9.5: תורת ההפרעות התלויה בזמן

מבוא: פורמליזם כללי

אנו מסתכלים על המילטוניאן עם הפרעה תלויה \(V(t)\) בזמן

\[H=H^0+V(t) \label{eq1}\]

אז עכשיו לתפקוד הגל תהיה תלות בזמן הנגרמת על ידי הפרעה. נקודת המוצא שלנו היא קבוצת המצבים העצמיים \(|n\rangle\) של המילטוניאן הבלתי מופרע\(H^0|n\rangle =E_n|n\rangle\), שימו לב שאיננו מתייגים באפס, לא, מכיוון שעם המילטוניאן תלוי זמן\(E^0_n\), האנרגיה לא תישמר, ולכן אין טעם לחפש תיקוני אנרגיה. מה שקורה במקום זאת, בתנאי שההפרעה אינה גדולה מדי, הוא שהמערכת מבצעת מעברים בין המצבים העצמיים \(|n\rangle\) של. \(H^0\)

כמובן שגם עבור\(V=0\), לתפקודי הגל יש תלות בזמן הרגילה,

\[ |\psi(t)\rangle =\sum_nc_ne^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle \label{9.5.1}\]

עם הקבוע \(c_n\) של. מה שקורה בהצגת \(V(t)\) הוא שהם עצמם רוכשים תלות בזמן, \(c_n\)

\[ |\psi(t)\rangle =\sum_nc_n(t)e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle \label{9.5.2}\]

והתלות הפעם נקבעת על ידי המשוואה של שרדינגר עם המילטוניאן במשוואה\ ref {eq1}

\[ i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\sum_nc_n(t)e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle =(H^0+V(t))\sum_nc_n(t)e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle \label{9.5.3}\]

כך \[ i\hbar \sum_n\dot{c_n}(t)e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle =V(t)\sum_nc_n(t)e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle \label{9.5.4}\]

לוקח את המוצר הפנימי עם החזייה\(\langle m|e^{iE_mt/\hbar}\), ומציג\(\omega_{mn}=\dfrac{E_m-E_n}{\hbar}\),

\[ i\hbar \dot{c}_m=\sum_n\langle m|V(t)|n\rangle c_ne^{i\omega_{mn}t} =\sum_n V_{mn}e^{i\omega_{mn}t}c_n \label{9.5.5}\]

זוהי משוואה דיפרנציאלית מטריצה עבור ה- \(c_n\)'s:

\[ i\hbar \begin{pmatrix} \dot{c}_1\\ \dot{c}_2\\ \dot{c}_3\\ .\\ . \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} V_{11}& V_{12}e^{i\omega_{12}t}&.&.&.\\ V_{21}e^{i\omega_{12}t}& V_{22}&.&.&.\\ .&.&V_{33}&.&.\\ .&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.\end{pmatrix}\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ c_3\\ .\\ .\end{pmatrix} \label{9.5.6}\]

ופתרון מערך המשוואות המצומדות הזה ייתן לנו את ה- \(c_n(t)\)'s, ומכאן ההסתברות למצוא את המערכת בכל מצב מסוים בכל זמן מאוחר יותר.

אם המערכת נמצאת במצב התחלתי \(|i\rangle\) ב\(t=0\), משרעת ההסתברות שהיא במצב \(|f\rangle\) בזמן \(t\) היא לסדר מוביל בהפרעה \[ c_f(t)=\delta_{fi}-\dfrac{i}{\hbar} \int_0^t V_{fi}(t′)e^{i\omega_{fi}t′}dt′. \label{9.5.7}\]

ההסתברות שהמערכת אכן במצב \(|f\rangle\) בזמן \(t\) היא אפוא \[|c_f(t)|^2=\dfrac{1}{\hbar^2}\left| \int_0^t V_{fi}(t′)e^{i\omega_{fi}t′}dt′\right|^2. \label{9.5.8}\]

ברור שזו תהיה קירוב טוב רק אם היא מנבאת שההסתברות למעבר קטנה - אחרת עלינו ללכת לסדר גבוה יותר, באמצעות ייצוג האינטראקציה (או פתרון מדויק כזה בסעיף הבא).

דוגמא \(\PageIndex{1}\): Kicking an Oscillator

נניח שמתנד הרמוני פשוט נמצא במצב הקרקע שלו \(|0\rangle\) ב\(t=-\infty\). הוא מוטרד מפוטנציאל תלוי זמן קטן. \(V(t)=-eExe^{-t^2/\tau^2}\) מהי ההסתברות למצוא אותו במצב הנרגש הראשון \(|1\rangle\) ב\(t=+\infty\)?

