8.7: حل المعادلات الجذرية

Last updated
Save as PDF

Page ID: 201586

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

حل المعادلات الجذرية
حل المعادلات الجذرية باستخدام جذرين
استخدم الجذور في التطبيقات

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

قم بالتبسيط:$(y−3)^{2}$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 5.31.
حل:$2x−5=0$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 2.2.
حل$n^{2}−6n+8=0$.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.45.

حل المعادلات الجذرية

في هذا القسم سنحل المعادلات التي تحتوي على متغير في جذر التعبير الجذري. تسمى معادلة من هذا النوع معادلة جذرية.

تعريف$\PageIndex{1}$

المعادلة التي يكون فيها المتغير في جذر التعبير الجذري تسمى المعادلة الجذرية.

كالعادة، عند حل هذه المعادلات، ما نفعله بأحد طرفي المعادلة يجب أن نفعله بالجانب الآخر أيضًا. بمجرد عزل الراديكالي، ستكون استراتيجيتنا هي رفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة المؤشر. هذا سيقضي على الراديكالي.

قد يؤدي حل المعادلات الجذرية التي تحتوي على فهرس زوجي عن طريق رفع كلا الجانبين إلى قوة الفهرس إلى إدخال حل جبري لن يكون حلاً للمعادلة الجذرية الأصلية. مرة أخرى، نسمي هذا حلاً غريبًا كما فعلنا عندما قمنا بحل المعادلات العقلانية.

في المثال التالي، سنرى كيفية حل معادلة جذرية. تعتمد استراتيجيتنا على رفع الراديكالي بالمؤشر$n$ إلى$n^{th}$ السلطة. هذا سيقضي على الراديكالي.

بالنسبة لـ$a \geq 0,(\sqrt[n]{a})^{n}=a$.

مثال$\PageIndex{1}$ how to solve a radical equation

حل:$\sqrt{5 n-4}-9=0$.

الحل:

الجدول 8.6.1
الخطوة 1: اعزل الجذر على أحد طرفي المعادلة.	لعزل الراديكالي، أضف$9$ إلى كلا الجانبين. قم بالتبسيط.	$\begin{array}{c}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5 n-4}-9\color{red}{+9}\color{black}{=}0\color{red}{+9}} \\ {\sqrt{5 n-4}=9}\end{array}$
الخطوة 2: ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس.	بما أن مؤشر الجذر التربيعي هو$2$، فإننا نعادل كلا الجانبين.	$(\sqrt{5 n-4})^{2}=(9)^{2}$
الخطوة 3: حل المعادلة الجديدة.	تذكر،$(\sqrt{a})^{2}=a$.	$\begin{aligned} 5 n-4 &=81 \\ 5 n &=85 \\ n &=17 \end{aligned}$
الخطوة 4: تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.		تحقق من الإجابة. $\begin{array}{r}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5(\color{red}{17}\color{black}{)}-4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{85-4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{81}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {9-9=0} \\ {0=0}\end{array}$ الحل هو$n=17$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{1}$

حل:$\sqrt{3 m+2}-5=0$.

إجابة: $m=\frac{23}{3}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{2}$

حل:$\sqrt{10 z+1}-2=0$.

إجابة: $z=\frac{3}{10}$

حل معادلة جذرية باستخدام جذر واحد

اعزل الجذر على أحد طرفي المعادلة.
ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس.
حل المعادلة الجديدة.
تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.

عندما نستخدم علامة جذرية، فإنها تشير إلى الجذر الرئيسي أو الإيجابي. إذا كانت المعادلة تحتوي على جذر يحتوي على فهرس زوجي يساوي عددًا سالبًا، فلن يكون لهذه المعادلة أي حل.

مثال$\PageIndex{2}$

حل:$\sqrt{9 k-2}+1=0$.

الحل:

الجدول 8.6.2
	$.$
لعزل الجذر، اطرح$1$ على كلا الجانبين.	$.$
قم بالتبسيط.	$.$

نظرًا لأن الجذر التربيعي يساوي رقمًا سالبًا، فلا يوجد حل للمعادلة.

