9.6: האפקט הפוטואלקטרי במימן

באפקט הפוטואלקטרי, אור נכנס גורם לאטום להוציא אלקטרון. אנו רואים את התרחיש הפשוט ביותר האפשרי: שהאטום הוא מימן במצבו הקרקעי. השאלה המעניינת היא: עבור גל אור חודר של תדר ומשרעת מוגדרים, מהי ההסתברות ליינון של אטום מימן בזמן נתון? במילים אחרות, בהנחה שנוכל להשתמש בתורת ההפרעות התלויה בזמן, מהו קצב היינון?

באופן רשמי, אנחנו יודעים מה לעשות. עלינו למצוא את האינטראקציה המילטוניאן\(H^1\), ואז להשתמש בכלל הזהב של פרמי לקצב המעבר עם הפרעה תקופתית:

\[ R_{i\to f}=\dfrac{2\pi}{\hbar}|\langle f|H^1|i\rangle |^2\delta(E_f-E_i-\hbar\omega ) \label{9.6.1}\]

אבל זה לא כל כך קל! ראשית, האלקטרון היוצא יהיה במצב גל מישורי כלשהו, כך שכל מוסכמה שנאמץ לנורמליזציה של מצבים כאלה מופיעה בקצב. אבל גם \(\delta\) הפונקציה מסובכת לעירור לרצף: כמה ממצבי הגל המישוריים הללו מספקים\(E_f=E_i+\hbar\omega\)? נגלה שעם פורמליזם עקבי, שני קשיים אלה מבטלים זה את זה.

האינטראקציה המילטוניאן

לוקח את הגל הנכנס לשדה אלקטרומגנטי בעל פוטנציאל וקטורי

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\vec{A} _0\cos(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t) \label{9.6.2}\]

האינטראקציה המילטוניאן ניתנת על ידי החלפת מונח \(\vec{p}^2/2m\) האנרגיה הקינטית האלקטרונית ב-. \((\vec{p}-q\vec{A}/c)^2/2m\) המונח החדש הרלוונטי הוא

\[ -(1/2m)(q/c(\vec{p}\cdot \vec{A}+\vec{A}\cdot \vec{p}))=(e/mc)\vec{A}\cdot \vec{p} \label{9.6.3}\]

מאז \(q=-e\) \(\vec{\nabla}\cdot \vec{A}=0\) ובמדד שלנו.

לכן

\[ H^1=\left(\dfrac{e}{mc}\right)\cos(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t)\vec{A}_0\cdot \vec{p}=\left( \dfrac{e}{2mc}\right) (e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t)}+e^{-i(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t)})\vec{A}_0\cdot \vec{p}. \label{9.6.4}\]

שני המונחים השונים בביטוי זה, בעלי תלות בזמן \(e^{-i\omega t}\) \(e^{i\omega t}\) ויתנו \(\delta\) פונקציות \(\delta(E_f-E_i-\hbar\omega )\) \(\delta(E_f-E_i+\hbar\omega )\) בהתאמה בקצב המעבר. \(e^{-i\omega t}\)המונח מתאים אפוא לספיגת פוטון, מכיוון שאנו מסתכלים על תהליך בו האלקטרון צובר אנרגיה,\(E_f>E_i\). \(e^{i\omega t}\)המונח מיועד לתהליך בו אטום במצב נרגש פולט פוטון לקורה ויורד באנרגיה.

אז האינטראקציה הרלוונטית המילטוניאן היא

\[ H^1(t)=H^1e^{-i\omega t}\;\; where\;\; H^1=\left( \dfrac{e}{2mc}\right) e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}}\vec{A}_0\cdot \vec{p}. \label{9.6.5}\]

גלי מישור: צפיפות מדינות

אנו מניחים שהמצב הסופי הוא מצב גל מישורי\(|\vec{k}_f\rangle \propto e^{i\vec{k}_f\cdot \vec{r}}\).

