8.4: تبسيط الأسس النسبية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• قم بتبسيط التعبيرات باستخدام$a^{\frac{1}{n}}$
• قم بتبسيط التعبيرات باستخدام$a^{\frac{m}{n}}$
• استخدم خصائص الأسس لتبسيط التعبيرات ذات الأسس النسبية

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. إضافة:$\frac{7}{15}+\frac{5}{12}$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 1.28.
2. قم بالتبسيط:$(4x^{2}y^{5})^{3}$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 5.18.
3. قم بالتبسيط:$5^{−3}$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 5.14.

قم بتبسيط التعبيرات باستخدام$a^{\frac{1}{n}}$

الأسس النسبية هي طريقة أخرى لكتابة التعبيرات ذات الجذور. عندما نستخدم الأسس النسبية، يمكننا تطبيق خصائص الأسس لتبسيط التعبيرات.

تشير خاصية الطاقة الخاصة بالأسس إلى أنه$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$ عندما$m$$n$ تكون الأرقام صحيحة. لنفترض أننا لا نقتصر الآن على الأرقام الصحيحة.

لنفترض أننا نريد العثور على رقم من$p$ هذا القبيل$\left(8^{p}\right)^{3}=8$. سنستخدم خاصية قوة الأسس للعثور على قيمة$p$.

$\left(8^{p}\right)^{3}=8$

اضرب الأسس على اليسار.

$8^{3p}=8$

اكتب الأس$1$ على اليمين.

$8^{3p}=8^{1}$

نظرًا لأن القواعد هي نفسها، يجب أن تكون الأسس متساوية.

$3p=1$

حل لـ$p$.

$p=\frac{1}{3}$

لذا$\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=8$. لكننا نعلم أيضًا$(\sqrt[3]{8})^{3}=8$. ثم يجب أن يكون ذلك$8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}$.

يمكن استخدام هذا المنطق نفسه لأي أس صحيح موجب$n$ لإظهار ذلك$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.

تعريف$\PageIndex{1}$: Rational Exponent $a^{\frac{1}{n}}$

$\sqrt[n]{a}$إذا كان رقمًا حقيقيًا$n \geq 2$، ثم

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

مقام الأس العقلاني هو مؤشر الراديكالي.

ستكون هناك أوقات يكون فيها التعامل مع التعبيرات أسهل إذا كنت تستخدم الأسس المنطقية وأوقات يكون فيها الأمر أسهل إذا كنت تستخدم الجذور. في الأمثلة القليلة الأولى، ستتدرب على تحويل التعبيرات بين هذين الرمزين.

مثال$\PageIndex{1}$

اكتب كتعبير جذري:

1. $x^{\frac{1}{2}}$
2. $y^{\frac{1}{3}}$
3. $z^{\frac{1}{4}}$

الحل:

نريد كتابة كل تعبير في النموذج$\sqrt[n]{a}$.

أ.

$x^{\frac{1}{2}}$

مقام الأس العقلاني هو$2$، إذن مؤشر الجذر هو$2$. لا نعرض الفهرس عندما يكون$2$.

$\sqrt{x}$

ب.

$y^{\frac{1}{3}}$

مقام الأس هو$3$، وبالتالي فإن الفهرس هو$3$.

$\sqrt[3]{y}$

ج.

$z^{\frac{1}{4}}$

مقام الأس هو\$4$، وبالتالي فإن الفهرس هو$4$.

$\sqrt[4]{z}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{1}$

اكتب كتعبير جذري:

1. $t^{\frac{1}{2}}$
2. $m^{\frac{1}{3}}$
3. $r^{\frac{1}{4}}$

إجابة

1. $\sqrt{t}$
2. $\sqrt[3]{m}$
3. $\sqrt[4]{r}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{2}$

اكتب كتعبير جذري:

1. $b^{\frac{1}{6}}$
2. $z^{\frac{1}{5}}$
3. $p^{\frac{1}{4}}$

إجابة

1. $\sqrt[6]{b}$
2. $\sqrt[5]{z}$
3. $\sqrt[4]{p}$

في المثال التالي، سنكتب كل جذر باستخدام الأس العقلاني. من المهم استخدام الأقواس حول التعبير بأكمله في الراديكاند حيث يتم رفع التعبير بأكمله إلى القوة العقلانية.

مثال$\PageIndex{2}$

اكتب باستخدام الأس النسبي:

1. $\sqrt{5y}$
2. $\sqrt[3]{4 x}$
3. $3 \sqrt[4]{5 z}$

الحل:

نريد أن نكتب كل راديكالي في النموذج$a^{\frac{1}{n}}$

أ.

