8.3: تبسيط التعبيرات الراديكالية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• استخدم خاصية المنتج لتبسيط التعبيرات الراديكالية
• استخدم خاصية حاصل القسمة لتبسيط التعبيرات الجذرية

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. قم بالتبسيط:\(\dfrac{x^{9}}{x^{4}}\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 5.13.
2. قم بالتبسيط:\(\dfrac{y^{3}}{y^{11}}\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 5.13.
3. قم بالتبسيط:\(\left(n^{2}\right)^{6}\).
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 5.17.

استخدم خاصية المنتج لتبسيط التعبيرات الراديكالية

سنقوم بتبسيط التعبيرات الجذرية بطريقة مشابهة لكيفية تبسيط الكسور. يتم تبسيط الكسر إذا لم تكن هناك عوامل مشتركة في البسط والمقام. لتبسيط الكسر، نبحث عن أي عوامل مشتركة في البسط والمقام.

يعتبر التعبير الراديكالي مبسطًا إذا لم يكن له عوامل\(m^{n}\).\(\sqrt[n]{a}\) لذلك، لتبسيط التعبير الراديكالي، نبحث عن أي عوامل في الراديكالية والتي تمثل قوى المؤشر.

تعريف\(\PageIndex{1}\): Simplified Radical Expression

للأرقام الحقيقية\(a\) و\(m\)\(n\geq 2\)، و

\(\sqrt[n]{a}\)يعتبر مبسطًا إذا لم يكن\(a\) لديه عوامل\(m^{n}\)

على سبيل المثال،\(\sqrt{5}\) يعتبر مبسطًا نظرًا لعدم وجود عوامل مربعة مثالية فيه\(5\). ولكن لم\(\sqrt{12}\) يتم تبسيطه لأنه\(12\) يحتوي على عامل مربع مثالي لـ\(4\).

وبالمثل،\(\sqrt[3]{4}\) يتم تبسيطه نظرًا لعدم وجود عوامل مكعب مثالية فيه\(4\). ولكن لم\(\sqrt[3]{24}\) يتم تبسيطه لأنه\(24\) يحتوي على عامل مكعب مثالي يبلغ\(8\).

لتبسيط التعبيرات الراديكالية، سنستخدم أيضًا بعض خصائص الجذور. تتشابه الخصائص التي سنستخدمها لتبسيط التعبيرات الجذرية مع خصائص الأسس. نحن نعلم ذلك

\[(a b)^{n}=a^{n} b^{n}.\]

تنص خاصية المنتج المقابلة للجذور على ذلك

\[\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}.\]

تعريف\(\PageIndex{2}\): Product Property of \(n^{th}\) Roots

إذا كانت\(\sqrt[n]{a}\) أعدادًا حقيقية، وكانت\(n\geq 2\) عددًا صحيحًا، فعندئذٍ\(\sqrt[n]{b}\)

\(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text { and } \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}\)

نحن نستخدم خاصية منتج الجذور لإزالة جميع العوامل المربعة المثالية من الجذر التربيعي.

مثال\(\PageIndex{1}\): Simplify square roots using the product property of roots

قم بالتبسيط:\(\sqrt{98}\).

الحل:

الخطوة 1: ابحث عن أكبر عامل في الجذر وهو القوة المثالية للمؤشر.	نرى أن هذا\(49\) هو العامل الأكبر في\(98\) ذلك الذي يتمتع بقوة\(2\).	\(\sqrt{98}\)
أعد كتابة الراديكاند كمنتج لعاملين باستخدام هذا العامل.	بعبارة أخرى\(49\) هو أكبر عامل مربع مثالي لـ\(98\). \(98 = 49\cdot 2\) اكتب دائمًا عامل المربع المثالي أولاً.	\(\sqrt{49\cdot 2}\)
الخطوة 2: استخدم قاعدة المنتج لإعادة كتابة الجذر كمنتج لجذرين.		\(\sqrt{49} \cdot \sqrt{2}\)
الخطوة 3: تبسيط جذر القوة المثالية.		\(7\sqrt{2}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{1}\)

قم بالتبسيط:\(\sqrt{48}\)

إجابة

\(4 \sqrt{3}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{2}\)

قم بالتبسيط:\(\sqrt{45}\).