הדרך הפשוטה ביותר להתמודד עם מצבי גל המישור היא להגביל את המערכת כולה לקופסת צד קובית גדולה במיוחד\(L\), ולהטיל תנאי גבול תקופתיים (כך שמצבי גל נוסעים במטוס מותרים).

לקופסה הגדולה יש נפח\(V=L ^3\), כך שמצבי גל המישור המנורמלים כראוי הם

\[ |\vec{k}\rangle =\dfrac{1}{L^{3/2}}e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}}=\dfrac{1}{\sqrt{V}}e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}} \label{9.6.6}\]

כפי שיתברר, עלינו לספור עד כמה מופצים מצבים אלה בעובי, הן במרחב המומנטום (או במרחב k) והן באנרגיה. נתחיל בסקירת הבעיה החד-ממדית - המקרה התלת מימדי הוא הכללה פשוטה.

נזכיר כי עבור חלקיקים בממד אחד המוגבלים לקו אורך \(L\) עם תנאי גבול תקופתיים, הערכים המותרים של מספר הגל k ניתנו על ידי\(e^{ikL}=1\), כך \(k=2n\pi /L\) עם מספר \(n\) שלם. לפיכך בהתחשב במרווחים בלבד\(\Delta k\gg 2\pi /L\), "צפיפות המצבים" \(k\) היא\(L/2\pi\): מרווח אורך \(\Delta k\) מכיל \((L/2\pi )\Delta k=\rho (k)\Delta k\) מצבים, היכן כאן\(\rho (k)=L/2\pi\). צפיפות המצבים באנרגיה\(\rho (E)\), נובעת מהבחנה\(E=\hbar^2k^2/2m\). כתיבה\(\Delta E=(\hbar^2k/m)\Delta k\), נותנת את השינוי \(\Delta E\) המצטבר לשינוי מצטבר נתון \(\Delta k\) ב-\(k\), כך ששני המרווחים \(\Delta E\) \(\Delta k\) וחייבים להכיל את אותו מספר מצבים, כלומר. \(E\) \(\rho (E)\Delta E=\rho (k)\Delta k\) לאחר \(\rho (k)=L/2\pi\) מכן נובע מכך הצפיפות החד-ממדית של מצבים באנרגיה

\[ \rho_{1D}(E)=(L/2\pi )(m/\hbar^2k)=(L/2\pi \hbar)\sqrt{m/2E}. \label{9.6.7}\]

שימו לב שצפיפות המצבים החד-ממדית הזו הולכת לאינסוף והיא \(E\) הולכת לאפס.

בתלת מימד, עם קוביית צד \(L\) ותנאי גבול תקופתיים, צפיפות המצבים במרחב k היא\((L/2\pi )^3\). ניתן לדמיין את המצבים המותרים כנקודות של סריג מעוקב\((k_x,k_y,k_z)=2\pi L(n_x,n_y,n_z)\), כאשר \(n\) ה-s הם מספרים שלמים, כך שכל מצב מותר קישר אליו נפח של קובייה קטנה. \((2\pi /L)^3\)

כדי למצוא את הצפיפות התלת מימדית של מצבים באנרגיה\(E=\hbar^2\vec{k}2/2m\), תוך שימוש, שוב \(\Delta E=(\hbar^2k/m)\Delta k\) אך כעת כדי למצוא את מספר המצבים בטווח אנרגיה קטן עלינו להכפיל ב-\(4\pi k^2\), מכיוון שהמצבים בטווח האנרגיה נמצאים בין שני כדורים קונצנטריים קרובים במרחב k. זה נותן

\[ \rho (E)=(L/2\pi )^34\pi k^2(m/\hbar^2k)=(L/2\pi )^34\pi k(m/\hbar^2)=(V/2\pi^2)(m/\hbar^3)\sqrt{2mE}. \label{9.6.8}\]

שימו לב שבניגוד למקרה החד-ממדי, הצפיפות התלת מימדית של מצבים עוברת לאפס באפס אנרגיה. (תרגיל: מה קורה בשני ממדים?)

