9.7: כימות קרינה

מבוא

בניתוח ההשפעה הפוטואלקטרית במימן, הפקנו את קצב היינון של אטום מימן בגל אלקטרומגנטי מונוכרומטי בעל חוזק נתון, והתוצאה שהגזרנו תואמת היטב את הניסוי. נזכיר כי האינטראקציה המילטוניאן הייתה

\[ \begin{matrix} H^1=\left(\dfrac{e}{mc}\right)cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)\vec{A}_0\cdot\vec{p}\\ =\left(\dfrac{e}{2mc}\right)(e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}+e^{-i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)})\vec{A}_0\cdot\vec{p}. \end{matrix} \label{9.71}\]

והורדנו את \(e^{i\omega t}\) המונח כי הוא יתאים לאטום שנותן אנרגיה לשדה, והאטום שלנו כבר היה במצב הקרקע שלו. עם זאת, אם נעבור את אותו חישוב עבור אטום שלא בתחילה במצב הקרקע, אז אכן גל אלקטרומגנטי בתדר מתאים יגרום לקצב מעבר למצב אנרגיה נמוך יותר, \(e^{i\omega t}\) והוא המונח הרלוונטי.

אבל זה לא כל הסיפור. אטום במצב נרגש יפלט בסופו של דבר פוטון ויעבור למצב אנרגיה נמוך יותר, גם אם יש אפס שדה חיצוני. הניתוח שלנו עד כה אינו מנבא זאת - ברור שהאינטראקציה שנכתבה לעיל אינה אפס רק אם \(\vec{A}\) היא לא אפס! אז מה אנחנו מפספסים?

בעיקרו של דבר, התשובה היא שהשדה האלקטרומגנטי עצמו מכומת. כמובן, אנחנו יודעים את זה, זה מורכב מפוטונים. נזכיר את הניתוח המוצלח של פלאנק לקרינה בקופסה: הוא שקל את כל המצבים הרגילים האפשריים לקרינה, וטען כי מצב אנרגיה \(\omega\) יכול רק לצבור או לאבד אנרגיה בכמויות. \(\hbar\omega\) זה הוביל לנוסחה הנכונה לקרינת גוף שחור, ואז איינשטיין הוכיח שאותה הנחה, באותה מידה\(\hbar\), היוותה את האפקט הפוטואלקטרי. כעת אנו מבינים שאופני תנודה אלה של קרינה הם רק מתנדים הרמוניים פשוטים, עם אנרגיה\((n+\dfrac{1}{2})\hbar\omega\), וכמו שלמסה על מתנד קפיץ יש תנודות במצב הקרקע, \(\langle x\rangle =0\) אבל\(\langle x^2\rangle \neq 0\), עבור מצבים אלקטרומגנטיים אלה אבל. \(\langle \vec{A}\rangle =0\) \(\langle \vec{A}^2\rangle \neq 0\)

השדה האלקטרומגנטי עצמו מכומת.

תנודות אלה \(\vec{A}\) פירושן שהאינטראקציה המילטוניאן אינה אפסית לרגע, ולכן יכולה לגרום למעבר.

לכן, כדי למצוא את קצב המעבר הספונטני (כפי שהוא נקרא) לאטום בשדה אלקטרומגנטי אפס (קלאסית), עלינו לבטא את השדה האלקטרומגנטי במונחים של מצבים רגילים (ניקח קופסה גדולה), ואז לכמת מצבים אלה כמתנדים הרמוניים פשוטים קוונטיים, המציגים מפעילי העלאה והורדה של אופרטורים עבור כל מתנד (אלה יהיו מפעילי יצירת פוטונים והשמדה) ואז בונים את הביטוי המפעיל הקוונטי המתאים להכניס \(\vec{A}\) לאלקטרונים אינטראקציית קרינה המילטוניאן.

החזיות והקטים יהיו כעת מצבים קוונטיים של האלקטרון ושדה הקרינה, בניגוד לניתוח שלנו של השדה הקלאסי לעיל, שבו שדה הקרינה לא השתנה. (כמובן שזה קרה, באמת, בכך שהוא איבד פוטון אחד, אבל בגבול הקלאסי יש אינסוף פוטונים בכל מצב, כך שזה לא יירשם.)

