعي لكل جانب.

$\ln 5=\ln e^{17 r}$

استخدم خاصية الطاقة.

$\ln 5=17 r \ln e$

قم بالتبسيط.

$\ln 5=17 r$

قسّم كل جانب على$17$.

$\frac{\ln 5}{17}=r$

قم بتقريب الإجابة.

$r \approx 0.095$

قم بالتحويل إلى نسبة مئوية.

$r \approx 9.5 \%$

إنهم بحاجة إلى أن يكون معدل النمو تقريبًا$9.5$%.

التمارين$\PageIndex{11}$

يستثمر هيكتور $$10,000$ في العمر$21$. يأمل أن تبلغ قيمة الاستثمارات $$150,000$ عندما يتحول$50$. إذا كانت الفائدة تتزايد باستمرار، فما معدل النمو الذي سيحتاجه تقريبًا لتحقيق هدفه؟

إجابة

$r \approx 9.3 \%$

التمارين$\PageIndex{12}$

راشيل تستثمر $$15,000$ في العمر$25$. إنها تأمل أن تبلغ قيمة الاستثمارات $$90,000$ عندما تتحول$40$. إذا كانت الفائدة تتزايد باستمرار، فما هو معدل النمو الذي ستحتاجه تقريبًا لتحقيق هدفها؟

إجابة

$r \approx 11.9 \%$

لقد رأينا أن النمو والانحلال يتم نمذجتهما من خلال الوظائف الأسية. للنمو والانحلال نستخدم الصيغة$A=A_{0} e^{k t}$. للنمو الأسي معدل نمو إيجابي أو ثابت النمو,$k$, والتحلل الأسي له معدل نمو سلبي أو ثابت الاضمحلال,$k$.

تعريف$\PageIndex{3}$

النمو المتسارع والانحطاط

بالنسبة للمبلغ الأصلي$A_{0}$، الذي ينمو أو يتحلل بمعدل$k$، لفترة معينة$t$$A$، يكون المبلغ النهائي:

$A=A_{0} e^{k t}$

يمكننا الآن حل التطبيقات التي تزودنا بمعلومات كافية لتحديد معدل النمو. يمكننا بعد ذلك استخدام معدل النمو هذا للتنبؤ بمواقف أخرى.

مثال$\PageIndex{7}$

سجل الباحثون أن عددًا معينًا من البكتيريا نما من$100$ إلى$300$ في$3$ ساعات. عند معدل النمو هذا، كم عدد البكتيريا التي ستكون موجودة$24$ بعد ساعات من بداية التجربة؟

الحل:

تتطلب هذه المشكلة خطوتين رئيسيتين. أولاً يجب أن نجد المعدل غير المعروف،$k$. ثم نستخدم هذه القيمة$k$ لمساعدتنا في العثور على عدد غير معروف من البكتيريا.

حدد المتغيرات في الصيغة.

$\begin{aligned} A &=300 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=3 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

استبدل القيم في الصيغة.

$300=100 e^{k \cdot 3}$

حل لـ$k$. قسّم كل جانب على$100$.

$3=e^{3 k}$

خذ السجل الطبيعي لكل جانب.

$\ln 3=\ln e^{3 k}$

استخدم خاصية الطاقة.

$\ln 3=3 k \ln e$

قم بالتبسيط.

$\ln 3=3 k$

قسّم كل جانب على$3$.

$\frac{\ln 3}{3}=k$

قم بتقريب الإجابة.

$k \approx 0.366$

نحن نستخدم معدل النمو هذا للتنبؤ بعدد البكتيريا التي ستكون هناك في$24$ ساعات.

$\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 3}{3} \\ t &=24 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

استبدل القيم.

$A=100 e^{\frac{\ln 3}{3} \cdot 24}$

تقييم.

$A \approx 656,100$

عند معدل النمو هذا، يمكنهم توقع$656,100$ البكتيريا.

التمارين$\PageIndex{13}$

سجل الباحثون أن عددًا معينًا من البكتيريا نما من$100$ إلى$500$ في$6$ ساعات. عند معدل النمو هذا، كم عدد البكتيريا التي ستكون موجودة$24$ بعد ساعات من بداية التجربة؟

إجابة

ستكون هناك$62,500$ بكتيريا.

