6.1: הוסף וחסר פולינומים
- Page ID
- 205595
בסוף פרק זה, תוכל:
- זיהוי פולינומים, מונומיאלים, בינומים וטרינומיאלים
- קבע את מידת הפולינומים
- הוסף וחסר מונומיאלים
- הוסף וחסר פולינומים
- הערך פולינום לערך נתון
לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.
- פשט:\(8x+3x\).
אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.3.37. - חיסור:\((5n+8)−(2n−1)\).
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.52. - כתוב בצורה מורחבת:\(a^{5}\).
אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.3.7.
זיהוי פולינומים, מונומיאלים, בינומים וטרינומיאלים
למדת שמונח הוא קבוע או תוצר של משתנה קבוע ואחד או יותר. כאשר זה מהצורה\(ax^{m}\), איפה \(a\) הוא קבוע והוא \(m\) מספר שלם, זה נקרא מונומיום. כמה דוגמאות למונומיום הן\(8,−2x^{2},4y^{3}\), ו. \(11z^{7}\)
מונומיום הוא מונח של הצורה\(ax^{m}\), איפה \(a\) הוא קבוע והוא \(m\) מספר שלם חיובי.
מונומיום, או שניים או יותר מונומיים המשולבים על ידי חיבור או חיסור, הוא פולינום. לחלק מהפולינומים יש שמות מיוחדים, בהתבסס על מספר המונחים. מונומיום הוא פולינום עם מונח אחד בדיוק. לבינומיום יש בדיוק שני מונחים, ולטרינום יש בדיוק שלושה מונחים. אין שמות מיוחדים לפולינומים עם יותר משלושה מונחים.
- פולינום - מונומיום, או שניים או יותר מונומיים המשולבים על ידי חיבור או חיסור, הוא פולינום.
- מונומי -פולינום עם מונח אחד בדיוק נקרא מונומיום.
- בינומי -פולינום עם שני מונחים בדיוק נקרא בינומי.
- טרינום - פולינום עם שלושה מונחים בדיוק נקרא טרינום.
הנה כמה דוגמאות לפולינומים.
\[\begin{array}{lllll}{\text { Polynomial }} & {b+1} &{4 y^{2}-7 y+2} & {4 x^{4}+x^{3}+8 x^{2}-9 x+1} \\ {\text { Monomial }} & {14} & {8 y^{2}} & {-9 x^{3} y^{5}} & {-13}\\ {\text { Binomial }} & {a+7}&{4 b-5} & {y^{2}-16}& {3 x^{3}-9 x^{2}} \\ {\text { Trinomial }} & {x^{2}-7 x+12} & {9 y^{2}+2 y-8} & {6 m^{4}-m^{3}+8 m}&{z^{4}+3 z^{2}-1} \end{array} \nonumber\]
שימו לב שכל מונומיום, בינומי וטרינום הוא גם פולינום. הם רק חברים מיוחדים ב"משפחת "הפולינומים ולכן יש להם שמות מיוחדים. אנו משתמשים במילים מונומי, בינומי וטרינומי כאשר אנו מתייחסים לפולינומים המיוחדים הללו ופשוט קוראים לכל שאר הפולינומים.
קבע אם כל פולינום הוא פולינום מונומי, בינומי, טרינומי או אחר.