إجابة

\(3 \sqrt{5}\)

لاحظ في المثال السابق أن الشكل المبسط لـ\(\sqrt{98}\) is\(7\sqrt{2}\)، وهو نتاج عدد صحيح وجذر مربع. نكتب دائمًا العدد الصحيح أمام الجذر التربيعي.

احرص على كتابة العدد الصحيح الخاص بك حتى لا يتم الخلط بينه وبين الفهرس. التعبير مختلف\(7\sqrt{2}\) تمامًا عن\(\sqrt[7]{2}\).

قم بتبسيط تعبير جذري باستخدام خاصية المنتج

1. ابحث عن العامل الأكبر في الجذر الذي يمثل القوة المثالية للمؤشر. أعد كتابة الراديكاند كمنتج لعاملين باستخدام هذا العامل.
2. استخدم قاعدة المنتج لإعادة كتابة الجذر كمنتج لجذرين.
3. قم بتبسيط جذر القوة المثالية.

سنطبق هذه الطريقة في المثال التالي. قد يكون من المفيد أن يكون لديك جدول بالمربعات المثالية والمكعبات والقوى الرابعة.

مثال\(\PageIndex{2}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{500}\)
2. \(\sqrt[3]{16}\)
3. \(\sqrt[4]{243}\)

الحل:

أ.

\(\sqrt{500}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع مثالي.

\(\sqrt{100 \cdot 5}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt{100} \cdot \sqrt{5}\)

قم بالتبسيط.

\(10\sqrt{5}\)

ب.

\(\sqrt[3]{16}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل مكعب مثالي. \(2^{3}=8\)

\(\sqrt[3]{8 \cdot 2}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2}\)

قم بالتبسيط.

\(2 \sqrt[3]{2}\)

ج.

\(\sqrt[4]{243}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل طاقة رابع مثالي. \(3^{4}=81\)

\(\sqrt[4]{81 \cdot 3}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}\)

قم بالتبسيط.

\(3 \sqrt[4]{3}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{3}\)

تبسيط: أ.\(\sqrt{288}\) ب.\(\sqrt[3]{81}\) ج.\(\sqrt[4]{64}\)

إجابة

أ.\(12\sqrt{2}\) ب.\(3 \sqrt[3]{3}\) ج.\(2 \sqrt[4]{4}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{4}\)

تبسيط: أ.\(\sqrt{432}\) ب.\(\sqrt[3]{625}\) ج.\(\sqrt[4]{729}\)

إجابة

أ.\(12\sqrt{3}\) ب.\(5 \sqrt[3]{5}\) ج.\(3 \sqrt[4]{9}\)

المثال التالي يشبه إلى حد كبير الأمثلة السابقة، ولكن مع المتغيرات. لا تنس استخدام علامات القيمة المطلقة عند أخذ الجذر المتساوي للتعبير مع متغير في الجذر.

مثال\(\PageIndex{3}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{x^{3}}\)
2. \(\sqrt[3]{x^{4}}\)
3. \(\sqrt[4]{x^{7}}\)

الحل:

أ.

\(\sqrt{x^{3}}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع مثالي.

\(\sqrt{x^{2} \cdot x}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x}\)

قم بالتبسيط.

\(|x| \sqrt{x}\)

ب.

\(\sqrt[3]{x^{4}}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل مكعب مثالي.

\(\sqrt[3]{x^{3} \cdot x}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}\)

قم بالتبسيط.

\(x \sqrt[3]{x}\)

ج.

\(\sqrt[4]{x^{7}}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل طاقة رابع مثالي.

\(\sqrt[4]{x^{4} \cdot x^{3}}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt[4]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}\)

قم بالتبسيط.