التمارين الرياضية$\PageIndex{3}$

حل:$\sqrt{2 r-3}+5=0$.

إجابة: لا يوجد حل

التمارين الرياضية$\PageIndex{4}$

حل:$\sqrt{7 s-3}+2=0$.

إجابة: لا يوجد حل

إذا كان أحد طرفي المعادلة ذات الجذر التربيعي هو ذو حدين، فإننا نستخدم حاصل ضرب نمط المربعات ذات الحدين عند تربيعه.

تعريف$\PageIndex{2}$

مربعات ذات حدين

$\begin{array}{l}{(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} \\ {(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}}\end{array}$

لا تنس المدى المتوسط!

مثال$\PageIndex{3}$

حل:$\sqrt{p-1}+1=p$.

الحل:

الجدول 8-6-3
	$.$
لعزل الجذر، اطرح$1$ من كلا الجانبين.	$.$
قم بالتبسيط.	$.$
قم بمربع طرفي المعادلة.	$.$
قم بالتبسيط باستخدام حاصل ضرب نمط المربعات ذات الحدين على اليمين، ثم حل المعادلة الجديدة.	$.$
إنها معادلة تربيعية، لذا احصل على صفر على أحد الجانبين.	$.$
ضع الجانب الأيمن في الاعتبار.	$.$
استخدم خاصية المنتج الصفري.	$.$
حل كل معادلة.	$.$
تحقق من الإجابات.
$.$

الحلول هي$p=1, p=2$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{5}$

حل:$\sqrt{x-2}+2=x$.

إجابة: $x=2, x=3$

التمارين الرياضية$\PageIndex{6}$

حل:$\sqrt{y-5}+5=y$.

إجابة: $y=5, y=6$

عندما يكون مؤشر الجذر هو$3$، نقوم بتكعيب كلا الجانبين لإزالة الجذر.

$(\sqrt[3]{a})^{3}=a$

مثال$\PageIndex{4}$

حل:$\sqrt[3]{5 x+1}+8=4$.

الحل:

الجدول 8-6-4
	$\sqrt[3]{5 x+1}+8=4$
لعزل الجذر، اطرح$8$ من كلا الجانبين.	$\sqrt[3]{5 x+1}=-4$
ضع مكعبًا على جانبي المعادلة.	$(\sqrt[3]{5 x+1})^{3}=(-4)^{3}$
قم بالتبسيط.	$5 x+1=-64$
حل المعادلة.	$5 x=-65$
	$x=-13$
تحقق من الإجابة.
$.$
	الحل هو$x=-13$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{7}$

حل:$ \sqrt[3]{4 x-3}+8=5$

إجابة: $x=-6$

التمارين الرياضية$\PageIndex{8}$

حل:$\sqrt[3]{6 x-10}+1=-3$

إجابة: $x=-9$

في بعض الأحيان تحتوي المعادلة على أسس كسرية بدلاً من جذرية. نحن نستخدم نفس الأساليب لحل المعادلة كما هو الحال عندما يكون لدينا جذر. نرفع كل طرف من المعادلة إلى قوة مقام الأس الكسري. منذ ذلك الحين$\left(a^{m}\right)^{^{n}}=a^{m \cdot n}$، لدينا على سبيل المثال،

$\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=x,\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=x$

تذكر,$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ و$x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$.

مثال$\PageIndex{5}$

حل:$(3 x-2)^{\frac{1}{4}}+3=5$.

