8.2: تبسيط التعبيرات باستخدام الجذور
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- تبسيط التعبيرات باستخدام الجذور
- تقدير وجذور تقريبية
- قم بتبسيط التعبيرات المتغيرة باستخدام الجذور
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
- قم بالتبسيط: a.(−9)2 b.−92 c.(−9)3
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 2.21. - 3.846قرِّب لأقرب جزء من مائة.
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 1.34. - قم بالتبسيط: a.x3⋅x3 b.y2⋅y2⋅y2 c.z3⋅z3⋅z3⋅z3
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 5.12.
تبسيط التعبيرات باستخدام الجذور
في المؤسسات، نظرنا بإيجاز إلى الجذور التربيعية. تذكر أنه عندماn يتم ضرب الرقم الحقيقي في حد ذاته، فإننا نكتبهn2 ونقرأه «n2مربّع». هذا الرقم يسمى مربعn،n ويسمى الجذر التربيعي. على سبيل المثال،
132مكتوب عليه «13مربع»
169يسمى مربع13، منذ132=169
13هو الجذر التربيعي لـ169
مربع
إذا كانn2=m، إذن،m هو مربعn.
الجذر التربيعي
إذا كانn2=m، إذنn هو الجذر التربيعي لـm.
لاحظ(−13)2=169 أيضًا−13 أن الجذر التربيعي لـ169. لذلك،−13 كلاهما13 لهما جذور مربعة لـ169.
لذلك، كل عدد موجب له جذران مربعان - أحدهما موجب والآخر سالب. ماذا لو أردنا فقط الجذر التربيعي الموجب لعدد موجب؟ نستخدم علامة جذرية ونكتب تشير إلى الجذر التربيعي الإيجابي لـm.√m يُطلق على الجذر التربيعي الموجب أيضًا الجذر التربيعي الرئيسي.
نستخدم أيضًا العلامة الجذرية للجذر التربيعي للصفر. بسبب02=0,√0=0. لاحظ أن الصفر يحتوي على جذر مربع واحد فقط.
√mيُقرأ «الجذر التربيعي لـ»m.
إذاn2=m، إذنn=√m، من أجلn≥0.
نحن نعلم أن كل رقم موجب له جذران تربيعيان وأن العلامة الجذرية تشير إلى الموجب. نحن نكتب√169=13. إذا أردنا إيجاد الجذر التربيعي السالب لعدد ما، فإننا نضع القيمة السالبة أمام العلامة الجذرية. على سبيل المثال،−√169=−13.
قم بالتبسيط:
- √144
- −√289
الحل:
أ.
√144
منذ122=144.
12
ب.
−√289
منذ ذلك الحين172=289 والسلبية أمام العلامة الراديكالية.
−17
قم بالتبسيط:
- −√64
- √225
- إجابة
-
- −8
- 15
قم بالتبسيط:
- √100
- −√121
- إجابة
-
- 10
- −11
هل يمكننا التبسيط−√49؟ هل هناك رقم مربعه−49؟
(___)2=−49
أي رقم موجب مربع يكون موجبًا. أي رقم سالب مربّع يكون موجبًا. لا يوجد رقم حقيقي يساوي√−49. الجذر التربيعي للرقم السالب ليس رقمًا حقيقيًا.
قم بالتبسيط:
- √−196
- −√64
الحل:
أ.
√−196
لا يوجد رقم حقيقي مربعه−196.
√−196ليس رقمًا حقيقيًا.
ب.
−√64
السلبية أمام الراديكالية.
−8
قم بالتبسيط:
- √−169
- −√81
- إجابة
-
- ليس رقمًا حقيقيًا
- −9
قم بالتبسيط:
- −√49
- √−121
- إجابة
-
- −7
- ليس رقمًا حقيقيًا
حتى الآن تحدثنا فقط عن المربعات والجذور التربيعية. دعونا الآن نوسع نطاق عملنا ليشمل قوى أعلى وجذور أعلى.
دعونا نراجع بعض المفردات أولاً.
