10.4: חלקיקים זהים- סימטריה ופיזור

מבוא

עבור שני חלקיקים זהים המוגבלים לתיבה חד ממדית, קבענו קודם לכן כי פונקציית הגל הדו-חלקיקית המנורמלת\(\psi(x_1,x_2)\), הנותנת את ההסתברות למצוא בו זמנית חלקיק אחד באורך אינסופי ב \(dx_1\) - \(x_1\) ו אחר \(dx_2\) ב- \(x_2\) as\(|\psi(x_1,x_2)|^2dx_1dx_2\), הגיוני רק אם\(|\psi(x_1,x_2)|^2=|\psi(x_2,x_1)|^2\), מכיוון שאיננו יודעים איזה משני החלקיקים הבלתי ניתנים להבחנה אנו מוצאים היכן. מכאן נובע שישנן שתי סימטריות אפשריות של פונקציות גל: \(\psi(x_1,x_2)=\psi(x_2,x_1)\) או. \(\psi(x_1,x_2)=-\psi(x_2,x_1)\) מסתבר שאם לשני חלקיקים זהים יש פונקציית גל סימטרית במצב כלשהו, לחלקיקים מסוג זה תמיד יש פונקציות גל סימטריות, והם נקראים בוזונים. (אם במצב אחר הייתה להם פונקציית גל אנטי-סימטרית, אז סופרפוזיציה לינארית של אותם מצבים לא תהיה סימטרית ולא אנטי-סימטרית, ולכן לא תוכל לספק.) \(|\psi(x_1,x_2)|^2=|\psi(x_2,x_1)|^2\) באופן דומה, חלקיקים בעלי פונקציות גל אנטי-סימטריות נקראים פרמיונים. (למעשה, היינו יכולים באופן עקרוני\(\psi(x_1,x_2)=e^{i\alpha}\psi(x_2,x_1)\), \(\alpha\) עם שלב קבוע, אבל אז לא נחזור לפונקציית הגל המקורית על החלפת החלקיקים פעמיים. לכמה תיאוריות דו-ממדיות המשמשות לתיאור אפקט הול הקוונטי יש למעשה עירורים מסוג זה, הנקראים אניונים, אך כל החלקיקים הרגילים הם בוזונים או פרמיונים.)

כדי לבנות פונקציות גל לשלושה פרמיונים או יותר, אנו מניחים תחילה שהפרמיונים אינם מתקשרים זה עם זה, והם מוגבלים על ידי פוטנציאל בלתי תלוי בספין, כגון שדה קולומב של גרעין. המילטוניאן יהיה אז סימטרי במשתני הפרמיון, \[ H=\vec{p}^2_1/2m+\vec{p}^2_2/2m+\vec{p}^2_3/2m+\dots +V(\vec{r}_1)+V(\vec{r}_2)+V(\vec{r}_3)+\dots \tag{10.4.1}\]

והפתרונות של משוואת שרדינגר הם תוצרים של פונקציות עצמיות של המילטוניאן החלקיק היחיד. \(H=\vec{p}^2/2m+V(\vec{r})\) עם זאת, למוצרים אלה, למשל\(\psi_a(1)\psi_b(2)\psi_c(3)\), אין את המאפיין האנטי-סימטרי הנדרש. כאן \(a,b,c,\dots\) סמן את המצבים העצמיים של החלקיקים הבודדים, \(1, 2, 3, \dots\) וציין הן קואורדינטות חלל והן ספין של חלקיקים בודדים, כך ש -1 מייצג. \((\vec{r}_1,s_1)\) האנטי-סימטריה הדרושה לחלקיקים 1, 2 מושגת על ידי חיסור אותה פונקציית גל מוצר כאשר החלקיקים 1 ו -2 מוחלפים, ולכן מוחלף על ידי \(\psi_a(1)\psi_b(2)\psi_c(3)-\psi_a(2)\psi_b(1)\psi_c(3)\) התעלמות מנורמליזציה \(\psi_a(1)\psi_b(2)\psi_c(3)\) כוללת לעת עתה.

