Processing math: 100%
Skip to main content
Library homepage
 
Global

8.7: حل المعادلات الجذرية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

  • حل المعادلات الجذرية
  • حل المعادلات الجذرية باستخدام جذرين
  • استخدم الجذور في التطبيقات

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

  1. قم بالتبسيط:(y3)2.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 5.31.
  2. حل:2x5=0.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 2.2.
  3. حلn26n+8=0.
    إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.45.

حل المعادلات الجذرية

في هذا القسم سنحل المعادلات التي تحتوي على متغير في جذر التعبير الجذري. تسمى معادلة من هذا النوع معادلة جذرية.

تعريف8.7.1

المعادلة التي يكون فيها المتغير في جذر التعبير الجذري تسمى المعادلة الجذرية.

كالعادة، عند حل هذه المعادلات، ما نفعله بأحد طرفي المعادلة يجب أن نفعله بالجانب الآخر أيضًا. بمجرد عزل الراديكالي، ستكون استراتيجيتنا هي رفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة المؤشر. هذا سيقضي على الراديكالي.

قد يؤدي حل المعادلات الجذرية التي تحتوي على فهرس زوجي عن طريق رفع كلا الجانبين إلى قوة الفهرس إلى إدخال حل جبري لن يكون حلاً للمعادلة الجذرية الأصلية. مرة أخرى، نسمي هذا حلاً غريبًا كما فعلنا عندما قمنا بحل المعادلات العقلانية.

في المثال التالي، سنرى كيفية حل معادلة جذرية. تعتمد استراتيجيتنا على رفع الراديكالي بالمؤشرn إلىnth السلطة. هذا سيقضي على الراديكالي.

بالنسبة لـa0,(na)n=a.

مثال8.7.1 how to solve a radical equation

حل:5n49=0.

الحل:

الخطوة 1: اعزل الجذر على أحد طرفي المعادلة.

لعزل الراديكالي، أضف9 إلى كلا الجانبين.

قم بالتبسيط.

5n49=05n49+9=0+95n4=9
الخطوة 2: ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس. بما أن مؤشر الجذر التربيعي هو2، فإننا نعادل كلا الجانبين. (5n4)2=(9)2
الخطوة 3: حل المعادلة الجديدة. تذكر،(a)2=a. 5n4=815n=85n=17
الخطوة 4: تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.  

تحقق من الإجابة.

5n49=05(17)49?=08549?=0819?=099=00=0

الحل هوn=17.

الجدول 8.6.1
التمارين الرياضية8.7.1

حل:3m+25=0.

إجابة

m=233

التمارين الرياضية8.7.2

حل:10z+12=0.

إجابة

z=310

حل معادلة جذرية باستخدام جذر واحد

  1. اعزل الجذر على أحد طرفي المعادلة.
  2. ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس.
  3. حل المعادلة الجديدة.
  4. تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.

عندما نستخدم علامة جذرية، فإنها تشير إلى الجذر الرئيسي أو الإيجابي. إذا كانت المعادلة تحتوي على جذر يحتوي على فهرس زوجي يساوي عددًا سالبًا، فلن يكون لهذه المعادلة أي حل.

مثال8.7.2

حل:9k2+1=0.

الحل:

  .
لعزل الجذر، اطرح1 على كلا الجانبين. .
قم بالتبسيط. .
الجدول 8.6.2

نظرًا لأن الجذر التربيعي يساوي رقمًا سالبًا، فلا يوجد حل للمعادلة.

التمارين الرياضية8.7.3

حل:2r3+5=0.

إجابة

لا يوجد حل

التمارين الرياضية8.7.4

حل:7s3+2=0.

إجابة

لا يوجد حل

إذا كان أحد طرفي المعادلة ذات الجذر التربيعي هو ذو حدين، فإننا نستخدم حاصل ضرب نمط المربعات ذات الحدين عند تربيعه.

تعريف8.7.2

مربعات ذات حدين

(a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a22ab+b2

لا تنس المدى المتوسط!

مثال8.7.3

حل:p1+1=p.

