Skip to main content
Global

9.4: ייצוג האינטראקציה

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    207118

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    נזכיר שבחלק הראשון של רצף הקורס הזה דנו כאן בייצוגים של שרדינגר והייזנברג של מכניקת הקוונטים. בייצוג שרדינגר, האופרטורים אינם תלויים בזמן (למעט פוטנציאלים תלויי זמן מפורשים) הקטים המייצגים את המצבים הקוונטיים מתפתחים בזמן. בייצוג הייזנברג, הקטים נשארים זהים, תלות הזמן היא במפעילים. ייצוגים שונים אלה מתארים את אותה פיזיקה - מרכיבי מטריקס של אופרטורים בין kets חייבים להיות זהים בשניהם. הטבעי ביותר לשימוש תלוי בבעיה בהישג יד. בגבול הקלאסי, למשל, למפעילי הייזנברג יש תלות בזמן של המפעילים הקלאסיים המתאימים.

    למעשה, לבעיות בתורת ההפרעות עם פוטנציאל תלוי זמן, ייצוג ביניים, ייצוג האינטראקציה, נוח מאוד. באמצעות כתב תחתי \(S\) לציון ייצוג שרדינגר,

    \[ i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_S(t)\rangle =H_S|\psi_S(t)\rangle =(H_S^0+V_S(t))|\psi_S(t)\rangle, \label{9.4.1}\]

    אנו מגדירים את ייצוג האינטראקציה על ידי הטרנספורמציה היחידה

    \[ |\psi_I(t)\rangle  =e^{iH^0_St/\hbar} |\psi_S(t)\rangle \label{9.4.2}\]

    כך שייצוג האינטראקציה kets ו- kets הייצוג של שרדינגר חופפים זה לזה\(t=0\), ואם האינטראקציה הייתה אפס, ייצוג האינטראקציה kets היה קבוע בזמן, כמו אלה בייצוג הייזנברג.

    עבור nonzero\(V(t)\), אם כן, התפתחות הזמן של ייצוג האינטראקציה kets נובעת לחלוטין\(V(t)\), ונמצאת בקלות על ידי הבחנה בין שני צידי המשוואה:

    \[ \begin{matrix} i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_I(t)\rangle =-H^0|\psi_I(t)\rangle+e^{iH^0_St/\hbar} i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_S(t)\rangle \\ =-H^0|\psi_I(t)\rangle+e^{iH^0_St/\hbar} (H^0_S+V_S(t))e^{-iH^0_St/\hbar}|\psi_I(t)\rangle \\ =e^{iH^0_St/\hbar} V_S(t)e^{-iH^0_St/\hbar}|\psi_I(t)\rangle \\ =V_I(t)|\psi_I(t)\rangle, \end{matrix} \label{9.4.3}\]

    שם הצגנו את מפעיל ייצוג האינטראקציה\(V_I(t)\), המוגדר על ידי \[ V_I(t)=e^{iH^0_St/\hbar} V_S(t)e^{-iH^0_St/\hbar}. \label{9.4.4}\]

    על המפעילים בייצוג זה להיות בעלי תלות בזמן זה ביחס למפעילי שרדינגר כדי להבטיח שאלמנטים מטריקס, הכמויות היחידות בעלות המשמעות הפיזית, יהיו זהים בשני הייצוגים. זאת אומרת, אנחנו חייבים

    \[ \langle f^0_I|O_I|i^0_I\rangle = \langle f^0_S|O_S|i^0_S\rangle, \label{9.4.5}\]

    שני הייצוגים חייבים לחזות את אותה משרעת הסתברות לכל מעבר. שילוב שני הצדדים של המשוואה הדיפרנציאלית,

    \[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)|\psi_I(t′)\rangle . \label{9.4.6}\]

    זה לא פתרון - בדיוק עברנו ממשוואה דיפרנציאלית למשוואה אינטגרלית. כדאי לעשות זאת רק אם \(V_I\) הוא קטן, ובמקרה זה ניתן לפתור את המשוואה האינטגרלית באופן איטרטיבי.

    הקירוב האפס הוא אז

    \[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(0)\rangle. \label{9.4.7}\]

    הכנסת ערך זה למונח הקטן בצד ימין של המשוואה האינטגרלית נותנת את הפתרון מסדר ראשון, \[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(t_0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)|\psi_I(0)\rangle . \label{9.4.8}\]

    פתרון הסדר השני ניתן כעת על ידי הכנסת פתרון הסדר הראשון לאינטגרל מימין:

    \[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)\left( |\psi_I(0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^{t′}dt′′V_I(t′′)|\psi_I(0)\rangle \right)  . \label{9.4.9}\]

    המשמעות של \(T\) הסמל היא שעל הרחבת האקספוננציאלי, המפעילים בזמנים שונים מסודרים לפי סדר הזמן, האחרון משמאל, מבלי לדאוג לקומוטטורים. אם רק נרחיב באופן עיוור את האקספוננציאלי, נקבל, למשל, מונח מסדר שלישי

    \[ T\frac{1}{3!}\left( -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)\right) \left( -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′′V_I(t′′)\right) \left( -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′′′V_I(t′′′)\right) . \label{9.4.10}\]

    \(T\)המפעיל אומר לנו לסדר מחדש את ה- \(V_I(t)\)'s בסדר כרונולוגי. מכיוון שיש שלושה מהם, הם מופיעים בבירור בכל ההזמנות האפשריות לפני שהם \(T\) פועלים, כלומר ישנם 3! מונחים מסודרים שונים \(T\) שעושים את אותו הדבר. זה פשוט מבטל יפה את 3! בהתרחבות האקספוננציאלית, כדי לתת לנו את הביטוי שמצאנו על ידי איטרציה.

    אקספוננציאלי זה שהוזמן בזמן הוא אפוא מפיץ ייצוג האינטראקציה:

    \[ |\psi_I(t)\rangle =U_I(t,0)|\psi_I(0)\rangle,\;\; U_I(t,0)=T \exp\left( -i\hbar \int_0^t dt′V_I(t′)\right) . \label{9.4.11}\]