Skip to main content
Global

10.2E: تمارين

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    201603

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    الممارسة تجعل من الكمال

    التمارين\(\PageIndex{19}\) Find and Evaluate Composite Functions

    في التمارين التالية، ابحث

    1. \((f \circ g)(x)\)
    2. \((g \circ f)(x)\)
    3. \((f \cdot g)(x)\)
    1. \(f(x)=4 x+3\)و\(g(x)=2 x+5\)
    2. \(f(x)=3 x-1\)و\(g(x)=5 x-3\)
    3. \(f(x)=6 x-5\)و\(g(x)=4 x+1\)
    4. \(f(x)=2 x+7\)و\(g(x)=3 x-4\)
    5. \(f(x)=3 x\)و\(g(x)=2 x^{2}-3 x\)
    6. \(f(x)=2 x\)و\(g(x)=3 x^{2}-1\)
    7. \(f(x)=2 x-1\)و\(g(x)=x^{2}+2\)
    8. \(f(x)=4 x+3\)و\(g(x)=x^{2}-4\)
    إجابة

    1.

    1. \(8x+23\)
    2. \(8x+11\)
    3. \(8 x^{2}+26 x+15\)

    3.

    1. \(24x+1\)
    2. \(24x-19\)
    3. \(24x^{2}+19x-5\)

    5.

    1. \(6 x^{2}-9 x\)
    2. \(18 x^{2}-9 x\)
    3. \(6 x^{3}-9 x^{2}\)

    7.

    1. \(2 x^{2}+3\)
    2. \(4 x^{2}-4 x+3\)
    3. \(2 x^{3}-x^{2}+4 x-2\)
    التمارين\(\PageIndex{20}\) Find and Evaluate Composite Functions

    في التمارين التالية، ابحث عن القيم الموضحة.

    1. للوظائف\(f(x)=2 x^{2}+3\) وابحث\(g(x)=5x-1\)
      1. \((f \circ g)(-2)\)
      2. \((g \circ f)(-3)\)
      3. \((f \circ f)(-1)\)
    2. للوظائف\(f(x)=5 x^{2}-1\) وابحث\(g(x)=4x−1\)
      1. \((f \circ g)(1)\)
      2. \((g \circ f)(-1)\)
      3. \((f \circ f)(2)\)
    3. للوظائف\(f(x)=2x^{3}\) وابحث\(g(x)=3x^{2}+2\)
      1. \((f \circ g)(-1)\)
      2. \((g \circ f)(1)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    4. للوظائف\(f(x)=3 x^{3}+1\) وابحث\(g(x)=2 x^{2}=3\)
      1. \((f \circ g)(-2)\)
      2. \((g \circ f)(-1)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    إجابة

    1.

    1. \(245\)
    2. \(104\)
    3. \(53\)

    3.

    1. \(250\)
    2. \(14\)
    3. \(77\)
    التمارين\(\PageIndex{21}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    في التمارين التالية، حدِّد إذا ما كانت مجموعة الأزواج المرتبة تُمثِّل دالة أم لا، وإذا كان الأمر كذلك، فهي الدالة من واحد إلى واحد.

    1. \(\begin{array}{l}{\{(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0)}, {(1,1),(2,4),(3,9) \}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{l}{\{(9,-3),(4,-2),(1,-1),(0,0)}, {(1,1),(4,2),(9,3) \}}\end{array}\)
    3. \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-3),(-1,-1)}, {(0,1),(1,3),(2,5),(3,7) \}}\end{array}\)
    4. \(\begin{array}{l}{\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)}, {(1,-1),(0,-2),(-1,-3) \}}\end{array}\)
    إجابة

    1. الوظيفة؛ ليست واحدة لواحد

    3. وظيفة واحدة إلى واحدة

    التمارين\(\PageIndex{22}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    في التمارين التالية، حدد ما إذا كان كل رسم بياني يمثل رسمًا بيانيًا لدالة، وإذا كان الأمر كذلك، فهل هو رسم بياني لواحد.

    1.


    1. يوضِّح هذا الشكل رسمًا بيانيًا لدائرة يقع مركزها عند نقطة الأصل ونصف قطرها 3.
      الشكل 10.1.65

    2. يوضح هذا الشكل رسمًا بيانيًا لفتحة المكافئ لأعلى مع قمة الرأس عند (0k، 2).
      الشكل 10.1.66

    2.


    1. يوضِّح هذا الشكل فتحة القطع المكافئ إلى اليمين بحيث تكون قمة الرأس عند النقطة (سالب 2، 0).
      الشكل 10.1.67

    2. يوضِّح هذا الشكل رسمًا بيانيًا لكثيرات الحدود بترتيب فردي، بحيث تبدأ في الربع الثالث، ثم تزداد إلى نقطة الأصل، ثم تستمر في الزيادة خلال الربع الأول.
      الشكل 10.1.68

    3.