- \(4y^{2}−8y−6\)
- \(−5a^{4}b^{2}\)
- \(2x^{5}−5x^{3}−3x + 4\)
- \(13−5m^{3}\)
- q
- תשובה
-
\(\begin{array}{lll}&{\text { Polynomial }} & {\text { Number of terms }} & {\text { Type }} \\ {\text { (a) }} & {4 y^{2}-8 y-6} & {3} & {\text { Trinomial }} \\ {\text { (b) }} & {-5 a^{4} b^{2}} & {1} & {\text { Monomial }} \\ {\text { (c) }} & {2 x^{5}-5 x^{3}-9 x^{2}+3 x+4} & {5} & {\text { Ponomial }} \\ {\text { (d) }} & {13-5 m^{3}} & {2} & {\text { Binomial }} \\ {\text { (e) }} & {q} & {1} & {\text { Monomial }}\end{array}\)
קבע אם כל פולינום הוא פולינום מונומי, בינומי, טרינומי או אחר:
- 5 ב
- \(8 y^{3}-7 y^{2}-y-3\)
- \(-3 x^{2}-5 x+9\)
- \(81-4 a^{2}\)
- \(-5 x^{6}\)
- תשובה
-
- מונומי
- פולינום
- טרינום
- בינומי
- מונומי
קבע אם כל פולינום הוא פולינום מונומי, בינומי, טרינומי או אחר:
- \(27 z^{3}-8\)
- \(12 m^{3}-5 m^{2}-2 m\)
- \(\frac{5}{6}\)
- \(8 x^{4}-7 x^{2}-6 x-5\)
- \(-n^{4}\)
- תשובה
-
- בינומי
- טרינום
- מונומי
- פולינום
- מונומי
קבע את מידת הפולינומים
מידת הפולינום ומידת תנאיו נקבעים על ידי מעריכי המשתנה. מונומיום שאין לו משתנה, רק קבוע, הוא מקרה מיוחד. דרגת הקבוע היא 0, כלומר אין לו משתנה.
- דרגת המונח היא סכום המעריכים של המשתנים שלו.
- דרגת הקבוע היא 0.
- דרגת הפולינום היא הדרגה הגבוהה ביותר מכל תנאיו.
בואו נראה איך זה עובד על ידי התבוננות בכמה פולינומים. ניקח את זה צעד אחר צעד, נתחיל במונומיאלים, ואז נתקדם לפולינומים עם מונחים נוספים.
פולינום הוא בצורה סטנדרטית כאשר המונחים של פולינום נכתבים בסדר יורד של מעלות. קבל תחילה את הרגל לכתוב את המונח בדרגה הגבוהה ביותר.
מצא את מידת הפולינומים הבאים.
- 10 שנים
- \(4 x^{3}-7 x+5\)
- -15
- \(-8 b^{2}+9 b-2\)
- \(8 x y^{2}+2 y\)
- תשובה
-
- \(\begin{array}{ll} & 10y\\ \text{The exponent of y is one. } y=y^1 & \text{The degree is 1.}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} & 4 x^{3}-7 x+5\\ \text{The highest degree of all the terms is 3.} & \text{The degree is 3.}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} & -15\\ \text{The degree of a constant is 0.} & \text{The degree is 0.}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} & -8 b^{2}+9 b-2\\ \text{The highest degree of all the terms is 2.} & \text{The degree is 2.}\end{array}\)
- \(\begin{array}{ll} & 8 x y^{2}+2 y\\ \text{The highest degree of all the terms is 3.} & \text{The degree is 3.}\end{array}\)
מצא את מידת הפולינומים הבאים:
- −15 ב
- \(10 z^{4}+4 z^{2}-5\)
- \(12 c^{5} d^{4}+9 c^{3} d^{9}-7\)
- \(3 x^{2} y-4 x\)
- −9
- תשובה
-
- 1
- 4
- 12
- 3
- 0
מצא את מידת הפולינומים הבאים:
- 52
- \(a^{4} b-17 a^{4}\)
- \(5 x+6 y+2 z\)
- \(3 x^{2}-5 x+7\)
- \(-a^{3}\)
- תשובה
-
- 0
- 5
- 1
- 2
- 3
הוסף וחסר מונומיאלים
למדת כיצד לפשט ביטויים על ידי שילוב מונחים דומים. זכור, כמו שמונחים חייבים להיות בעלי אותם משתנים עם אותו מעריך. מכיוון שמונומים הם מונחים, הוספה וחיסור של מונומיאלים זהה לשילוב מונחים דומים. אם המונומיאלים הם כמו מונחים, אנו פשוט משלבים אותם על ידי הוספה או חיסור של המקדם.
הוסף: \(25 y^{2}+15 y^{2}\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll} & 25 y^{2}+15 y^{2}\\ \text{Combine like terms.} & 40y^{2}\end{array}\)
הוסף: \(12 q^{2}+9 q^{2}\)
- תשובה
-
21 \(q^{2}\)
הוסף: \(-15 c^{2}+8 c^{2}\)
- תשובה
-
\(-7 c^{2}\)
חיסור: 16p − (−7p)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll} & 16p−(−7p) \\ \text{Combine like terms.} & 23p\end{array}\)
חיסור: 8 מ '- (-5 מ').