الحل:

  .
لعزل الجذر، اطرح1 من كلا الجانبين. .
قم بالتبسيط. .
قم بمربع طرفي المعادلة. .
قم بالتبسيط باستخدام حاصل ضرب نمط المربعات ذات الحدين على اليمين، ثم حل المعادلة الجديدة. .
إنها معادلة تربيعية، لذا احصل على صفر على أحد الجانبين. .
ضع الجانب الأيمن في الاعتبار. .
استخدم خاصية المنتج الصفري. .
حل كل معادلة. .
تحقق من الإجابات.  
.  
الجدول 8-6-3

الحلول هيp=1,p=2.

التمارين الرياضية8.7.5

حل:x2+2=x.

إجابة

x=2,x=3

التمارين الرياضية8.7.6

حل:y5+5=y.

إجابة

y=5,y=6

عندما يكون مؤشر الجذر هو3، نقوم بتكعيب كلا الجانبين لإزالة الجذر.

(3a)3=a

مثال8.7.4

حل:35x+1+8=4.

الحل:

  35x+1+8=4
لعزل الجذر، اطرح8 من كلا الجانبين. 35x+1=4
ضع مكعبًا على جانبي المعادلة. (35x+1)3=(4)3
قم بالتبسيط. 5x+1=64
حل المعادلة. 5x=65
  x=13
تحقق من الإجابة.  
.  
  الحل هوx=13.
الجدول 8-6-4
التمارين الرياضية8.7.7

حل:34x3+8=5

إجابة

x=6

التمارين الرياضية8.7.8

حل:36x10+1=3

إجابة

x=9

في بعض الأحيان تحتوي المعادلة على أسس كسرية بدلاً من جذرية. نحن نستخدم نفس الأساليب لحل المعادلة كما هو الحال عندما يكون لدينا جذر. نرفع كل طرف من المعادلة إلى قوة مقام الأس الكسري. منذ ذلك الحين(am)n=amn، لدينا على سبيل المثال،

(x12)2=x,(x13)3=x

تذكر,x12=x وx13=3x.

مثال8.7.5

حل:(3x2)14+3=5.

الحل:

  (3x2)14+3=5
لعزل المصطلح باستخدام الأس النسبي، اطرح3 من كلا الجانبين. (3x2)14=2
ارفع كل جانب من المعادلة إلى القوة الرابعة. ((3x2)14)4=(2)4
قم بالتبسيط. 3x2=16
حل المعادلة. 3x=18
  x=6
تحقق من الإجابة.  
.  
  الحل هوx=6.
الجدول 8-6-5
التمارين الرياضية8.7.9

حل:(9x+9)142=1

إجابة

x=8

التمارين الرياضية8.7.10

حل:(4x8)14+5=7

إجابة

x=6

في بعض الأحيان ينتج عن حل المعادلة الجذرية حلين جبرين، لكن أحدهما قد يكون حلًا غريبًا!

مثال8.7.6

حل:r+4r+2=0.

الحل:

  r+4r+2=0
اعزل الراديكالي. r+4=r2
قم بمربع طرفي المعادلة. (r+4)2=(r2)2
قم بتبسيط المعادلة ثم حلها. r+4=r24r+4
إذا كانت معادلة تربيعية، فاحصل على صفر على أحد طرفيها. 0=r25r
ضع الجانب الأيمن في الاعتبار. 0=r(r5)
استخدم خاصية المنتج الصفري. 0=r0=r5
حل المعادلة. r=0r=5
تحقق من إجابتك.  
. الحل هوr=5.
  r=0هو الحل المتطرف.
الجدول 8-6-6
التمارين الرياضية8.7.11

حل:m+9m+3=0

إجابة

m=7

التمارين الرياضية8.7.12

حل:n+1n+1=0.

إجابة

n=3

عندما يكون هناك معامل أمام الراديكالي، يجب أن نرفعه إلى قوة المؤشر أيضًا.

مثال8.7.7

حل:33x58=4.

الحل:

  33x58=4
اعزل المصطلح الراديكالي. 33x5=12
اعزل الراديكالي بتقسيم كلا الجانبين على3. 3x5=4
قم بمربع طرفي المعادلة. (3x5)2=(4)2
قم بتبسيط المعادلة الجديدة ثم حلها. 3x5=16
  3x=21
حل المعادلة. x=7
تحقق من الإجابة.  
.  
  الحل هوx=7.
الجدول 8-6-7
التمارين الرياضية8.7.13

حل:24a+416=16.