(כמובן שאם אנו מזהים את האלקטרון שנפלט עם מכשיר המוגבל לזווית מוצקה\(d\Omega\), \(4\pi\) הוא מוחלף על ידי\(d\Omega\).)

מצב האורתוגונליות בין מצבי גל המישור הוא

\[ \langle \vec{k}|\vec{k}'\rangle =\delta_{\vec{k},\vec{k}'} \label{9.6.9}\]

פונקציית הדלתא הרגילה של קרונקר - לא של דיראק - מכיוון שה-'s הם קבוצה מונה, \(k\)

\[ (k_x,k_y,k_z)=\dfrac{2\pi}{L}(n_x,n_y,n_z) \label{6.9.10}\]

\(n\)זה להיות מספרים שלמים.

מציאת אלמנט המטריקס

פונקציית גל מצב הקרקע למימן היא

\[ |100\rangle =\sqrt{\dfrac{1}{\pi a^3_0}}e^{-r/a_0}. \label{9.6.11}\]

אלמנט המטריצה שנכנס לכלל הזהב של פרמי (משוואה\ ref {9.6.1}) הוא אפוא:

\[ \langle \vec{k}_f|\left( \dfrac{e}{2mc}\right) e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}}\vec{A}_0\cdot \vec{p}|100\rangle =\int d^3r(1/L)^{3/2}e^{-i\vec{k}_f\cdot \vec{r}}\left( \dfrac{e}{2mc}\right) e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}}\vec{A}_0\cdot (-i\hbar\vec{\nabla})\sqrt{\dfrac{1}{\pi a^3_0}}e^{-r/a_0} \label{9.6.12}\]

למעשה \(e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}}\) המונח אינו חשוב במיוחד - אורך הגל של הפוטונים הנכנסים לאפקט הפוטואלקטרי הרגיל גדול בהרבה מגודל אטום המימן במצבו הקרקעי (שהאינטגרל שלנו מוגבל אליו) ולכן \(e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}}\cong 1\) נוכל להוריד את המונח הזה.

נקודה אחת שהתעלמנו ממנה היא שלגל האלקטרומגנטי יש שדה מגנטי חזק בדיוק כמו השדה החשמלי, אז מה לגבי האינטראקציה של השדה המגנטי הזה עם הרגע המגנטי של האלקטרון? זה מתגלה כחלש בהרבה \(\left( \dfrac{e}{2mc}\right) \vec{A}_0\cdot \vec{p}\) מהמונח: האינטראקציה המגנטית

\[ \vec{\mu}_B\cdot \vec{B}=\left( \dfrac{e}{2mc}\right) \vec{S}\cdot \vec{B}, \label{9.6.13}\]

והיחס בין התרומה המגנטית הזו לחשמלית הוא

\[ \dfrac{\left( \dfrac{e}{2mc}\right) \vec{S}\cdot \vec{B}}{\left( \dfrac{e}{2mc}\right) \vec{A}_0\cdot \vec{p}}\simeq \dfrac{\hbar\vec{\sigma}\cdot \vec{\nabla} \times \vec{A}}{\vec{A}\cdot \vec{p}}\simeq \dfrac{\hbar k}{p} \label{9.6.14}\]

עם\(p\sim \hbar/a_0\), אז היחס הזה הוא בסדר\(a_0/\lambda\), \(\lambda\) בהיותו אורך הגל של האור הנכנס, סביב 100 ננומטר ליינון מימן. לכן, אנו יכולים להתעלם בבטחה מהאינטראקציה המגנטית.