الحل:

الجدول 8-6-5
	$(3 x-2)^{\frac{1}{4}}+3=5$
لعزل المصطلح باستخدام الأس النسبي، اطرح$3$ من كلا الجانبين.	$(3 x-2)^{\frac{1}{4}}=2$
ارفع كل جانب من المعادلة إلى القوة الرابعة.	$\left((3 x-2)^{\frac{1}{4}}\right)^{4}=(2)^{4}$
قم بالتبسيط.	$3 x-2=16$
حل المعادلة.	$3x=18$
	$x=6$
تحقق من الإجابة.
$.$
	الحل هو$x=6$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{9}$

حل:$(9 x+9)^{\frac{1}{4}}-2=1$

إجابة: $x=8$

التمارين الرياضية$\PageIndex{10}$

حل:$(4 x-8)^{\frac{1}{4}}+5=7$

إجابة: $x=6$

في بعض الأحيان ينتج عن حل المعادلة الجذرية حلين جبرين، لكن أحدهما قد يكون حلًا غريبًا!

مثال$\PageIndex{6}$

حل:$\sqrt{r+4}-r+2=0$.

الحل:

الجدول 8-6-6
	$\sqrt{r+4}-r+2=0$
اعزل الراديكالي.	$\sqrt{r+4}=r-2$
قم بمربع طرفي المعادلة.	$(\sqrt{r+4})^{2}=(r-2)^{2}$
قم بتبسيط المعادلة ثم حلها.	$r+4=r^{2}-4 r+4$
إذا كانت معادلة تربيعية، فاحصل على صفر على أحد طرفيها.	$0=r^{2}-5 r$
ضع الجانب الأيمن في الاعتبار.	$0=r(r-5)$
استخدم خاصية المنتج الصفري.	$0=r \quad 0=r-5$
حل المعادلة.	$r=0 \quad r=5$
تحقق من إجابتك.
$.$	الحل هو$r=5$.
	$r=0$هو الحل المتطرف.

التمارين الرياضية$\PageIndex{11}$

حل:$\sqrt{m+9}-m+3=0$

إجابة: $m=7$

التمارين الرياضية$\PageIndex{12}$

حل:$\sqrt{n+1}-n+1=0$.

إجابة: $n=3$

عندما يكون هناك معامل أمام الراديكالي، يجب أن نرفعه إلى قوة المؤشر أيضًا.

مثال$\PageIndex{7}$

حل:$3 \sqrt{3 x-5}-8=4$.

الحل:

الجدول 8-6-7
	$3 \sqrt{3 x-5}-8=4$
اعزل المصطلح الراديكالي.	$3 \sqrt{3 x-5}=12$
اعزل الراديكالي بتقسيم كلا الجانبين على$3$.	$\sqrt{3 x-5}=4$
قم بمربع طرفي المعادلة.	$(\sqrt{3 x-5})^{2}=(4)^{2}$
قم بتبسيط المعادلة الجديدة ثم حلها.	$3 x-5=16$
	$3x=21$
حل المعادلة.	$x=7$
تحقق من الإجابة.
$.$
	الحل هو$x=7$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{13}$

حل:$2 \sqrt{4 a+4}-16=16$.

إجابة: $a=63$

التمارين الرياضية$\PageIndex{14}$

حل:$3 \sqrt{2 b+3}-25=50$

إجابة: $b=311$

حل المعادلات الجذرية التي تحتوي على جذرين

إذا كانت المعادلة الجذرية تحتوي على جذرين، نبدأ بعزل أحدهما. غالبًا ما يكون من الأسهل عزل الراديكالي الأكثر تعقيدًا أولاً.

في المثال التالي، عندما يتم عزل أحد الراديكاليين، يتم عزل الراديكالي الثاني أيضًا.

مثال$\PageIndex{8}$

حل:$\sqrt[3]{4 x-3}=\sqrt[3]{3 x+2}$.

الحل:

يتم عزل المصطلحات الراديكالية.

$\sqrt[3]{4 x-3}=\sqrt[3]{3 x+2}$

بما أن الفهرس هو$3$، قم بتكعيب طرفي المعادلة.

$(\sqrt[3]{4 x-3})^{3}=(\sqrt[3]{3 x+2})^{3}$

قم بتبسيط المعادلة الجديدة ثم حلها.

$\begin{aligned} 4 x-3 &=3 x+2 \\ x-3 &=2 \\ x &=5 \end{aligned}$

الحل هو$x=5$.

