8.8: استخدم الجذور في الوظائف

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• تقييم دالة جذرية
• ابحث عن مجال دالة جذرية
• الوظائف الجذرية للرسم البياني

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. حل:$1−2x≥0$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 2.50.
2. من$f(x)=3x−4$ أجل التقييم$f(2),f(−1),f(0)$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 3.48.
3. رسم بياني$f(x)=\sqrt{x}$. حدد مجال ونطاق الدالة في الترميز الفاصل الزمني.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 3.56.

تقييم دالة جذرية

في هذا القسم سنقوم بتوسيع عملنا السابق بوظائف لتشمل الجذور. إذا تم تعريف الدالة بواسطة تعبير جذري، فإننا نسميها دالة جذرية.

• وظيفة الجذر التربيعي هي$f(x)=\sqrt{x}$.
• وظيفة الجذر المكعب هي$f(x)=\sqrt[3]{x}$.

تعريف$\PageIndex{1}$: radical function

الدالة الجذرية هي دالة يتم تعريفها بتعبير جذري.

لتقييم دالة جذرية، نجد قيمة قيمة$f(x)$ معينة$x$ تمامًا كما فعلنا في عملنا السابق مع الدوال.

مثال$\PageIndex{1}$

للحصول على الوظيفة$f(x)=\sqrt{2 x-1}$، ابحث

1. $f(5)$
2. $f(-2)$

الحل:

أ.

$f(x)=\sqrt{2 x-1}$

للتقييم$f(5)$، استبدل$5$ بـ$x$.

$f(5)=\sqrt{2 \cdot 5-1}$

قم بالتبسيط.

$f(5)=\sqrt{9}$

خذ الجذر التربيعي.

$f(5)=3$

ب.

$f(x)=\sqrt{2 x-1}$

للتقييم$f(-2)$، استبدل$-2$ بـ$x$.

$f(-2)=\sqrt{2(-2)-1}$

قم بالتبسيط.

$f(-2)=\sqrt{-5}$

نظرًا لأن الجذر التربيعي لرقم سالب ليس رقمًا حقيقيًا، فإن الدالة لا تحتوي على قيمة عند$x=-2$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{1}$

للحصول على الوظيفة$f(x)=\sqrt{3 x-2}$، ابحث

1. $f(6)$
2. $f(0)$

إجابة

1. $f(6)=4$
2. لا توجد قيمة في$x=0$

التمارين الرياضية$\PageIndex{2}$

للحصول على الوظيفة$g(x)=\sqrt{5x+5}$، ابحث

1. $g(4)$
2. $g(-3)$

إجابة

1. $g(4)=5$
2. لا توجد قيمة في$f(-3)$

نحن نتبع نفس الإجراء لتقييم الجذور التكعيبية.

مثال$\PageIndex{2}$

للحصول على الوظيفة$g(x)=\sqrt[3]{x-6}$، ابحث

1. $g(14)$
2. $g(-2)$

الحل:

أ.

$g(x)=\sqrt[3]{x-6}$

للتقييم$g(14)$، استبدل$14$ بـ$x$.

$g(14)=\sqrt[3]{14-6}$

قم بالتبسيط.

$g(14)=\sqrt[3]{8}$

خذ الجذر التكعيبي.

$g(14)=2$

ب.

$g(x)=\sqrt[3]{x-6}$

للتقييم$g(-2)$، استبدل$-2$ بـ$x$.

$g(-2)=\sqrt[3]{-2-6}$

قم بالتبسيط.

$g(-2)=\sqrt[3]{-8}$

خذ الجذر التكعيبي.

$g(-2)=-2$

التمارين الرياضية$\PageIndex{3}$

للحصول على الوظيفة$g(x)=\sqrt[3]{3 x-4}$، ابحث

1. $g(4)$
2. $g(1)$

إجابة

1. $g(4)=2$
2. $g(1)=-1$

التمارين الرياضية$\PageIndex{4}$

للحصول على الوظيفة$h(x)=\sqrt[3]{5 x-2}$، ابحث

1. $h(2)$
2. $h(-5)$

إجابة

1. $h(2)=2$
2. $h(-5)=-3$

المثال التالي له جذور رابعة.

مثال$\PageIndex{3}$

للحصول على الوظيفة$f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}$، ابحث

1. $f(4)$
2. $f(-12)$

الحل:

أ.

$f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}$

للتقييم$f(4)$، استبدل$4$ بـ$x$.