אך כמובן שצריך לבצע אנטי-סימטריה של פונקציית הגל ביחס לכל חילופי החלקיקים האפשריים, ולכן עבור 3 חלקיקים עלינו להוסיף יחד את כל 3! תמורות של 1, 2, 3 במצב \(a,b,c\) עם גורם -1 לכל חילופי חלקיקים הדרושים כדי להגיע לסדר מסוים מההזמנה המקורית של 1 אינץ'\(a\), 2 אינץ' ו-3 אינץ'. \(b\) \(c\) למעשה, סכום כזה על תמורות הוא בדיוק ההגדרה של הקובע, ולכן, עם גורם הנורמליזציה המתאים: \[ \psi_{abc}(1,2,3)=\frac{1}{\sqrt{3!}}\begin{vmatrix} \psi_a(1)& \psi_b(1)& \psi_c(1) \\ \psi_a(2)& \psi_b(2)& \psi_c(2) \\ \psi_a(3)& \psi_b(3)& \psi_c(3) \end{vmatrix} \tag{10.4.2}\]

כאשר \(a,b,c\) תווית שלושה מצבים קוונטיים (שונים) ו -1, 2, 3 מסמנים את שלושת הפרמיונים. הצורה הקובעת מבהירה את האנטי-סימטריה של פונקציית הגל ביחס להחלפת שניים מהחלקיקים, שכן החלפת שתי שורות של דטרמיננט מכפילה אותה ב -1.

אנו רואים גם מהצורה הקובעת כי שלושת המצבים \(a,b,c\) חייבים להיות שונים, שכן אחרת שתי עמודות יהיו זהות, והקובע יהיה אפס. זהו רק עקרון ההדרה של פאולי: אין שני פרמיונים יכולים להיות באותו מצב. למרות שפונקציות הגל הדטרמיננטליות הללו (הנקראות לפעמים דטרמיננטים של סלייטר) נכונות בהחלט רק לפרמיונים שאינם מקיימים אינטראקציה, הן התחלה שימושית בתיאור אלקטרונים באטומים (או במתכת), כאשר דחיית האלקטרונים-אלקטרונים משוערת על ידי פוטנציאל של חלקיק יחיד.. לדוגמה, שדה קולומב באטום, כפי שנראה על ידי האלקטרונים החיצוניים, מוגן חלקית על ידי האלקטרונים הפנימיים, \(V(r)\) וניתן לבנות מתאים באופן עקבי, על ידי חישוב המצבים העצמיים של החלקיקים הבודדים ומציאת צפיפות המטען הקשורה אליהם.

פונקציות גל חלל וספין

נניח שיש לנו שני אלקטרונים בפוטנציאל בלתי תלוי ספין כלשהו \(V(r)\) (למשל באטום). אנו יודעים שפונקציית גל שני האלקטרונים היא אנטי סימטרית. כעת, למילטוניאן אין תלות בספין, ולכן עלינו להיות מסוגלים לבנות קבוצה של מצבים עצמיים משותפים של המילטוניאן, הספין הכולל והמרכיב של הספין הכולל. \(z\)

עבור שני אלקטרונים, ישנם ארבעה מצבי בסיס בחלל הספין. המצבים העצמיים של מצב \(S_z\) הסינגלט \(S\) והם \[ \chi_S(s_1,s_2)  =  |S_{tot}=0,S_z=0\rangle   =  (1/\sqrt{2})(|\uparrow\downarrow\rangle -|\downarrow\uparrow\rangle ) \tag{10.4.3}\]

ומדינות השלישייה \[ \chi^1_T(s_1,s_2)  =  |1,1\rangle   =  |\uparrow\uparrow\rangle ,\;\; |1,0\rangle =  (1/\sqrt{2})(|\uparrow\downarrow\rangle +|\downarrow\uparrow\rangle ),\;\; |1,-1\rangle =|\downarrow\downarrow\rangle \tag{10.4.4}\]

כאשר החץ הראשון ב- ket מתייחס לסיבוב של חלקיק 1, השני לחלקיק 2.