אינטראקציה זו המילטוניאן \(H^1=\left( \dfrac{e}{2mc}\right) \vec{A}_0\cdot \vec{p}e^{-i\omega t}\) נקראת קירוב דיפול, מכיוון שניתן לכתוב אותה גם במונחים של מומנט הדיפול של האטום. \(e\vec{r}\) כדי לראות כיצד זה מתרחש, בהתחשב \(|i\rangle,\; |f\rangle\) במצבים עצמיים של ושימוש \(H=\vec{p}^2/2m+V(\vec{r})\)\([\vec{r},\vec{p}]=i\hbar,\; [\vec{r},H]=(i\hbar/m)\vec{p}\), אנו מוצאים שמרכיבי המטריצה של \(\vec{p},\vec{r}\) מעבר יינון זה קשורים פשוט

\[ \begin{matrix} \langle f|\vec{p}|i\rangle =(m/i\hbar)\langle f|\vec{r}H-H\vec{r}|i\rangle \\ =(m/i\hbar)(E_i-E_f)\langle f|\vec{r}|i\rangle \\ =im\omega \langle f|\vec{r}|i\rangle .\end{matrix} \label{9.6.15}\]

לכן

\[ \langle f|H^1(t)|i\rangle =\left( \dfrac{e}{2mc}\right) \vec{A}_0e^{-i\omega t}\cdot \langle f|\vec{p}|i\rangle =\left( \dfrac{e}{2mc}\right) im\omega \vec{A}_0e^{-i\omega t}\cdot \langle f|\vec{r}|i\rangle , \label{9.6.16}\]

וממנו\(\vec{E}=-(1/c)\partial \vec{A}/\partial t=(i\omega /2c)\vec{A}_0e^{-i\omega t}\), עם \(\langle f|H^1(t)|i\rangle =\langle f|-\vec{\mu}\cdot \vec{E}(t)|i\rangle\)\(\vec{\mu}=-e\vec{r}\), מומנט הדיפול החשמלי של האטום.

עם זאת, עבור האינטראקציה הספציפית שאנו שוקלים כאן, \(\vec{p}=-i\hbar\vec{\nabla}\) הייצוג מוכיח נוח יותר. (נשתמש \(\vec{\mu}=-e\vec{r}\) בייצוג בעבודה מאוחרת יותר.)

עלינו להעריך:

\[ (1/L)^{3/2}\left( \dfrac{e}{2mc}\right) \sqrt{\dfrac{1}{\pi a^3_0}}\int d^3re^{-i\vec{k}_f\cdot \vec{r}}\vec{A}_0\cdot (-i\hbar\vec{\nabla})e^{-r/a_0}. \label{9.6.17}\]

שילוב על ידי חלקים נותן למפעיל השיפוע הפועל על מצב גל המישור,

\[ \int d^3re^{-i\vec{k}_f\cdot \vec{r}}\vec{A}_0\cdot (-i\hbar\vec{\nabla})e^{-r/a_0}=-(\vec{A}_0\cdot \vec{p}_f)\int d^3re^{-i\vec{k}_f\cdot \vec{r}}e^{-r/a_0}. \label{9.6.18}\]

האינטגרל הוא כעת טרנספורמציה פורייה של פונקציית גל מצב הקרקע המימן, והוא פשוט: בחר את ציר z בכיוון של\(\vec{k}_f\), \(\varphi\) האינטגרציה נותנת\(2\pi\), \(\theta\) לאינטגרציה יש \(\sin\theta d\theta =-d(cos\theta )\) וכו 'התוצאה היא. \((8\pi /a_0)/(a^{-2}_0+k^2_f)^2\)

לבסוף, אנו יכולים להכניס זאת לכלל הזהב של פרמי:

\[ \begin{matrix} R_{i\to f}=\\ \dfrac{2\pi}{\hbar}|(1/L)^{3/2}\left( \dfrac{e}{2mc}\right) \sqrt{\dfrac{1}{\pi a^3_0}}(\vec{A}_0\cdot \vec{p}_f)\left( \dfrac{8\pi /a_0}{(a^{-2}_0+k^2_f)^2}\right) |^2 \delta(E_f-E_i-\hbar\omega ). \end{matrix} \label{9.6.19}\]