$f(4)=\sqrt[4]{5 \cdot 4-4}$

قم بالتبسيط.

$f(4)=\sqrt[4]{16}$

خذ الجذر الرابع.

$f(4)=2$

ب.

$f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}$

للتقييم$f(-12)$، استبدل$-12$ بـ$x$.

$f(-12)=\sqrt[4]{5(-12)-4}$

قم بالتبسيط.

$f(-12)=\sqrt[4]{-64}$

نظرًا لأن الجذر الرابع للرقم السالب ليس رقمًا حقيقيًا، فإن الدالة لا تحتوي على قيمة عند$x=-12$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{5}$

للحصول على الوظيفة$f(x)=\sqrt[4]{3 x+4}$، ابحث

1. $f(4)$
2. $f(-1)$

إجابة

1. $f(4)=2$
2. $f(-1)=1$

التمارين الرياضية$\PageIndex{6}$

للحصول على الوظيفة$g(x)=\sqrt[4]{5 x+1}$، ابحث

1. $g(16)$
2. $g(3)$

إجابة

1. $g(16)=3$
2. $g(3)=2$

أوجد مجال دالة جذرية

للعثور على مجال ونطاق الوظائف الجذرية، نستخدم خصائص الجذور الخاصة بنا. بالنسبة للجذر ذي المؤشر المتساوي، قلنا إن الجذر يجب أن يكون أكبر من أو يساوي الصفر لأن جذور الأعداد السالبة ليست أرقامًا حقيقية. بالنسبة لمؤشر فردي، يمكن أن يكون الجذر أي رقم حقيقي. نعيد ذكر الخصائص هنا كمرجع.

خصائص لـ$\sqrt[n]{a}$

متى$n$ يكون الرقم الزوجي و:

• $a \geq 0$، إذن$\sqrt[n]{a}$ هو رقم حقيقي.
• $a<0$، إذن$\sqrt[n]{a}$ ليس رقمًا حقيقيًا.

عندما$n$ يكون رقمًا فرديًا،$\sqrt[n]{a}$ يكون رقمًا حقيقيًا لجميع قيم$a$.

لذلك، لإيجاد مجال الدالة الجذرية ذات الفهرس الزوجي، نضع الجذر ليكون أكبر من أو يساوي الصفر. بالنسبة لمؤشر جذري غريب، يمكن أن يكون الراديكاند أي رقم حقيقي.

مجال الدالة الجذرية

عندما يكون مؤشر الراديكالي متساويًا، يجب أن يكون الجذر أكبر من أو يساوي الصفر.

عندما يكون مؤشر الراديكالية غريبًا، يمكن أن يكون الراديكوند أي رقم حقيقي.

مثال$\PageIndex{4}$

ابحث عن مجال الدالة،$f(x)=\sqrt{3 x-4}$. اكتب المجال بالتدوين الفاصل الزمني.

الحل:

نظرًا لأن الدالة$f(x)=\sqrt{3 x-4}$ لها جذر بمؤشر$2$، وهو زوجي، فإننا نعلم أن الجذر يجب أن يكون أكبر من أو يساوي$0$. نضع الجذر ليكون أكبر من أو يساوي$0$ ثم نحله للعثور على المجال.

حل.

$\begin{aligned} 3 x-4 & \geq 0 \\ 3 x & \geq 4 \\ x & \geq \frac{4}{3} \end{aligned}$

مجال كل القيم$f(x)=\sqrt{3 x-4}$ هو كل القيم$x \geq \frac{4}{3}$ ونكتبه بتدوين فاصل زمني كـ$\left[\frac{4}{3}, \infty\right)$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{7}$

ابحث عن مجال الدالة،$f(x)=\sqrt{6 x-5}$. اكتب المجال بالتدوين الفاصل الزمني.

إجابة

$\left[\frac{5}{6}, \infty\right)$

التمارين الرياضية$\PageIndex{8}$

ابحث عن مجال الدالة،$f(x)=\sqrt{4-5 x}$. اكتب المجال بالتدوين الفاصل الزمني.

إجابة

$\left(-\infty, \frac{4}{5}\right]$

مثال$\PageIndex{5}$

ابحث عن مجال الدالة،$g(x)=\sqrt{\frac{6}{x-1}}$. اكتب المجال بالتدوين الفاصل الزمني.

