10.3: פיזור אמפליטודות, מצבים קשורים, תהודה

קירוב אנרגיה נמוכה עבור מטריקס S

בחלק זה נבחן את המאפיינים של מטריצת פיזור הגל החלקי \[ S_l(k)=1+2ikf_l(k) \label{10.3.1}\]

לערכים מורכבים של משתנה המומנטום\(k\). כמובן, ערכים מורכבים כלליים של \(k\) אינם תואמים לפיזור פיזי, אך מתברר שלעתים קרובות ניתן להבין את פיזור הגלים הפיזיים בצורה הפשוטה ביותר במונחים של ייחודיות דומיננטית במישור המורכב\(k\).

אנו מתחילים \(k\) בקשר המורכב בין פיזור (אנרגיה חיובית) לבין מצבים קשורים (אנרגיה שלילית). הצורה האסימפטוטית של פונקציית הגל \(l=0\) החלקית בניסוי פיזור היא (מההרצאה הקודמת) \[ \frac{i}{2k}\left(\frac{e^{-ikr}}{r}-\frac{S_0(k)e^{+ikr}}{r}\right) .\label{10.3.2}\]

למצב \(l=0\) כבול יש פונקציית גל אסימפטוטית \[ \frac{Ce^{-\kappa r}}{r} \label{10.3.3}\]

איפה \(C\) הוא קבוע נורמליזציה.

שימו לב שזה דומה ל"גל יוצא "עם מומנטום דמיוני\(k=i\kappa\). אם נמשיך באופן אנליטי את פונקציית הגל המפזרת \(k\) ממציאות למישור המורכב\(k\), נקבל פונקציות גל גדלות ופוחתות באופן אקספוננציאלי, ללא הגיון פיזי. אבל יש יוצא מן הכלל לתצפית הכללית הזו: אם מטריצת הפיזור \(S_0(k)\) הופכת לאינסופית בערך מורכב כלשהו של\(k\), המונח היורד באופן אקספוננציאלי יהיה גדול לאין שיעור מהמונח ההולך וגדל באופן אקספוננציאלי. במילים אחרות, תהיה לנו רק פונקציית גל הולכת ופוחתת - מצב כבול. אנו יודעים שהאנרגיה של מצב כבול חייבת להיות אמיתית ושלילית, והיא גם שווה ל\(\hbar^2k^2/2m\), כך שזה יכול לקרות רק לדמיון \(k\) טהור,\(k=i\kappa\).

כעת, קיומו של מצב קשור באנרגיה נמוכה פירושו שלמטריצה יש מוט (על הציר הדמיוני) קרוב למקור, כך שזה ישפיע מאוד על פיזור אנרגיה נמוכה (ליד המקור, אך אמיתי\(k\)). \(S\) בואו נראה איך זה עובד באמצעות קירוב האנרגיה הנמוכה שנדון בעבר. נזכיר כי משרעת הגל \(l=0\) החלקית \[ f_0(k)=\frac{1}{k(\cot\delta_0(k)-i)}, \label{10.3.4}\]

ובאנרגיה נמוכה\(\delta_0(k)=-ka\), כך \[ f_0(k)=\frac{1}{k((-1/ka)-i)}=-\frac{1}{ik+1/a}, \label{10.3.5}\]

ו \[ S_0(k)=1+2ikf_0(k)=-\frac{k+(i/a)}{k-(i/a)}. \label{10.3.6}\]

שים לב \(S\to 1\) \(k\to 0\) שכפי שצריך, מאז \(\delta_0(k)=-ka\to 0\) ו\(S_0(k)=e^{2i\delta_0(k)}\). שים לב גם שקירוב זה נותן נכון. \(|S_0(k)|=1\)

\(S_0(k)\)יש לזה מוט במישור המורכב ב\(k=i/a\), ואם זה מתאים למצב קשור שיש\(\kappa =1/a\), אז האנרגיה המחייבת\(\hbar^2\kappa^2/2m=\hbar^2/2ma^2\). למעשה, עם זאת, אנו נתקלים בבעיה כאן: אנו מקבלים את אותה צורה של אנרגיות \(S_0(k)\) נמוכות אפילו עבור פוטנציאל דוחה, שבוודאי אין לו מצב כבול! הקוטב אומר \(S_0(k)\) רק שנוכל לקבל פונקציית גל אסימפטוטית בצורה הנכונה, אך הוא אינו מבטיח שצורה אסימפטוטית זו תעבור בצורה חלקה להתנהגות לא ייחודית במקור. לפוטנציאל דוחה, קל לראות שתפקוד גל האנרגיה האפס (או השלילי) בהשתלבות מהמקור נוטה יותר ויותר כלפי מעלה, כך שלעולם לא יוכל, עם הגדלת\(r\), לעבור לריקבון אסימפטוטי.