פתרון

כאן

\[V_{fi}(t′)=-eE\langle 1|x|0\rangle e^{-t′^2/\tau^2}\]

ו

\[x=\sqrt{\hbar /2m\omega}(a+a^{\dagger})\]

שממנו ניתן להעריך את ההסתברות. זה

\[(e^2E^2/\hbar^2)(\hbar /2m\omega )\pi \tau^2e^{-\omega^2\tau^2/2}.\]

כדאי לחשוב על הפרשנויות הפיזיות במשך זמן רב מאוד ולזמנים קצרים מאוד, ולהסביר את משמעות הזמן שההסתברות שלו היא מקסימלית.

מערכת שתי המדינות: פתרון מדויק

במקרה הספציפי של מערכת שתי מדינות המוטרדת על ידי שדה חיצוני תקופתי, ניתן לפתור את משוואת המטריצה לעיל במדויק. כמובן שלמערכות פיזיקליות אמיתיות יש יותר משני מצבים, אך למעשה במקרים חשובים שניים מהמצבים עשויים להיות מחוברים זה לזה חזק, אך רק מחוברים בצורה חלשה למצבים אחרים, ואז הניתוח הופך להיות רלוונטי. דוגמה מפורסמת, מייזר האמוניה, נדונה בסוף הסעיף.

עבור מערכת של שתי מדינות, אם כן, פונקציית הגל הכללית ביותר היא

\[ |\psi(t)\rangle =c_1(t)e^{-iE_1t/\hbar} |1\rangle +c_2(t)e^{-iE2t/\hbar} |2\rangle \label{9.5.9}\]

והמשוואה הדיפרנציאלית עבור ה- \(c_n(t)\)'s היא:

\[ i\hbar \begin{pmatrix}\dot{c}_1\\ \dot{c}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&Ve^{i\omega t}e^{i\omega_{12}t}\\ Ve^{-i\omega t}e^{-i\omega_{12}t}&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\end{pmatrix}. \label{9.5.10}\]

כתיבה \(\omega +\omega_{12}=\alpha\) מטעמי נוחות, המשוואות המצורפות הן: \[ \begin{matrix} i\hbar \dot{c}_1=Ve^{i\alpha t}c_2\\ i\hbar \dot{c}_2=Ve^{-i\alpha t}c_1. \end{matrix} \label{9.5.11}\]

ניתן להפוך את שתי המשוואות מסדר ראשון למשוואה אחת מסדר שני על ידי הבחנה בין השנייה, ואז החלפה \(\dot{c}_1\) מהראשונה \(c_1\) ומהשנייה לתת \[ \ddot{c}_2=-i\alpha  \dot{c}_2-\dfrac{V^2}{\hbar^2}c_2. \label{9.5.12}\]

זוהי משוואה דיפרנציאלית סטנדרטית מסדר שני, שנפתרת על ידי הכנסת פתרון \(c_2(t)=c_2(0)e^{i\Omega t}\) ניסוי. זה עונה על המשוואה אם

\[ \Omega =-\dfrac{\alpha}{2} \pm \sqrt{\dfrac{\alpha^2}{4}+\dfrac{V^2}{\hbar^2}}, \label{9.5.13}\]

אז, בחזרה למקור\(\omega +\omega_{12}=\alpha\), הפתרון הכללי הוא:

\[ c_2(t)=e^{-i\dfrac{(\omega -\omega_{21})}{2}t} \left( Ae^{i\sqrt{\left(\dfrac{\omega -\omega_{21}}{2}\right)^2+\dfrac{V^2}{\hbar^2}} t}+Be^{-i\sqrt{\left(\dfrac{\omega -\omega_{21}}{2}\right)^2+\dfrac{V^2}{\hbar^2}} t} \right) \label{9.5.14}.\]

לוקח את המצב הראשוני להיות \(c_1(0)=1,\;  c_2(0)=0\) נותן\(A=-B\).

כדי לתקן את הקבוע הכולל, שים לב כי ב\(t = 0\),

\[ \dot{c}_2(0)  =  \dfrac{V}{i\hbar} c_1(0)  = \dfrac{ V}{i\hbar} . \label{9.5.15}\]

לכן

\[ |c_2(t)|^2=\dfrac{\dfrac{V^2}{\hbar^2}}{\left(\dfrac{\omega -\omega_{21}}{2}\right)^2+\dfrac{V^2}{\hbar^2}} \sin^2 \left( \sqrt{\left(\dfrac{\omega -\omega_{21}}{2}\right)^2+\dfrac{V^2}{\hbar^2}} t\right) . \label{9.5.16}\]