We write: We say: n2n squared n3n cubed n4n to the fourth power n5n to the fifth power
يأتي المصطلحان «مربع» و «مكعب» من معادلات مساحة المربع وحجم المكعب.
سيكون من المفيد الحصول على جدول لقوى الأعداد الصحيحة من−5 إلى5. انظر الشكل 8.1.2

لاحظ العلامات الموجودة في الجدول. جميع قوى الأرقام الموجبة إيجابية بالطبع. ولكن عندما يكون لدينا رقم سالب، تكون القوى الزوجية إيجابية والقوى الفردية سلبية. سنقوم بنسخ الصف بصلاحيات−2 لمساعدتك على رؤية ذلك.

سنقوم الآن بتوسيع تعريف الجذر التربيعي إلى الجذور العليا.
إذا كانbn=a، إذنb هوnth جذرa.
يتم كتابةnth الجذرa الرئيسي لـn√a.
nوهذا ما يسمى مؤشر الراديكالي.
تمامًا مثلما نستخدم كلمة «مكعبة» لـb3، نستخدم مصطلح «الجذر المكعب» لـ3√a.
يمكننا الرجوع إلى الشكل 8.1.2 للمساعدة في العثور على جذور أعلى.
43=643√64=434=814√81=3(−2)5=−325√−32=−2
هل يمكن أن يكون لدينا جذر زوجي لرقم سالب؟ نحن نعلم أن الجذر التربيعي لعدد سالب ليس رقمًا حقيقيًا. وينطبق الشيء نفسه على أي جذر متساوٍ. حتى جذور الأرقام السالبة ليست أرقامًا حقيقية. الجذور الفردية للأرقام السالبة هي أرقام حقيقية.
خصائص لـn√a
متىn يكون الرقم الزوجي و
- a≥0، إذنn√a هو رقم حقيقي.
- a<0، إذنn√a ليس رقمًا حقيقيًا.
عندماn يكون رقمًا فرديًا،n√a يكون رقمًا حقيقيًا لجميع قيمa.
سنقوم بتطبيق هذه الخصائص في المثالين التاليين.
قم بالتبسيط:
- 3√64
- 4√81
- 5√32
الحل:
أ.
3√64
منذ43=64.
4
ب.
4√81
منذ(3)4=81.
3
ج.
5√32
منذ(2)5=32.
2
قم بالتبسيط:
- 3√27
- 4√256
- 5√243
- إجابة
-
- 3
- 4
- 3
قم بالتبسيط:
- 3√1000
- 4√16
- 5√243
- إجابة
-
- 10
- 2
- 3
في هذا المثال، انتبه للعلامات السلبية وكذلك القوى الزوجية والغريبة.
قم بالتبسيط:
- 3√−125
- 4√16
- 5√−243
الحل:
أ.
3√−125
منذ(−5)3=−125.
−5
ب.
4√16
فكر،(?)4=−16. لا يوجد رقم حقيقي تم رفعه إلى القوة الرابعة يكون سالبًا.
ليس رقمًا حقيقيًا.
ج.
5√−243
منذ(−3)5=−243.
−3
قم بالتبسيط:
- 3√−27
- 4√−256
- 5√−32
- إجابة
-
- −3
- غير حقيقي
- −2
قم بالتبسيط:
- 3√−216
- 4√−81
- 5√−1024
- إجابة
-
- −6
- غير حقيقي
- −4
تقدير وجذور تقريبية
عندما نرى رقمًا بعلامة جذرية، فإننا غالبًا لا نفكر في قيمته العددية. في حين أننا ربما نعرف أن√4=2، ما هي قيمة√21 أو3√50؟ في بعض الحالات، يكون التقدير السريع مفيدًا وفي حالات أخرى يكون من الملائم الحصول على تقريب عشري.
للحصول على تقدير عددي للجذر التربيعي، نبحث عن الأعداد المربعة المثالية الأقرب إلى الجذر. للعثور على تقدير لـ√11، نرى11 أنه يقع بين الأعداد المربعة المثالية916 والأقرب إلى9. عندها سيكون جذره التربيعي بين3 و4، ولكن أقرب إلى3.