\(|x| \sqrt[4]{x^{3}}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{5}\)

تبسيط: أ.\(\sqrt{b^{5}}\) ب.\(\sqrt[4]{y^{6}}\) ج.\(\sqrt[3]{z^{5}}\)

إجابة

أ.\(b^{2} \sqrt{b}\) ب.\(|y| \sqrt[4]{y^{2}}\) ج.\(z \sqrt[3]{z^{2}}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{6}\)

تبسيط: أ.\(\sqrt{p^{9}}\) ب.\(\sqrt[5]{y^{8}}\) ج.\(\sqrt[6]{q^{13}}\)

إجابة

أ.\(p^{4} \sqrt{p}\) ب.\(p \sqrt[5]{p^{3}}\) ج.\(q^{2} \sqrt[6]{q}\)

نتبع نفس الإجراء عندما يكون هناك معامل في الراديكاند. في المثال التالي، يحتوي كل من الثابت والمتغير على عوامل مربعة مثالية.

مثال\(\PageIndex{4}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{72 n^{7}}\)
2. \(\sqrt[3]{24 x^{7}}\)
3. \(\sqrt[4]{80 y^{14}}\)

الحل:

أ.

\(\sqrt{72 n^{7}}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع مثالي.

\(\sqrt{36 n^{6} \cdot 2 n}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt{36 n^{6}} \cdot \sqrt{2 n}\)

قم بالتبسيط.

\(6\left|n^{3}\right| \sqrt{2 n}\)

ب.

\(\sqrt[3]{24 x^{7}}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عوامل المكعب المثالية.

\(\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt[3]{8 x^{6}} \cdot \sqrt[3]{3 x}\)

أعد كتابة الجذر الأول على النحو التالي\(\left(2 x^{2}\right)^{3}\).

\(\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}\)

قم بالتبسيط.

\(2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}\)

ج.

\(\sqrt[4]{80 y^{14}}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية.

\(\sqrt[4]{16 y^{12} \cdot 5 y^{2}}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt[4]{16 y^{12}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

أعد كتابة الجذر الأول على النحو التالي\(\left(2 y^{3}\right)^{4}\).

\(\sqrt[4]{\left(2 y^{3}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

قم بالتبسيط.

\(2\left|y^{3}\right| \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{7}\)

تبسيط: أ.\(\sqrt{32 y^{5}}\) ب.\(\sqrt[3]{54 p^{10}}\) ج.\(\sqrt[4]{64 q^{10}}\)

إجابة

أ.\(4 y^{2} \sqrt{2 y}\) ب.\(3 p^{3} \sqrt[3]{2 p}\) ج.\(2 q^{2} \sqrt[4]{4 q^{2}}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{8}\)

تبسيط: أ.\(\sqrt{75 a^{9}}\) ب.\(\sqrt[3]{128 m^{11}}\) ج.\(\sqrt[4]{162 n^{7}}\)

إجابة

أ.\(5 a^{4} \sqrt{3 a}\) ب.\(4 m^{3} \sqrt[3]{2 m^{2}}\) ج.\(3|n| \sqrt[4]{2 n^{3}}\)

في المثال التالي، نستمر في استخدام نفس الأساليب على الرغم من وجود أكثر من متغير واحد تحت الجذر.

مثال\(\PageIndex{5}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{63 u^{3} v^{5}}\)
2. \(\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}\)
3. \(\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}\)

الحل:

أ.

\(\sqrt{63 u^{3} v^{5}}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع مثالي.

\(\sqrt{9 u^{2} v^{4} \cdot 7 u v}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt{9 u^{2} v^{4}} \cdot \sqrt{7 u v}\)

أعد كتابة الجذر الأول على النحو التالي\(\left(3 u v^{2}\right)^{2}\).

\(\sqrt{\left(3 u v^{2}\right)^{2}} \cdot \sqrt{7 u v}\)

قم بالتبسيط.

\(3|u| v^{2} \sqrt{7 u v}\)

ب.

\(\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل مكعب مثالي.

\(\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3} \cdot 5 x y^{2}}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

أعد كتابة الجذر الأول على النحو التالي\((2xy)^{3}\).

\(\sqrt[3]{(2 x y)^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

قم بالتبسيط.

\(2 x y \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

ج.

\(\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل طاقة رابع مثالي.

\(\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4} \cdot 3 y^{3}}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

أعد كتابة الجذر الأول على النحو التالي\((2xy)^{4}\).