שים לב במיוחד לתוצאה אם\(\omega =\omega_{12}\):

\[ |c_2(t)|^2=\sin^2\left( \dfrac{Vt}{\hbar} \right). \label{9.5.17}\]

בהנחה\(E_2>E_1\), ומערכת שתי המדינות תהיה בתחילה במצב הקרקע\(|1\rangle\), המשמעות היא שאחרי זמן \(h/4V\) מה המערכת בהחלט תהיה במצב\(|2\rangle\), ותתנודד הלוך ושוב בין שתי המדינות עם נקודה. \(h/2V\)

כלומר, תקופה מתוזמנת במדויק בשדה מתנדנד יכולה להניע אוסף של מולקולות שכולן במצב הקרקע להיות כולן במצב נרגש. מייזר האמוניה פועל על ידי שליחת זרם של מולקולות אמוניה, הנעות במהירות ידועה, במורד צינור בעל שדה מתנדנד באורך מוגדר, כך שהמולקולות המגיחות בקצה השני כולן (או כמעט כולן, תלוי בדיוק של מהירות ההטמעה וכו ') במצב הנרגש הראשון. יישום של כמות קטנה של קרינה אלקטרומגנטית באותה תדר על המולקולות היוצאות יגרום לחלקן להתפרקות, וייצור קרינה אינטנסיבית ולכן תקופה קצרה בהרבה לכולם להתפרק, ופולטת קרינה קוהרנטית.

הפרעה "פתאומית"

הפרעה פתאומית מוגדרת כאן כמעבר פתאומי ממילטוניאן בלתי תלוי בזמן אחד \(H_0\) למשנהו\(H′_0\), זמן המעבר קצר בהרבה מכל תקופה טבעית של המערכת. במקרה זה, תורת ההפרעות אינה רלוונטית: אם המערכת נמצאת בתחילה במצב עצמי \(|n\rangle\) של\(H_0\), פשוט צריך לכתוב אותה כסכום על המצבים העצמיים של,. \(H′_0\) \(|n\rangle =\sum_{n′}|n′\rangle \langle n′|n\rangle \) החלק הלא טריוויאלי של הבעיה הוא לקבוע כי השינוי פתאומי מספיק, על ידי הערכת הזמן בפועל שנדרש לשינוי המילטוניאן, ותקופות התנועה הקשורות למדינה \(|n\rangle\) ועם המעברים שלה למדינות שכנות.

הפרעות הרמוניות: כלל הזהב של פרמי

הבה נבחן מערכת במצב התחלתי \(|i\rangle\) המוטרדת מפוטנציאל תקופתי \(V(t)=Ve^{-i\omega t}\) המופעל ב. \(t=0\) לדוגמה, זה יכול להיות אטום המוטרד על ידי שדה חשמלי מתנודד חיצוני, כגון גל אור אירוע.

מה ההסתברות שבזמן מאוחר יותר \(t\) המערכת תהיה במצב\(|f\rangle\)?

נזכיר את משוואת הדיפרנציאל המטריצה עבור ה- \(c_n\)'s (משוואה\ ref {9.5.6})

\[ i\hbar \begin{pmatrix} \dot{c}_1\\ \dot{c}_2\\ \dot{c}_3\\ .\\ . \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} V_{11}& V_{12}e^{i\omega_{12}t}&.&.&.\\ V_{21}e^{i\omega_{12}t}& V_{22}&.&.&.\\ .&.&V_{33}&.&.\\ .&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.\end{pmatrix}\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ c_3\\ .\\ .\end{pmatrix} \nonumber \]

מכיוון שהמערכת בהחלט במצב \(|i\rangle\) ב\(t=0\), וקטור ket בצד ימין הוא בתחילה\(c_i=1,\; c_{j\neq i}=0\).

הקירוב מסדר ראשון לשמירה על הווקטור \(c_i=1,\; c_{j\neq i}=0\) מימין, כלומר לפתור את המשוואות \[ i\hbar \dot{c}_f(t)=V_{fi}e^{i\omega_{fi}t}. \label{9.5.18}\]

שילוב משוואה זו, משרעת ההסתברות \(|i\rangle\) לאטום במצב התחלתי להיות במצב \(|f\rangle\) אחר זמן \(t\) היא, לסדר ראשון:

\[ \begin{align} c_f(t) &=-\dfrac{i}{\hbar} \int_0^t \langle f| V|i\rangle e^{i(\omega_{fi}-\omega )t′}dt′ \\[5pt] &=-\dfrac{i}{\hbar} \langle f|V|i\rangle \dfrac{e^{i(\omega_{fi}-\omega )t}-1}{i(\omega_{fi}-\omega )}. \end{align} \label{9.5.19}\]

ההסתברות למעבר היא אפוא

\[ \begin{align} P_{i\to f}(t) &=|c_f|^2 \\[5pt] &=\dfrac{1}{\hbar^2}|\langle f|V|i\rangle |^2\left( \dfrac{\sin((\omega_{fi}-\omega )t/2)}{(\omega_{fi}-\omega )/2}\right)^2 \label{9.5.20} \end{align}\]

ואנחנו מעוניינים \(t\) בגבול הגדול.