تحقق من الإجابة.

نترك الأمر لك لإظهار تلك$5$ الشيكات!

التمارين الرياضية$\PageIndex{15}$

حل:$\sqrt[3]{5 x-4}=\sqrt[3]{2 x+5}$.

إجابة: $x=3$

التمارين الرياضية$\PageIndex{16}$

حل:$\sqrt[3]{7 x+1}=\sqrt[3]{2 x-5}$.

إجابة: $x=-\frac{6}{5}$

في بعض الأحيان بعد رفع طرفي المعادلة إلى قوة، لا يزال لدينا متغير داخل الجذر. عندما يحدث ذلك، نكرر الخطوة 1 والخطوة 2 من الإجراء الخاص بنا. نعزل الجذر ونرفع طرفي المعادلة إلى قوة المؤشر مرة أخرى.

مثال$\PageIndex{9}$ how to solve a radical equation

حل:$\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}$.

الحل:

الجدول 8-6-8
الخطوة 1: اعزل أحد المصطلحات الجذرية على أحد طرفي المعادلة.	الراديكالي على اليمين معزول.	$\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}$
الخطوة 2: ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس.	نحن نرتب كلا الجانبين. التبسيط - كن حذرًا جدًا أثناء التكاثر!	$(\sqrt{m}+1)^{2}=(\sqrt{m+9})^{2}$
الخطوة 3: هل هناك المزيد من الراديكاليين؟ إذا كانت الإجابة بنعم، كرر الخطوة 1 والخطوة 2 مرة أخرى. إذا لم يكن الأمر كذلك، فقم بحل المعادلة الجديدة.	لا يزال هناك جذر جذري في المعادلة. لذلك يجب علينا تكرار الخطوات السابقة. اعزل المصطلح الراديكالي. هنا، يمكننا بسهولة عزل الراديكالي عن طريق تقسيم كلا الجانبين$2$. قم بمربع كلا الجانبين.	$\begin{aligned} m+2 \sqrt{m}+1 &=m+9 \\ 2 \sqrt{m} &=8 \\ \sqrt{m} &=4 \\(\sqrt{m})^{2} &=(4)^{2} \\ m &=16 \end{aligned}$
الخطوة 4: تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.		$\begin{aligned}\sqrt{m}+1&=\sqrt{m+9} \\ \sqrt{\color{red}{16}}\color{black}{+}1& \stackrel{?}{=} \sqrt{\color{red}{16}\color{black}{+}9} \\ 4+1& \stackrel{?}{=} 5 \\ 5&=5\end{aligned}$ الحل هو$m=16$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{17}$

حل:$3-\sqrt{x}=\sqrt{x-3}$.

إجابة: $x=4$

التمارين الرياضية$\PageIndex{18}$

حل:$\sqrt{x}+2=\sqrt{x+16}$.

إجابة: $x=9$

نحن نلخص الخطوات هنا. لقد قمنا بتعديل خطواتنا السابقة لتضمين أكثر من جذر واحد في المعادلة. سيعمل هذا الإجراء الآن مع أي معادلات جذرية.

حل معادلة جذرية

اعزل أحد المصطلحات الجذرية على أحد طرفي المعادلة.
ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس.
هل هناك المزيد من الراديكاليين؟
إذا كانت الإجابة بنعم، كرر الخطوة 1 والخطوة 2 مرة أخرى.
إذا لم يكن الأمر كذلك، فقم بحل المعادلة الجديدة.
تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.

كن حذرًا عند تربيع المعادلات ذات الحدين في المثال التالي. تذكر النمط الموجود في$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$ أو$(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$.

مثال$\PageIndex{10}$

حل:$\sqrt{q-2}+3=\sqrt{4 q+1}$.