\(\sqrt[4]{(2 x y)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

قم بالتبسيط.

\(2|x y| \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{9}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{98 a^{7} b^{5}}\)
2. \(\sqrt[3]{56 x^{5} y^{4}}\)
3. \(\sqrt[4]{32 x^{5} y^{8}}\)

إجابة

1. \(7\left|a^{3}\right| b^{2} \sqrt{2 a b}\)
2. \(2 x y \sqrt[3]{7 x^{2} y}\)
3. \(2|x| y^{2} \sqrt[4]{2 x}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{10}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{180 m^{9} n^{11}}\)
2. \(\sqrt[3]{72 x^{6} y^{5}}\)
3. \(\sqrt[4]{80 x^{7} y^{4}}\)

إجابة

1. \(6 m^{4}\left|n^{5}\right| \sqrt{5 m n}\)
2. \(2 x^{2} y \sqrt[3]{9 y^{2}}\)
3. \(2|x y| \sqrt[4]{5 x^{3}}\)

مثال\(\PageIndex{6}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt[3]{-27}\)
2. \(\sqrt[4]{-16}\)

الحل:

أ.

\(\sqrt[3]{-27}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عوامل المكعب المثالية.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3}}\)

خذ الجذر التكعيبي.

\(-3\)

ب.

\(\sqrt[4]{-16}\)

لا يوجد رقم حقيقي\(n\) حيث\(n^{4}=-16\).

ليس رقمًا حقيقيًا

جرب ذلك\(\PageIndex{11}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt[3]{-64}\)
2. \(\sqrt[4]{-81}\)

إجابة

1. \(-4\)
2. لا يوجد رقم حقيقي

جرب ذلك\(\PageIndex{12}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt[3]{-625}\)
2. \(\sqrt[4]{-324}\)

إجابة

1. \(-5 \sqrt[3]{5}\)
2. لا يوجد رقم حقيقي

لقد رأينا كيفية استخدام ترتيب العمليات لتبسيط بعض التعبيرات باستخدام الجذور. في المثال التالي، لدينا مجموع عدد صحيح وجذر مربع. نقوم بتبسيط الجذر التربيعي ولكن لا يمكننا إضافة التعبير الناتج إلى العدد الصحيح لأن أحد المصطلحين يحتوي على جذر والآخر لا يحتوي عليه. يتضمن المثال التالي أيضًا كسرًا له جذر في البسط. تذكر أنه من أجل تبسيط الكسر تحتاج إلى عامل مشترك في البسط والمقام.

مثال\(\PageIndex{7}\)

قم بالتبسيط:

1. \(3+\sqrt{32}\)
2. \(\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}\)

الحل:

أ.

\(3+\sqrt{32}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع مثالي.

\(3+\sqrt{16 \cdot 2}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(3+\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}\)

قم بالتبسيط.

\(3+4 \sqrt{2}\)

لا يمكن إضافة المصطلحات لأن أحدهما له جذور جذرية والآخر ليس كذلك. محاولة إضافة عدد صحيح وجذر تشبه محاولة إضافة عدد صحيح ومتغير. إنها ليست مثل المصطلحات!

ب.

\(\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع مثالي.

\(\dfrac{4-\sqrt{16 \cdot 3}}{2}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\dfrac{4-\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}}{2}\)

قم بالتبسيط.

\(\dfrac{4-4 \sqrt{3}}{2}\)

ضع في اعتبارك العامل المشترك من البسط.

\(\dfrac{4(1-\sqrt{3})}{2}\)

أزل العامل المشترك، 2، من البسط والمقام.

\(\dfrac{\cancel{2} \cdot 2(1-\sqrt{3})}{\cancel{2}}\)

قم بالتبسيط.