التمارين$\PageIndex{14}$

سجل الباحثون أن عددًا معينًا من البكتيريا انخفض من$700,000$ إلى$400,000$ بعد$5$ ساعات من تناول الدواء. عند معدل التحلل هذا، كم عدد البكتيريا التي ستكون موجودة$24$ بعد ساعات من بداية التجربة؟

إجابة

ستكون هناك$5,870,061$ بكتيريا.

تتحلل المواد المشعة أو تتحلل وفقًا لصيغة الاضمحلال الأسي. يُطلق على مقدار الوقت الذي تستغرقه المادة حتى تتحلل إلى نصف الكمية الأصلية نصف عمر المادة.

على غرار المثال السابق، يمكننا استخدام المعلومات المعطاة لتحديد ثابت الاضمحلال، ثم استخدام هذا الثابت للإجابة على أسئلة أخرى.

مثال$\PageIndex{8}$

نصف عمر الراديوم 226 هو$1,590$ سنوات. ما مقدار عينة$100$ الملجم المتبقية في$500$ السنوات؟

الحل:

تتطلب هذه المشكلة خطوتين رئيسيتين. أولاً يجب أن نجد ثابت الاضمحلال$k$. إذا بدأنا بـ$100$ -mg، فسيكون هناك$50$ -mg متبقٍ في عمر النصف. سنستخدم هذه المعلومات للعثور عليها$k$. ثم نستخدم هذه القيمة$k$ لمساعدتنا في العثور على كمية العينة التي سيتم تركها في$500$ سنوات.

حدد المتغيرات في الصيغة.

$\begin{aligned} A &=50 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=1590 \text { years } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

استبدل القيم في الصيغة.

$50=100 e^{k \cdot 1590}$

حل لـ$k$. قسّم كل جانب على$100$.

$0.5=e^{1590 k}$

خذ السجل الطبيعي لكل جانب.

$\ln 0.5=\ln e^{1590 k}$

استخدم خاصية الطاقة.

$\ln 0.5=1590 k \ln e$

قم بالتبسيط.

$\ln 0.5=1590 k$

قسّم كل جانب على$1590$.

$\frac{\ln 0.5}{1590}=k$إجابة دقيقة

نحن نستخدم معدل النمو هذا للتنبؤ بالمبلغ المتبقي في$500$ السنوات.

$\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 0.5}{1590} \\ t &=500\: \mathrm{years} \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

استبدل القيم.

$A=100 e^{\frac{1 \mathrm{n} 0.5}{1500} \cdot 500}$

تقييم.

$A \approx 80.4 \mathrm{mg}$

في$500$ السنوات سيكون هناك ما يقرب من$80.4$ ملغ متبقي.

التمارين$\PageIndex{15}$

عمر النصف للمغنيسيوم-27 هو$9.45$ دقائق. كم من عينة$10$ -mg ستبقى في$6$ دقائق؟

إجابة

سيكون هناك$6.43$ يساري.

التمارين$\PageIndex{16}$

عمر النصف لليود المشع هو$60$ أيام. ما مقدار عينة$50$ -mg المتبقية في$40$ الأيام؟

إجابة

سيكون هناك$31.5$ يساري.

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية.

• حل المعادلات اللوغاريتمية
• حل معادلات اللوغاريتم
• إيجاد المعدل أو الوقت في مسألة كلامية تتعلق بالنمو الأسي أو الاضمحلال
• إيجاد المعدل أو الوقت في مسألة كلامية تتعلق بالنمو الأسي أو الاضمحلال

المفاهيم الرئيسية

• خاصية واحد لواحد للمعادلات اللوغاريتمية: لأي$M>0, N>0, a>0$ رقم حقيقي$a≠1$ وهو:

  إذا كان$\log _{a} M=\log _{a} N,$ ذلك الحين$M=N$

• الفائدة المركبة:
  بالنسبة لرأس$P$ المال المستثمر بسعر فائدة$r$،$t$ لسنوات، يكون الرصيد الجديد كما يلي:$A$

  $\begin{array}{ll}{A} & {=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A} & {=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}$

• النمو المتسارع والانحلال: بالنسبة للكمية الأصلية$A_{0}$ التي تنمو أو تتحلل بمعدل$r$، لفترة معينة$t$، يكون المقدار النهائي،$A$، هو$A=A_{0} e^{r t}$.