4.8: מפעילי טנזור

מבוא: וקטורים וטנסורים קרטזיים

הפיזיקה מלאה בווקטורים: \(\vec{x}\)\(\vec{L}\), \(\vec{S}\) וכן הלאה. באופן קלאסי, וקטור (תלת מימדי) מוגדר על ידי תכונותיו תחת סיבוב: שלושת המרכיבים המתאימים לצירים הקרטזיים הופכים \(x,y,z\) כ \[ V_i\to \sum R_{ij}V_j \tag{4.8.1}\]

עם מטריצת הסיבוב הרגילה, למשל

\[ R_z(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta &-\sin\theta &0 \\ \sin\theta &\cos\theta &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix} \tag{4.8.2}\]

לסיבוב סביב \(z\) הציר. (נשתמש \((x,y,z)\) \((x_1,y_1,z_1)\)לסירוגין.)

טנסור הוא הכללה של וקטור כזה לאובייקט עם יותר מסיומת אחת, כגון, למשל, \(T_{ij}\) או \(T_{ijk}\) (בעל 9 ו -27 רכיבים בהתאמה בשלושה ממדים) עם הדרישה שרכיבים אלה יתערבבו בינם לבין עצמם תחת סיבוב על ידי כל סיומת בודדת בעקבות כלל הווקטור, למשל

\[ T_{ijk}\to \sum R_{il}R_{jm}R_{kn}T_{lmn} \tag{4.8.3}\]

\(R\)איפה אותה מטריצת סיבוב שהופכת וקטור. טנזורים שנכתבו בדרך זו נקראים טנזורים קרטזיים (מכיוון שהסיומות מתייחסות לצירים קרטזיים). מספר הסיומות הוא דרגת הטנזור הקרטזיאני, לטנזור דרגה יש כמובן רכיבים\(n\). \(3^n\)

טנזורים נפוצים בפיזיקה: הם חיוניים בתיאור מתח, עיוות וזרימה במוצקים ובנוזלים. טנסור האינרציה הוא הבסיס לניתוח תנועה זוויתית במכניקה הקלאסית. כוחות טנסור חשובים בדינמיקה של הדאוטרון, ולמעשה נוצרים טנזורים לכל חלוקת מטען מסובכת יותר מדיפול. כשהוא עובר לארבעה ממדים, והכללה מסיבובים לתמורות לורנץ, המשוואות של מקסוול מתבטאות באופן הטבעי ביותר בצורת טנזור, והטנזורים הם מרכזיים ביחסיות הכללית.

כדי לחזור לפיזיקה הלא רלטיביסטית, מכיוון שהתכונה המגדירה של טנזור היא התנהגותו תחת סיבובים, קואורדינטות קוטביות כדוריות הן לפעמים בסיס טבעי יותר מקואורדינטות קרטזיות. למעשה, בבסיס זה לטנסורים (הנקראים טנזורים כדוריים) יש תכונות סיבוביות הקשורות קשר הדוק לאלה של מצבים עצמיים של תנע זוויתי, כפי שיתברר בסעיפים הבאים.

מפעיל הסיבוב במרחב Eigenket המומנטום הזוויתי

כמקדים לדיון בטנזורים כלליים במכניקת הקוונטים, אנו סוקרים בקצרה את אופרטור הסיבוב ואת מפעילי הווקטור הקוונטי. (טיפול מלא ניתן בהרצאת 751 שלי.) נזכיר כי מפעיל הסיבוב מפנה ket בזווית \(\vec{\theta}\) (כיוון הווקטור מציין את ציר הסיבוב, גודלו הזווית שהופנתה) הוא

\[ U(R(\vec{\theta}))=e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}} \tag{4.8.4}\]

מכיוון \(\vec{J}\) שנוסעים עם המומנטום הזוויתי הכולל בריבוע\(\vec{J}^2=j(j+1)\hbar^2\), אנו יכולים להגביל את תשומת ליבנו למומנטום זוויתי כולל נתון\(j\), כאשר כרגיל נקבע בסיס אורתונורמלי\(|j,m\rangle\), או \(|m\rangle\) בקיצור, עם \(2j+1\) רכיבים, ket כללי \(|\alpha\rangle\) במרחב זה הוא אז:

\[ |\alpha\rangle=\sum_{m=-j}^{j} \alpha_m |m\rangle . \tag{4.8.5}\]