כתיבה\(\alpha =(\omega_{fi}-\omega )/2\), הפונקציה שלנו יש את הטופס\(\dfrac{\sin^2\alpha t}{\alpha^2}\). לפונקציה זו יש שיא ב\(\alpha =0\), עם ערך \(t^2\) מקסימלי ורוחב סדר\(1/t\), כך שמשקל כולל של סדר\(t\). לפונקציה יש יותר פסגות ב\(\alpha t=(n+1/2)\pi\). אלה מוגבלים על ידי המכנה ב. \(1/\alpha^2\) בגדול \(t\) תרומתם מגיעה \(1/t\) גם ממגוון סדר, וככל \(t\to \infty\) שהפונקציה נוטה \(\delta\) לפונקציה במקור, אך מוכפלת\(t\).

סטייה זו אומרת לנו שיש שיעור הסתברות סופי למעבר, כך שהסבירות למעבר פרופורציונאלית לזמן שחלף. לכן, אנחנו צריכים לחלק על ידי \(t\) כדי לקבל את שיעור המעבר.

כדי להשיג את התוצאה הכמותית, עלינו להעריך את משקל מונח \(\delta\) הפונקציה. אנו משתמשים בתוצאה הסטנדרטית

\[\int_{-\infty}^{\infty} \left( \dfrac{\sin\xi}{\xi}\right)^2d\xi =\pi\]

כדי למצוא

\[\int_{-\infty}^{\infty} \left(\dfrac{\sin\alpha t}{\alpha} \right)^2d\alpha =\pi t\]

ולכן

\[ \lim_{t\to \infty} \dfrac{1}{t}\left(\dfrac{\sin\alpha t}{\alpha} \right)^2=\pi \delta (\alpha ). \label{9.5.21}\]

כעת, שיעור המעבר הוא ההסתברות למעבר חלקי \(t\) הגבול הגדול, כלומר \(t\)

\[ \begin{align} R_{i\to f}(t)&=\lim_{t\to \infty} \dfrac{P_{i\to f}(t)}{t} \\&=\lim_{t\to \infty} \dfrac{1}{t}\dfrac{1}{\hbar^2}|\langle f|V|i\rangle |^2\left[ \dfrac{\sin((\omega_{fi}-\omega )t/2)}{(\omega_{fi}-\omega )/2}\right] \\ &=\dfrac{1}{\hbar^2}|\langle f|V|i\rangle |^2\pi \delta (\dfrac{1}{2}(\omega_{fi}-\omega )) \\ &=\dfrac{2\pi}{\hbar^2}|\langle f|V|i\rangle |^2\delta (\omega_{fi}-\omega ) \label{9.5.22} \end{align} \]

השורה האחרונה הזו היא כלל הזהב של פרמי: נשתמש בה הרבה. אתה עלול לדאוג שבמגבלת הזמן הארוכה שלקחנו שההסתברות למעבר למעשה משתנה, אז איך נוכל להשתמש בתיאוריית הפרעות מסדר ראשון? העניין הוא שלמעבר עם \(\omega_{fi}\neq \omega\) פירושו "זמן רב"\((\omega_{fi}-\omega )t\gg 1\), זה עדיין יכול להיות זמן קצר מאוד בהשוואה לזמן המעבר הממוצע, התלוי באלמנט המטריצה. למעשה, חוק פרמי מסכים היטב עם הניסוי כאשר הוא מיושם על מערכות אטומיות.