$\sqrt{5y}$

لا يتم عرض أي فهرس، لذا فهو كذلك$2$.

سيكون مقام الأس هو$2$.

ضع أقواس حول التعبير بأكمله$5y$.

$(5 y)^{\frac{1}{2}}$

ب.

$\sqrt[3]{4 x}$

الفهرس هو$3$، لذا فإن مقام الأس هو$3$. قم بتضمين الأقواس$(4x)$.

$(4 x)^{\frac{1}{3}}$

ج.

$3 \sqrt[4]{5 z}$

الفهرس هو$4$، لذا فإن مقام الأس هو$4$. ضع الأقواس فقط حول$5z$ الرقم 3 ليس تحت العلامة الجذرية.

$3(5 z)^{\frac{1}{4}}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{3}$

اكتب باستخدام الأس النسبي:

1. $\sqrt{10m}$
2. $\sqrt[5]{3 n}$
3. $3 \sqrt[4]{6 y}$

إجابة

1. $(10 m)^{\frac{1}{2}}$
2. $(3 n)^{\frac{1}{5}}$
3. $3(6 y)^{\frac{1}{4}}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{4}$

اكتب باستخدام الأس النسبي:

1. $\sqrt[7]{3 k}$
2. $\sqrt[4]{5 j}$
3. $8 \sqrt[3]{2 a}$

إجابة

1. $(3 k)^{\frac{1}{7}}$
2. $(5 j)^{\frac{1}{4}}$
3. $8(2 a)^{\frac{1}{3}}$

في المثال التالي، قد تجد أنه من الأسهل تبسيط التعبيرات إذا قمت بإعادة كتابتها كجذور أولاً.

مثال$\PageIndex{3}$

قم بالتبسيط:

1. $25^{\frac{1}{2}}$
2. $64^{\frac{1}{3}}$
3. $256^{\frac{1}{4}}$

الحل:

أ.

$25^{\frac{1}{2}}$

أعد الكتابة كجذر مربع.

$\sqrt{25}$

قم بالتبسيط.

$5$

ب.

$64^{\frac{1}{3}}$

أعد الكتابة كجذر مكعب.

$\sqrt[3]{64}$

الاعتراف$64$ هو مكعب مثالي.

$\sqrt[3]{4^{3}}$

قم بالتبسيط.

$4$

ج.

$256^{\frac{1}{4}}$

أعد الكتابة كجذر رابع.

$\sqrt[4]{256}$

الاعتراف$256$ هو قوة رابعة مثالية.

$\sqrt[4]{4^{4}}$

قم بالتبسيط.

$4$

التمارين الرياضية$\PageIndex{5}$

قم بالتبسيط:

1. $36^{\frac{1}{2}}$
2. $8^{\frac{1}{3}}$
3. $16^{\frac{1}{4}}$

إجابة

1. $6$
2. $2$
3. $2$

التمارين الرياضية$\PageIndex{6}$

قم بالتبسيط:

1. $100^{\frac{1}{2}}$
2. $27^{\frac{1}{3}}$
3. $81^{\frac{1}{4}}$

إجابة

1. $10$
2. $3$
3. $3$

احذر من وضع العلامات السلبية في المثال التالي. سنحتاج إلى استخدام العقار$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ في حالة واحدة.

مثال$\PageIndex{4}$

قم بالتبسيط:

1. $(-16)^{\frac{1}{4}}$
2. $-16^{\frac{1}{4}}$
3. $(16)^{-\frac{1}{4}}$

الحل:

أ.

$(-16)^{\frac{1}{4}}$

أعد الكتابة كجذر رابع.

$\sqrt[4]{-16}$

$\sqrt[4]{(-2)^{4}}$

قم بالتبسيط.

لا يوجد حل حقيقي

ب.

$-16^{\frac{1}{4}}$

ينطبق الأس فقط على$16$. أعد الكتابة كجذر رابع.

$-\sqrt[4]{16}$

أعد الكتابة$16$ باسم$2^{4}$

$-\sqrt[4]{2^{4}}$

قم بالتبسيط.

$-2$

ج.

$(16)^{-\frac{1}{4}}$

أعد الكتابة باستخدام الخاصية$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$.

$\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}$

أعد الكتابة كجذر رابع.

$\frac{1}{\sqrt[4]{16}}$

أعد الكتابة$16$ باسم$2^{4}$.

$\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$

قم بالتبسيط.