وبالمثل، للتقدير3√91، نرى91 ما بين الأرقام المكعبة المثالية64 و125. سيكون الجذر التكعيبي بعد ذلك بين4 و5.
قم بتقدير كل جذر بين رقمين صحيحين متتاليين:
- √105
- 3√43
الحل:
أ- فكر في الأعداد المربعة المثالية الأقرب إلى105. اصنع جدولًا صغيرًا من هذه المربعات المثالية وجذورها المربعة.
√105 | |
![]() |
|
حدد الموقع105 بين مربعين مثاليين متتاليين. | 100<105<121 |
√105تقع بين جذورها المربعة. | 10<√105<11 |
ب- وبالمثل، فإننا نحدد43 بين رقمين مكعبين مثاليين.
3√43 | |
![]() |
|
حدد موقعه43 بين مكعبين مثاليين متتاليين. | ![]() |
3√43تقع بين جذورها المكعبة. | ![]() |
قم بتقدير كل جذر بين رقمين صحيحين متتاليين:
- √38
- 3√93
- إجابة
-
- 6<√38<7
- 4<3√93<5
قم بتقدير كل جذر بين رقمين صحيحين متتاليين:
- √84
- 3√152
- إجابة
-
- 9<√84<10
- 5<3√152<6
هناك طرق رياضية لتقريب الجذور التربيعية، ولكن في الوقت الحاضر يستخدم معظم الناس الآلة الحاسبة للعثور على الجذور التربيعية. للعثور على الجذر التربيعي، ستستخدم√x المفتاح الموجود في الآلة الحاسبة. للعثور على جذر مكعب، أو أي جذر بمؤشر أعلى، ستستخدمy√x المفتاح.
عند استخدام هذه المفاتيح، تحصل على قيمة تقريبية. إنه تقدير تقريبي ودقيق لعدد الأرقام المعروضة على شاشة الآلة الحاسبة. رمز التقريب هو≈ ويُقرأ «تقريبًا».
لنفترض أن الآلة الحاسبة الخاصة بك تحتوي10 على شاشة رقمية. سوف ترى ذلك
√5≈2.236067978مقرّبة إلى منزلتين عشريتين هي√5≈2.24
4√93≈3.105422799مقرّبة إلى منزلتين عشريتين هي4√93≈3.11
كيف نعرف أن هذه القيم تقريبية وليست القيم الدقيقة؟ انظر إلى ما يحدث عندما نربحها:
(2.236067978)2=5.000000002(3.105422799)4=92.999999991(2.24)2=5.0176(3.11)4=93.54951841
مربعاتها قريبة من5، ولكنها لا تساوي تمامًا5. القوى الرابعة قريبة من93، لكنها لا تساوي93.
تقريبه إلى منزلتين عشريتين:
- √17
- 3√49
- 4√51
الحل:
أ.
√17
استخدم مفتاح الجذر التربيعي للآلة الحاسبة.
4.123105626…
قرِّب إلى منزلتين عشريتين.
4.12
√17≈4.12
ب.
3√49
استخدمy√x مفتاح الآلة الحاسبة.
3.659305710…
قرِّب إلى منزلتين عشريتين.
3.66
3√49≈3.66
ج.
4√51
استخدمy√x مفتاح الآلة الحاسبة.
2.6723451177…
قرِّب إلى منزلتين عشريتين.
2.67
4√51≈2.67
تقريبه إلى منزلتين عشريتين:
- √11
- 3√71
- 4√127
- إجابة
-
- ≈3.32
- ≈4.14
- ≈3.36
تقريبه إلى منزلتين عشريتين:
- √13
- 3√84
- 4√98
- إجابة
-
- ≈3.61
- ≈4.38
- ≈3.15
قم بتبسيط التعبيرات المتغيرة باستخدام الجذور
يمكن أن يكون الجذر الفردي للرقم موجبًا أو سلبيًا. على سبيل المثال،

ولكن ماذا عن الجذر المتساوي؟ نريد الجذر الرئيسي، لذلك4√625=5.