إجابة

a=63

التمارين الرياضية8.7.14

حل:32b+325=50

إجابة

b=311

حل المعادلات الجذرية التي تحتوي على جذرين

إذا كانت المعادلة الجذرية تحتوي على جذرين، نبدأ بعزل أحدهما. غالبًا ما يكون من الأسهل عزل الراديكالي الأكثر تعقيدًا أولاً.

في المثال التالي، عندما يتم عزل أحد الراديكاليين، يتم عزل الراديكالي الثاني أيضًا.

مثال8.7.8

حل:34x3=33x+2.

الحل:

يتم عزل المصطلحات الراديكالية.

34x3=33x+2

بما أن الفهرس هو3، قم بتكعيب طرفي المعادلة.

(34x3)3=(33x+2)3

قم بتبسيط المعادلة الجديدة ثم حلها.

4x3=3x+2x3=2x=5

الحل هوx=5.

تحقق من الإجابة.

نترك الأمر لك لإظهار تلك5 الشيكات!

التمارين الرياضية8.7.15

حل:35x4=32x+5.

إجابة

x=3

التمارين الرياضية8.7.16

حل:37x+1=32x5.

إجابة

x=65

في بعض الأحيان بعد رفع طرفي المعادلة إلى قوة، لا يزال لدينا متغير داخل الجذر. عندما يحدث ذلك، نكرر الخطوة 1 والخطوة 2 من الإجراء الخاص بنا. نعزل الجذر ونرفع طرفي المعادلة إلى قوة المؤشر مرة أخرى.

مثال8.7.9 how to solve a radical equation

حل:m+1=m+9.

الحل:

الخطوة 1: اعزل أحد المصطلحات الجذرية على أحد طرفي المعادلة. الراديكالي على اليمين معزول. m+1=m+9
الخطوة 2: ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس.

نحن نرتب كلا الجانبين.

التبسيط - كن حذرًا جدًا أثناء التكاثر!

(m+1)2=(m+9)2

الخطوة 3: هل هناك المزيد من الراديكاليين؟ إذا كانت الإجابة بنعم، كرر الخطوة 1 والخطوة 2 مرة أخرى.

إذا لم يكن الأمر كذلك، فقم بحل المعادلة الجديدة.

لا يزال هناك جذر جذري في المعادلة.

لذلك يجب علينا تكرار الخطوات السابقة. اعزل المصطلح الراديكالي.

هنا، يمكننا بسهولة عزل الراديكالي عن طريق تقسيم كلا الجانبين2.

قم بمربع كلا الجانبين.

m+2m+1=m+92m=8m=4(m)2=(4)2m=16
الخطوة 4: تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.  

m+1=m+916+1?=16+94+1?=55=5

الحل هوm=16.

الجدول 8-6-8
التمارين الرياضية8.7.17

حل:3x=x3.

إجابة

x=4

التمارين الرياضية8.7.18

حل:x+2=x+16.

إجابة

x=9

نحن نلخص الخطوات هنا. لقد قمنا بتعديل خطواتنا السابقة لتضمين أكثر من جذر واحد في المعادلة. سيعمل هذا الإجراء الآن مع أي معادلات جذرية.

حل معادلة جذرية

  1. اعزل أحد المصطلحات الجذرية على أحد طرفي المعادلة.
  2. ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس.
  3. هل هناك المزيد من الراديكاليين؟
    إذا كانت الإجابة بنعم، كرر الخطوة 1 والخطوة 2 مرة أخرى.
    إذا لم يكن الأمر كذلك، فقم بحل المعادلة الجديدة.
  4. تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.

كن حذرًا عند تربيع المعادلات ذات الحدين في المثال التالي. تذكر النمط الموجود في(a+b)2=a2+2ab+b2 أو(ab)2=a22ab+b2.

مثال8.7.10

حل:q2+3=4q+1.