الحل:

حل الدالة،$g(x)=\sqrt{\frac{6}{x-1}}$ له جذر بمؤشر$2$، وهو زوجي، نعلم أن الجذر يجب أن يكون أكبر من أو يساوي$0$.

لا يمكن أن يكون الجذر صفرًا لأن البسط ليس صفرًا.

$\frac{6}{x-1}$لكي يكون أكبر من الصفر، يجب أن يكون المقام موجبًا لأن البسط موجب. نحن نعلم أن الإيجابي مقسومًا على الإيجابي هو أمر إيجابي.

نحن نضع$x-1>0$ ونحل.

$x-1>0$

حل.

$x>1$

أيضًا، نظرًا لأن الجذر هو كسر، يجب أن ندرك أن المقام لا يمكن أن يكون صفرًا.

نحن نتوصل$x-1=0$ إلى إيجاد القيمة التي يجب حذفها من المجال.

$x-1=0$

حل.

$x=1$لذلك$x/neq 1$ في المجال.

بتجميع هذا معًا نحصل على النطاق$x>1$ ونكتبه كـ$(1, \infty)$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{9}$

ابحث عن مجال الدالة،$f(x)=\sqrt{\frac{4}{x+3}}$. اكتب المجال بالتدوين الفاصل الزمني.

إجابة

$(-3, \infty)$

التمارين الرياضية$\PageIndex{10}$

ابحث عن مجال الدالة،$h(x)=\sqrt{\frac{9}{x-5}}$. اكتب المجال بالتدوين الفاصل الزمني.

إجابة

$(5, \infty)$

يتضمن المثال التالي الجذر التكعيبي وبالتالي سيتطلب تفكيرًا مختلفًا.

مثال$\PageIndex{6}$

ابحث عن مجال الدالة،$f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}$. اكتب المجال بالتدوين الفاصل الزمني.

الحل:

نظرًا لأن الدالة$f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}$ لها جذر بمؤشر$3$، وهو أمر فردي، فإننا نعلم أن الجذر يمكن أن يكون أي رقم حقيقي. هذا يخبرنا أن المجال هو أي رقم حقيقي. في تدوين الفاصل الزمني، نكتب$(-\infty, \infty)$.

مجال$f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}$ كل الأرقام الحقيقية ونكتبه بترميز فاصل زمني كـ$(-\infty, \infty)$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{11}$

ابحث عن مجال الدالة،$f(x)=\sqrt[3]{3 x^{2}-1}$. اكتب المجال بالتدوين الفاصل الزمني.

إجابة

$(-\infty, \infty)$

التمارين الرياضية$\PageIndex{12}$

ابحث عن مجال الدالة،$g(x)=\sqrt[3]{5 x-4}$. اكتب المجال بالتدوين الفاصل الزمني.

إجابة

$(-\infty, \infty)$

الدوال الجذرية للرسم البياني

قبل أن نرسم أي دالة جذرية بيانيًا، نجد أولًا مجال الدالة. بالنسبة للدالة$f(x)=\sqrt{x}$، يكون المؤشر متساويًا، وبالتالي يجب أن يكون الجذر أكبر من أو يساوي$0$.

هذا يخبرنا بالمجال$x≥0$ ونكتبه في تدوين فاصل زمني كـ$[0,∞)$.

استخدمنا سابقًا التخطيط النقطي لرسم الدالة بيانيًا,$f(x)=\sqrt{x}$. اخترنا$x$ -values واستبدلناها ثم أنشأنا مخططًا. لاحظ أننا اخترنا النقاط التي تعتبر مربعات مثالية من أجل تسهيل أخذ الجذر التربيعي.

الشكل 8.7.1

بمجرد رؤية الرسم البياني، يمكننا العثور على نطاق الدالة. $y$القيم -للدالة أكبر من أو تساوي الصفر. النطاق إذن هو$[0,∞)$.

مثال$\PageIndex{7}$

بالنسبة للوظيفة$f(x)=\sqrt{x+3}$،

1. ابحث عن النطاق
2. رسم بياني للدالة
3. استخدم الرسم البياني لتحديد النطاق

الحل:

1. نظرًا لأن الراديكاليين$2$ لديهم مؤشر، فإننا نعلم أن الراديكالية يجب أن تكون أكبر من أو تساوي الصفر. إذا$x+3 \geq 0$، إذن$x \geq-3$. يخبرنا هذا أن المجال عبارة عن جميع القيم$x \geq-3$ ويتم كتابته بتدوين فاصل زمني كـ$[-3, \infty)$.
2. لرسم الدالة بيانيًا، نختار نقاطًا في الفاصل الزمني$[-3, \infty)$ ستعطينا أيضًا جذرًا سيكون من السهل أخذ الجذر التربيعي.