لكن لاحظ،

كيف يمكننا التأكد من أن الجذر الرابع−5 للرفع إلى القوة الرابعة هو5؟ يمكننا استخدام القيمة المطلقة. |−5|=5. لذلك نقول ذلك عندماn يكون الوقت متساويًاn√an=|a|. هذا يضمن أن الجذر الرئيسي إيجابي.
لأي عدد صحيحn≥2،
عندماn يكون الفهرس غريبًاn√an=a
عندما يكون المؤشرn متساويًاn√an=|a|
يجب أن نستخدم علامات القيمة المطلقة عندما نأخذ جذرًا متساويًا للتعبير مع متغير في الجذر.
قم بالتبسيط:
- √x2
- 3√n3
- 4√p4
- 5√y5
الحل:
أ- نستخدم القيمة المطلقة للتأكد من الحصول على الجذر الإيجابي.
√x2
بما أنn المؤشر متساوٍ،n√an=|a|.
b. هذا جذر مفهرس فردي لذا ليست هناك حاجة لعلامة القيمة المطلقة.
3√m3
نظرًا لأن الفهرسn غريب،n√an=a.
m
ج.
4√p4
نظرًاn لأن الفهرس متساوٍn√an=|a|.
|p|
د.
5√y5
نظرًاn لأن الفهرس غريب،n√an=a.
y
قم بالتبسيط:
- √b2
- 3√w3
- 4√m4
- 5√q5
- إجابة
-
- |b|
- w
- |m|
- q
قم بالتبسيط:
- √y2
- 3√p3
- 4√z4
- 5√q5
- إجابة
-
- |y|
- p
- |z|
- q
ماذا عن الجذور التربيعية للقوى العليا للمتغيرات؟ تقول خاصية القوة الخاصة بالأسس(am)n=am⋅n. لذلك إذا قمنا بالتعادلam، سيصبح الأس2m.
(am)2=a2m
ننظر الآن إلى الجذر التربيعي.
√a2m
منذ(am)2=a2m.
√(am)2
منذn ذلك الحينn√an=|a|.
|am|
لذا√a2m=|am|.
نطبق هذا المفهوم في المثال التالي.
قم بالتبسيط:
- √x6
- √y16
الحل:
أ.
√x6
منذ(x3)2=x6.
√(x3)2
نظرًاn لأن الفهرس متساوٍ√an=|a|.
|x3|
ب.
√y16
منذ(y8)2=y16.
√(y8)2
نظرًاn لأن الفهرس متساوٍn√an=|a|.
y8
في هذه الحالة، لا تكون علامة القيمة المطلقةy8 مطلوبة لأنها إيجابية.
قم بالتبسيط:
- √y18
- √z12
- إجابة
-
- |y9|
- z6
قم بالتبسيط:
- √m4
- √b10
- إجابة
-
- m2
- |b5|
يستخدم المثال التالي نفس الفكرة للجذور العليا.
قم بالتبسيط:
- 3√y18
- 4√z8
الحل:
أ.
3√y18
منذ(y6)3=y18.
3√(y6)3
لأنهn أمر غريب,n√an=a.
y6
ب.
4√z8
منذ(z2)4=z8.
4√(z2)4
نظرًاz2 لأنه إيجابي، فإننا لا نحتاج إلى علامة القيمة المطلقة.
z2
قم بالتبسيط:
- 4√u12
- 3√v15
- إجابة
-
- |u3|
- v5
قم بالتبسيط:
- 5√c20
- 6√d24
- إجابة
-
- c4
- d4
في المثال التالي، لدينا الآن معامل أمام المتغير. √a2m=|am|يعمل المفهوم بنفس الطريقة تقريبًا.
√16r22=4|r11|بسبب(4r11)2=16r22.
لكن لاحظ√25u8=5u4 ولا توجد حاجة إلى علامة القيمة المطلقة كماu4 هو الحال دائمًا.