אנו משתמשים במד קולומב מספק \(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0\)

\[\nabla^2\vec{A}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}=0.\]

אם ניקח לנוחות תנאי גבול תקופתיים בתיבה הגדולה, אנו יכולים לכתוב \(\vec{A}\) (קלאסית) כסדרת פורייה ב t = 0:

\[ \vec{A}(\vec{r},t=0)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(0)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(0)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.2}\]

תלות הזמן ניתנת על ידי הכנסת גל המישור כולו:\(e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\to e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\), איזו תלות בזמן יכולה להילקח למקדם,\(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\), כך

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.3}\]

הווקטור \(\vec{\varepsilon}_{\alpha}\) הוא הקיטוב של גל המישור. זה באותו כיוון כמו השדה החשמלי. למעשה זה משתנה עם\(\vec{k}\), כי מ\(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0\), זה מאונך ל\(\vec{k}\). כלומר, עבור נתון \(\vec{k}\) יש שני קיטוב עצמאי. שכן \(\vec{k}\) לאורך ציר z, הם יכולים להיות לאורך צירי x -ו- y, אלה ייקראו קיטוב ליניארי, והיא הגישה הסטנדרטית. אבל אנחנו יכולים גם לקחת את הווקטורים\((1/\sqrt{2})(1, \pm i, 0)\). אלה תואמים לקיטוב מעגלי: שווה x - ו- y -רכיבים אך עם רכיב y 90 מעלות קדימה בשלב. אתה יכול לזהות את הווקטורים \((1/\sqrt{2})(1, \pm i, 0)\) כווקטורים העצמיים של מפעיל הסיבוב סביב ציר z - הקורה המקוטבת המעגלית נושאת תנע זוויתי, \(\pm \hbar\) לכל פוטון, המכוון לאורך כיוון התנועה.

צפיפות האנרגיה \(\dfrac{1}{8\pi}(\overline{|\vec{E}|^2+|\vec{B}|^2})\) יכולה לבוא לידי ביטוי כסכום על פני \((\vec{k},\vec{\varepsilon})\) המצבים הבודדים.

כתיבת השדות החשמליים והמגנטיים מבחינת הפוטנציאל הווקטורי,

\[ \vec{E}=-(1/c)\partial \vec{A}/\partial t,\; \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}. \label{9.7.4}\]

היכן

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.5}\]

ובכך לבטא את האנרגיה הכוללת

\[ \dfrac{V}{8\pi} (\overline{|\vec{E}|^2+|\vec{B}|^2})=\dfrac{V}{4\pi} \left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2\overline{|\vec{A}|^2} \label{9.7.6}\]

מבחינת \((\vec{k},\vec{\varepsilon})\) המשרעת\(c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t),  c_{\vec{k},\alpha}(t)\), ואז שילוב צפיפות האנרגיה על כל הקופסה הגדולה מונחי הצלב נעלמים מהאורתוגונליות של המצבים השונים והאנרגיה הכוללת בתיבה - המילטוניאן - היא:

\[ H=\dfrac{1}{2\pi} \sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha}. \label{9.7.7}\]

שים לב שלמרות שהמילטוניאן הוא (כמובן) בלתי תלוי בזמן, המקדמים \(c_{\vec{k},\alpha}\) כאן תלויים בזמן,. \(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\)

אבל זה זהה רשמית לקבוצה של מתנדים הרמוניים פשוטים! נזכיר כי עבור המתנד הקלאסי,\(p^2+(m\omega x)^2=2mE\), לווקטור \(z=m\omega x+ip\) יש תלות בזמן\(z(t)=z_0e^{-i\omega t}\), ואנרגיית המתנד פרופורציונאלית ל \(z^{\ast}z\) (\(x,p\)הם המשתנים המצומדים הרגילים). ברור \(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) שכאן תואם\(z(t)\): אותה תלות בזמן, אותו המילטוניאן. לכן החלקים האמיתיים והדמיוניים של \(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) חייבים להיות גם משתנים מצומדים, ולכן ניתן לכמת אותם בדיוק כמו למתנד ההרמוני הפשוט.

מ

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.8}\]

אנו רואים כי החלק האמיתי של \(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) בעצם נותן את התרומה של\(\vec{k}\), \(\alpha\) ובזכירת התלות בזמן\(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\), החלק הדמיוני הוא פרופורציונלי לתרומה\(\partial \vec{A}(\vec{r},t)/\partial t\), כלומר, ל\(\vec{E}(\vec{r},t)\). בעיקרו של דבר, אם כן\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\), החלק האמיתי של\(\vec{k}\), פרופורציונלי לרכיב \(\alpha\) פורייה של פוטנציאל הווקטור\(\vec{A}\), הוא מה שמתאים לתזוזה x במתנד הרמוני פשוט 1-D, והחלק הדמיוני של\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\), רכיב \(\alpha\) פורייה של \(\vec{k}\)\(\vec{E}\), תואם את המומנטום במתנד ההרמוני הפשוט.