ניכר בבדיקה כי פונקציית גל הספין הסינגלט היא אנטי-סימטרית בשני החלקיקים, השלישייה סימטרית. לפונקציית הגל הכוללת של שני האלקטרונים במצב עצמי משותף של \(S, S_z\) והמילטוניאן \(H\) יש את הצורה: \[ \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2,s_1,s_2)=\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2)\chi(s_1,s_2) \tag{10.4.5}\]

\(\Psi\)וחייב להיות אנטי-סימטרי. מכאן נובע כי זוג אלקטרונים במצב ספין יחיד חייב להיות בעל פונקציית גל מרחבי סימטרי, \(\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2)=\psi(\vec{r}_2, \vec{r}_1),\) ואילו לאלקטרונים במצב השלישייה, כלומר עם הסיבובים שלהם מקבילים, יש פונקציית גל מרחבי אנטי-סימטרי.

השלכות דינמיות של סימטריה

דרישת אנטי-סימטריה כוללת זו קובעת למעשה את התכונות המגנטיות של האטומים. המומנט המגנטי של האלקטרון מיושר עם הסיבוב שלו, ולמרות שמשתני הספין אינם מופיעים בהמילטוניאן, האנרגיה של המצבים העצמיים תלויה בכיוון הספין היחסי. זה נובע מאנרגיית הדחייה האלקטרוסטטית בין האלקטרונים. במצב האנטי-סימטרי המרחבי, לשני האלקטרונים יש אפס הסתברות להיות באותו מקום, והם בממוצע רחוקים יותר זה מזה מאשר במצב הסימטרי המרחבי. לכן, הדחייה האלקטרוסטטית מעלה את האנרגיה של המצב הסימטרי במרחב מעל לזה של המצב האנטי-סימטרי במרחב. מכאן נובע שבמצב האנרגיה הנמוך יותר יש את הסיבובים המצביעים לאותו כיוון. טיעון זה עדיין תקף ליותר משני אלקטרונים, ומוביל לכלל הונד למגנטציה של קליפות פנימיות מלאות לחלוטין של אלקטרונים באטומי מתכת מעבר ואדמות נדירות: אם הקליפה מלאה למחצה או פחות, כל הסיבובים מצביעים לאותו כיוון. זהו הצעד הראשון בהבנת הפרומגנטיות.

דוגמה נוספת לחשיבות האנטי-סימטריה הכוללת של תפקוד הגל עבור פרמיונים מסופקת על ידי החום הספציפי של גז מימן. מתברר שזה תלוי במידה רבה בשאלה האם לשני הפרוטונים (ספין חצי) במולקולת H ₂ יש את הסיבובים שלהם מקבילים או אנטי מקבילים, למרות שיישור זה כרוך רק באנרגיית אינטראקציה זעירה מאוד. אם סיבובי הפרוטונים הם אנטי מקבילים, כלומר במצב הסינגלט, המולקולה נקראת parahydrogen. מצב השלישייה נקרא אורתוהידרוגן. שני הגזים הנבדלים הללו יציבים להפליא - בהיעדר זיהומים מגנטיים, מעברי פרה-אורטו נמשכים שבועות.

אנרגיית האינטראקציה בפועל של סיבובי הפרוטון היא כמובן זניחה לחלוטין בחום הספציפי. התרומות החשובות לחום הספציפי הן מונח האנרגיה הקינטית הרגיל, ואנרגיית הסיבוב של המולקולה. זה המקום בו פונקציית הגל האנטי-סימטרי הכוללת (חלל × ספין) עבור הפרוטונים ממלאת תפקיד. נזכיר כי השוויון של מדינה עם תנע זוויתי סיבובי \(l\) הוא\((-1)^l\). לכן, פרהידרוגן, עם פונקציית גל ספין פרוטון אנטי-סימטרי, חייב להיות בעל פונקציית גל חלל פרוטון סימטרית, ולכן יכולים להיות רק ערכים אחידים של המומנטום הזוויתי הסיבובי. לאורתוהידרוגן יכולים להיות ערכים מוזרים בלבד. האנרגיה של רמת הסיבוב עם המומנטום הזוויתי \(l\) היא\(E^{rot}_l=\hbar^2l(l+1)/I\), כך שלשני סוגי גז המימן יש קבוצות שונות של רמות אנרגיה סיבוביות, וכתוצאה מכך חימום ספציפי שונה.