\(2(1-\sqrt{3})\)

جرب ذلك\(\PageIndex{13}\)

قم بالتبسيط:

1. \(5+\sqrt{75}\)
2. \(\dfrac{10-\sqrt{75}}{5}\)

إجابة

1. \(5+5 \sqrt{3}\)
2. \(2-\sqrt{3}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{14}\)

قم بالتبسيط:

1. \(2+\sqrt{98}\)
2. \(\dfrac{6-\sqrt{45}}{3}\)

إجابة

1. \(2+7 \sqrt{2}\)
2. \(2-\sqrt{5}\)

استخدم خاصية حاصل القسمة لتبسيط التعبيرات الجذرية

عندما تضطر إلى تبسيط تعبير جذري، فإن الخطوة الأولى التي يجب عليك اتخاذها هي تحديد ما إذا كان الراديكوند هو القوة المثالية للمؤشر. إذا لم يكن الأمر كذلك، تحقق من البسط والمقام بحثًا عن أي عوامل مشتركة، وقم بإزالتها. قد تجد كسرًا يكون فيه كل من البسط والمقام قوى مثالية للفهرس.

مثال\(\PageIndex{8}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{45}{80}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}\)

الحل:

أ.

\(\sqrt{\dfrac{45}{80}}\)

قم بالتبسيط داخل الراديكالي أولاً. أعد كتابة موضحًا العوامل المشتركة بين البسط والمقام.

\(\sqrt{\dfrac{5 \cdot 9}{5 \cdot 16}}\)

قم بتبسيط الكسر عن طريق إزالة العوامل المشتركة.

\(\sqrt{\dfrac{9}{16}}\)

قم بالتبسيط. ملاحظة\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}\).

\(\dfrac{3}{4}\)

ب.

\(\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}\)

قم بالتبسيط داخل الراديكالي أولاً. أعد كتابة موضحًا العوامل المشتركة بين البسط والمقام.

\(\sqrt[3]{\dfrac{2 \cdot 8}{2 \cdot 27}}\)

قم بتبسيط الكسر عن طريق إزالة العوامل المشتركة.

\(\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}\)

قم بالتبسيط. ملاحظة\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{8}{27}\).

\(\dfrac{2}{3}\)

ج.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}\)

قم بالتبسيط داخل الراديكالي أولاً. أعد كتابة موضحًا العوامل المشتركة بين البسط والمقام.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5 \cdot 1}{5 \cdot 16}}\)

قم بتبسيط الكسر عن طريق إزالة العوامل المشتركة.

\(\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}\)

قم بالتبسيط. ملاحظة\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}\).

\(\dfrac{1}{2}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{15}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{75}{48}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{54}{250}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{32}{162}}\)

إجابة

1. \(\dfrac{5}{4}\)
2. \(\dfrac{3}{5}\)
3. \(\dfrac{2}{3}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{16}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{98}{162}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{24}{375}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{4}{324}}\)

إجابة

1. \(\dfrac{7}{9}\)
2. \(\dfrac{2}{5}\)
3. \(\dfrac{1}{3}\)

في المثال الأخير، كانت خطوتنا الأولى هي تبسيط الكسر تحت الجذر عن طريق إزالة العوامل المشتركة. في المثال التالي، سنستخدم خاصية Quotient للتبسيط في ظل الراديكالية. نقسم القواعد المتشابهة بطرح أسسها،

\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, \quad a \neq 0\)

مثال\(\PageIndex{9}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}\)

الحل:

أ.

\(\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}\)

قم بتبسيط الكسر داخل الجذر أولاً. اقسم القواعد المتشابهة بطرح الأسس.

\(\sqrt{m^{2}}\)

قم بالتبسيط.

\(|m|\)

ب.

\(\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}\)

استخدم خاصية حاصل القسمة للأسس لتبسيط الكسر تحت الجذر أولاً.

\(\sqrt[3]{a^{3}}\)

قم بالتبسيط.

\(a\)

ج.

\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}\)

استخدم خاصية حاصل القسمة للأسس لتبسيط الكسر تحت الجذر أولاً.

\(\sqrt[4]{a^{8}}\)

أعد كتابة الجذر باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية.

\(\sqrt[4]{\left(a^{2}\right)^{4}}\)

قم بالتبسيط.