الحل:

الجدول 8-6-9
	$.$
الراديكالي على اليمين معزول. قم بمربع كلا الجانبين.	$.$
قم بالتبسيط.	$.$
لا يزال هناك جذر في المعادلة لذلك يجب تكرار الخطوات السابقة. اعزل الراديكالي.	$.$
قم بمربع كلا الجانبين. لن يساعد تقسيم كلا الجانبين$6$. تذكر أن تقوم$6$ بمربع كل من$\sqrt{q-2}$.	$.$
قم بتبسيط المعادلة الجديدة ثم حلها.	$.$
توزيع.	$.$
إنها معادلة تربيعية، لذا احصل على صفر على أحد الجانبين.	$.$
ضع الجانب الأيمن في الاعتبار.	$.$
استخدم خاصية المنتج الصفري.	$.$
الشيكات متروكة لك.	الحلول هي$q=6$ و$q=2$.

التمارين الرياضية$\PageIndex{19}$

حل:$\sqrt{x-1}+2=\sqrt{2 x+6}$

إجابة: $x=5$

التمارين الرياضية$\PageIndex{20}$

حل:$\sqrt{x}+2=\sqrt{3 x+4}$

إجابة: $x=0 x=4$

استخدم الجذور في التطبيقات

أثناء تقدمك في دورات الكلية، ستواجه صيغًا تتضمن الجذور في العديد من التخصصات. سنقوم بتعديل إستراتيجية حل المشكلات الخاصة بتطبيقات الهندسة قليلاً لإعطائنا خطة لحل التطبيقات باستخدام الصيغ من أي تخصص.

استخدم إستراتيجية حل المشكلات للتطبيقات باستخدام الصيغ

اقرأ المشكلة وتأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار. عند الاقتضاء، ارسم شكلاً وقم بتسميته بالمعلومات المحددة.
حدد ما نبحث عنه.
قم بتسمية ما نبحث عنه عن طريق اختيار متغير لتمثيله.
ترجم إلى معادلة بكتابة الصيغة أو النموذج المناسب للموقف. استبدل المعلومات المعطاة.
حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
أجب على السؤال بجملة كاملة.

يتعلق أحد تطبيقات الجذور بتأثير الجاذبية على الأجسام الساقطة. تسمح لنا الصيغة بتحديد المدة التي سيستغرقها الجسم الساقط للوصول إلى الأرض.

تعريف$\PageIndex{2}$

الأجسام الساقطة

على الأرض، إذا سقط جسم من ارتفاع$h$ قدم، يتم العثور على الوقت بالثواني الذي سيستغرقه الوصول إلى الأرض باستخدام الصيغة

$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$

على سبيل المثال، إذا سقط جسم من ارتفاع$64$ قدم، يمكننا العثور على الوقت المستغرق للوصول إلى الأرض عن طريق الاستبدال$h=64$ في الصيغة.

الجدول 8-6-10
	$.$
	$.$
خذ الجذر التربيعي لـ$64$.	$.$
قم بتبسيط الكسر.	$.$

قد يستغرق الأمر$2$ ثوانٍ حتى يصل جسم تم إسقاطه من ارتفاع$64$ القدمين إلى الأرض.

مثال$\PageIndex{11}$

أسقطت ماريسا نظارتها الشمسية من$400$ فوق جسر فوق النهر. استخدم الصيغة$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$ للعثور على عدد الثواني التي استغرقتها النظارات الشمسية للوصول إلى النهر.

الحل:

الجدول 8-6-11
الخطوة 1: اقرأ المشكلة.
الخطوة 2: تحديد ما نبحث عنه.	الوقت الذي تستغرقه النظارات الشمسية للوصول إلى النهر.
الخطوة 3: قم بتسمية ما نبحث عنه.	دع الوقت (t=\).
الخطوة 4: ترجم إلى معادلة بكتابة الصيغة المناسبة. استبدل المعلومات المعطاة.	$.$
الخطوة 5: حل المعادلة.	$.$
	$.$
الخطوة 6: تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.	$.$
هل تبدو$5$ الثواني وكأنها مدة زمنية معقولة؟	نعم.
الخطوة 7: أجب على المعادلة.	سوف يستغرق الأمر$5$ ثوانٍ حتى تصل النظارات الشمسية إلى النهر.