قم بالتبسيط:
- √16n2
- −√81c2
الحل:
أ.
√16n2
منذ(4n)2=16n2.
√(4n)2
نظرًاn لأن الفهرس متساوٍn√an=|a|.
4|n|
ب.
−√81c2
منذ(9c)2=81c2.
−√(9c)2
نظرًاn لأن الفهرس متساوٍn√an=|a|.
−9|c|
قم بالتبسيط:
- √64x2
- −√100p2
- إجابة
-
- 8|x|
- −10|p|
قم بالتبسيط:
- √169y2
- −√121y2
- إجابة
-
- 13|y|
- −11|y|
يأخذ هذا المثال الفكرة إلى أبعد من ذلك لأنه يحتوي على جذور مؤشر أعلى.
قم بالتبسيط:
- 3√64p6
- 4√16q12
الحل:
أ.
3√64p6
أعد الكتابة64p6 باسم(4p2)3.
3√(4p2)3
خذ الجذر التكعيبي.
4p2
ب.
4√16q12
أعد كتابة الراديكاند كقوة رابعة.
4√(2q3)4
خذ الجذر الرابع.
2|q3|
قم بالتبسيط:
- 3√27x27
- 4√81q28
- إجابة
-
- 3x9
- 3|q7|
قم بالتبسيط:
- 3√125q9
- 5√243q25
- إجابة
-
- 5p3
- 3q5
تحتوي الأمثلة التالية على متغيرين.
قم بالتبسيط:
- √36x2y2
- √121a6b8
- 3√64p63q9
الحل:
أ.
√36x2y2
منذ(6xy)2=36x2y2
√(6xy)2
خذ الجذر التربيعي.
6|xy|
ب.
√121a6b8
منذ(11a3b4)2=121a6b8
√(11a3b4)2
خذ الجذر التربيعي.
11|a3|b4
ج.
3√64p63q9
منذ(4p21q3)3=64p63q9
3√(4p21q3)3
خذ الجذر التكعيبي.
4p21q3
قم بتبسيط:
- √100a2b2
- √144p12q20
- 3√8x30y12
- إجابة
-
- 10|ab|
- 12p6q10
- 2x10y4
قم بتبسيط:
- √225m2n2
- √169x10y14
- 3√27w36z15
- إجابة
-
- 15|mn|
- 13|x5y7|
- 3w12z5
قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية مع تبسيط التعبيرات باستخدام الجذور.
- تبسيط أسس المتغيرات باستخدام الجذور باستخدام القيم المطلقة
المفاهيم الرئيسية
- ترميز الجذر التربيعي
- √mيُقرأ «الجذر التربيعي لـm»
- إذاn2=m، إذنn=√m، من أجلn≥0.
الشكل 8.1.1 - الجذر التربيعيm لـ√m،، هو رقم موجب مربعه هوm.
- في جذر رقم
- إذا كانbn=a، إذنb هوnth جذرa.
- يتم كتابةnth الجذرa الرئيسي لـn√a.
- nيسمى مؤشر الراديكالي.
- خصائص لـn√a
- متىn يكون الرقم الزوجي و
- a≥0، إذنn√a هو رقم حقيقي
- a<0، إذنn√a ليس رقمًا حقيقيًا
- عندماn يكون رقمًا فرديًا،n√a يكون رقمًا حقيقيًا لجميع قيمa.
- متىn يكون الرقم الزوجي و
- تبسيط الجذور الفردية والزوجية
- لأي عدد صحيحn≥2،
- عندماn يكون غريبًاn√an=a
- عندماn يكون متساويًاn√an=|a|
- يجب أن نستخدم علامات القيمة المطلقة عندما نأخذ جذرًا متساويًا للتعبير مع متغير في الجذر.
- لأي عدد صحيحn≥2،
مسرد المصطلحات
- مربع الرقم
- إذا كانn2=m، إذن،m هو مربعn.
- الجذر التربيعي لعدد
- إذا كانn2=m، إذنn هو الجذر التربيعي لـm.