נגזרת נוספת של כלל הזהב

למעשה, כאשר אור נופל על אטום, הפוטנציאל התקופתי המלא אינו מופעל לפתע, בסולם זמן אטומי, אלא מצטבר על פני מחזורים רבים (של האטום ושל האור). Baym מפיק מחדש את כלל הזהב בהנחה שהגבול של הפעלה איטית מאוד, \[ V(t)=e^{\varepsilon t}Ve^{-i\omega t} \label{9.5.23}\]

עם קטן \(\varepsilon\) מאוד, כך \(V\) מופעל בהדרגה מאוד בעבר, ואנחנו מסתכלים בזמנים קטנים בהרבה מ\(1/\varepsilon\). לאחר מכן נוכל לקחת את הזמן הראשוני להיות\(-\infty\), כלומר, \[ c_f(t)=-\dfrac{i}{\hbar} \int_{-\infty}^{t} \langle f| V|i\rangle e^{i(\omega_{fi}-\omega -i\varepsilon )t′} dt′=-\dfrac{1}{\hbar} \dfrac{e^{i(\omega_{fi}-\omega -i\varepsilon )t}}{\omega_{fi}-\omega -i\varepsilon} \langle f|V|i\rangle \label{9.5.24}\]

כך \[ |c_f(t)|^2=\dfrac{1}{\hbar^2}\dfrac{e^{2\varepsilon t}}{(\omega_{fi}-\omega )^2+\varepsilon^2} |\langle f|V|i\rangle |^2 \label{9.5.25}\]

וקצב הזמן של השינוי

\[ \dfrac{d}{dt}|c_f(t)|^2=\dfrac{1}{\hbar^2}\dfrac{2\varepsilon e^{2\varepsilon t}}{(\omega_{fi}-\omega )^2+\varepsilon^2}|\langle f|V|i\rangle |^2 . \label{9.5.26}\]

בגבול\(\varepsilon \to 0\), הפונקציה

\[ \dfrac{2\varepsilon}{(\omega_{fi}-\omega )^2+\varepsilon^2}\to 2\pi \delta (\omega_{fi}-\omega ) \label{9.5.27}\]

נותן את כלל הזהב שוב (משוואה\ ref {9.5.22}).

הפרעות הרמוניות: מעברים מסדר שני

לפעמים אלמנט המטריצה מסדר ראשון \(\langle f|V|i\rangle\) הוא אפס זהה (זוגיות, Wigner-Eckart וכו ') אך אלמנטים מטריקס אחרים אינם אפסים-וניתן לבצע את המעבר בדרך עקיפה. בהערות על ייצוג האינטראקציה, הפקנו את משרעת ההסתברות לתהליך מסדר שני,

\[ c^{(2)}_n(t)=\left(\dfrac{1}{i\hbar}\right)^2\sum_n\int_0^t \int_0^{t′}dt′dt′′e^{-i\omega_f(t-t′)}\langle f|V_S(t′)|n\rangle e^{-i\omega_n(t′-t′′)}\langle n|V_S(t′′)|i\rangle e^{-i\omega_it′′}, \label{9.5.28}\]

לוקח את ההפרעה ההרמונית המודלקת בהדרגה

\[V_S(t)=e^{\varepsilon t}Ve^{-i\omega t}\]

ואת הזמן הראשוני\(-\infty\), כאמור לעיל,

\[ c^{(2)}_n(t)=\left(\dfrac{1}{i\hbar}\right)^2 \sum_n\langle f|V|n\rangle \langle n|V|i\rangle e^{-i\omega_ft}\int_{-\infty}^{t}dt′\int_{-\infty}^{t′}dt′′ e^{i(\omega_f-\omega_n-\omega -i\varepsilon )t′}e^{i(\omega_n-\omega_i-\omega -i\varepsilon )t′′}. \label{9.5.29}\]

בדיוק כמו בכלל הזהב מסדר ראשון, אנו יכולים למצוא את שיעור המעבר:

\[ \dfrac{d}{dt}|c^{(2)}_n(t)|^2=\dfrac{2\pi}{\hbar^4}\left| \sum_n\dfrac{\langle f|V|n\rangle \langle n|V|i\rangle}{\omega_n-\omega_i-\omega -i\varepsilon} \right|^2\delta (\omega_f-\omega_i-2\omega ). \label{9.5.30}\]

(\(\hbar^4\)במכנה ממשיך להחליף את התדרים \(\omega\) באנרגיות\(E\), הן במכנה והן בפונקציית הדלתא, זכרו שאם.) \(\hbar\) \(E=\hbar \omega ,\; \delta (\omega )=\hbar \delta (E)\)

זהו מעבר בו המערכת צוברת אנרגיה \(2\hbar \omega\) מהקרן, במילים אחרות שני פוטונים נספגים, הראשון לוקח את המערכת לאנרגיית הביניים\(\omega_n\), שהיא קצרת מועד ולכן אינה מוגדרת היטב באנרגיה - אין דרישת שימור אנרגיה למצב זה, רק בין מצבים ראשוניים לסופיים.

כמובן שאם אטום במצב שרירותי נחשף לאור מונוכרומטי, אפשר גם תהליכים אחרים מסדר שני בהם נפלטים שני פוטונים, או שאחד נספג ואחד נפלט (בכל סדר).