כדי לזהות את האלקטרון שנפלט, יהיה לנו גלאי רגיש לזווית מוצקה קטנה כלשהי,\(d\Omega\), לא לערך מדויק כלשהו של\(\vec{p}_f\). תהיה גם אי וודאות זעירה ב-\(|\vec{p}_f|\), שווה ערך לחוסר וודאות באנרגיה, מכיוון שדבר אחד הפליטה מתרחשת לאחר זמן סופי. המשמעות היא \(\delta\) שלפונקציה יש למעשה רוחב סופי, ועל ידי לקיחת התיבה הנורמלית שלנו מספיק גדולה, יהיו מצבים רבים ברוחב זה - כך שלמעשה \(\delta\) הפונקציה מודדת את צפיפות המצבים היוצאים האפשריים (ראה דיון בסוף). נזכיר את צפיפות המצבים באנרגיה עבור זווית מוצקה יוצאת \(d\Omega\) היא

\[ \rho (E,d\Omega )=(L/2\pi )^3k^2(m/\hbar^2k)d\Omega =(L/2\pi )^3k(m/\hbar^2)d\Omega , \label{9.6.20}\]

נתינה

\[ \begin{matrix} R_{i\to f}=\\ \dfrac{2\pi}{\hbar}\left| (1/L)^{3/2}\left( \dfrac{e}{2mc}\right) \sqrt{\dfrac{1}{\pi a^3_0}}(\vec{A}_0\cdot \vec{p}_f)\left( \dfrac{8\pi /a_0}{(a^{-2}_0+k^2_f)^2}\right) \right|^2(L/2\pi )^3k_f(m/\hbar^2)d\Omega .\end{matrix} \label{9.6.21}\]

שימו לב תחילה \(L^3\) שהתנאים מבטלים, באופן מרגיע, התוצאה שלנו אינה יכולה להיות תלויה בגודל התיבה שנבחרה למצבי גל המישור. כתיבה\(p_f=\hbar k_f\), וכמובן\(p^2_f/2m=E_i+\hbar\omega\), אנו מוצאים

\[ R_{i\to f}=\dfrac{4mp_f}{\pi a^5_0\hbar^4}\left( \dfrac{e}{mc}\right)^2(\vec{A}_0\cdot \vec{p}_f)^2\left( \dfrac{1}{a^{-2}_0+(p_f/\hbar)^2} \right)^4 d\Omega . \label{9.6.22}\]

שים לב שהקצב תלוי בזווית, שכן\( (\vec{A}_0\cdot \vec{p}_f)^2=A^2_0p^2_f\cos^2\theta\): פליטה מקבילה ככל הנראה לשדה החשמלי. קצב היינון הכולל ניתן על ידי שילוב הקצב על כל הזוויות, ועל כדור היחידה\(\overline{\cos^2\theta}=\bar{z}^2=1/3\), כך באמור לעיל,\( (\vec{A}_0\cdot \vec{p}_f)^2d\Omega\to 4\pi A^2_0p^2_f/3\).

חתך הפוטואלקטרי

תארו לעצמכם עכשיו לשלוח קרינה זו לתוך גז של אטומי מימן, רבים מהם, אבל לא מספיק כדי להצל אחד את השני מן הקרינה באופן משמעותי. אנרגיה תיספג מהקורה כאשר האטומים מייננים. מהו הקצב שבו הקרן מאבדת אנרגיה? דרך נוחה לדמיין את קצב אובדן האנרגיה הזה היא להחליף כל אטום בדיסק זעיר סופג לחלוטין המכוון במקביל הרגיל שלו לקורה, בגודל הדיסקים הללו כך שהקרן מאבדת אנרגיה באותו קצב כמו שהיא הייתה עושה על ידי יינון. שטח הדיסק המקביל לאטום אחד נקרא חתך הפוטואלקטרי.