כדי לבצע את הקוונטיזציה, עלינו לבטא את המילטוניאן הקלאסי

\[ H=\dfrac{1}{2\pi} \sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha} \label{9.7.9}\]

בצורה

\[ H=\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\dfrac{1}{2}(P^2_{\vec{k},\alpha}+\omega^2Q^2_{\vec{k},\alpha}) \label{9.7.10}\]

\(P_{\vec{k},\alpha}, Q_{\vec{k},\alpha}\)בהיותם החלקים הדמיוניים והאמיתיים של משרעת המתנד \(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) (בקנה מידה מתאים) במקביל בדיוק לטיפול הסטנדרטי במתנד ההרמוני הפשוט:

\[ Q_{\vec{k},\alpha}=\dfrac{1}{c\sqrt{4\pi}}(c_{\vec{k},\alpha}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}), P_{\vec{k},\alpha}=-i\omega c4\pi √(c_{\vec{k},\alpha}-c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}). \label{9.7.11}\]

מהתלות בזמן\(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\), משתנים (קלאסיים) אלה \(P,Q\) הם קנוניים:

\[ \dfrac{\partial H}{\partial Q_{\vec{k},\alpha}}=-\dot{P}_{\vec{k},\alpha},\; \dfrac{\partial H}{\partial P_{\vec{k},\alpha}}=\dot{Q}_{\vec{k},\alpha}. \label{9.7.12}\]

כעת ניתן לכמת את המילטוניאן על ידי הנוהל הסטנדרטי. זוגות המשתנים הקנוניים \(P,Q\) (זוג אחד לכל מצב\(\vec{k},\alpha\)) הופכים לאופרטורים, סוגרי הפואסון הופכים לקומוטטורים, הסולם נקבע על ידי הקבוע של פלאנק:

\[ [Q_{\vec{k},\alpha},P_{\vec{k}′,\alpha′}]=i\hbar\delta_{\vec{k},\vec{k}′}\delta_{\alpha,\alpha′}. \label{9.7.13}\]

השלב הבא הוא לבטא את האינטראקציה של קרינת האלקטרונים \((e/mc)\vec{A}\cdot\vec{p}\) במונחים של מפעילי שדה אלה. מכיוון שהשדה האלקטרומגנטי מכמת, האינטראקציה עם האלקטרון חייבת להיות שהאלקטרון פולט או סופג קוונטים (פוטונים). זה מיוצג באופן ישיר ביותר על ידי כתיבת האינטראקציה במונחים של יצירה והשמדה (העלאה והורדה) מפעילים:

\[ \begin{matrix} a_{\vec{k},\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}}(\omega Q_{\vec{k},\alpha}+iP_{\vec{k},\alpha})\\ a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}}(\omega Q_{\vec{k},\alpha}-iP_{\vec{k},\alpha}) \end{matrix} \label{9.7.14}\]

אלה מספקים\([a,a^{\dagger}]=1\).

(שימו לב שמפעיל ההשמדה \(a_{\vec{k},\alpha}\) אינו אלא ייצוג המפעיל של המשרעת המורכבת הקלאסית\(c_{\vec{k},\alpha}\), עם גורם נוסף שיהפוך אותו לחסר ממדים,. \(c_{\vec{k},\alpha}\to c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}} a_{\vec{k},\alpha}\) דנו באותה שקילות בהרצאה על מצבים קוהרנטיים, שהיו מצבים עצמיים של מפעיל ההשמדה.)

בעקבות פיתוח המתנד ההרמוני הפשוט הסטנדרטי, למפעיל \(\hat{n}_{\vec{k},\alpha}=a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}a_{\vec{k},\alpha}\) יש מצבים עצמיים עם ערכים עצמיים שלמים\(\hat{n}|n\rangle =n|n\rangle\), התרומה למילטוניאן מהמצב היא צודקת, ו,. \(\vec{k}\) \(\alpha\) \(H_{\vec{k},\alpha}=(\hat{n}_{\vec{k},\alpha}+\dfrac{1}{2})\hbar\omega\) \(a^{\dagger}|n\rangle =\sqrt{n+1}|n+1\rangle\) \(a|n\rangle =\sqrt{n}|n-1\rangle\)

השורה התחתונה היא: התרחבות גל המישור הקלאסי של\(\vec{A}\), עם אמפליטודות גל \(c_{\vec{k},\alpha}(t)\)

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.15}\]

מוחלף על קוונטיזציה על ידי הרחבת מפעיל מקבילה, משרעת הגל \(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) הופכת למפעיל ההשמדה (בקנה מידה):

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}(a_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} +a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}). \label{9.7.16}\]