الحل:

  .
الراديكالي على اليمين معزول. قم بمربع كلا الجانبين. .
قم بالتبسيط. .
لا يزال هناك جذر في المعادلة لذلك يجب تكرار الخطوات السابقة. اعزل الراديكالي. .
قم بمربع كلا الجانبين. لن يساعد تقسيم كلا الجانبين6. تذكر أن تقوم6 بمربع كل منq2. .
قم بتبسيط المعادلة الجديدة ثم حلها. .
توزيع. .
إنها معادلة تربيعية، لذا احصل على صفر على أحد الجانبين. .
ضع الجانب الأيمن في الاعتبار. .
استخدم خاصية المنتج الصفري. .
الشيكات متروكة لك. الحلول هيq=6 وq=2.
الجدول 8-6-9
التمارين الرياضية8.7.19

حل:x1+2=2x+6

إجابة

x=5

التمارين الرياضية8.7.20

حل:x+2=3x+4

إجابة

x=0x=4

استخدم الجذور في التطبيقات

أثناء تقدمك في دورات الكلية، ستواجه صيغًا تتضمن الجذور في العديد من التخصصات. سنقوم بتعديل إستراتيجية حل المشكلات الخاصة بتطبيقات الهندسة قليلاً لإعطائنا خطة لحل التطبيقات باستخدام الصيغ من أي تخصص.

استخدم إستراتيجية حل المشكلات للتطبيقات باستخدام الصيغ

  1. اقرأ المشكلة وتأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار. عند الاقتضاء، ارسم شكلاً وقم بتسميته بالمعلومات المحددة.
  2. حدد ما نبحث عنه.
  3. قم بتسمية ما نبحث عنه عن طريق اختيار متغير لتمثيله.
  4. ترجم إلى معادلة بكتابة الصيغة أو النموذج المناسب للموقف. استبدل المعلومات المعطاة.
  5. حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
  6. تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
  7. أجب على السؤال بجملة كاملة.

يتعلق أحد تطبيقات الجذور بتأثير الجاذبية على الأجسام الساقطة. تسمح لنا الصيغة بتحديد المدة التي سيستغرقها الجسم الساقط للوصول إلى الأرض.

تعريف8.7.2

الأجسام الساقطة

على الأرض، إذا سقط جسم من ارتفاعh قدم، يتم العثور على الوقت بالثواني الذي سيستغرقه الوصول إلى الأرض باستخدام الصيغة

t=h4

على سبيل المثال، إذا سقط جسم من ارتفاع64 قدم، يمكننا العثور على الوقت المستغرق للوصول إلى الأرض عن طريق الاستبدالh=64 في الصيغة.

  .
  .
خذ الجذر التربيعي لـ64. .
قم بتبسيط الكسر. .
الجدول 8-6-10

قد يستغرق الأمر2 ثوانٍ حتى يصل جسم تم إسقاطه من ارتفاع64 القدمين إلى الأرض.

مثال8.7.11

أسقطت ماريسا نظارتها الشمسية من400 فوق جسر فوق النهر. استخدم الصيغةt=h4 للعثور على عدد الثواني التي استغرقتها النظارات الشمسية للوصول إلى النهر.

الحل:

الخطوة 1: اقرأ المشكلة.  
الخطوة 2: تحديد ما نبحث عنه. الوقت الذي تستغرقه النظارات الشمسية للوصول إلى النهر.
الخطوة 3: قم بتسمية ما نبحث عنه. دع الوقت (t=\).
الخطوة 4: ترجم إلى معادلة بكتابة الصيغة المناسبة. استبدل المعلومات المعطاة. .
الخطوة 5: حل المعادلة. .
  .
الخطوة 6: تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية. .
هل تبدو5 الثواني وكأنها مدة زمنية معقولة؟ نعم.
الخطوة 7: أجب على المعادلة. سوف يستغرق الأمر5 ثوانٍ حتى تصل النظارات الشمسية إلى النهر.
الجدول 8-6-11
التمارين الرياضية8.7.21

أسقطت طائرة هليكوبتر حزمة إنقاذ من ارتفاع1,296 أقدام. استخدم الصيغةt=h4 للعثور على عدد الثواني التي استغرقتها الحزمة للوصول إلى الأرض.