$\frac{1}{2}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{7}$

قم بالتبسيط:

1. $(-64)^{-\frac{1}{2}}$
2. $-64^{\frac{1}{2}}$
3. $(64)^{-\frac{1}{2}}$

إجابة

1. لا يوجد حل حقيقي
2. $-8$
3. $\frac{1}{8}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{8}$

قم بالتبسيط:

1. $(-256)^{\frac{1}{4}}$
2. $-256^{\frac{1}{4}}$
3. $(256)^{-\frac{1}{4}}$

إجابة

1. لا يوجد حل حقيقي
2. $-4$
3. $\frac{1}{4}$

قم بتبسيط التعبيرات باستخدام$a^{\frac{m}{n}}$

يمكننا أن ننظر إليها$a^{\frac{m}{n}}$ بطريقتين. تذكر أن خاصية الطاقة تخبرنا بضرب الأسس وهكذا$\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}$$\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}$ وكلا متساويين$a^{\frac{m}{n}}$. إذا كتبنا هذه التعبيرات في شكل جذري، نحصل على

$a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

هذا يقودنا إلى التعريف التالي.

تعريف$\PageIndex{2}$: Rational Exponent $a^{\frac{m}{n}}$

لأي أعداد صحيحة إيجابية$m$ و$n$،

$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

ما الشكل الذي نستخدمه لتبسيط التعبير؟ عادةً ما نأخذ الجذر أولاً - وبهذه الطريقة نحتفظ بالأرقام في الجذر والأصغر، قبل رفعها إلى القوة المشار إليها.

مثال$\PageIndex{5}$

اكتب باستخدام الأس النسبي:

1. $\sqrt{y^{3}}$
2. $(\sqrt[3]{2 x})^{4}$
3. $\sqrt{\left(\frac{3 a}{4 b}\right)^{3}}$

الحل:

نريد استخدامه$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ لكتابة كل راديكالي في النموذج$a^{\frac{m}{n}}$

أ.

الشكل 8.3.1

ب.

الشكل 8.3.2

ج.

الشكل 8.3.3

التمارين الرياضية$\PageIndex{9}$

اكتب باستخدام الأس النسبي:

1. $\sqrt{x^{5}}$
2. $(\sqrt[4]{3 y})^{3}$
3. $\sqrt{\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{5}}$

إجابة

1. $x^{\frac{5}{2}}$
2. $(3 y)^{\frac{3}{4}}$
3. $\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{\frac{5}{2}}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{10}$

اكتب باستخدام الأس النسبي:

1. $\sqrt[5]{a^{2}}$
2. $(\sqrt[3]{5 a b})^{5}$
3. $\sqrt{\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{3}}$

إجابة

1. $a^{\frac{2}{5}}$
2. $(5 a b)^{\frac{5}{3}}$
3. $\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{\frac{3}{2}}$

تذكر ذلك$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$. لا تغير العلامة السالبة في الأس علامة التعبير.

مثال$\PageIndex{6}$

قم بالتبسيط:

1. $125^{\frac{2}{3}}$
2. $16^{-\frac{3}{2}}$
3. $32^{-\frac{2}{5}}$

الحل:

سنعيد كتابة التعبير باعتباره جذريًا أولاً باستخدام التعريف,$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}$. يتيح لنا هذا النموذج أخذ الجذر أولاً وبالتالي نحتفظ بالأرقام في الجذر وأصغر مما لو استخدمنا النموذج الآخر.

أ.

$125^{\frac{2}{3}}$

قوة الراديكالية هي البسط للأس،$2$. مؤشر الجذر هو مقام الأس،$3$.

$(\sqrt[3]{125})^{2}$

قم بالتبسيط.

$(5)^{2}$

$25$

ب- سنعيد كتابة كل تعبير أولاً باستخدام الشكل الجذري$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ ثم تغييره إلى الشكل الجذري.

$16^{-\frac{3}{2}}$

أعد الكتابة باستخدام$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

$\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}$

التغيير إلى الشكل الراديكالي. قوة الراديكالية هي البسط للأس،$3$. الفهرس هو مقام الأس،$2$.

$\frac{1}{(\sqrt{16})^{3}}$

قم بالتبسيط.

$\frac{1}{4^{3}}$

$\frac{1}{64}$

ج.

$32^{-\frac{2}{5}}$

أعد الكتابة باستخدام$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

$\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}$

التغيير إلى الشكل الراديكالي.

$\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^{2}}$

أعد كتابة الراديكاند كقوة.

$\frac{1}{\left(\sqrt[5]{2^{5}}\right)^{2}}$

قم بالتبسيط.