- תשובה
-
13 מטר
חיסור: \(-15 z^{3}-\left(-5 z^{3}\right)\)
- תשובה
-
\(-10 z^{3}\)
זכור שלמונחים דומים חייבים להיות אותם משתנים עם אותם אקספונסנטים.
פשט: \(c^{2}+7 d^{2}-6 c^{2}\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll} & c^{2}+7 d^{2}-6 c^{2} \\ \text{Combine like terms.} & -5 c^{2}+7 d^{2} \end{array}\)
הוסף: \(8 y^{2}+3 z^{2}-3 y^{2}\)
- תשובה
-
\(5 y^{2}+3 z^{2}\)
הוסף: \(3 m^{2}+n^{2}-7 m^{2}\)
- תשובה
-
\(-4 m^{2}+n^{2}\)
פשט: \(u^{2} v+5 u^{2}-3 v^{2}\)
- תשובה
-
\ (\ התחל {מערך} {ll} &u^ {2} v+5 u^ {2} -3 v ^ {2}
\\ טקסט {אין מונחים דומים לשלב.} & u^ {2} v+5 u^ {2} -3 v ^ {2}\ סוף {מערך}\)
פשט: \(m^{2} n^{2}-8 m^{2}+4 n^{2}\)
- תשובה
-
אין מונחים כמו לשלב.
פשט: \(p q^{2}-6 p-5 q^{2}\)
- תשובה
-
אין מונחים כמו לשלב.
הוספה וחיסור פולינומים
אנו יכולים לחשוב על הוספה וחיסור של פולינומים כעל הוספה וחיסור של סדרה של מונומיאלים. חפש את המונחים הדומים - אלה עם אותם משתנים ואותו מעריך. המאפיין הקומוטטיבי מאפשר לנו לארגן מחדש את התנאים להרכיב מונחים דומים.
מצא את הסכום: \(\left(5 y^{2}-3 y+15\right)+\left(3 y^{2}-4 y-11\right)\)
- תשובה
-
זהה מונחים דומים. סדר מחדש כדי לחבר את המונחים הדומים. לשלב מונחים כמו.
מצא את הסכום: \(\left(7 x^{2}-4 x+5\right)+\left(x^{2}-7 x+3\right)\)
- תשובה
-
\(8 x^{2}-11 x+1\)
מצא את הסכום: \(\left(14 y^{2}+6 y-4\right)+\left(3 y^{2}+8 y+5\right)\)
- תשובה
-
\(17 y^{2}+14 y+1\)
מצא את ההבדל: \(\left(9 w^{2}-7 w+5\right)-\left(2 w^{2}-4\right)\)
- תשובה
-
להפיץ ולזהות מונחים דומים. סדר מחדש את התנאים. לשלב מונחים כמו.
מצא את ההבדל: \(\left(8 x^{2}+3 x-19\right)-\left(7 x^{2}-14\right)\)
- תשובה
-
\(15 x^{2}+3 x-5\)
מצא את ההבדל: \(\left(9 b^{2}-5 b-4\right)-\left(3 b^{2}-5 b-7\right)\)
- תשובה
-
\(6 b^{2}+3\)
חיסור: \(\left(c^{2}-4 c+7\right)\) מ \(\left(7 c^{2}-5 c+3\right)\)
- תשובה
-
להפיץ ולזהות מונחים דומים. סדר מחדש את התנאים. לשלב מונחים כמו.