טווח אפקטיבי

ניתן לכתוב את קירוב האנרגיה הנמוכה לעיל \[ k\cot\delta_0(k)\simeq -1/a. \label{10.3.7}\]

כעת נגזור קירוב טוב יותר, \[ k\cot\delta_0(k)\simeq -(1/a)+\frac{1}{2}r_0k^2, \label{10.3.8}\]

שם\(r_0\), המכונה "הטווח האפקטיבי", נותן מידה מסוימת של היקף הפוטנציאל (בניגוד ל\(a\), שכפי שראינו יכול להיות גדול באופן שרירותי, אפילו לפוטנציאל לטווח קצר).

כלי מתמטי שימושי הדרוש בשלב זה הוא Wronskian. עבור שתי פונקציות\(f(x)\), \(g(x)\) ה- Wronskian מוגדר כ \[ W(f,g)=fg'-f'g, \label{10.3.9}\]

הפריים המציינים בידול כרגיל. מכאן,\(W'(f,g)=fg''-f''g\), ואם \(f(x), g(x)\) לספק את אותה משוואה דיפרנציאלית מסדר שני (כמו משוואת שרדינגר עם אותה אנרגיה) אז\(W'=0\), כך \(W(f,g)\) הוא קבוע, בלתי תלוי ב. \(x\)

עבור משוואת שרדינגר הרדיאלית, באופן אסימפטוטי \[ u(k,r)\to C\sin(kr+\delta_0)≡v(k,r) \label{10.3.10}\]

שבו אנו מראים כעת \(k\) במפורש. פונקציה אסימפטוטית זו \(v(k,r)\) מספקת את משוואת שרדינגר לפוטנציאל אפס, אך אין לה את התנהגות הגבול הפיזית הנכונה ב. \(r=0\)

מכיוון שבמגבלת האנרגיה הנמוכה\(\delta_0(k)=-ka\), פונקציית הגל \(k=0\) האסימפטוטית \[ v(0,r)=1-r/a \label{10.3.11}\]

(לוקח\(C=1/sin\delta_0\)).

ממשוואת שרדינגר \[ -u''(k,r)+(2mV(r)/\hbar^2)u(k,r)=k^2u(k,r) \label{10.3.12}\]

קל לבדוק שה- Wronskian של \(u(k,r)\) עם פונקציית \(u(0,r)\)האנרגיה האפסית המתאימה מספק: \[ \frac{d}{dr}W[u(k,r),u(0,r)]=k^2u(k,r)u(0,r). \label{10.3.13}\]

(המונח הכרוך בפוטנציאל בוטל: \(dW/dr\) אינו אפס כאן מכיוון ששתי הפונקציות הללו אינן מספקות את אותה משוואה דיפרנציאלית, מונחי האנרגיה שונים.)

הפונקציות המתאימות \(v(k,r), v(0,r)\) מספקות את אותה משוואה Wronskian: \[ \frac{d}{dr}W[v(k,r),v(0,r)]=k^2v(k,r)v(0,r). \label{10.3.14}\]

אנו יכולים למצוא נוסחה לטווח האפקטיבי \(r_0\) על ידי שילוב ההבדל בין שתי המשוואות הללו \(r=0\) מאינסוף: שני הפתרונות \(u,v\) נבדלים זה מזה רק בטווח הפוטנציאל, ונורמליזציה נאותה שלהם, ואז לקיחת ההבדל, נותנת מדד לטווח זה.

אז \[ \begin{matrix} \{ W[v(k,r),v(0,r)]-W[u(k,r),u(0,r)]\}^{r=\infty}_{r=0} \\ =k^2\int_{0}^{\infty} [v(k,r)v(0,r)-u(k,r)u(0,r)] dr \end{matrix} \label{10.3.15}\]

עבור \(r\) גדול\(u(k,r)\to v(k,r)\),, כך יש אפס תרומה מהקצה העליון. עבור\(r\to 0\), \(u\) הפונקציות המתנהגות כראוי עוברות לאפס, הפונקציות \(v\) הן \[ v(k,r)=C\sin(kr+\delta_0) =\sin(kr+\delta_0)/sin\delta_0 \label{10.3.16}\]

שממנו, עם \[ \delta_0(k)=-ka,\;\;  v(0,r)=1-r/a. \label{10.3.17}\]

זה מיד יוצא כי \[ W[v(k,r),v(0,r)]_{r=0}=-\frac{1}{a}-k\cot\delta_0 \label{10.3.18}\]

ולכן \[ k\cot\delta_0=-\frac{1}{a}+k^2\int_{0}^{\infty} [v(k,r)v(0,r)-u(k,r)u(0,r)] dr \label{10.3.19}\]