סימטריה של פונקציות גל שלושה אלקטרונים

הדברים נעשים מסובכים יותר כשאנחנו הולכים לשלושה אלקטרונים. יש כעת 2 ³ = 8 מצבי בסיס במרחב הספין. ארבעה מהם מטופלים על ידי מצב ספין 3/2 כאשר כל הסיבובים מצביעים לאותו כיוון. ככל הנראה זהו מצב סימטרי, ולכן יש להכפיל אותו בפונקציית גל מרחבי אנטי-סימטרי, קובע. אבל ארבע המדינות האחרות הן שני זוגות של \(1/2\) מצבי ספין כוללים. הם אורתוגונליים למצב הסיבוב הסימטרי 3/2, כך שהם לא יכולים להיות סימטריים, אך הם גם לא יכולים להיות אנטי-סימטריים, מכיוון שבכל מצב כזה שניים מהסיבובים חייבים להצביע לאותו כיוון! דוגמה למצב כזה (בעקבות Baym, עמוד 407) היא \[ \chi(s_1,s_2,s_3)  =   |\uparrow_1\rangle (1/\sqrt{2})(|\uparrow_2\downarrow_3\rangle -|\downarrow_2\uparrow_3\rangle ). \tag{10.4.6}\]

ככל הנראה, יש להכפיל זאת בפונקציית גל מרחבית סימטרית ב -2 ו -3, אך כדי לקבל פונקציית גל כוללת עם אנטי-סימטריה כוללת יש להוסיף מונחים נוספים: \[ \Psi(1,2,3)=\chi(s_1,s_2,s_3)\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2,\vec{r}_3)+\chi(s_2,s_3,s_1)\psi(\vec{r}_2, \vec{r}_3,\vec{r}_1)+\chi(s_3,s_1,s_2)\psi(\vec{r}_3,\vec{r}_1, \vec{r}_2) \tag{10.4.7}\]

(מתוך ביים). דרישת פונקציית הגל המרחבי \(\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2,\vec{r}_3)\) להיות סימטרית ב- 2, 3 מספיקה כדי להבטיח את האנטי-סימטריה הכוללת של פונקציית הגל הכוללת. \(\Psi\) חובבי חלקיקים עשויים להיות מעוניינים לציין כי פונקציות בדיוק כאלה מתעוררות בבניית פונקציית גל הספין/הטעם עבור הפרוטון במודל הקווארק (Griffiths, מבוא לחלקיקים יסודיים, עמוד 179).

עבור יותר משלושה אלקטרונים, שיקולים דומים מתקיימים. הסימטריות המעורבות של פונקציות הגל המרחבי ופונקציות גל הספין שיוצרות יחד פונקציית גל אנטי-סימטרית לחלוטין הן מורכבות למדי, ומתוארות על ידי דיאגרמות צעירות (או טבלאות). יש מבוא פשוט, כולל הכללה ל- SU (3), בסקוראי, סעיף 6.5. ראו גם \(\S\) 63 של לנדאו וליפשיץ.

פיזור חלקיקים זהים

כתרגיל ראשוני, שקול את התמונה הקלאסית של פיזור בין שני חלקיקים טעונים חיוביים, למשל \(\alpha\) - חלקיקים, הנצפים במרכז מסגרת המסה. אם \(\alpha\) מתגלה יוצא בזווית \(\theta\) לנתיב ההטמעה \(\alpha\) #1, הוא יכול להיות מוסט דרכו #1\(\theta\), או #2 מוסט דרכו. \(\pi-\theta\) (ראה איור). באופן קלאסי, יכולנו לדעת באיזה מהם מדובר על ידי צפייה בהתנגשות בזמן שהתרחשה, ומעקב אחר מסלול.