    1. يوضح هذا الشكل رسمًا بيانيًا لمنحنى يبدأ عند (سالب 6 سالب 2) يرتفع إلى نقطة الأصل ثم يستمر في الزيادة ببطء إلى (6، 2).
      الشكل 10.1.69

    2. يوضح هذا الشكل فتحة القطع المكافئ لأعلى بحيث تكون قمة الرأس عند (0، سالب 4).
      الشكل 10.1.70

    4.


    1. يوضح هذا الشكل مقطع الخط المستقيم يتناقص من (سالب 4، 6) إلى (2، 0)، وبعد ذلك يزداد من (2، 0) إلى (6، 4).
      الشكل 10.1.71

    2. يوضِّح هذا الشكل دائرة نصف قطرها ٤ ومركزها عند نقطة الأصل.
      الشكل 10.1.72
    إجابة

    1.

    1. ليست وظيفة
    2. الوظيفة؛ ليست واحدة لواحد

    3.

    1. وظيفة واحدة إلى واحدة
    2. الوظيفة؛ ليست واحدة لواحد
    التمارين\(\PageIndex{23}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    في التمارين التالية، ابحث عن معكوس كل دالة. حدِّد مجال ومدى الدالة العكسية.

    1. \(\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\}\)
    2. \(\{(6,2),(9,5),(12,8),(15,11)\}\)
    3. \(\{(0,-2),(1,3),(2,7),(3,12)\}\)
    4. \(\{(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\}\)
    5. \(\{(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3)\}\)
    6. \(\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)\}\)
    إجابة

    1. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} . \text { Domain: }\{1,2,3,4\} . \text { Range: }} {\{2,4,6,8\} .}\end{array}\)

    3. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-2,0),(3,1),(7,2),(12,3)\} . \text { Domain: }\{-2,3,7,12\} \text { . }} {\text { Range: }\{0,1,2,3\}}\end{array}\)

    5. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-3,-2),(-1,-1),(1,0),(3,1)\} . \text { Domain: }} {\{-3,-1,1,3\} . \text { Range: }\{-2,-1,0,1\}}\end{array}\)

    التمارين\(\PageIndex{24}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    في التمارين التالية: رسم بياني، على نفس النظام الإحداثي، معكوس دالة واحد إلى واحد.


    1. يوضح هذا الشكل سلسلة من مقاطع الخط من (سالب 4، سالب 3) إلى (سالب 3، 0) ثم إلى (سالب 1، 2) ثم إلى (3، 4).
      الشكل 10.1.73

    2. يوضح هذا الشكل سلسلة من مقاطع الخط من (سالب 4، سالب 4) إلى (سالب 3، 1) ثم إلى (0، 2) ثم إلى (2، 4).
      الشكل 10.1.74

    3. يوضح هذا الشكل سلسلة من المقاطع الخطية من (سالب 4، 4) إلى (0، 3) ثم إلى (3، 2) ثم إلى (4، سالب 1).
      الشكل 10.1.75

    4. يوضح هذا الشكل سلسلة من المقاطع الخطية من (سالب 4، سالب 4) إلى (سالب 1، سالب 3) ثم إلى (0، 1)، ثم إلى (1، 3)، ثم إلى (4، 4).
      الشكل 10.1.76
    إجابة

    1.

    يوضح هذا الشكل سلسلة من مقاطع الخط من (سالب 3، سالب 4) إلى (0، سالب 3) ثم إلى (2، سالب 1)، ثم إلى (4، 3).
    الشكل 10.1.77

    3.

    يوضح هذا الشكل سلسلة من المقاطع الخطية من (سالب 1، 4) إلى (2، 3) ثم إلى (3، 0)، ثم إلى (4، سالب 4).
    الشكل 10.1.78
    التمارين\(\PageIndex{25}\) Determine Whether the given functions are inverses

    في التمارين التالية، حدد ما إذا كانت الوظائف المعينة معكوسة أم لا.

    1. \(f(x)=x+8\)و\(g(x)=x-8\)
    2. \(f(x)=x-9\)و\(g(x)=x+9\)
    3. \(f(x)=7 x\)و\(g(x)=\frac{x}{7}\)
    4. \(f(x)=\frac{x}{11}\)و\(g(x)=11 x\)
    5. \(f(x)=7 x+3\)و\(g(x)=\frac{x-3}{7}\)
    6. \(f(x)=5 x-4\)و\(g(x)=\frac{x-4}{5}\)
    7. \(f(x)=\sqrt{x+2}\)و\(g(x)=x^{2}-2\)
    8. \(f(x)=\sqrt[3]{x-4}\)و\(g(x)=x^{3}+4\)
    إجابة

    1. \(g(f(x))=x,\)\(f(g(x))=x,\)وبالتالي فهي معكوسة.