$\frac{1}{2^{2}}$

$\frac{1}{4}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{11}$

قم بالتبسيط:

1. $27^{\frac{2}{3}}$
2. $81^{-\frac{3}{2}}$
3. $16^{-\frac{3}{4}}$

إجابة

1. $9$
2. $\frac{1}{729}$
3. $\frac{1}{8}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{12}$

قم بالتبسيط:

1. $4^{\frac{3}{2}}$
2. $27^{-\frac{2}{3}}$
3. $625^{-\frac{3}{4}}$

إجابة

1. $8$
2. $\frac{1}{9}$
3. $\frac{1}{125}$

مثال$\PageIndex{7}$

قم بالتبسيط:

1. $-25^{\frac{3}{2}}$
2. $-25^{-\frac{3}{2}}$
3. $(-25)^{\frac{3}{2}}$

الحل:

أ.

$-25^{\frac{3}{2}}$

أعد الكتابة في شكل جذري.

$-(\sqrt{25})^{3}$

قم بتبسيط الراديكالية.

$-(5)^{3}$

قم بالتبسيط.

$-125$

ب.

$-25^{-\frac{3}{2}}$

أعد الكتابة باستخدام$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$.

$-\left(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}\right)$

أعد الكتابة في شكل جذري.

$-\left(\frac{1}{(\sqrt{25})^{3}}\right)$

قم بتبسيط الراديكالية.

$-\left(\frac{1}{(5)^{3}}\right)$

قم بالتبسيط.

$-\frac{1}{125}$

ج.

$(-25)^{\frac{3}{2}}$

أعد الكتابة في شكل جذري.

$(\sqrt{-25})^{3}$

لا يوجد رقم حقيقي له جذر تربيعي$-25$.

ليس رقمًا حقيقيًا.

التمارين الرياضية$\PageIndex{13}$

قم بالتبسيط:

1. $-16^{\frac{3}{2}}$
2. $-16^{-\frac{3}{2}}$
3. $(-16)^{-\frac{3}{2}}$

إجابة

1. $-64$
2. $-\frac{1}{64}$
3. ليس رقمًا حقيقيًا

التمارين الرياضية$\PageIndex{14}$

قم بالتبسيط:

1. $-81^{\frac{3}{2}}$
2. $-81^{-\frac{3}{2}}$
3. $(-81)^{-\frac{3}{2}}$

إجابة

1. $-729$
2. $-\frac{1}{729}$
3. ليس رقمًا حقيقيًا

استخدم خصائص الأسس لتبسيط التعبيرات ذات الأسس النسبية

تنطبق نفس خصائص الأسس التي استخدمناها بالفعل أيضًا على الأسس المنطقية. سنقوم بإدراج خصائص الأسس هنا لجعلها مرجعًا أثناء تبسيط التعبيرات.

خصائص الأسس

إذا كانت$a$$b$ الأرقام حقيقية$m$ وما زالت$n$ أرقامًا منطقية، إذن

خاصية المنتج

$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$

خاصية الطاقة

$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$

تحويل المنتج إلى مصدر طاقة

$(a b)^{m}=a^{m} b^{m}$

خاصية حاصل القسمة

$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0$

تعريف الأس الصفري

$a^{0}=1, a \neq 0$

حاصل القسمة على خاصية الطاقة

$\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$

خاصية الأس السالب

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0$

سنقوم بتطبيق هذه الخصائص في المثال التالي.

مثال$\PageIndex{8}$

قم بالتبسيط:

1. $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}$
2. $\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}$
3. $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$

الحل

أ. تخبرنا خاصية المنتج أنه عندما نضرب نفس القاعدة، فإننا نضيف الأسس.

$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}$

القواعد هي نفسها، لذلك نضيف الأسس.

$x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}$

أضف الكسور.

$x^{\frac{8}{6}}$

قم بتبسيط الأس.

$x^{\frac{4}{3}}$

ب- تخبرنا خاصية الطاقة أننا عندما نرفع قوة إلى قوة، فإننا نضرب الأسس.

$\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}$

لرفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس.

$z^{9 \cdot \frac{2}{3}}$

قم بالتبسيط.

$z^{6}$

ج- تخبرنا خاصية حاصل القسمة أنه عندما نقسم بنفس القاعدة، فإننا نطرح الأسس.

$\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$

للقسمة باستخدام نفس القاعدة، نطرح الأسس.

$\frac{1}{x^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}$

قم بالتبسيط.