חיסור: \(\left(5 z^{2}-6 z-2\right)\) מ \(\left(7 z^{2}+6 z-4\right)\)
- תשובה
-
\(2 z^{2}+12 z-2\)
חיסור: \(\left(x^{2}-5 x-8\right)\) מ \(\left(6 x^{2}+9 x-1\right)\)
- תשובה
-
\(5 x^{2}+14 x+7\)
מצא את הסכום: \(\left(u^{2}-6 u v+5 v^{2}\right)+\left(3 u^{2}+2 u v\right)\)
- תשובה
-
\(\begin{array} {ll} & {\left(u^{2}-6 u v+5 v^{2}\right)+\left(3 u^{2}+2 u v\right)} \\\text{Distribute.} & {u^{2}-6 u v+5 v^{2}+3 u^{2}+2 u v} \\ \text{Rearrange the terms, to put like terms together} & {u^{2}+3 u^{2}-6 u v+2 u v+5 v^{2}} \\ \text{Combine like terms.} & {4 u^{2}-4 u v+5 v^{2}}\end{array}\)
מצא את הסכום: \(\left(3 x^{2}-4 x y+5 y^{2}\right)+\left(2 x^{2}-x y\right)\)
- תשובה
-
\(5 x^{2}-5 x y+5 y^{2}\)
מצא את הסכום: \(\left(2 x^{2}-3 x y-2 y^{2}\right)+\left(5 x^{2}-3 x y\right)\)
- תשובה
-
\(7 x^{2}-6 x y-2 y^{2}\)
מצא את ההבדל: \(\left(p^{2}+q^{2}\right)-\left(p^{2}+10 p q-2 q^{2}\right)\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll} & {\left(p^{2}+q^{2}\right)-\left(p^{2}+10 p q-2 q^{2}\right)} \\ \text{Distribute.} &{p^{2}+q^{2}-p^{2}-10 p q+2 q^{2}} \\\text{Rearrange the terms, to put like terms together} & {p^{2}-p^{2}-10 p q+q^{2}+2 q^{2}} \\\text{Combine like terms.} & {-10 p q+3 q^{2}}\end{array}\)
מצא את ההבדל: \(\left(a^{2}+b^{2}\right)-\left(a^{2}+5 a b-6 b^{2}\right)\)
- תשובה
-
\(-5 a b-5 b^{2}\)
מצא את ההבדל: \(\left(m^{2}+n^{2}\right)-\left(m^{2}-7 m n-3 n^{2}\right)\)
- תשובה
-
\(4 n^{2}+7 m n\)
פשט: \(\left(a^{3}-a^{2} b\right)-\left(a b^{2}+b^{3}\right)+\left(a^{2} b+a b^{2}\right)\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll } & {\left(a^{3}-a^{2} b\right)-\left(a b^{2}+b^{3}\right)+\left(a^{2} b+a b^{2}\right)} \\ \text{Distribute.} &{a^{3}-a^{2} b-a b^{2}-b^{3}+a^{2} b+a b^{2}} \\ \text{Rearrange the terms, to put like terms together} & {a^{3}-a^{2} b+a^{2} b-a b^{2}+a b^{2}-b^{3}} \\ \text{Combine like terms.} &{a^{3}-b^{3}}\end{array}\)
פשט: \(\left(x^{3}-x^{2} y\right)-\left(x y^{2}+y^{3}\right)+\left(x^{2} y+x y^{2}\right)\)
- תשובה
-
\(x^{3}-y^{3}\)
פשט: \(\left(p^{3}-p^{2} q\right)+\left(p q^{2}+q^{3}\right)-\left(p^{2} q+p q^{2}\right)\)
- תשובה
-
\(p^{3}-2 p^{2} q+q^{3}\)
הערך פולינום לערך נתון
כבר למדנו כיצד להעריך ביטויים. מכיוון שפולינומים הם ביטויים, אנו נעקוב אחר אותם נהלים להערכת פולינום. נחליף את הערך הנתון במשתנה ואז נפשט באמצעות סדר הפעולות.
להעריך \(5x^{2}−8x+4\) מתי
- איקס=4
- איקס=−2
- איקס=0
- תשובה
-
1. x = 4 פשט את המעריכים. להכפיל. לפשט. 2. איקס=−2 פשט את המעריכים. להכפיל. לפשט. 3. x = 0 פשט את המעריכים. להכפיל. לפשט.