עם זאת, בתהליך פיזור מכני קוונטי, איננו יכולים לעקוב אחר החלקיקים אלא אם כן נפציץ אותם בפוטונים בעלי אורך גל נמוך משמעותית ממרחק הגישה הקרובה ביותר. זה בדיוק כמו לזהות אלקטרון במקום מסוים כשיש שני אלקטרונים בתיבה חד ממדית: משרעת ההסתברות למציאת \(\alpha\) יציאה בזווית \(\theta\) לכיוון הכניסה של אחד מהם היא סכום המשרעת (לא סכום ההסתברויות!) לפיזור דרך \(\theta\) ו\(\pi-\theta\).

כתיבת פונקציית גל הפיזור האסימפטוטית בצורה הסטנדרטית לפיזור ממטרה קבועה, \[ \psi(\vec{r})\approx e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} \tag{10.4.8}\]

פונקציית גל שני החלקיקים במרכז מסגרת המסה, מבחינת הקואורדינטה היחסית, ניתנת על ידי סימטריה: \[ \psi(\vec{r})\approx e^{ikz}+e^{-ikz}+(f(\theta)+f(\pi-\theta))\frac{e^{ikr}}{r}. \tag{10.4.9}\]

כיצד משפיעה סימטריית החלקיקים על קצב הפיזור בפועל בזווית\(\theta\)? אם ניתן היה להבחין בין החלקיקים, חתך הדיפרנציאלי היה \[ \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{distinguishable}=|f(\theta)|^2+|f(\pi-\theta)|^2, \tag{10.4.10}\]

אבל קוונטית מכנית \[ \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)=|f(\theta)+f(\pi-\theta)|^2. \tag{10.4.11}\]

זה עושה הבדל גדול! לדוגמה, לפיזור דרך 90°, שם\(f(\theta)=f(\pi-\theta)\), קצב הפיזור המכני הקוונטי הוא כפול מהתחזית הקלאסית (ניתנת להבחנה).

יתר על כן, אם נעשה את ההרחבה הסטנדרטית של משרעת הפיזור \(f(\theta)\) במונחים של גלים חלקיים, \[ f(\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)a_lP_l(\cos\theta) \tag{10.4.12}\]

אז \[ \begin{matrix} f(\theta)+f(\pi-\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)a_l(P_l(\cos\theta)+P_l(cos(\pi-\theta))) \\ =\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)a_l(P_l(\cos\theta)+P_l(-\cos\theta)) \end{matrix} \tag{10.4.13}\]

ומכיוון \(P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)\) שהפיזור מתרחש רק במצבי גל חלקיים אפילו. זה אותו דבר כמו לומר שתפקוד הגל הכולל של שני בוזונים זהים הוא סימטרי, כך שאם הם נמצאים במצב עצמי של מומנטום זוויתי כולל, \(P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)\) ממנו צריך להיות מצב של שוויון. \(l\)

עבור פרמיונים במצב ספין אנטי-סימטרי, כגון פיזור פרוטון-פרוטון כששני סיבובי הפרוטון יוצרים סינגלט, פונקציית הגל המרחבי היא סימטרית, והטיעון זהה למקרה הבוזון לעיל. עם זאת, עבור פרוטונים ספין מקבילים, פונקציית הגל המרחבי צריכה להיות אנטי-סימטרית, ומשרעת הפיזור תהיה אז. \(f(\theta)-f(\pi-\theta)\) במקרה זה יש אפס פיזור ב 90°!

שים לב שעבור חלקיקי מסה שווים (לא רלטיביסטיים), זווית הפיזור במרכז מסגרת המסה היא כפולה מזווית הפיזור במסגרת המטרה הקבועה (מעבדה). ניתן לראות זאת בקלות בתרשים שלהלן. ארבעת החצים השחורים באורך שווה, שניים פנימה, שניים החוצה, ויוצרים X, הם מרכז המומנטה ההמונית. מומנטה המעבדה ניתנת על ידי הוספת החץ המנוקד הכחול (באותו אורך) לכל אחד, הפחתת אחת מהמומנטה הבולטת לאפס, ומתן מומנטה המעבדה (החץ האדום) (נעקרת מעט לצורך הבהירות). מומנטה המעבדה היוצאת הם האלכסונים של מעוינים (מקביליות צד שווה), ומכאן בזוויות ישרות וחוצים את מרכז זוויות המסה של הפיזור.