التمارين الرياضية$\PageIndex{21}$

أسقطت طائرة هليكوبتر حزمة إنقاذ من ارتفاع$1,296$ أقدام. استخدم الصيغة$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$ للعثور على عدد الثواني التي استغرقتها الحزمة للوصول إلى الأرض.

إجابة: $9$ثواني

التمارين الرياضية$\PageIndex{22}$

أسقطت غسالة النوافذ ممسحة مطاطية من$196$ أقدام المنصة فوق الرصيف. استخدم الصيغة$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$ للعثور على عدد الثواني التي استغرقتها الممسحة للوصول إلى الرصيف.

إجابة: $3.5$ثواني

يقوم ضباط الشرطة الذين يحققون في حوادث السيارات بقياس طول علامات الانزلاق على الرصيف. ثم يستخدمون الجذور التربيعية لتحديد السرعة، بالأميال في الساعة، التي كانت تسير بها السيارة قبل الضغط على المكابح.

تعريف$\PageIndex{3}$

علامات الانزلاق وسرعة السيارة

إذا كان طول علامات الانزلاق هو$d$ القدمين$s$، فيمكن العثور على سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل باستخدام الصيغة

$s=\sqrt{24 d}$

مثال$\PageIndex{12}$

بعد وقوع حادث سيارة، قامت علامات الانزلاق لسيارة واحدة بقياس$190$ القدمين. استخدم الصيغة$s=\sqrt{24d}$ للعثور على سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل. قرِّب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

الحل:

الجدول 8-6-12
الخطوة 1: اقرأ المشكلة.
الخطوة 2: تحديد ما نبحث عنه.	سرعة السيارة.
الخطوة 3: قم بتسمية ما نبحث عنه.	$s=$دع السرعة.
الخطوة 4: ترجم إلى معادلة بكتابة الصيغة المناسبة. استبدل المعلومات المعطاة.	$.$
الخطوة 5: حل المعادلة.	$.$
	$.$
من الجولة إلى المكان$1$ العشري.	$.$
	$.$
	كانت سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل$67.5$ أميالًا في الساعة.

التمارين الرياضية$\PageIndex{23}$

قام محقق الحوادث بقياس علامات انزلاق السيارة. كان طول علامات الانزلاق هو$76$ القدمين. استخدم الصيغة$s=\sqrt{24d}$ للعثور على سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل. قرِّب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

إجابة: $42.7$أقدام

التمارين الرياضية$\PageIndex{24}$

كانت علامات انزلاق السيارة المتورطة في حادث بطول$122$ أقدام. استخدم الصيغة$s=\sqrt{24d}$ للعثور على سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل. قرِّب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

إجابة: $54.1$أقدام

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة حل المعادلات الجذرية.

حل معادلة تتضمن جذرًا واحدًا
حل المعادلات ذات الجذور والأسس النسبية
حل المعادلات الجذرية
حل المعادلات الجذرية
تطبيق المعادلة الجذرية

المفاهيم الرئيسية

مربعات ذات حدين
$\begin{array}{l}{(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} \\ {(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}}\end{array}$
حل معادلة جذرية
1. اعزل أحد المصطلحات الجذرية على أحد طرفي المعادلة.
2. ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس.
3. هل هناك المزيد من الراديكاليين؟
  إذا كانت الإجابة بنعم، كرر الخطوة 1 والخطوة 2 مرة أخرى.
  إذا لم يكن الأمر كذلك، فقم بحل المعادلة الجديدة.
4. تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.
إستراتيجية حل المشكلات للتطبيقات باستخدام الصيغ
1. اقرأ المشكلة وتأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار. عند الاقتضاء، ارسم شكلاً وقم بتسميته بالمعلومات المحددة.
2. حدد ما نبحث عنه.
3. قم بتسمية ما نبحث عنه عن طريق اختيار متغير لتمثيله.
4. ترجم إلى معادلة بكتابة الصيغة أو النموذج المناسب للموقف. استبدل المعلومات المعطاة.
5. حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
6. تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
7. أجب على السؤال بجملة كاملة.
الأجسام الساقطة
- على الأرض، إذا سقط جسم من ارتفاع$h$ قدم، يتم العثور على الوقت بالثواني الذي سيستغرقه الوصول إلى الأرض باستخدام الصيغة$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$.
علامات الانزلاق وسرعة السيارة
- إذا كان طول علامات الانزلاق هو$d$ القدمين$s$، فيمكن العثور على سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل باستخدام الصيغة$s=\sqrt{24d}$.