$\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{15}$

قم بالتبسيط:

1. $x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{4}{3}}$
2. $\left(x^{6}\right)^{\frac{4}{3}}$
3. $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$

إجابة

1. $x^{\frac{3}{2}}$
2. $x^{8}$
3. $\frac{1}{x}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{16}$

قم بالتبسيط:

1. $y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{5}{8}}$
2. $\left(m^{9}\right)^{\frac{2}{9}}$
3. $\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}$

إجابة

1. $y^{\frac{11}{8}}$
2. $m^{2}$
3. $\frac{1}{d}$

في بعض الأحيان نحتاج إلى استخدام أكثر من خاصية واحدة. في المثال التالي، سنستخدم كلاً من المنتج إلى خاصية الطاقة ثم خاصية الطاقة.

مثال$\PageIndex{9}$

قم بالتبسيط:

1. $\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$
2. $\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$

الحل:

أ.

$\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

أولاً نستخدم المنتج في خاصية الطاقة.

$(27)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

أعد الكتابة$27$ كقوة لـ$3$.

$\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

لرفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس.

$\left(3^{2}\right)\left(u^{\frac{1}{3}}\right)$

قم بالتبسيط.

$9 u^{\frac{1}{3}}$

ب.

$\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$

أولاً نستخدم المنتج في خاصية الطاقة.

$\left(m^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$

لرفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس.

$m n^{\frac{3}{4}}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{17}$

قم بالتبسيط:

1. $\left(32 x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{5}}$
2. $\left(x^{\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

إجابة

1. $8 x^{\frac{1}{5}}$
2. $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{18}$

قم بالتبسيط:

1. $\left(81 n^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{2}}$
2. $\left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}$

إجابة

1. $729 n^{\frac{3}{5}}$
2. $a^{2} b^{\frac{2}{3}}$

سنستخدم كل من خاصية المنتج وخاصية Quotient في المثال التالي.

مثال$\PageIndex{10}$

قم بالتبسيط:

1. $\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}$
2. $\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

الحل:

أ.

$\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}$

استخدم خاصية المنتج في البسط، وأضف الأسس.

$\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}$

استخدم خاصية حاصل القسمة، واطرح الأسس.

$x^{\frac{8}{4}}$

قم بالتبسيط.

$x^{2}$

ب.

$\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

استخدم خاصية حاصل القسمة، واطرح الأسس.

$\left(\frac{16 x^{\frac{6}{3}}}{y^{\frac{6}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

قم بالتبسيط.

$\left(\frac{16 x^{2}}{y}\right)^{\frac{1}{2}}$

استخدم خاصية «المنتج إلى الطاقة»، واضرب الأسس.

$\frac{4 x}{y^{\frac{1}{2}}}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{19}$

قم بالتبسيط:

1. $\frac{m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{1}{3}}}{m^{-\frac{5}{3}}}$
2. $\left(\frac{25 m^{\frac{1}{6}} n^{\frac{11}{6}}}{m^{\frac{2}{3}} n^{-\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

إجابة

1. $m^{2}$
2. $\frac{5 n}{m^{\frac{1}{4}}}$

التمارين الرياضية$\PageIndex{20}$

قم بالتبسيط:

1. $\frac{u^{\frac{4}{5}} \cdot u^{-\frac{2}{5}}}{u^{-\frac{13}{5}}}$
2. $\left(\frac{27 x^{\frac{4}{5}} y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{5}} y^{-\frac{5}{6}}}\right)^{\frac{1}{3}}$

إجابة

1. $u^{3}$
2. $3 x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{3}}$

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية من خلال تبسيط الأسس المنطقية.

• مراجعة الأسس العقلانية
• استخدام قوانين الأسس على الجذور: خواص الأسس النسبية

المفاهيم الرئيسية

• الأس العقلاني$a^{\frac{1}{n}}$
  • $\sqrt[n]{a}$إنه رقم حقيقي$n≥2$ ثم$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.
• الأس العقلاني$a^{\frac{m}{n}}$
  • لأي أعداد صحيحة إيجابية$m$ و$n$،
    $a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \text { and } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
• خصائص الأسس
  • إذا كانت$a, b$ الأرقام حقيقية وأرقام عقلانية، إذن$m, n$
    • خاصية المنتج$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
    • خاصية الطاقة$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$
    • تحويل المنتج إلى مصدر طاقة$(a b)^{m}=a^{m} b^{m}$
    • خاصية حاصل القسمة$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0$
    • تعريف الأس الصفري$a^{0}=1, a \neq 0$
    • حاصل القسمة على خاصية الطاقة$\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$
    • خاصية الأس السالب$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0$