\(a^{2}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{17}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{a^{8}}{a^{6}}}\)
2. \(\sqrt[4]{\dfrac{x^{7}}{x^{3}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{y^{17}}{y^{5}}}\)

إجابة

1. \(|a|\)
2. \(|x|\)
3. \(y^{3}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{18}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{x^{14}}{x^{10}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{m^{13}}{m^{7}}}\)
3. \(\sqrt[5]{\dfrac{n^{12}}{n^{2}}}\)

إجابة

1. \(x^{2}\)
2. \(m^{2}\)
3. \(n^{2}\)

هل تتذكر حاصل ضرب خاصية الطاقة؟ قال إنه يمكننا رفع الكسر إلى قوة عن طريق رفع البسط والمقام إلى القوة بشكل منفصل.

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=\dfrac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)

تعريف\(\PageIndex{3}\)

خاصية خارج القسمة للتعبيرات الجذرية

إذا كانت\(\sqrt[n]{a}\)\(\sqrt[n]{b}\) الأرقام حقيقية\(b \neq 0\)، ولأي عدد صحيح\(n \geq 2\) إذن،

\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \text { and } \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)

مثال\(\PageIndex{10}\) how to simplify the quotient of radical expressions

قم بالتبسيط:\(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\)

الحل:

الخطوة 1: قم بتبسيط الكسر في الجذر، إن أمكن.

\(\dfrac{27 m^{3}}{196}\)لا يمكن تبسيطها.

\(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\)

الخطوة 2: استخدم خاصية حاصل القسمة لإعادة كتابة الجذر في صورة حاصل قسمة جذريين.

نعيد الكتابة\(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\) كحاصل القسمة لـ\(\sqrt{27 m^{3}}\) و\(\sqrt{196}\).

\(\dfrac{\sqrt{27 m^{3}}}{\sqrt{196}}\)

الخطوة 3: تبسيط الجذور في البسط والمقام.

\(9m^{2}\)\(196\)وهي مربعات مثالية.

\(\dfrac{\sqrt{9 m^{2}} \cdot \sqrt{3 m}}{\sqrt{196}}\)

\(\dfrac{3 m \sqrt{3 m}}{14}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{19}\)

قم بالتبسيط:\(\sqrt{\dfrac{24 p^{3}}{49}}\).

إجابة

\(\dfrac{2|p| \sqrt{6 p}}{7}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{20}\)

قم بالتبسيط:\(\sqrt{\dfrac{48 x^{5}}{100}}\).

إجابة

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt{3 x}}{5}\)

قم بتبسيط الجذر التربيعي باستخدام خاصية حاصل القسمة

1. قم بتبسيط الكسر في الجذر، إن أمكن.
2. استخدم خاصية حاصل القسمة لإعادة كتابة الجذر في صورة حاصل قسمة جذريين.
3. قم بتبسيط الجذور في البسط والمقام.

مثال\(\PageIndex{11}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}\)

الحل:

أ.

\(\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}\)

لا يمكننا تبسيط الكسر في الراديكاند. أعد الكتابة باستخدام خاصية حاصل القسمة.

\(\dfrac{\sqrt{45 x^{5}}}{\sqrt{y^{4}}}\)

قم بتبسيط الجذور في البسط والمقام.

\(\dfrac{\sqrt{9 x^{4}} \cdot \sqrt{5 x}}{y^{2}}\)

قم بالتبسيط.

\(\dfrac{3 x^{2} \sqrt{5 x}}{y^{2}}\)

ب.

\(\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}\)

لا يمكن تبسيط الكسر في الراديكوند. استخدم خاصية حاصل القسمة للكتابة في صورة جذريين.

\(\dfrac{\sqrt[3]{24 x^{7}}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

أعد كتابة كل جذر كمنتج باستخدام عوامل المكعب المثالية.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

أعد كتابة البسط باعتباره حاصل ضرب جذريين.

\(\dfrac{\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

قم بالتبسيط.

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}}{y}\)

ج.

\(\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}\)

لا يمكن تبسيط الكسر في الراديكوند.

\(\dfrac{\sqrt[4]{48 x^{10}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}\)

استخدم خاصية حاصل القسمة للكتابة في صورة جذريين. أعد كتابة كل جذر كمنتج باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية.

\(\dfrac{\sqrt[4]{16 x^{8} \cdot 3 x^{2}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}\)

أعد كتابة البسط باعتباره حاصل ضرب جذريين.