مسرد المصطلحات

معادلة جذرية: المعادلة التي يكون فيها المتغير في جذر التعبير الجذري تسمى المعادلة الجذرية.

الخطوة 1: اعزل الجذر على أحد طرفي المعادلة.	لعزل الراديكالي، أضف\(9\) إلى كلا الجانبين. قم بالتبسيط.	\(\begin{array}{c}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5 n-4}-9\color{red}{+9}\color{black}{=}0\color{red}{+9}} \\ {\sqrt{5 n-4}=9}\end{array}\)
الخطوة 2: ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس.	بما أن مؤشر الجذر التربيعي هو\(2\)، فإننا نعادل كلا الجانبين.	\((\sqrt{5 n-4})^{2}=(9)^{2}\)
الخطوة 3: حل المعادلة الجديدة.	تذكر،\((\sqrt{a})^{2}=a\).	\(\begin{aligned} 5 n-4 &=81 \\ 5 n &=85 \\ n &=17 \end{aligned}\)
الخطوة 4: تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.		تحقق من الإجابة. \(\begin{array}{r}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5(\color{red}{17}\color{black}{)}-4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{85-4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{81}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {9-9=0} \\ {0=0}\end{array}\) الحل هو\(n=17\).

	\(\sqrt[3]{5 x+1}+8=4\)
لعزل الجذر، اطرح\(8\) من كلا الجانبين.	\(\sqrt[3]{5 x+1}=-4\)
ضع مكعبًا على جانبي المعادلة.	\((\sqrt[3]{5 x+1})^{3}=(-4)^{3}\)
قم بالتبسيط.	\(5 x+1=-64\)
حل المعادلة.	\(5 x=-65\)
	\(x=-13\)
تحقق من الإجابة.
$.$
	الحل هو\(x=-13\).

	\((3 x-2)^{\frac{1}{4}}+3=5\)
لعزل المصطلح باستخدام الأس النسبي، اطرح\(3\) من كلا الجانبين.	\((3 x-2)^{\frac{1}{4}}=2\)
ارفع كل جانب من المعادلة إلى القوة الرابعة.	\(\left((3 x-2)^{\frac{1}{4}}\right)^{4}=(2)^{4}\)
قم بالتبسيط.	\(3 x-2=16\)
حل المعادلة.	\(3x=18\)
	\(x=6\)
تحقق من الإجابة.
$.$
	الحل هو\(x=6\).

	\(\sqrt{r+4}-r+2=0\)
اعزل الراديكالي.	\(\sqrt{r+4}=r-2\)
قم بمربع طرفي المعادلة.	\((\sqrt{r+4})^{2}=(r-2)^{2}\)
قم بتبسيط المعادلة ثم حلها.	\(r+4=r^{2}-4 r+4\)
إذا كانت معادلة تربيعية، فاحصل على صفر على أحد طرفيها.	\(0=r^{2}-5 r\)
ضع الجانب الأيمن في الاعتبار.	\(0=r(r-5)\)
استخدم خاصية المنتج الصفري.	\(0=r \quad 0=r-5\)
حل المعادلة.	\(r=0 \quad r=5\)
تحقق من إجابتك.
$.$	الحل هو\(r=5\).
	\(r=0\)هو الحل المتطرف.