    3. \(g(f(x))=x,\)\(f(g(x))=x,\)وبالتالي فهي معكوسة.

    5. \(g(f(x))=x,\)\(f(g(x))=x,\)وبالتالي فهي معكوسة.

    7. \(g(f(x))=x,\)\(f(g(x))=x,\)وبالتالي فهي معكوسة (لغير السلبية)\(x )\)

    التمارين\(\PageIndex{26}\) Determine the inverse of a function

    في التمارين التالية، ابحث عن معكوس كل دالة.

    1. \(f(x)=x-12\)
    2. \(f(x)=x+17\)
    3. \(f(x)=9 x\)
    4. \(f(x)=8 x\)
    5. \(f(x)=\frac{x}{6}\)
    6. \(f(x)=\frac{x}{4}\)
    7. \(f(x)=6 x-7\)
    8. \(f(x)=7 x-1\)
    9. \(f(x)=-2 x+5\)
    10. \(f(x)=-5 x-4\)
    11. \(f(x)=x^{2}+6, x \geq 0\)
    12. \(f(x)=x^{2}-9, x \geq 0\)
    13. \(f(x)=x^{3}-4\)
    14. \(f(x)=x^{3}+6\)
    15. \(f(x)=\frac{1}{x+2}\)
    16. \(f(x)=\frac{1}{x-6}\)
    17. \(f(x)=\sqrt{x-2}, x \geq 2\)
    18. \(f(x)=\sqrt{x+8}, x \geq-8\)
    19. \(f(x)=\sqrt[3]{x-3}\)
    20. \(f(x)=\sqrt[3]{x+5}\)
    21. \(f(x)=\sqrt[4]{9 x-5}, x \geq \frac{5}{9}\)
    22. \(f(x)=\sqrt[4]{8 x-3}, x \geq \frac{3}{8}\)
    23. \(f(x)=\sqrt[5]{-3 x+5}\)
    24. \(f(x)=\sqrt[5]{-4 x-3}\)
    إجابة

    1. \(f^{-1}(x)=x+12\)

    3. \(f^{-1}(x)=\frac{x}{9}\)

    5. \(f^{-1}(x)=6 x\)

    7. \(f^{-1}(x)=\frac{x+7}{6}\)

    9. \(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{-2}\)

    11. \(f^{-1}(x)=\sqrt{x-6}\)

    13. \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+4}\)

    15. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-2\)

    17. \(f^{-1}(x)=x^{2}+2, x \geq 0\)

    19. \(f^{-1}(x)=x^{3}+3\)

    21. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{4}+5}{9}, x \geq 0\)

    23. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}-5}{-3}\)

    التمارين\(\PageIndex{27}\) Writing Exercises
    1. اشرح كيفية ارتباط التمثيل البياني لمعكوس الدالة بالرسم البياني للدالة.
    2. اشرح كيفية إيجاد معكوس الدالة من معادلتها. استخدم مثالاً لتوضيح الخطوات.
    إجابة

    1. سوف تتنوع الإجابات.

    فحص ذاتي

    أ- بعد الانتهاء من التمارين، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم مدى إتقانك لأهداف هذا القسم.

    يحتوي هذا الجدول على أربعة صفوف وأربعة أعمدة. يقرأ الصف الأول، الذي يعمل كعنوان، «يمكنني»، «بكل ثقة، مع بعض المساعدة، والآن» لا أحصل عليه.™ يقرأ العمود الأول الموجود أسفل صف العنوان البحث عن الدوال المركبة وتقييمها، وتحديد ما إذا كانت الدالة واحدة إلى واحدة، والعثور على معكوس الدالة. باقي الخلايا فارغة.
    الشكل 10.1.79

    ب- إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك هي:

    ... بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على القيام بهذه الأشياء؟ كن محددًا.

    ... مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح ثقوبًا في طريقك إلى النجاح. في الرياضيات، يعتمد كل موضوع على العمل السابق. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. من الذي يمكنك طلب المساعدة؟ يعتبر زملائك في الفصل والمدرب موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي حيث يتوفر مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

    ... لا - أنا لا أفهم ذلك! هذه علامة تحذير ويجب ألا تتجاهلها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستصاب بالارتباك بسرعة. راجع مدرسك في أقرب وقت ممكن لمناقشة وضعك. معًا يمكنك وضع خطة للحصول على المساعدة التي تحتاجها.