الشكل 8.7.2

ج- بالنظر إلى الرسم البياني، نرى$y$ القيم -للدالة أكبر من أو تساوي الصفر. النطاق إذن هو$[0, \infty)$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{13}$

بالنسبة للوظيفة$f(x)=\sqrt{x+2}$،

1. ابحث عن النطاق
2. رسم بياني للدالة
3. استخدم الرسم البياني لتحديد النطاق

إجابة

1. نطاق:$[-2, \infty)$
2. 
   
   الشكل 8.7.3
3. النطاق:$[0, \infty)$

التمارين الرياضية$\PageIndex{14}$

بالنسبة للوظيفة$f(x)=\sqrt{x-2}$،

1. ابحث عن النطاق
2. رسم بياني للدالة
3. استخدم الرسم البياني لتحديد النطاق

إجابة

1. نطاق:$[2, \infty)$
2. 
   
   الشكل 8.7.4
3. النطاق:$[0, \infty)$

في عملنا السابق المتمثل في تمثيل الدوال بيانيًا، قمنا بالرسم البياني للدالة$f(x)=x^{3}$ ولكننا لم نرسم الدالة بيانيًا$f(x)=\sqrt[3]{x}$. سنفعل هذا الآن في المثال التالي.

مثال$\PageIndex{8}$

بالنسبة للوظيفة،$f(x)=\sqrt[3]{x}$،

1. ابحث عن النطاق
2. رسم بياني للدالة
3. استخدم الرسم البياني لتحديد النطاق

الحل:

أ. بما أن الراديكالي لديه مؤشر$3$، فإننا نعرف أنه يمكن أن يكون أي رقم حقيقي. يخبرنا هذا أن المجال عبارة عن جميع الأرقام الحقيقية ويتم كتابته بترميز فاصل زمني كـ$(-\infty, \infty)$

ب- لرسم الدالة بيانيًا، نختار نقاطًا في الفاصل الزمني$(-\infty, \infty)$ ستعطينا أيضًا جذرًا سيكون من السهل أخذ الجذر التكعيبي.

الشكل 8.7.5

ج- بالنظر إلى الرسم البياني، نرى أن$y$ القيم -للدالة كلها أرقام حقيقية. النطاق إذن هو$(-\infty, \infty)$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{15}$

بالنسبة للوظيفة$f(x)=-\sqrt[3]{x}$،

1. ابحث عن النطاق
2. رسم بياني للدالة
3. استخدم الرسم البياني لتحديد النطاق

إجابة

1. نطاق:$(-\infty, \infty)$
2. 
   
   الشكل 8.7.6
3. النطاق:$(-\infty, \infty)$

التمارين الرياضية$\PageIndex{16}$

بالنسبة للوظيفة$f(x)=\sqrt[3]{x-2}$،

1. ابحث عن النطاق
2. رسم بياني للدالة
3. استخدم الرسم البياني لتحديد النطاق

إجابة

1. نطاق:$(-\infty, \infty)$
2. 
   
   الشكل 8.7.7
3. النطاق:$(-\infty, \infty)$

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة وظائف جذرية.

• مجال الدالة الجذرية
• مجال الدالة الجذرية 2
• إيجاد مجال الدالة الجذرية

المفاهيم الرئيسية

• خصائص لـ$\sqrt[n]{a}$
  • متى$n$ يكون الرقم زوجيًا و:
    $a≥0$، إذن$\sqrt[n]{a}$ هو رقم حقيقي.
    $a<0$، إذن$\sqrt[n]{a}$ ليس رقمًا حقيقيًا.
  • عندما$n$ يكون رقمًا فرديًا،$\sqrt[n]{a}$ يكون رقمًا حقيقيًا لجميع قيم$a$.
• مجال الدالة الجذرية
  • عندما يكون مؤشر الراديكالي متساويًا، يجب أن يكون الجذر أكبر من أو يساوي الصفر.
  • عندما يكون مؤشر الراديكالية غريبًا، يمكن أن يكون الراديكوند أي رقم حقيقي.

مسرد المصطلحات

وظيفة جذرية

الدالة الجذرية هي دالة يتم تعريفها بتعبير جذري.