إجابة

9ثواني

التمارين الرياضية8.7.22

أسقطت غسالة النوافذ ممسحة مطاطية من196 أقدام المنصة فوق الرصيف. استخدم الصيغةt=h4 للعثور على عدد الثواني التي استغرقتها الممسحة للوصول إلى الرصيف.

إجابة

3.5ثواني

يقوم ضباط الشرطة الذين يحققون في حوادث السيارات بقياس طول علامات الانزلاق على الرصيف. ثم يستخدمون الجذور التربيعية لتحديد السرعة، بالأميال في الساعة، التي كانت تسير بها السيارة قبل الضغط على المكابح.

تعريف8.7.3

علامات الانزلاق وسرعة السيارة

إذا كان طول علامات الانزلاق هوd القدمينs، فيمكن العثور على سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل باستخدام الصيغة

s=24d

مثال8.7.12

بعد وقوع حادث سيارة، قامت علامات الانزلاق لسيارة واحدة بقياس190 القدمين. استخدم الصيغةs=24d للعثور على سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل. قرِّب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

الحل:

الخطوة 1: اقرأ المشكلة.  
الخطوة 2: تحديد ما نبحث عنه. سرعة السيارة.
الخطوة 3: قم بتسمية ما نبحث عنه. s=دع السرعة.
الخطوة 4: ترجم إلى معادلة بكتابة الصيغة المناسبة. استبدل المعلومات المعطاة. .
الخطوة 5: حل المعادلة. .
  .
من الجولة إلى المكان1 العشري. .
  .
  كانت سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل67.5 أميالًا في الساعة.
الجدول 8-6-12
التمارين الرياضية8.7.23

قام محقق الحوادث بقياس علامات انزلاق السيارة. كان طول علامات الانزلاق هو76 القدمين. استخدم الصيغةs=24d للعثور على سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل. قرِّب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

إجابة

42.7أقدام

التمارين الرياضية8.7.24

كانت علامات انزلاق السيارة المتورطة في حادث بطول122 أقدام. استخدم الصيغةs=24d للعثور على سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل. قرِّب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

إجابة

54.1أقدام

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة حل المعادلات الجذرية.

  • حل معادلة تتضمن جذرًا واحدًا
  • حل المعادلات ذات الجذور والأسس النسبية
  • حل المعادلات الجذرية
  • حل المعادلات الجذرية
  • تطبيق المعادلة الجذرية

المفاهيم الرئيسية

  • مربعات ذات حدين
    (a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a22ab+b2
  • حل معادلة جذرية
    1. اعزل أحد المصطلحات الجذرية على أحد طرفي المعادلة.
    2. ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة الفهرس.
    3. هل هناك المزيد من الراديكاليين؟
      إذا كانت الإجابة بنعم، كرر الخطوة 1 والخطوة 2 مرة أخرى.
      إذا لم يكن الأمر كذلك، فقم بحل المعادلة الجديدة.
    4. تحقق من الإجابة في المعادلة الأصلية.
  • إستراتيجية حل المشكلات للتطبيقات باستخدام الصيغ
    1. اقرأ المشكلة وتأكد من فهم جميع الكلمات والأفكار. عند الاقتضاء، ارسم شكلاً وقم بتسميته بالمعلومات المحددة.
    2. حدد ما نبحث عنه.
    3. قم بتسمية ما نبحث عنه عن طريق اختيار متغير لتمثيله.
    4. ترجم إلى معادلة بكتابة الصيغة أو النموذج المناسب للموقف. استبدل المعلومات المعطاة.
    5. حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
    6. تحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
    7. أجب على السؤال بجملة كاملة.
  • الأجسام الساقطة
    • على الأرض، إذا سقط جسم من ارتفاعh قدم، يتم العثور على الوقت بالثواني الذي سيستغرقه الوصول إلى الأرض باستخدام الصيغةt=h4.
  • علامات الانزلاق وسرعة السيارة
    • إذا كان طول علامات الانزلاق هوd القدمينs، فيمكن العثور على سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل باستخدام الصيغةs=24d.

مسرد المصطلحات

معادلة جذرية
المعادلة التي يكون فيها المتغير في جذر التعبير الجذري تسمى المعادلة الجذرية.