\(\dfrac{\sqrt[4]{\left(2 x^{2}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 x^{2}}}{\sqrt[4]{\left(y^{2}\right)^{4}}}\)

قم بالتبسيط.

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{3 x^{2}}}{y^{2}}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{21}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{80 m^{3}}{n^{6}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{108 c^{10}}{d^{6}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{80 x^{10}}{y^{4}}}\)

إجابة

1. \(\dfrac{4|m| \sqrt{5 m}}{\left|n^{3}\right|}\)
2. \(\dfrac{3 c^{3} \sqrt[3]{4 c}}{d^{2}}\)
3. \(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{5 x^{2}}}{|y|}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{22}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{54 u^{7}}{v^{8}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{40 r^{3}}{s^{6}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{162 m^{14}}{n^{12}}}\)

إجابة

1. \(\dfrac{3 u^{3} \sqrt{6 u}}{v^{4}}\)
2. \(\dfrac{2 r \sqrt[3]{5}}{s^{2}}\)
3. \(\dfrac{3\left|m^{3}\right| \sqrt[4]{2 m^{2}}}{\left|n^{3}\right|}\)

تأكد من تبسيط الكسر في الراديكوند أولاً، إن أمكن.

مثال\(\PageIndex{12}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

الحل:

أ.

\(\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}\)

قم بتبسيط الكسر في الجذر، إن أمكن.

\(\sqrt{\dfrac{9 p^{4} q^{5}}{16}}\)

أعد الكتابة باستخدام خاصية حاصل القسمة.

\(\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{5}}}{\sqrt{16}}\)

قم بتبسيط الجذور في البسط والمقام.

\(\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{4}} \cdot \sqrt{q}}{4}\)

قم بالتبسيط.

\(\dfrac{3 p^{2} q^{2} \sqrt{q}}{4}\)

ب.

\(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)

قم بتبسيط الكسر في الجذر، إن أمكن.

\(\sqrt[3]{\dfrac{8 x^{3} y^{5}}{27}}\)

أعد الكتابة باستخدام خاصية حاصل القسمة.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{5}}}{\sqrt[3]{27}}\)

قم بتبسيط الجذور في البسط والمقام.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{27}}\)

قم بالتبسيط.

\(\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}\)

ج.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

قم بتبسيط الكسر في الجذر، إن أمكن.

\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{5} b^{4}}{16}}\)

أعد الكتابة باستخدام خاصية حاصل القسمة.

\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{5} b^{4}}}{\sqrt[4]{16}}\)

قم بتبسيط الجذور في البسط والمقام.

\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{4} b^{4}} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{16}}\)

قم بالتبسيط.

\(\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{23}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{50 x^{5} y^{3}}{72 x^{4} y}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

إجابة

1. \(\dfrac{5|y| \sqrt{x}}{6}\)
2. \(\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}\)
3. \(\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{24}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\sqrt{\dfrac{48 m^{7} n^{2}}{100 m^{5} n^{8}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{54 x^{7} y^{5}}{250 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{32 a^{9} b^{7}}{162 a^{3} b^{3}}}\)

إجابة

1. \(\dfrac{2|m| \sqrt{3}}{5\left|n^{3}\right|}\)
2. \(\dfrac{3 x y \sqrt[3]{x^{2}}}{5}\)
3. \(\dfrac{2|a b| \sqrt[4]{a^{2}}}{3}\)

في المثال التالي، لا يوجد شيء يمكن تبسيطه في القواسم. نظرًا لأن مؤشر الجذور هو نفسه، يمكننا استخدام خاصية Quotient مرة أخرى، لدمجها في جذر واحد. سننظر بعد ذلك لمعرفة ما إذا كان بإمكاننا تبسيط التعبير.

مثال\(\PageIndex{13}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}\)

الحل:

أ.

\(\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}\)

لا يمكن تبسيط المقام، لذلك استخدم خاصية حاصل القسمة للكتابة في صورة جذر واحد.

\(\sqrt{\dfrac{48 a^{7}}{3 a}}\)

قم بتبسيط الكسر تحت الجذر.