ביקור מחדש באפקט הפוטואלקטרי, כעת עם שדה כמותי

נזכיר כעת כי לצורך האפקט הפוטואלקטרי במימן, בעקבות שנקר כתבנו את השדה האלקטרומגנטי המכניס. \(\vec{A}(\vec{r},t)=\vec{A} _0\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)\) המרכיב הרלוונטי היחיד היה זה הולך כמו\(e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\). בחלק זה, בעקבות שימוש סטנדרטי (כולל שנקר) אנו לוקחים שדה הטבעה \(\vec{A}_0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\) - שינוי מעצבן בפקטור 2, אך ככל הנראה בלתי נמנע אם אנו רוצים לעקוב אחר האפקט הפוטואלקטרי הלא קוונטי של שנקר, ואז המשך למקרה הכמותי. בכל מקרה, זכור את אלמנט המטריצה לחישוב הקצב היה (עם גל נכנס עכשיו) \(\vec{A}=\vec{A} _0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\)

\[ \langle \vec{k}_f|\left(\dfrac{e}{mc}\right)\vec{A} _0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\cdot\vec{p}|100\rangle \label{9.7.17}\]

על כימות השדה, מסוף הסעיף הקודם

\[ \vec{A}_0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}=\dfrac{c_{\vec{k},\alpha}(0)\vec{\varepsilon}}{\sqrt{V}}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\to c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}a_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}}{\sqrt{V}}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} \label{9.7.18}\]

(ה - c בהתחלה כאן הוא מהירות האור).

כעת, כאשר משרעת השדה האלקטרומגנטי באה \(\vec{A}_0\) לידי ביטוי כמפעיל השמדה, יש לספק חזיות וחבטים מתאימים (מספר פוטון) כדי שהוא יפעל. מצב הפוטון הרלוונטי הוא\(\vec{k}\),\(\alpha\), ולכן תיוג מספר הפוטון המתאים קובע \(|n_{\vec{k},\alpha}\rangle =|n\rangle_{\vec{k},\alpha}\) את אלמנט המטריצה שחייב להופיע בכלל הזהב הוא

\[ \begin{matrix} (\langle \vec{k}_f|\otimes\langle n-1|_{\vec{k},\alpha})\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\vec{A}_0\cdot\vec{p}(|100\rangle \otimes|n\rangle_{\vec{k},\alpha})\\ =\langle \vec{k}_f;n-1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}a_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|100;n\rangle. \end{matrix} \label{9.7.19}\]

(הסרנו את\(e^{i\omega t}\), שרק תורם \(\delta\) לפונקציה בחוק הזהב.)

מאז\(a_{\vec{k},\alpha}|n\rangle_{\vec{k},\alpha}=\sqrt{n_{\vec{k},\alpha}}|n-1\rangle_{\vec{k},\alpha}\), ברור שכימות הגל האלקטרומגנטי הנכנס מסתכם בהחלפת הפוטנציאל הווקטורי הקלאסי לגל זה

\[ \vec{A}_0\to c\vec{\varepsilon}\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar n_{\vec{k},\alpha}}{\omega V}} \label{9.7.20}\]

ברמת כיבוש הפוטונים האנרגיה (\(n_{\vec{k},\alpha}\)המקרוסקופית) במצב יחיד זה הופכת \(\dfrac{1}{2\pi} \left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha}\)

\[ \dfrac{1}{2\pi} \left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^2\dfrac{2\pi \hbar}{\omega} a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}a_{\vec{k},\alpha}=n_{\vec{k},\alpha}\hbar\omega. \label{9.7.21}\]

(נזכיר שהמילטוניאן עבור השדה האלקטרומגנטי הקלאסי הוא \(H=\dfrac{1}{2\pi} \sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2 c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha}\) מבחינת ה- \(c_{\vec{k},\alpha}\)'s.)

מאת\(a|n\rangle =\sqrt{n}|n-1\rangle\), אלמנט מטריצת כלל הזהב

\[ \langle \vec{k}_f;n-1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}a_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|100;n\rangle \label{9.7.22}\]

הוא פרופורציונלי ל\(\sqrt{n_{\vec{k},\alpha}}\), כך שקצב כלל הזהב, הכולל את הריבוע של אלמנט המטריצה, יהיה פרופורציונלי בדיוק ל\(n_{\vec{k},\alpha}\). אבל מ\(\vec{A}_0\to c\vec{\varepsilon}\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar n_{\vec{k},\alpha}}{\omega V}}\), זה פרופורציונלי ל\(|\vec{A}_0|^2\), ולמעשה קצב ספיגת הקרינה הקוונטי שווה בדיוק לקצב הקלאסי על פני כל טווח עוצמות השדה.