עם מגבלת אנרגיה נמוכה \[ k\cot\delta_0=-\frac{1}{a}+\frac{1}{2}k^2r_0 \label{10.3.20}\]

איפה \[ r_0=2\int_{0}^{\infty} [v^2(0,r)-u^2(0,r)] dr. \label{10.3.21}\]

כעת, מעצם הגדרתם \(u(0,r), v(0,r)\) חופפים מחוץ לטווח הפוטנציאל, אך עוברים מאזור זה לעבר המקור, הם נפרדים מהחברה כאשר הפוטנציאל בועט פנימה, עם\(u\to 0\), \(v\to 1\) כמו\(r\to 0\). לכן האינטגרל לעיל הוא מדד גס לטווח הפוטנציאל בפועל - כמחצית ממנו (ומכאן הגורם \(2\) בהגדרה\(r_0\)). שים לב שוב לניגוד עם\(a\), שיכול להיות אינסופי לפוטנציאל לטווח קצר.

פיזור קולומב והמצבים הקשורים לאטום מימן

קבוצה מסוימת של מצבים קשורים בפוטנציאל שבילינו זמן רב עליהם הם מצבי אטום המימן, ומעניין לראות כיצד הם קשורים לפיזור. נזכיר כי הצורה האסימפטוטית של פונקציית הגל של המצב הכבול היא: \[ R_{nl}(r)\sim r^n\frac{e^{-r/na_0}}{r}. \label{10.3.22}\]

אבל אין לזה את צורת המצב הגבול שמצאנו למעלה מטיעון ההמשך האנליטי, יש תוספת! \(r^n\) מה קורה פה? הבעיה היא שבכל עבודתנו הקודמת, הנחנו שאם נסתכל רחוק מספיק ממרכז הפוטנציאל, ניתן לקחת את משוואת שרדינגר הרדיאלית ככזו של אפס פוטנציאל, לכל דיוק רצוי. עם זאת, פוטנציאל קולומב אינו מתפורר מספיק מהר עם המרחק כדי שזה יהיה נכון. למשל, יש לו מדינות קשורות בעלות רדיוסים גדולים באופן שרירותי.

כתיבה

\[ \kappa =\frac{1}{na_0}=\frac{me^2}{n\hbar^2} \label{10.3.23}\]

יש לנו

\[ R_{nl}(r)\sim \frac{1}{r}e^{-\kappa r+(me^2/\hbar^2\kappa )\ln r}. \label{10.3.24}\]

שימו לב שהמונח הנוסף במעריך ממשיך לגדול, ללא הגבלה! אנחנו אף פעם לא חופשיים מהפוטנציאל.

אך כיצד ניתוח זה של פונקציות גל אטומי מימן קשור למצבי פיזור אנרגיה חיובית? אנחנו יכולים פשוט להמשיך באופן אנליטי את התוצאה הזו בחזרה לאמיתית \(k\) כדי לגלות. החלפה \(-\kappa\) על ידי \(ik\) נותן:

\[ R_{nl}(r)\sim \frac{1}{r}e^{i(kr+(me^2/\hbar^2k)\ln r)}. \label{10.3.25}\]

אז יש לנו מצבי פיזור שאינם מהצורה הסטנדרטית - שינוי הפאזה הוא אינסופי, ולא מוגדר היטב. אבל מצאנו שתוצאה זו ממשיכה אנליטית מהמצבים הקשורים לאטום המימן. בואו נבדוק את זה: הבה נבחן את משוואת שרדינגר הרדיאלית לאנרגיות חיוביות בכלל. \(r\) כתיבה \(R(r)=u(r)/r\) כרגיל, הבה נניח \(u(r)=e^{ikr}v(r)\) גם בגדול\(r\), ונוכל להתעלם גם ממונח המחסום הצנטריפוגלי, כך \[-\frac{\hbar^2}{2m}u''-\frac{e^2}{r}u=Eu=\frac{\hbar^2k^2}{2m}u. \label{10.3.26}\]

המשוואה עבור \(v(r)\) היא

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}(2ikv'+v'')-\frac{e^2}{r}v=0 \label{10.3.27}\]

ומכיוון \(v(r)\) שהוא משתנה לאט, ניתן להתעלם מהנגזרת השנייה, כך

\[ v'\cong \frac{ime^2}{\hbar^2kr}v \label{10.3.28}\]

זה מוביל מיד לאותה צורה שמצאנו על ידי המשך אנליטי.