	\(3 \sqrt{3 x-5}-8=4\)
اعزل المصطلح الراديكالي.	\(3 \sqrt{3 x-5}=12\)
اعزل الراديكالي بتقسيم كلا الجانبين على\(3\).	\(\sqrt{3 x-5}=4\)
قم بمربع طرفي المعادلة.	\((\sqrt{3 x-5})^{2}=(4)^{2}\)
قم بتبسيط المعادلة الجديدة ثم حلها.	\(3 x-5=16\)
	\(3x=21\)
حل المعادلة.	\(x=7\)
تحقق من الإجابة.
$.$
	الحل هو\(x=7\).

مثال\(\PageIndex{1}\) how to solve a radical equation

التمارين الرياضية\(\PageIndex{1}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{2}\)

مثال\(\PageIndex{2}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{3}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{4}\)

مثال\(\PageIndex{3}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{5}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{6}\)

مثال\(\PageIndex{4}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{7}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{8}\)

مثال\(\PageIndex{5}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{9}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{10}\)

مثال\(\PageIndex{6}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{11}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{12}\)

مثال\(\PageIndex{7}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{13}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{14}\)

مثال\(\PageIndex{8}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{15}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{16}\)

مثال\(\PageIndex{9}\) how to solve a radical equation

التمارين الرياضية\(\PageIndex{17}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{18}\)

مثال\(\PageIndex{10}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{19}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{20}\)

مثال\(\PageIndex{11}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{21}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{22}\)

مثال\(\PageIndex{12}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{23}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{24}\)

	$.$
لعزل الجذر، اطرح\(1\) على كلا الجانبين.	$.$
قم بالتبسيط.	$.$

	$.$
لعزل الجذر، اطرح\(1\) من كلا الجانبين.	$.$
قم بالتبسيط.	$.$
قم بمربع طرفي المعادلة.	$.$
قم بالتبسيط باستخدام حاصل ضرب نمط المربعات ذات الحدين على اليمين، ثم حل المعادلة الجديدة.	$.$
إنها معادلة تربيعية، لذا احصل على صفر على أحد الجانبين.	$.$
ضع الجانب الأيمن في الاعتبار.	$.$
استخدم خاصية المنتج الصفري.	$.$
حل كل معادلة.	$.$
تحقق من الإجابات.
$.$

الخطوة 1: اعزل أحد المصطلحات الجذرية على أحد طرفي المعادلة.	الراديكالي على اليمين معزول.	\(\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}\)
الخطوة 2: ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس.	نحن نرتب كلا الجانبين. التبسيط - كن حذرًا جدًا أثناء التكاثر!	\((\sqrt{m}+1)^{2}=(\sqrt{m+9})^{2}\)
الخطوة 3: هل هناك المزيد من الراديكاليين؟ إذا كانت الإجابة بنعم، كرر الخطوة 1 والخطوة 2 مرة أخرى. إذا لم يكن الأمر كذلك، فقم بحل المعادلة الجديدة.	لا يزال هناك جذر جذري في المعادلة. لذلك يجب علينا تكرار الخطوات السابقة. اعزل المصطلح الراديكالي. هنا، يمكننا بسهولة عزل الراديكالي عن طريق تقسيم كلا الجانبين\(2\). قم بمربع كلا الجانبين.	\(\begin{aligned} m+2 \sqrt{m}+1 &=m+9 \\ 2 \sqrt{m} &=8 \\ \sqrt{m} &=4 \\(\sqrt{m})^{2} &=(4)^{2} \\ m &=16 \end{aligned}\)
الخطوة 4: تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.		\(\begin{aligned}\sqrt{m}+1&=\sqrt{m+9} \\ \sqrt{\color{red}{16}}\color{black}{+}1& \stackrel{?}{=} \sqrt{\color{red}{16}\color{black}{+}9} \\ 4+1& \stackrel{?}{=} 5 \\ 5&=5\end{aligned}\) الحل هو\(m=16\).

	$.$
	$.$
خذ الجذر التربيعي لـ\(64\).	$.$
قم بتبسيط الكسر.	$.$