\(\sqrt{16 a^{6}}\)

قم بالتبسيط.

\(4\left|a^{3}\right|\)

ب.

\(\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}\)

لا يمكن تبسيط المقام، لذلك استخدم خاصية حاصل القسمة للكتابة في صورة جذر واحد.

\(\sqrt[3]{\dfrac{-108}{2}}\)

قم بتبسيط الكسر تحت الجذر.

\(\sqrt[3]{-54}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عوامل المكعب المثالية.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3} \cdot 2}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3}} \cdot \sqrt[3]{2}\)

قم بالتبسيط.

\(-3 \sqrt[3]{2}\)

ج.

\(\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}\)

لا يمكن تبسيط المقام، لذلك استخدم خاصية حاصل القسمة للكتابة في صورة جذر واحد.

\(\sqrt[4]{\dfrac{96 x^{7}}{3 x^{2}}}\)

قم بتبسيط الكسر تحت الجذر.

\(\sqrt[4]{32 x^{5}}\)

أعد كتابة الراديكاند كمنتج باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية.

\(\sqrt[4]{16 x^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}\)

أعد كتابة الراديكالية على أنها نتاج جذريين.

\(\sqrt[4]{(2 x)^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}\)

قم بالتبسيط.

\(2|x| \sqrt[4]{2 x}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{25}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\dfrac{\sqrt{98 z^{5}}}{\sqrt{2 z}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-500}}{\sqrt[3]{2}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{486 m^{11}}}{\sqrt[4]{3 m^{5}}}\)

إجابة

1. \(7z^{2}\)
2. \(-5 \sqrt[3]{2}\)
3. \(3|m| \sqrt[4]{2 m^{2}}\)

جرب ذلك\(\PageIndex{26}\)

قم بالتبسيط:

1. \(\dfrac{\sqrt{128 m^{9}}}{\sqrt{2 m}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-192}}{\sqrt[3]{3}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{324 n^{7}}}{\sqrt[4]{2 n^{3}}}\)

إجابة

1. \(8m^{4}\)
2. \(-4\)
3. \(3|n| \sqrt[4]{2}\)

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية من خلال تبسيط التعبيرات الراديكالية.

• تبسيط الجذر التربيعي والجذر التكعيبي باستخدام المتغيرات
• عبِّر عن الجذر في الصورة المبسطة والجذور المربعة والمربعة التكعيبية باستخدام المتغيرات والأسس
• تبسيط الجذور المكعبة

المفاهيم الرئيسية

• تعبير راديكالي مبسط
  • بالنسبة للأرقام الحقيقية\(a, m\)\(n≥2\)
    \(\sqrt[n]{a}\) وتعتبر مبسطة إذا\(a\) لم تكن هناك عوامل\(m^{n}\)
• خاصية المنتج\(n^{th}\) للجذور
  • لأي أرقام حقيقية\(\sqrt[n]{b}\)،\(\sqrt[n]{a}\) ولأي عدد صحيح\(n≥2\)
    \(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) و\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}\)
• كيفية تبسيط تعبير جذري باستخدام خاصية المنتج
  1. ابحث عن العامل الأكبر في الجذر الذي يمثل القوة المثالية للمؤشر.
     أعد كتابة الراديكاند كمنتج لعاملين باستخدام هذا العامل.
  2. استخدم قاعدة المنتج لإعادة كتابة الجذر كمنتج لجذرين.
  3. قم بتبسيط جذر القوة المثالية.
• خاصية خارج القسمة للتعبيرات الجذرية
  • إذا كانت\(\sqrt[n]{a}\)\(\sqrt[n]{b}\) الأرقام حقيقية\(b≠0\)، ولأي عدد صحيح\(n≥2\) إذن،\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) و\(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)
• كيفية تبسيط تعبير جذري باستخدام خاصية Quotient.
  1. قم بتبسيط الكسر في الجذر، إن أمكن.
  2. استخدم خاصية حاصل القسمة لإعادة كتابة الجذر في صورة حاصل قسمة جذريين.
  3. قم بتبسيط الجذور في البسط والمقام.