פליטה ספונטנית

עם זאת, התכתבות מדויקת זו עם התוצאה הקלאסית אינה מתקיימת לפליטת פוטונים! במקרה כזה, האטום מוסיף פוטון למצב שכבר מכיל n פוטונים, נניח, ואלמנט המטריצה הרלוונטי הוא\(a^{\dagger}|n\rangle =\sqrt{n+1}|n+1\rangle\), כך שהווקטור הקלאסי המקביל \(\vec{A}_0\) הוא\(c\sqrt{\dfrac{(n_{\vec{k},\alpha}+1)2\pi \hbar}{\omega V}}\vec{\varepsilon}_{\alpha}\). זה לא אפס גם אם \(n_{\vec{k},\alpha}\) הוא אפס - ומכאן פליטה ספונטנית.

לפליטה ספונטנית, אם כן, אלמנט המטריצה הרלוונטי הוא

\[ \langle 100;1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}} a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|21m;0\rangle. \label{9.7.23}\]

צפיפות המצבים היוצאים לפוטון הנפלט, הנוטלת נורמליזציה של תיבה עם תנאי גבול תקופתיים כרגיל, היא

\[ \dfrac{V}{(2\pi)^3}k^2dkd\Omega =\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2d\omega d\Omega}{c^3}=\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2dE d\Omega}{\hbar c^3} \label{9.7.24}\]

כך שצפיפות המצבים בתרומת האנרגיה לפונקציית הדלתא של כלל הזהב היא\(\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2d\Omega}{\hbar c^3}\), וקצב פליטת הפוטונים עם קיטוב \(\vec{\varepsilon}\) לזווית מוצקה \(d\Omega\) יהיה:

\[ \dfrac{2\pi}{\hbar}\left|\langle 100;1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}} a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha} \dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|21m;0\rangle \right|^2\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2d\Omega}{\hbar c^3}. \label{9.7.25}\]

הבדל קל אחד בהערכת אלמנט המטריצה מהטיפול שלנו באפקט הפוטואלקטרי הוא בייצוג האינטראקציה הדיפול. נזכיר כי שם נתנו את הטפסים המקבילים

\[ \langle f|H^1|i\rangle =\left(\dfrac{e}{mc}\right)\vec{A}_0\cdot\langle f|\vec{p}|i\rangle e^{-i\omega t}=\left(\dfrac{e}{mc}\right)im\omega \vec{A}_0\cdot\langle f|\vec{r}|i\rangle e^{-i\omega t} \label{9.7.26}\]

והשתמש \(\vec{p}\) בייצוג מכיוון שהפוטואלקטרון היוצא נלקח למצב גל מישורי, מצבים עצמיים של. \(\vec{p}\) אך לפליטה ספונטנית, האלקטרון עובר ממצב קשור אחד למשנהו, כך \(\vec{r}\) שהצורה נותנת תמונה מיידית יותר של הדיפול המקיים אינטראקציה עם השדה החיצוני, ולמעשה האינטגרציה בין המצבים היא בדרך כלל קצת יותר ישירה.

אז באלמנט המטריצה אנו מבצעים את ההחלפה\(\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}\to im\omega \vec{\varepsilon}\cdot\vec{r}\), ואז עלינו להעריך את יסוד המטריצה האטומית\(\langle 100|\vec{\varepsilon}\cdot\vec{r}|21m\rangle\). הדרך הטבעית לעשות זאת היא לבטא את הווקטורים במונחים של הרמוניות כדוריות, כלומר לכתוב אותם כווקטורים כדוריים,

\[ r^{\pm 1}_1=\mp (x\pm iy)/\sqrt{2}=r\sqrt{4\pi /3}Y^{\pm 1}_1,\;  r^0_1=z=r\sqrt{4\pi /3}Y^0_1 \label{9.7.27}\]

ובאופן דומה עבור\(\vec{\varepsilon}\). האינטגרלים הם אז פשוטים, אך מייגעים.

נקודה משעשעת שהעלה סאקוראי היא שהסתברות המעבר הכוללת לפליטה ספונטנית היא

\[\dfrac{1}{137}\dfrac{4}{3}\dfrac{\omega^3}{c^2}|\langle 100|\vec{x}|21m\rangle |^2\]

ואותו ביטוי הושג באמצעות עקרון ההתכתבות על ידי הייזנברג, לפני שהומצאה תורת השדות הקוונטיים.

אורך החיים המחושב של מצב n = 2 הוא \(1.6\times10^{-9}\) שניות.