צפיפות האנרגיה בקרן הקרינה היא

\[ \dfrac{1}{8\pi} (|\vec{E}|^2+|\vec{B}|^2)=\dfrac{1}{8\pi}\left(2\dfrac{\omega^2}{c^2}\vec{A}^2_0\cos^2(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t)\right) \label{9.6.23}\]

מציין את חתך הפוטואלקטרי על ידי, \(\sigma\)

\[ \text{energy absorbed per second}=\sigma \times c \times \text{energy density}, \label{9.6.24}\]

ובממוצע\(\cos^2\), זה נותן את קצב ספיגת האנרגיה לאטום להיות\(A^2_0\omega 2\sigma /8\pi c\).

עם זאת, אם קצב היינון של אטום אחד הוא\(R_{i\to f}\), ויינון זה לוקח אנרגיה \(\hbar\omega\) מהקורה, קצב ספיגת האנרגיה הוא צודק\(\hbar\omega R_{i\to f}\), ולכן חתך היינון ניתן על ידי

\[ A^2_0\omega 2\sigma /8\pi c=\hbar\omega R_{i\to f} \label{9.6.25}\]

זה נותן

\[ \begin{align} \sigma &=\dfrac{8\pi c}{A^2_0\omega^2}\hbar\omega R_{i\to f} \\[5pt] &=\dfrac{8\pi c}{A^2_0\omega^2}\hbar\omega \dfrac{4mp_f}{\pi a^5_0\hbar^4}\left(\dfrac{e}{mc}\right)^2\dfrac{4\pi A^2_0p^2_f}{3}\left( \dfrac{1}{a^{-2}_0+(p_f/\hbar)^2} \right)^4 \\[5pt] &=\dfrac{128}{\omega} \dfrac{e^2}{a^5_0\hbar^3}\dfrac{\pi p^3_f}{3mc}\left( \dfrac{1}{a^{-2}_0+(pf/\hbar)^2}\right)^4 .\end{align} \label{9.6.26}\]

נספח: פונקציית דלתא כלל הזהב וצפיפות המדינות

עבור מודל הקופסה הגדולה שלנו, המצבים הם אינסופיים במספרם, אך ניתן לספור אותם על ידי יציאה החוצה מהמקור במרחב k, ואימוץ מוסכמה כלשהי להזמנת בעלי אנרגיה שווה. אנו יכולים לתייג את המצבים עם\(\vec{n}=(n_x,n_y,n_z)\), וקטור עם רכיבים שלמים המציבים את המצב במרחב k, ולציין את האנרגיה שלו. \(E_{\vec{n}}\) התרומה של מצב זה לצפיפות המצבים היא \(\delta\) פונקציה של דיראק\(\delta(E-E_{\vec{n}})\), כלומר מצב זה תורם 1 לצפיפות המצבים בנקודה \(E_{\vec{n}}\) בציר האנרגיה. לכן צפיפות המצבים באנרגיה היא

\[\rho (E)=\sum_{\vec{n}}\delta(E-E_{\vec{n}})\]

זה מקורב היטב על ידי הפונקציה החלקה שגזרנו לעיל.

כעת שקלו את האינטגרל על פני מצבי הגל המישוריים הסופיים הדרושים בהערכת נוסחת כלל הזהב. \(\delta\)לפונקציה הזו יש רוחב סופי (מעקרון אי הוודאות באנרגיה בזמן), כך שעל ידי לקיחת התיבה הגדולה שלנו מספיק גדולה נוכל לקבל מצבי גל מישוריים רבים ברוחב \(\delta\) הפונקציה של כלל הזהב: כדי לדמיין זאת, בואו לייצג אותה על ידי פונקציה שווה \(\Delta\) למרווח\(1/\Delta\), אפס אחרת. ואז שילוב \(\delta\) פונקציה זו של כלל הזהב עם \(\rho (E)\) ייתן תרומה \(\Delta\) מכל מדינה בתוך מרווח הרוחב\(1/\Delta\). אם המדינות היו מפוזרות באופן אחיד באנרגיה, זה היה נותן את המספר הכולל של מצבים במרווח של אנרגיית יחידה - וזו ההגדרה של צפיפות המצבים.