סיבוב ket זה, \[ |\alpha\rangle\to |\alpha'\rangle=e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}} |\alpha\rangle \tag{4.8.6}\]

הכנסת מערך מצבים שלם ושימוש בסימון הסטנדרטי לרכיבי מטריצה של מפעיל הסיבוב,

\[\begin{align} |\alpha'\rangle &=e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}} |\alpha\rangle \\[5pt] &=\sum_{m',m} \alpha_m |m'\rangle \langle m'|e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}|m\rangle \\[5pt] &= \sum_{m',m} D^{(j)}_{m'm} (R(\vec{\theta})) \alpha_m |m'\rangle .\tag{4.8.7} \end{align}\]

\(D^{(j)}_{m'm}=\langle m'|e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}|m\rangle\)הוא סימון סטנדרטי (ראה את ההרצאה הקודמת).

אז הטרנספורמציה של סיבוב ket היא

\[ \alpha'_{m'}=\sum_m D^{(j)}_{m'm} \alpha_m, \;\; or\; \alpha'=D\alpha . \tag{4.8.8}\]

עם כללי כפל המטריצה הרגילים.

סיבוב Ket בסיס

כעת נניח שאנו מיישמים את מפעיל הסיבוב על אחד מכסי הבסיס\(|j,m\rangle\), מה התוצאה? \[ e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}|j,m\rangle =\sum_{m'} |j,m'\rangle \langle j,m'|e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}|j,m\rangle =\sum_{m'} |j,m'\rangle D^{(j)}_{m'm}(R) \tag{4.8.9}\]

שימו לב להיפוך של m, m 'בהשוואה לפעולה על קבוצת מקדמי הרכיבים של הקט הכללי.

(אולי אתה חושב: חכה רגע, \(|j,m\rangle\) הוא ket בחלל - אפשר לכתוב \(\sum \alpha_{m''} |j,m''\rangle\) איתו\(\alpha_{m''}=\delta_{m''m}\), כדי שנוכל להשתמש בכלל הקודם \( \alpha'_{m'}=\sum_m D^{(j)}_{m'm} \alpha_m\) כדי לקבל

\[\alpha'_{m'}=\sum_m D^{(j)}_{m'm''} \alpha_{m''}= \alpha'_{m'}=\sum_m D^{(j)}_{m'm''} \delta_{m''m}=D^{(j)}_{m'm}.\]

באופן מרגיע, זה מוביל לאותה תוצאה שמצאנו זה עתה.)

סיבוב מפעיל, מפעילים סקלריים

בדיוק כמו בניסוחים של שרדינגר לעומת הייזנברג, אנו יכולים להחיל את מפעיל הסיבוב על הכוסות ולהשאיר את המפעילים לבד, או שנוכל להשאיר את הכוסות לבד ולסובב את המפעילים:

\[ A\to e^{\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}Ae^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}=U^{\dagger}AU \tag{4.8.10}\]

אשר יניב את אותם אלמנטים מטריקס, כך אותה פיזיקה.

אופרטור סקלרי הוא אופרטור שאינו משתנה תחת סיבובים, למשל המילטוניאן של חלקיק בפוטנציאל סימטרי כדורית. (ישנן דוגמאות רבות פחות טריוויאליות של אופרטורים סקלריים, כגון תוצר הנקודה של שני אופרטורים וקטוריים, כמו בצימוד מסלול ספין.)

הטרנספורמציה של מפעיל תחת סיבוב אינסופי ניתנת על ידי:

\[ S\to U^{\dagger}(R)SU(R) \]

עם

\[U(R)=1-\frac{i\vec{\varepsilon}\cdot\vec{J}}{\hbar} \tag{4.8.11}\]

שממנו

\[ S \to S+\left[\frac{i\vec{\varepsilon}\cdot\vec{J}}{\hbar}, S\right]. \tag{4.8.12}\]

מכאן נובע כי מפעיל סקלרי\(S\), שאינו משתנה כלל, חייב לנסוע עם כל מרכיבי מפעיל המומנטום הזוויתי, ולכן חייב להיות לו קבוצה משותפת של גלגלים עצמיים עם, למשל, ו. \(\vec{J}^2\) \(J_z\)

מפעילי וקטור: מאפייני הגדרה וקומוטציה

אופרטור וקטור מכני קוונטי \(\vec{V}\) מוגדר על ידי דרישה שערכי הציפייה של שלושת מרכיביו בכל מצב ישתנו כמו מרכיבי וקטור קלאסי תחת סיבוב.

מכאן נובע כי המפעיל עצמו חייב להפוך וקטורית,

\[ V'_i = U^{\dagger}(R)V_i U(R)=\sum R_{ij}V_j \tag{4.8.13}\]

כדי לראות מה זה מרמז, זה הכי קל להסתכל על מקרה פשוט. לסיבוב אינסופי סביב הציר, \(z\)

\[ R_z(\varepsilon)=\begin{pmatrix} 1&-\varepsilon&0 \\ \varepsilon&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \tag{4.8.14}\]

הווקטור הופך

\[ \begin{pmatrix} V_x \\ V_y \\ V_z \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&-\varepsilon&0 \\ \varepsilon&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V_x \\ V_y \\ V_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V_x-\varepsilon V_y \\ V_y+\varepsilon V_x \\ V_z \end{pmatrix} \tag{4.8.15}\]

מפעיל החלל הילברט היחיד U המתאים לסיבוב \(U(R_z(\varepsilon)=1-\frac{i\varepsilon J_z}{\hbar}\) זה, כך

\[\begin{align} U^{\dagger}V_i U &= (1+i\varepsilon J_z/\hbar)V_i(1-i\varepsilon J_z/\hbar) \\[5pt] &=V_i+\frac{i\varepsilon}{\hbar}[J_z,V_i] \tag{4.8.16} \end{align}\]

הדרישה ששתי התמורות לעיל, הסיבוב הקלאסי האינסופי שנוצר על ידי \(R_z(\varepsilon)\) והטרנספורמציה היחידה האינסופית\(U^{\dagger}(R)V_i U(R)\), הם למעשה אותו דבר מניב את יחסי ההחלפה של מפעיל וקטורי עם תנע זוויתי:

\[ i[J_z,V_x]=-\hbar V_y \\ i[J_z,V_y]=+\hbar V_x \tag{4.8.17}\]

מתוצאה זו ומקבילותיה המחזוריות, המרכיבים של כל מפעיל וקטורי \(\vec{V}\) חייבים לספק:

\[ [V_i,J_j]=i\varepsilon_{ijk}\hbar V_k . \tag{4.8.18}\]

תרגיל: ודא שהמרכיבים של\(\vec{x}\),\(\vec{L}\), \(\vec{S}\) אכן מספקים את יחסי ההחלפה הללו.

(הערה: באופן מבלבל, יש מצב מעט שונה בו אנו צריכים לסובב מפעיל, וזה נותן תוצאה הפוכה. נניח שמפעיל T פועל על ket \(|\alpha\rangle\) כדי לתת את ket\(|\alpha'\rangle=T|\alpha\rangle\). עבור kets \(|\alpha'\rangle\) וללכת \(|\alpha\rangle\) \(U|\alpha\rangle\) ו \(U|\alpha'\rangle\) בהתאמה תחת סיבוב \(U,T\) עצמו חייב להשתנות כמו \(T \to UTU^{\dagger}\) (זוכר\(U^{\dagger}=U^{-1}\)). העניין הוא שמדובר בשינוי שרדינגר ולא בטרנספורמציה מסוג הייזנברג: אנחנו מסובבים את המחבטים, לא את המפעילים.)

אזהרה: האם אופרטור וקטורי משתנה כמו מרכיבי וקטור או כמו נקודות הבסיס של החלל? תראה את זה כתוב בשני הכיוונים, אז היזהר!

כבר הגדרנו את זה כטרנספורמציה כמו הרכיבים:

\[ V'_i = U^{\dagger}(R)V_i U(R)=\sum R_{ij}V_j \tag{4.8.13}\]

אבל אם ניקח כעת את הסיבוב ההפוך, המטריצה היחידה \(U(R)\) מוחלפת בהיפוך שלה \(U^{\dagger}(R)\) ולהיפך. זכור גם שמטריצת הסיבוב המרחבי הרגילה \(R\) היא אורתוגונלית, ולכן ההיפוך שלה הוא הטרנספוזיציה שלה, והמשוואה לעיל שווה ערך ל

\[ V'_i = U(R)V_i U^{\dagger}(R)=\sum R_{ji}V_j . \tag{4.8.19}\]

הגדרה זו של אופרטור וקטורי היא שהאלמנטים שלו משתנים בדיוק כמו נקודות הבסיס של החלל - לכן חשוב לבחון היטב את המשוואה כדי להבין מהי מטריצת הסיבוב, ואיזה הפוך שלה!

צורה שנייה זו של המשוואה היא זו הנמצאת בשימוש נפוץ.

מפעילי טנזור קרטזיים

מההגדרה שניתנה קודם לכן, תחת סיבוב האלמנטים של טנזור קרטזיאני בדרגה שתיים הופכים כ:

\[ T_{ij}\to T_{ij}'=\sum \sum R_{ii'}R_{jj'}T_{i'j'}. \tag{4.8.20}\]

\(R_{ij}\)איפה מטריצת הסיבוב של וקטור.

זה מאיר לשקול דוגמה מסוימת לטנזור מדרגה שנייה,\(T_{ij}=U_iV_j\), היכן \(\vec{V}\) והם \(\vec{U}\) וקטורים תלת מימדיים רגילים.

הבעיה עם טנזור זה היא שהוא ניתן לצמצום, השימוש במילה באותו מובן כמו בדיון שלנו בייצוגים קבוצתיים דן בתוספת מומנטה זוויתית. כלומר, ניתן לסדר שילובים של האלמנטים בסטים כך שסיבובים פועלים רק בתוך קבוצות אלה. זה בא לידי ביטוי על ידי כתיבה:

\[ U_iV_j=\frac{\vec{U}\cdot\vec{V}}{3}\delta_{ij}+\frac{(U_iV_j-U_jV_i)}{2}+\left( \frac{U_iV_j+U_jV_i}{2}-\frac{\vec{U}\cdot\vec{V}}{3}\delta_{ij} \right). \tag{4.8.21}\]

המונח הראשון, תוצר הנקודה של שני הווקטורים, הוא בבירור סקלר תחת סיבוב, המונח השני, שהוא טנסור אנטי-סימטרי כולל שלושה מרכיבים עצמאיים שהם המרכיבים הווקטוריים של המוצר הווקטורי\(\vec{U}\times\vec{V}\), והמונח השלישי הוא טנסור חסר עקבות סימטרי, שיש לו חמישה רכיבים עצמאיים. בסך הכל, אם כן, ישנם \(1+3+5=9\) רכיבים, כנדרש.

טנסורים כדוריים

שימו לב למספר האלמנטים של תת-הקבוצות הבלתי ניתנות לצמצום אלה: \(1,3,5\) אלה בדיוק מספר האלמנטים של ייצוגי מומנטה זוויתיים עבור י = 0, 1, 2!

זה כמובן לא צירוף מקרים: כפי שנבהיר יותר להלן, וקטור תלת מימדי הוא איזומורפי מתמטי לסיבוב קוונטי, הטנסור שכתבנו הוא אפוא תוצר ישיר של שני ספינים אחד, כך, בדיוק כפי שאנו טוענים בדיון על תוספת של מומנטה זוויתית, זה יהיה ייצוג הניתן לצמצום של קבוצת הסיבוב, ויהיה סכום ייצוגים המתאימים למומנטה הזוויתית הכוללת האפשרית מהוספת שני סיבובים אחד, כלומר,. \(j=0, 1, 2\)

כפי שנדון קודם לכן, רכיבי המטריצה של מפעיל הסיבוב \[ U(R(\vec{\theta}))=e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot \vec{J}}{\hbar}} \tag{4.8.22}\]

בתוך \(j\) תת-מרחב מוגדר נכתבים \[ D^j_{m'm}(R(\vec{\theta}))=\langle j,m'|e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot \vec{J}}{\hbar}} |j,m\rangle \tag{4.8.23}\]

אז תחת מפעיל סיבוב מצב בסיס \(|j,m\rangle\) הופך כ: \[ e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}} |j,m\rangle =\sum_{m'}|j,m'\rangle \langle j,m'|e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}} |j,m\rangle =\sum_{m'}|j,m'\rangle  D^{(j)}_{m'm}(R). \tag{4.8.24}\]

הנקודה המהותית היא שתת-הקבוצות הבלתי ניתנות לצמצום שאליהן מתפרקים הטנסורים הקרטזיים תחת סיבוב (הכללה מהדוגמה היחידה שלנו) יוצרים מערך בסיס טבעי יותר של טנזורים לבעיות בסימטריות סיבוביות.

הגדרה: טנזור כדורי

אנו מגדירים טנזור כדורית בדרגה \(k\) כקבוצה של \(2k+1\) אופרטורים\(T^q_k\), \(q=k,k-1,\dots,-k\) כך שתחת סיבוב הם הופכים בינם לבין עצמם באותה מטריצת מקדמים בדיוק כמו זו של המומנטום \(2j+1\) הזוויתי העצמאי \(|m\rangle\) עבור, כלומר\(k=j\), \[ U(R)T^q_k U^{\dagger}(R)=\sum_{q'}D(k)q'qTq'k . \tag{4.8.25}\]

כדי לראות את המאפיינים של טנזורים כדוריים אלה, כדאי להעריך את המשוואה לעיל עבור סיבובים אינפיניטסימליים, שעבורם \[ D^{(k)}_{q'q}(\vec{\varepsilon})=\langle k,q'|I-i\vec{\varepsilon}\cdot \vec{J}/\hbar |k,q\rangle =\delta_{q'q}-i\vec{\varepsilon}\cdot \langle k,q'|\vec{J}/\hbar |k,q\rangle .\tag{4.8.26}\]

(אלמנט המטריצה \(\langle k,q'|\vec{J}/\hbar |k,q\rangle\) הוא רק מקדם Clebsch Gordan המוכר בסימון שונה: הדרגה \(k\) תואמת את הרגיל \(q\) ולמספר \(j\) הקוונטי "המגנטי".) \(m\)

באופן ספציפי, שקול סיבוב אינסופי. \(\vec{\varepsilon}\cdot \vec{J}=\varepsilon J_+\) (באופן קפדני, זה לא סיבוב אמיתי, אבל לפורמליזם לא אכפת, ואת התוצאה שאנו מפיקים ניתן לאשר על ידי סיבוב על \(x\) \(y\) והכיוונים והוספת מונחים מתאימים.)

המשוואה היא \[ (1-i\varepsilon J_+/\hbar )T^q_k (1+i\varepsilon J_+/\hbar )=\sum_{q'}(\delta_{q'q}-i\varepsilon \langle k,q'|J_+/\hbar |k,q\rangle )Tq'k \tag{4.8.27}\]

ומשווים מונחים ליניאריים ב, \(\varepsilon\) \[ [J\pm ,T^q_k ]=\pm \hbar \sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)} T^{q\pm 1}_k \\ [Jz,T^q_k ]=\hbar qT^q_k . \tag{4.8.28}\]

Sakurai מציין כי קבוצה זו של יחסי קומוטציה יכולה להיחשב כהגדרת הטנסורים הכדוריים.

הערה הערה: עקבנו אחר שנקר כאן בדרגת \(k\) המשנה, המספר הקוונטי "המגנטי" \(q\) ככתב עליון, אותה מוסכמה המשמשת להרמוניות הכדוריות (אך לא למטריצות!) \(D\) Sakurai, Baym ואחרים יש את הדירוג לעיל, בדרך כלל בסוגריים, ואת המספר המגנטי להלן. למרבה המזל, כולם משתמשים בדרגה \(k\) \(q\) ולמספר קוונטי מגנטי.

וקטור כדורי

גלגלי המומנטום \(j=1\) הזוויתי הם רק ההרמוניות הכדוריות המוכרות \[ Y^0_1=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{z}{r},\; Y^{\pm 1}_1=\mp \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{x\pm iy}{\sqrt{2}r}. \tag{4.8.29}\]

מפעיל הסיבוב יהפוך \((x,y,z)\) כווקטור רגיל בשלושה מרחבים, וזה כנראה שווה ערך ל \[ |j=1,m\rangle \to \sum_{m'}|j=1,m'\rangle  D^{(j)}_{m'm}(R) \tag{4.8.30}\]

מכאן נובע כי לייצוג הכדורי של וקטור שלושה \((V_x, V_y, V_z)\) יש את הצורה:

\[ T^{\pm 1}_1=\mp \frac{V_x\pm iV_y}{\sqrt{2}}=V^{\pm 1}_1,\; T^0_1=V_z=V^0_1. \tag{4.8.31}\]

בהתאם לסימון טנסור כדורי, הרכיבים \((T^1_1, T^0_1, T^{-1}_1)\) מסומנים. \(T^q_1\)

מרכיבי מטריקס של מפעילי טנסור בין עצמיות מומנטום זוויתי

בהגדרה, מפעיל טנסור בלתי ניתן לצמצום \(T^q_k\) הופך תחת סיבוב כמו eigenket מומנטום זוויתי. \(|k,q\rangle\) לכן, סיבוב ket\(T^q_k |j,m\rangle\), \[U T^q_k|j,m\rangle=U T^q_k U^{-1}U|j,m\rangle =\sum_{q'}D^{(k)}_{q'q}T^{q'}_k \sum_{m'}D^{(j)}_{m'm}|j,m'\rangle . \tag{4.8.32}\]

המכפלה של שתי \(D\) המטריצות המופיעות היא בדיוק קבוצת המקדמים לסיבוב התוצר הישיר של גלגלים עצמיים \(|k,q\rangle \otimes |j,m\rangle\) היכן \(|k,q\rangle\) שיש למומנטום הזוויתי. \(j=k, m=q\)

פגשנו בעבר את התוצר הישיר הזה של שני גלגלי תנע זוויתיים: זו רק מערכת בעלת שתי מומנטות זוויתיות, כגון מומנטה זוויתית מסלולית בתוספת ספין. אז אנו רואים \(T^q_k\) שפעולה על \(|j,m\rangle\) יוצרת מצב בעל תנע זוויתי כולל סכום \((k,q)\) ו\((j,m)\).

כדי לקשר (פחות או יותר) עם הסימון של שנקר: מצב \(|k,q\rangle \otimes |j,m\rangle\) המוצר הישיר שלנו זהה \(|k,q;j,m\rangle\) \(|j_1,m_1;j_2,m_2\rangle\) לסימון למצב מוצר של שתי מומנטה זוויתית (אולי כולל ספינים). ניתן לכתוב מצב כזה כסכום על מצבי הצורה \(|j_{tot},m_{tot};j_1,j_2\rangle\) שבהם זה מציין מצב של תנע זוויתי כולל\(j_{tot}\), \(z\) - רכיב כיוון\(m_{tot}\), המורכב משני ספינים בעלי תנע זוויתי כולל \(j_1,j_2\) בהתאמה.

זהו הסכום הסטנדרטי של קלבש-גורדן: \[ |j_1,m_1;j_2,m_2\rangle =\sum_{j_{tot}=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{m_{tot}=-j_{tot}}^{j_{tot}} |j_{tot},m_{tot};j_1,j_2\rangle \langle j_{tot},m_{tot};j_1,j_2|j_1,m_1;j_2,m_2\rangle . \tag{4.8.33}\]

המונחים המסוכמים נותנים מפעיל יחידה בתוך מרחב \((2j_1+1)(2j_2+1)\) ממדי זה, המונח \(\langle j_{tot},m_{tot};j_1,j_2|j_1,m_1;j_2,m_2\rangle\) הוא מקדם קלבש-גורדן. למקדמים היחידים שאינם אפס יש\(m_{tot}=m_1+m_2\), \(j_{tot}\) ומוגבלים כאמור, אז בהתחשב בכך \(m_1, m_2\) שקבענו זה עתה\(m_{tot}=m_1+m_2\), איננו מסתכמים\(m_{tot}\), והסכום נגמר \(j_{tot}\) מתחיל ב\(|m_{tot}|\).

לתרגם \(|k,q\rangle \otimes |j,m\rangle\) לסימון שלנו, ולנקות, \[ |k,q;j,m\rangle =\sum_{j_{tot}=|q+m|}^{k+j} |j_{tot},q+m;k,j\rangle \langle j_{tot},q+m;k,j|k,q;j,m\rangle . \tag{4.8.34}\]

כעת אנו מסוגלים להעריך את המרכיב הזוויתי של אלמנט המטריצה של מפעיל טנסור כדורי בין גלגלי תנע זוויתי: אנו רואים שהוא יהיה רק ללא אפס עבור\(m_{tot}=m_1+m_2\), ולפחות. \(j_{tot}\) \(|m_{tot}|\)

משפט ויגנר אקרט

בשלב זה, עלינו לזכור כי מפעילי טנסור אלה אינם בהכרח רק פונקציות של זווית. לדוגמה, אופרטור המיקום הוא וקטור כדורי כפול המשתנה הרדיאלי\(r\), ו- kets המציינים מצבים עצמיים אטומיים יכללו מספרים קוונטיים רדיאליים כמו גם תנע זוויתי, כך שלאלמנט המטריצה של טנסור בין שני מצבים תהיה הצורה \[ \langle \alpha_2,j_2,m_2|T^q_k |\alpha 1,j_1,m_1\rangle , \tag{4.8.35}\]

כאשר ה- \(j\)'s ו- \(m\)'s מציינים את מצבי המומנטום הזוויתי הרגילים וה- s הם מספרים קוונטיים לא זוויתיים, כגון אלה \(\alpha\) של מצבים רדיאליים.

הנקודה הבסיסית של משפט ויגנר-אקרט היא שניתן לחשב את התלות הזוויתית של אלמנטים מטריקס אלה, והיא ניתנת על ידי מקדמי קלבש-גורדן.

לאחר שבדקנו זאת, התלות שנותרה, שנמצאת רק במומנטום הזוויתי הכולל בכל אחד מהקטים, ולא בכיוון היחסי (וכמובן ב- \(\alpha\)'s), נכתבת באופן מסורתי כסוגר עם קווים כפולים, כלומר, \[ \langle \alpha_2,j_2,m_2j+1|T^q_k |\alpha 1,j_1,m_1\rangle =\frac{\langle \alpha_2,j_2||T_k||\alpha 1,j_1\rangle}{\sqrt{2j+1}}\cdot \langle j_2,m_2|k,q;j_1,m_1\rangle . \tag{4.8.36}\]

המכנה הוא הנורמליזציה המקובלת של אלמנט המטריצה הכפולה. ההוכחה ניתנת, למשל, בסקוראי (עמוד 239) והיא לא כל כך קשה. האסטרטגיה הבסיסית היא לשים את הזהויות המגדירות \[ [J\pm ,T^q_k ]=\pm \hbar \sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)} T^{q\pm 1}{k} \\ [J_z,T^q_k ]=\hbar qT^q_k \tag{4.8.37}\]

בין \(|\alpha ,j,m\rangle\) חזיות לחבטים, ואז היפטר מה- \(J_{\pm}\) ועל \(J_z\) ידי כך שהם פועלים על החזייה או החבית. זה מייצר סדרה של משוואות לינאריות עבור אלמנטים \(\langle \alpha_2,j_2,m_2|T^q_k |\alpha 1,j_1,m_1\rangle\) מטריקס עם \(m\) משתנים השונים זה מזה, ולמעשה קבוצה זו של משוואות לינאריות זהה לסט המייצר את מקדמי קלבש-גורדן, ולכן עלינו להסיק כי אלמנטים מטריצת טנסור כדוריים אלה, הנעים על פני אפשרי \(m\) \(j\) וערכים, הם פרופורציונליים בדיוק למקדמי קלבש-גורדן - וזה המשפט.

כמה רמזים לבעיה של שנקר 15.3.3: אותו אלמנט מטריצה ראשון נובע מהוספת ספין לסיבוב \(j\) 1, כתיבת \(m\) המצב המקסימלי הרגיל, החלת האופרטור המוריד לשני הצדדים כדי לקבל את מצב המומנטום הזוויתי הכולל, ואז מציאת אותו \(j+1, m=j\) מצב m אורתוגונלי לזה, התואם את המומנטום הזוויתי הכולל \(j\) (במקום). \(j+1\)

עבור המפעיל\(J\), אלמנט המטריצה של Wigner-Eckart מפשט מכיוון \(J\) שאינו יכול להשפיע\(\alpha\), וגם הוא נוסע איתו\(J^2\), ולכן אינו יכול לשנות את המומנטום הזוויתי הכולל.

אז, במשוואת וויגנר-אקרט, החלף \(T^q_k\) בצד שמאל ב-, שזה פשוט. \(J^0_1\) \(J_z\) התוצאה של (1) צריכה לעקוב.

(2) שים לב ראשית שמפעיל סקלרי אינו יכול להשתנות\(m\). מאז \(c\) הוא בלתי תלוי \(A\) אנחנו יכולים לקחת \(A=J\) כדי למצוא\(c\).