תהודה ואפסים קשורים

כזכור בסמסטר הראשון שדיברנו עליו \(\alpha\) - ריקבון: ניתן לחשוב על \(\alpha\) חלקיק בגרעין כבד כלוא בפוטנציאל שנוצר על ידי הכוחות הגרעיניים האטרקטיביים. באר מרובעת כדורית היא קירוב מעשי, אלא שבאר מרובעת זו נמצאת בראש גבעה - מחוץ לגרעין, הפוטנציאל האלקטרוסטטי הדוחה הוא\((Z-2)2e^2/r\), משופע מטה מקצה הבאר לאפס כמו. \(r\to \infty\) המשמעות היא שעבור גרעין רדיואקטיבי, למרות שרמת האנרגיה תהיה באנרגיה שלילית עבור הבאר הריבועית על קרקע מישורית, למעשה היא נמצאת מעל קרקעית הגבעה האלקטרוסטטית, \(r\to \infty\) ותפקוד הגל לא יתפורר אלא יתנדנד. גל אסימפטוטי זה הוא כמובן זעיר מאוד, מכיוון שבדרך כלל הסיכוי לזהות את \(\alpha\) הבאר שמחוץ לגרעין, כלומר לריקבון, הוא אחד למיליוני שנים.

עכשיו שקול את התהליך ההפוך: דמיין שאנחנו מפגיזים גרעין רקוב בחלקיקים. \(\alpha\) אם נשלח אחד בדיוק באנרגיה הנכונה (קשה מאוד - זהו ניסוי מחשבתי!) פונקציית הגל תהיה זהה לחלוטין לזו של \(\alpha\) ריקבון. תפקוד הגל בתוך הגרעין יהיה עצום בהשוואה לזה שבחוץ, לעולם לא נראה את שלנו \(\alpha\) שוב. באופן פחות דרמטי, אם נשלח אחד קרוב לאנרגיה זו, פונקציית הגל עדיין תהיה גדולה מאוד בתוך הגרעין, כלומר החלקיק יבלה זמן רב בפנים לפני שיצא שוב. (כזכור עבור חלקיק בפוטנציאל רכבת הרים בממד אחד, פונקציית הגל גדולה במקום בו החלקיק מבלה זמן רב - שם סביר להניח שתמצא אותו.) זוהי תהודה: בדיוק באנרגיה הנכונה, משרעת פונקציית הגל בתוך הפוטנציאל הופכת לגדולה מאוד, מקבילה למשרעת של מתנד מונע קלאסי כאשר תדר הנהיגה מותאם לתדר המתנד הטבעי.

האם אנו יכולים להבין זאת במונחים של קטבים \(S\) במטריצה? נחשב כפונקציה של אנרגיה, למטריצה \(S\) - יש קטבים באנרגיות שליליות המתאימות למצבים קשורים. אבל זו אנרגיה חיובית - \(|S(k)|=1\) ולאנרגיות חיוביות: זה המשטר של פיזור פיזי אמיתי. מה שיכול להיות לו הוא מוט ליד אנרגיה חיובית, במישור המורכב. כדי לשמור\(|S(k)|=1\), יהיה עליו להיות אפס בנקודת תמונת המראה, כלומר להיות מקומית מהצורה \[ S_l(E)=e^{2i\delta_l(E)}=\frac{E-E_0-i\Gamma /2}{E-E_0+i\Gamma /2}. \label{10.3.29}\]

מתוך זה, \[ \tan\delta_l(E)=-\Gamma /2(E-E_0), \label{10.3.30}\]

כך \[ \delta_l(E_0)=\pi/2, \label{10.3.31}\]

וחתך הפיזור מגיע לערכו המרבי האפשרי, כזכור

\[ \sigma =4\pi\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1)|f_l(k)|^2=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1)\sin^2\delta_l, \label{10.3.32}\]

לכן

\[ \sigma^{max}_l=\frac{4\pi}{k^2}(2l+1) .\label{10.3.33}\]

עבור תהודה צרה (קטנה\(\Gamma\)) הסטת הפאזה \(\delta_l(E)\) עוברת במהירות \(0\) מ-אל \(\pi\) ככל שהאנרגיה מוגברת\(E_0\). רוב הווריאציה מתרחשת בטווח אנרגיה \(\Gamma\) של\(E_0\), \(\Gamma\) נקרא רוחב התהודה. אם התהודה היא על גבי שינוי שלב רקע משתנה לאט\(\delta\), אז זה גורם לעלייה מ \(\delta\) אל\(\delta+\pi\). זה יעבור \(0\) או\(\pi\), בהתאם לסימן הראשוני של\(\delta\), כך שהפיזור המרבי בשינוי פאזה \(\pi/2\) ישייך אליו אנרגיה שבה יש פיזור אפס. עבור רקע משמעותי\(\delta\), האפס יכול להיות קרוב לשיא, כפי שמודגם להלן: