9.8: מעריכים רציונליים

מטרות למידה

בסוף פרק זה, תוכל:

• פשט ביטויים עם \(a^{\frac{1}{n}}\)
• פשט ביטויים עם \(a^{\frac{m}{n}}\)
• השתמש בחוקי האקספונסנטים כדי פשוט לביטויים עם מעריכים רציונליים

להיות מוכן

לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

1. הוסף:\(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\).
   אם פספסת בעיה זו, סקור את [קישור].
2. פשט:\((4x^{2}y^{5})^3\).
   אם פספסת בעיה זו, סקור את [קישור].
3. פשט:\(5^{−3}\).
   אם פספסת בעיה זו, סקור את [קישור].

פשט ביטויים עם \(a^{\frac{1}{n}}\)

אקספונסנטים רציונליים הם דרך נוספת לכתוב ביטויים עם רדיקלים. כאשר אנו משתמשים במעריכים רציונליים, אנו יכולים ליישם את המאפיינים של אקספונסנטים כדי לפשט ביטויים.

מאפיין הכוח עבור אקספוננטים אומר \((a^m)^n=a^{m·n}\) שכאשר m ו - n הם מספרים שלמים. נניח שאנחנו עכשיו לא מוגבלים למספרים שלמים.

נניח שאנחנו רוצים למצוא מספר p כזה\((8^p)^3=8\). אנו נשתמש במאפיין הכוח של אקספונסנטים כדי למצוא את הערך של p.

\[\begin{array}{cc} {}&{(8^p)^3=8}\\ {\text{Multiply the exponents on the left.}}&{8^{3p}=8}\\ {\text{Write the exponent 1 on the right.}}&{8^{3p}=8^1}\\ {\text{The exponents must be equal.}}&{3p=1}\\ {\text{Solve for p.}}&{p=\frac{1}{3}}\\ \nonumber \end{array}\]

אבל אנחנו גם יודעים\((\sqrt[3]{8})^3=8\). אז זה חייב להיות \(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\)

אותו היגיון יכול לשמש עבור כל מעריך מספר שלם חיובי n כדי להראות את זה. \(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)

הגדרה: אקספקטנט רציונלי \(a^{\frac{1}{n}}\)

אם \(\sqrt[n]{a}\) הוא מספר אמיתי ו\(n \ge 2\),\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

יהיו זמנים שבהם העבודה עם ביטויים תהיה קלה יותר אם תשתמש במעריכים רציונליים וזמנים שבהם יהיה קל יותר אם תשתמש ברדיקלים. בדוגמאות הראשונות תתרגל המרת ביטויים בין שני הסימונים הללו.

דוגמא \(\PageIndex{1}\)

כתוב כביטוי רדיקלי:

1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
3. \(z^{\frac{1}{4}}\).

תשובה

אנחנו רוצים לכתוב כל ביטוי בצורה\(\sqrt[n]{a}\).

1.	\(x^{\frac{1}{2}}\)
המכנה של המעריך הוא 2, כך שמדד הרדיקל הוא 2. אנחנו לא מראים את המדד כאשר הוא 2.	\(\sqrt{x}\)
2.	\(y^{\frac{1}{3}}\)
המכנה של המעריך הוא 3, כך שהמדד הוא 3.	\(\sqrt[3]{y}\)
3.	\(z^\frac{1}{4}}\)
המכנה של המעריך הוא 4, כךהמדד הוא 4.	\(\sqrt[4]{z}\)

דוגמא \(\PageIndex{2}\)

כתוב כביטוי רדיקלי:

1. \(t^{\frac{1}{2}}\)
2. \(m^{\frac{1}{3}}\)
3. \(r^{\frac{1}{4}}\).

תשובה

1. \(\sqrt{t}\)
2. \(\sqrt[3]{m}\)
3. \(\sqrt[4]{r}\)

דוגמא \(\PageIndex{3}\)

כתוב כביטוי רדיקלי:

1. \(b^{\frac{1}{2}}\)
2. \(z^{\frac{1}{3}}\)
3. \(p^{\frac{1}{4}}\).

תשובה

1. \(\sqrt{b}\)
2. \(\sqrt[3]{z}\)
3. \(\sqrt[4]{p}\)

דוגמא \(\PageIndex{4}\)

כתוב עם מעריך רציונלי:

1. \(\sqrt{x}\)
2. \(\sqrt[3]{y}\)
3. \(\sqrt[4]{z}\).

תשובה

אנחנו רוצים לכתוב כל רדיקל בצורה\(a^{\frac{1}{n}}\).

1.	\(\sqrt{x}\)
לא מוצג אינדקס, ולכן הוא 2. המכנה של המעריך יהיה 2.	\(x^{\frac{1}{2}}\)
2.	\(\sqrt[3]{y}\)
המדד הוא 3, ולכן המכנה של המעריך הוא 3.	\(y^{\frac{1}{3}}\)
3.	\(\sqrt[4]{z}\)
המדד הוא 4, ולכן המכנה של המעריך הוא 4.	\(z^{\frac{1}{4}}\)

דוגמא \(\PageIndex{5}\)

כתוב עם מעריך רציונלי:

1. \(\sqrt{s}\)
2. \(\sqrt[3]{x}\)
3. \(\sqrt[4]{b}\).

תשובה

1. \(s^{\frac{1}{2}}\)
2. \(x^{\frac{1}{3}}\)
3. \ (b^ {\ frac {1} {4}}\

דוגמא \(\PageIndex{6}\)

כתוב עם מעריך רציונלי:

1. \(\sqrt{v}\)
2. \(\sqrt[3]{p}\)
3. \(\sqrt[4]{p}\).

תשובה

1. \(v^{\frac{1}{2}}\)
2. \(p^{\frac{1}{3}}\)
3. \(p^{\frac{1}{4}}\)

דוגמא \(\PageIndex{7}\)

כתוב עם מעריך רציונלי:

1. \(\sqrt{5y}\)
2. \(\sqrt[3]{4x}\)
3. \(3\sqrt[4]{5z}\).

תשובה

1.	\(\sqrt{5y}\)
לא מוצג אינדקס, ולכן הוא 2. המכנה של המעריך יהיה 2.	\((5y)^{\frac{1}{2}}\)
2.	\(\sqrt[3]{4x}\)
המדד הוא 3, ולכן המכנה של המעריך הוא 3.	\((4x)^{\frac{1}{3}}\)
3.	\(3\sqrt[4]{5z}\)
המדד הוא 4, ולכן המכנה של המעריך הוא 4.	\(3(5z)^{\frac{1}{4}}\)

דוגמא \(\PageIndex{8}\)

כתוב עם מעריך רציונלי:

1. \(\sqrt{10m}\)
2. \(\sqrt[5]{3n}\)
3. \(3\sqrt[4]{6y}\).

תשובה

1. \((10^m)^{\frac{1}{2}}\)
2. \((3n)^{\frac{1}{5}}\)
3. \((486y)^{\frac{1}{4}}\)

דוגמא \(\PageIndex{9}\)

כתוב עם מעריך רציונלי:

1. \(\sqrt[7]{3k}\)
2. \(\sqrt[4]{5j}\)
3. \(\sqrt[3]{82a}\).

תשובה

1. \((3k)^{\frac{1}{7}}\)
2. \((5j)^{\frac{1}{4}}\)
3. \((1024a)^{\frac{1}{3}}\)

בדוגמה הבאה, ייתכן שיהיה לך קל יותר לפשט את הביטויים אם תשכתב אותם תחילה כרדיקלים.

דוגמא \(\PageIndex{10}\)

פשט:

1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
3. \(256^{\frac{1}{4}}\).

תשובה

1.	\(25^{\frac{1}{2}}\)
לשכתב כשורש ריבועי.	\(\sqrt{25}\)
לפשט.	5
2.	\(64^{\frac{1}{3}}\)
לשכתב כשורש קובייה.	\(\sqrt[3]{64}\)
להכיר 64 הוא קובייה מושלמת.	\(\sqrt[3]{4^3}\)
לפשט.	4
3.	\(256^{\frac{1}{4}}\)
כתוב מחדש כשורש רביעי.	\(\sqrt[4]{256}\)
להכיר 256 הוא כוח רביעי מושלם.	\(\sqrt[4]{4^4}\)
לפשט.	4

דוגמא \(\PageIndex{11}\)

פשט:

1. \(36^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(16^{\frac{1}{4}}\).

תשובה

1. 6
2. 2
3. 2

דוגמא \(\PageIndex{12}\)

פשט:

1. \(100^{\frac{1}{2}}\)
2. \(27^{\frac{1}{3}}\)
3. \(81^{\frac{1}{4}}\).

תשובה

1. 10
2. 3
3. 3

היזהר ממיקום הסימנים השליליים בדוגמה הבאה. נצטרך להשתמש בנכס \(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\) במקרה אחד.

דוגמא \(\PageIndex{13}\)

פשט:

1. \((−64)^{\frac{1}{3}}\)
2. \(−64^{\frac{1}{3}}\)
3. \((64)^{−\frac{1}{3}}\).

תשובה

1.	\((−64)^{\frac{1}{3}}\)
לשכתב כשורש קובייה.	\(\sqrt[3]{−64}\)
כתוב מחדש 64 כקובייה מושלמת.	\(\sqrt[3]{(−4)^3}\)
לפשט.	-4
2.	\(−64^{\frac{1}{3}}\)
המעריך חל רק על 64.	\(−(64^{\frac{1}{3}})\)
לשכתב כשורש קובייה.	\(−\sqrt[3]{64}\)
לשכתב 64 כמו\(4^3\).	\(−\sqrt[3]{4^3}\)
לפשט.	-4
3.	\((64)^{−\frac{1}{3}}\)
לשכתב כשבר עם אקספקטנט חיובי, באמצעות המאפיין, \(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\). כתוב כשורש קוביה.	\(\frac{1}{\sqrt[3]{64}}\)
לשכתב 64 כמו\(4^3\).	\(\frac{1}{\sqrt[3]{4^3}}\)
לפשט.	\(\frac{1}{4}\)

דוגמא \(\PageIndex{14}\)

פשט:

1. \((−125)^{\frac{1}{3}}\)
2. \(−125^{\frac{1}{3}}\)
3. \((125)^{−\frac{1}{3}}\).

תשובה

1. -5
2. -5
3. \(\frac{1}{5}\)

דוגמא \(\PageIndex{15}\)

פשט:

1. \((−32)^{\frac{1}{5}}\)
2. \(−32^{\frac{1}{5}}\)
3. \((32)^{−\frac{1}{5}}\).

תשובה

1. -2
2. -2
3. \(\frac{1}{2}\)

דוגמא \(\PageIndex{16}\)

פשט:

1. \((−16)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(−16^{\frac{1}{4}}\)
3. \((16)^{−\frac{1}{4}}\).

תשובה

1.	\((−16)^{\frac{1}{4}}\)
כתוב מחדש כשורש רביעי.	\(\sqrt[4]{−16}\)
אין מספר ממשי שהכוח הרביעי שלו הוא -16.
2.	\(−16^{\frac{1}{4}}\)
המעריך חל רק על 16.	\(−(16^{\frac{1}{4}})\)
כתוב מחדש כשורש רביעי.	\(−\sqrt[4]{16}\)
לשכתב 16 כ \(2^4\)	\(−\sqrt[4]{2^4}\)
לפשט.	-2
3.	\((16)^{−\frac{1}{4}}\)
לשכתב כשבר עם אקספקטנט חיובי, באמצעות המאפיין, \(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).	\(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\)
כתוב מחדש כשורש רביעי.	\(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\)
לשכתב 16 כמו\(2^4\).	\(\frac{1}{\sqrt[4]{2^4}}\)
לפשט.	\(\frac{1}{2}\)

דוגמא \(\PageIndex{17}\)

פשט:

1. \((−64)^{\frac{1}{2}}\)
2. \(−64^{\frac{1}{2}}\)
3. \((64)^{−\frac{1}{2}}\).

תשובה

1. −8
2. −8
3. \(\frac{1}{8}\)

דוגמא \(\PageIndex{18}\)

פשט:

1. \((−256)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(−256^{\frac{1}{4}}\)
3. \((256)^{−\frac{1}{4}}\).

תשובה

1. -4
2. -4
3. \(\frac{1}{4}\)

פשט ביטויים עם \(a^{\frac{m}{n}}\)

בואו נעבוד עם נכס הכוח עבור אקספונסנטים עוד קצת.

נניח שאנחנו מעלים \(a^{\frac{1}{n}}\) את הכוח m.

\[\begin{array}{ll} {}&{(a^{\frac{1}{n}})^m}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{\frac{1}{n}·m}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]

עכשיו נניח שניקח \(a^m\) את \(\frac{1}{n}\) הכוח.

\[\begin{array}{ll} {}&{(a^m)^{\frac{1}{n}}}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{m·\frac{1}{n}}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]

באיזו צורה אנו משתמשים כדי לפשט ביטוי? בדרך כלל אנו לוקחים את השורש קודם - כך אנו שומרים על המספרים ברדיקנד קטנים יותר.

הגדרה: אקספקטנט רציונלי \(a^{\frac{m}{n}}\)

עבור כל מספרים שלמים חיוביים m ו- n,

\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\)

\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

דוגמא \(\PageIndex{19}\)

כתוב עם מעריך רציונלי:

1. \(\sqrt{y^3}\)
2. \(\sqrt[3]{x^2}\)
3. \(\sqrt[4]{z^3}\)

תשובה

אנחנו רוצים להשתמש \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) כדי לכתוב כל רדיקל בצורה\(a^{\frac{m}{n}}\).

1. 
2. 
3. 

דוגמא \(\PageIndex{20}\)

כתוב עם מעריך רציונלי:

1. \(\sqrt{x^5}\)
2. \(\sqrt[4]{z^3}\)
3. \(\sqrt[5]{y^2}\).

תשובה

1. \(x^{\frac{5}{2}}\)
2. \(z^{\frac{3}{4}}\)
3. \(y^{\frac{2}{5}}\)

דוגמא \(\PageIndex{21}\)

כתוב עם מעריך רציונלי:

1. \(\sqrt[5]{a^2}\)
2. \(\sqrt[3]{b^7}\)
3. \(\sqrt[4]{m^5}\).

תשובה

1. \(a^{\frac{2}{5}}\)
2. \(b^{\frac{7}{3}}\)
3. \(m^{\frac{5}{4}}\)

דוגמא \(\PageIndex{22}\)

פשט:

1. \(9^{\frac{3}{2}}\)
2. \(125^{\frac{2}{3}}\)
3. \(81^{\frac{3}{4}}\).

תשובה

אנו נכתוב מחדש כל ביטוי כרדיקלי תחילה באמצעות המאפיין,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\). צורה זו מאפשרת לנו לקחת את השורש תחילה ולכן אנו שומרים את המספרים ברדיקנד קטנים יותר מאשר אם היינו משתמשים בצורה האחרת.

1.	\(9^{\frac{3}{2}}\)
כוחו של הרדיקל הוא המונה של המעריך, 3. מכיוון שהמכנה של המעריך הוא 2, זהו שורש ריבועי.	\((\sqrt{9})^3\)
לפשט.	\(3^3\)
	27
2.	\(125^{\frac{2}{3}}\)
כוחו של הרדיקל הוא המונה של המעריך, 2. מכיוון שהמכנה של המעריך הוא 3, זהו שורש ריבועי.	\((\sqrt[3]{125})^2\)
לפשט.	\(5^2\)
	25
3.	\(81^{\frac{3}{4}}\)
כוחו של הרדיקל הוא המונה של המעריך, 2. מכיוון שהמכנה של המעריך הוא 3, זהו שורש ריבועי.	\((\sqrt[4]{81})^3\)
לפשט.	\(3^3\)
	27

דוגמא \(\PageIndex{23}\)

פשט:

1. \(4^{\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{\frac{2}{3}}\)
3. \(625^{\frac{3}{4}}\).

תשובה

1. 8
2. 9
3. 125

דוגמא \(\PageIndex{24}\)

פשט:

1. \(8^{\frac{5}{3}}\)
2. \(81^{\frac{3}{2}}\)
3. \(16^{\frac{3}{4}}\).

תשובה

1. 32
2. 729
3. 8

תזכור את זה \(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). הסימן השלילי במעריך אינו משנה את סימן הביטוי.

דוגמא \(\PageIndex{25}\)

פשט:

1. \(16^{−\frac{3}{2}}\)
2. \(32^{−\frac{2}{5}}\)
3. \(4^{−\frac{5}{2}}\)

תשובה

נכתוב מחדש כל ביטוי תחילה באמצעות \(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\) ולאחר מכן נשנה לצורה רדיקלית.

1.	\(16^{−\frac{3}{2}}\)
לשכתב באמצעות \(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\).	\(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\)
שינוי לצורה רדיקלית. כוחו של הרדיקל הוא המונה של המעריך, 3. המדד הוא המכנה של המעריך, 2.	\(\frac{1}{(\sqrt{16})^3}\)
לפשט.	\(\frac{1}{4^3}\)
	\(\frac{1}{64}\)
2.	\(32^{−\frac{2}{5}}\)
לשכתב באמצעות \(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\).	\(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\)
שינוי לצורה רדיקלית.	\(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^2}\)
לשכתב את הרדיקנד ככוח.	\(\frac{1}{(\sqrt[5]{2^5})^2}\)
לפשט.	\(\frac{1}{2^2}\)
	\(\frac{1}{4}\)
3.	\(4^{−\frac{5}{2}}\)
לשכתב באמצעות \(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\).	\(\frac{1}{4^{\frac{5}{2}}}\)
שינוי לצורה רדיקלית.	\(\frac{1}{(\sqrt{4})^5}\)
לפשט.	\(\frac{1}{2^5}\)
	\(\frac{1}{32}\)

דוגמא \(\PageIndex{26}\)

פשט:

1. \(8^{−\frac{5}{3}}\)8
2. \(81^{−\frac{3}{2}}\)
3. \(16^{−\frac{3}{4}}\).

תשובה

1. \(\frac{1}{32}\)
2. \(\frac{1}{729}\)
3. \(\frac{1}{8}\)

דוגמא \(\PageIndex{27}\)

פשט:

1. \(4^{−\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{−\frac{2}{3}}\)
3. \(625^{−\frac{3}{4}}\).

תשובה

1. \(\frac{1}{8}\)
2. \(\frac{1}{9}\)
3. \(\frac{1}{125}\)

דוגמא \(\PageIndex{28}\)

פשט:

1. \(−25^{\frac{3}{2}}\)
2. \(−25^{−\frac{3}{2}}\)
3. \((−25)^{\frac{3}{2}}\).

תשובה

1.	\(−25^{\frac{3}{2}}\)
לשכתב בצורה רדיקלית.	\(−(\sqrt{25})^3\)
לפשט את הרדיקלי	\(−5^3\)
לפשט.	-125
2.	\(−25^{−\frac{3}{2}}\)
לשכתב באמצעות \(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\).	\(−(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}})\)
לשכתב בצורה רדיקלית.	\(−(\frac{1}{(\sqrt{25})^3})\)
לפשט את הרדיקלי.	\(−(\frac{1}{5^3})\)
לפשט.	\(−\frac{1}{125}\)
3.	\((−25)^{\frac{3}{2}}\).
לשכתב בצורה רדיקלית.	\((\sqrt{−25})^3\)
אין מספר ממשי שהשורש הריבועי שלו הוא -25.	לא מספר אמיתי.

דוגמא \(\PageIndex{29}\)

פשט:

1. \(−16^{\frac{3}{2}}\)
2. \(−16^{−\frac{3}{2}}\)
3. \((−16)^{−\frac{3}{2}}\).

תשובה

1. -64
2. \(−\frac{1}{64}\)
3. לא מספר אמיתי

דוגמא \(\PageIndex{30}\)

פשט:

1. \(−81^{\frac{3}{2}}\)
2. \(−81^{−\frac{3}{2}}\)
3. \((−81)^{−\frac{3}{2}}\).

תשובה

1. -729
2. \(−\frac{1}{729}\)
3. לא מספר אמיתי

השתמש בחוקי המעריכים כדי לפשט ביטויים עם מעריכים רציונליים

אותם חוקי אקספונסנטים שכבר השתמשנו בהם חלים גם על מעריכים רציונליים. אנו נפרט כאן את מאפייני האקספוננט כדי שיהיו להם לעיון כאשר אנו מפשטים ביטויים.

סיכום של מאפייני אקספוננט

אם a, b הם מספרים ממשיים ו- m, n הם מספרים רציונליים, אז

\[\begin{array}{ll} {\textbf{Product Property}}&{a^m·a^n=a^{m+n}}\\ {\textbf{Power Property}}&{(a^m)^n=a^{m·n}}\\ {\textbf{Product to a Power}}&{(ab)^m=a^{m}b^{m}}\\ {\textbf{Quotient Property}}&{\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n}\\ {}&{\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m}\\ {\textbf{Zero Exponent Definition}}&{a^0=1, a \ne 0}\\ {\textbf{Quotient to a Power Property}}&{(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0}\\ \nonumber \end{array}\]

כאשר אנו מכפילים את אותו בסיס, אנו מוסיפים את המעריכים.

דוגמא \(\PageIndex{31}\)

פשט:

1. \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
2. \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
3. \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\).

תשובה

1.	\(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
הבסיסים זהים, ולכן אנו מוסיפים את המעריכים.	\(2^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}\)
הוסף את השברים.	\(2^{\frac{6}{2}}\)
פשט את המעריך.	\(2^3\)
לפשט.	8
2.	\(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
הבסיסים זהים, ולכן אנו מוסיפים את המעריכים.	\(x^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}\)
הוסף את השברים.	\(x^{\frac{6}{3}}\)
לפשט.	\(x^2\)
3.	\(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\)
הבסיסים זהים, ולכן אנו מוסיפים את המעריכים.	\(z^{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}\)
הוסף את השברים.	\(z^{\frac{8}{4}}\)
לפשט.	\(z^2\)

דוגמא \(\PageIndex{32}\)

פשט:

1. \(3^{\frac{2}{3}}·3^{\frac{4}{3}}\)
2. \(y^{\frac{1}{3}}·y^{\frac{8}{3}}\)
3. \(m^{\frac{1}{4}}·m^{\frac{3}{4}}\).

תשובה

1. 9
2. \(y^3\)
3. מ

דוגמא \(\PageIndex{33}\)

פשט:

1. \(5^{\frac{3}{5}}·5^{\frac{7}{5}}\)
2. \(z^{\frac{1}{8}}·z^{\frac{7}{8}}\)
3. \(n^{\frac{2}{7}}·n^{\frac{5}{7}}\).

תשובה

1. 25
2. z
3. n

נשתמש במאפיין הכוח בדוגמה הבאה.

דוגמא \(\PageIndex{34}\)

פשט:

1. \((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
2. \((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
3. \((z^9)^{\frac{2}{3}}\).

תשובה

1.	\((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
כדי להעלות כוח לכוח, אנו מכפילים את המעריכים.	\(x^{4·\frac{1}{2}}\)
לפשט.	\(x^2\)
2.	\((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
כדי להעלות כוח לכוח, אנו מכפילים את המעריכים.	\(y^{6·\frac{1}{3}}\)
לפשט.	\(y^2\)
3.	\((z^9)^{\frac{2}{3}}\)
כדי להעלות כוח לכוח, אנו מכפילים את המעריכים.	\(z^{9·\frac{2}{3}}\)
לפשט.	\(z^6\)

דוגמא \(\PageIndex{35}\)

פשט:

1. \((p^{10})^{\frac{1}{5}}\)
2. \((q^8)^{\frac{3}{4}}\)
3. \((x^6)^{\frac{4}{3}}\)

תשובה

1. \(p^\)
2. \(q^6\)
3. \(x^8\)

דוגמא \(\PageIndex{36}\)

פשט:

1. \((r^6)^{\frac{5}{3}}\)
2. \((s^{12})^{\frac{3}{4}}\)
3. \((m^9)^{\frac{2}{9}}\)

תשובה

1. \(r^{10}\)
2. \(s^9\)
3. \(m^2\)

המאפיין Quotient אומר לנו שכאשר אנו מתחלקים עם אותו בסיס, אנו מחסרים את המעריכים.

דוגמא \(\PageIndex{37}\)

פשט:

1. \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
2. \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
3. \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\).

תשובה

1.	\(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
כדי לחלק עם אותו בסיס, אנו מחסרים את המעריכים.	\(x^{\frac{4}{3}−\frac{1}{3}}\)
לפשט.	x
2.	\(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
כדי לחלק עם אותו בסיס, אנו מחסרים את המעריכים.	\(y^{\frac{3}{4}−\frac{1}{4}}\)
לפשט.	\(y^{\frac{1}{2}}\)
3.	\(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\)
כדי לחלק עם אותו בסיס, אנו מחסרים את המעריכים.	\(z^{\frac{2}{3}−\frac{5}{3}}\)
כתוב מחדש ללא אקספקטנט שלילי.	\(\frac{1}{z}\)

דוגמא \(\PageIndex{38}\)

פשט:

1. \(\frac{u^{\frac{5}{4}}}{u^{\frac{1}{4}}}\)
2. \(\frac{v^{\frac{3}{5}}}{v^{\frac{2}{5}}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\).

תשובה

1. u
2. \(v^{\frac{1}{5}}\)
3. \(\frac{1}{x}\)

דוגמא \(\PageIndex{39}\)

פשט:

1. \(\frac{c^{\frac{12}{5}}}{c^{\frac{2}{5}}}\)
2. \(\frac{m^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{9}{4}}}\)
3. \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\).

תשובה

1. \(c^2\)
2. \(\frac{1}{m}\)
3. \(\frac{1}{d}\)

לפעמים אנחנו צריכים להשתמש ביותר מנכס אחד. בשתי הדוגמאות הבאות, נשתמש הן במוצר לנכס כוח ואז בנכס הכוח.

דוגמא \(\PageIndex{40}\)

פשט:

1. \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
2. \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\).

תשובה

1.	\((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
ראשית אנו משתמשים במוצר לנכס כוח.	\((27)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
לשכתב 27 ככוח של 3.	\((3^3)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
כדי להעלות כוח לכוח, אנו מכפילים את המעריכים.	\((3^2)(u^{\frac{1}{3}})\)
לפשט.	\(9u^{\frac{1}{3}}\)
2.	\((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\).
ראשית אנו משתמשים במוצר לנכס כוח.	\((8)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)
לשכתב 8 ככוח של 2.	\((2^3)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)
כדי להעלות כוח לכוח, אנו מכפילים את המעריכים.	\((2^2)(v^{\frac{1}{6}})\)
לפשט.	\(4v^{\frac{1}{6}}\)

דוגמא \(\PageIndex{41}\)

פשט:

1. \(32x^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}}\)
2. \((64y^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}}\).

תשובה

1. \(8x^{\frac{1}{5}}\)
2. \(4y^{\frac{2}{9}}\)

דוגמא \(\PageIndex{42}\)

פשט:

1. \((16m^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}\)
2. \((81n^{\frac{2}{5}})^{\frac{3}{2}}\).

תשובה

1. \(64m^{\frac{1}{2}}\)
2. \(729n^{\frac{3}{5}}\)

דוגמא \(\PageIndex{43}\)

פשט:

1. \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
2. \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\).

תשובה

1.	\((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
ראשית אנו משתמשים במוצר לנכס כוח.	\((m^{3})^{\frac{1}{3}}(n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
כדי להעלות כוח לכוח, אנו מכפילים את המעריכים.	\(mn^3\)
2.	\((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\)
ראשית אנו משתמשים במוצר לנכס כוח.	\((p^{4})^{\frac{1}{4}}(q^{8})^{\frac{1}{4}}\)
כדי להעלות כוח לכוח, אנו מכפילים את המעריכים.	\(pq^2\)

אנו נשתמש הן במאפייני המוצר והן במאפייני המנה בדוגמה הבאה.

תרגיל \(\PageIndex{44}\)

פשט:

1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
2. \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\).

תשובה

1.	\(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
השתמש במאפיין המוצר במונה, הוסף את המעריכים.	\(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
השתמש במאפיין Quotient, גרע את המעריכים.	\(x^{\frac{8}{4}}\)
לפשט.	\(x^2\)
2.	\(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\)
השתמש במאפיין המוצר במונה, הוסף את המעריכים.	\(\frac{y^{\frac{7}{3}}}{y^{−\frac{2}{3}}}\)
השתמש במאפיין Quotient, גרע את המעריכים.	\(y^{\frac{9}{3}}\)
לפשט.	\(y^3\)

דוגמא \(\PageIndex{45}\)

פשט:

1. \(\frac{m^{\frac{2}{3}}·m^{−\frac{1}{3}}}{m^{−\frac{5}{3}}}\)
2. \(\frac{n^{\frac{1}{6}}·n}{n^{−\frac{11}{6}}}\).

תשובה

1. \(m^2\)
2. \(n^3\)

דוגמא \(\PageIndex{46}\)

פשט:

1. \(\frac{u^{\frac{4}{5}}·u^{−\frac{2}{5}}}{u^{−\frac{13}{5}}}\)
2. \(\frac{v^{\frac{1}{2}}·v}{v^{−\frac{7}{2}}}\).

תשובה

1. \(u^3\)
2. \(v^5\)

מושגי מפתח

• סיכום מאפייני אקספוננט
• אם a, b הם מספרים ממשיים ו- m, n הם מספרים רציונליים, אז
  • נכס מוצר \(a^m·a^n=a^{m+n}\)
  • נכס כוח \((a^m)^n=a^{m·n}\)
  • מוצר לעוצמה \((ab)^m=a^{m}b^{m}\)
  • כמות נכס:

    \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n\)

    \(\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m\)

  • הגדרת אקספוננט אפס \(a^0=1, a \ne 0\)
  • מנה לנכס כוח \((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0\)

רשימת מילים

אקספונסנטים רציונליים

• אם \(\sqrt[n]{a}\) הוא מספר אמיתי ו\(n \ge 2\), \(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
• עבור כל מספרים שלמים חיוביים m ו- n, \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\) ו- \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)