להעריך: \(3x^{2}+2x−15\) מתי
- איקס=3
- איקס=−5
- איקס=0
- תשובה
-
- 18
- 50
- -15
להעריך: \(5z^{2}−z−4\) מתי
- ז=−2
- z = 0
- z=2
- תשובה
-
- 18
- -4
- 14
הפולינום \(−16t^{2}+250\) נותן גובה של כדור tt שניות לאחר שהוא נופל מבניין בגובה 250 רגל. מצא את הגובה לאחר t = 2 שניות.
- תשובה
-
\(\begin{array}{ll } & −16t^{2}+250 \\ \text{Substitute t = 2.} & -16(2)^{2} + 250 \\ \text{Simplify }& −16\cdot 4+250 \\ \text{Simplify }& -64 + 250\\ \text{Simplify }& 186 \\& \text{After 2 seconds the height of the ball is 186 feet. } \end{array}\)
הפולינום \(−16t^{2}+250\) נותן גובה של כדור tt שניות לאחר שהוא נופל מבניין בגובה 250 רגל. מצא את הגובה לאחר t = 0 שניות.
- תשובה
-
250
הפולינום \(−16t^{2}+250\) נותן גובה של כדור tt שניות לאחר שהוא נופל מבניין בגובה 250 רגל. מצא את הגובה לאחר t = 3 שניות.
- תשובה
-
106
הפולינום \(6x^{2}+15xy\) נותן את העלות, בדולרים, של ייצור מיכל מלבני שחלקו העליון והתחתון הם ריבועים עם צד x רגל וצדדים בגובה y רגל. מצא את עלות ייצור הקופסה עם x = 4 רגל ו- y = 6y = 6 רגל.
- תשובה
-
לפשט. לפשט. לפשט. עלות ייצור הקופסה היא 456 דולר.
הפולינום \(6x^{2}+15xy\) נותן את העלות, בדולרים, של ייצור מיכל מלבני שחלקו העליון והתחתון הם ריבועים עם צד x רגל וצדדים בגובה y רגל. מצא את עלות ייצור הקופסה עם x = 6 רגל ו- y = 4 רגל.
- תשובה
-
576 דולר
הפולינום \(6x^{2}+15xy\) נותן את העלות, בדולרים, של ייצור מיכל מלבני שחלקו העליון והתחתון הם ריבועים עם צד x רגל וצדדים בגובה y רגל. מצא את עלות ייצור הקופסה עם x = 5 רגל ו- y = 8 רגל.
- תשובה
-
750 דולר
מושגי מפתח
- מונומיאלים
- מונומיום הוא מונח של הצורה\(ax^{m}\), כאשר aa הוא קבוע ו מ"מ הוא מספר שלם
- מונומיום הוא מונח של הצורה\(ax^{m}\), כאשר aa הוא קבוע ו מ"מ הוא מספר שלם
- פולינומים
- פולינום - מונומיום, או שניים או יותר מונומיים המשולבים על ידי חיבור או חיסור הוא פולינום.
- מונומי -פולינום עם מונח אחד בדיוק נקרא מונומיום.
- בינומי -פולינום עם שני מונחים בדיוק נקרא בינומי.
- טרינום - פולינום עם שלושה מונחים בדיוק נקרא טרינום.
- תואר של פולינום
- דרגת המונח היא סכום המעריכים של המשתנים שלו.
- דרגת הקבוע היא 0.
- דרגת הפולינום היא הדרגה הגבוהה ביותר מכל תנאיו.
רשימת מילים
- בינומי
- בינומיום הוא פולינום עם שני מונחים בדיוק.
- דרגה של קבוע
- הדרגה של כל קבוע היא 0.
- דרגה של פולינום
- דרגת הפולינום היא הדרגה הגבוהה ביותר מכל תנאיו.
- תואר של מונח
- דרגת המונח היא המעריך של המשתנה שלו.
- מונומי
- מונומיום הוא מונח של הצורה\(ax^m\), כאשר a הוא קבוע ו- m הוא מספר שלם; למונומיום יש מונח אחד בדיוק.
- פולינום
- פולינום הוא מונומיום, או שניים או יותר מונומיים המשולבים על ידי חיבור או חיסור.
- טופס סטנדרטי
- פולינום הוא בצורה סטנדרטית כאשר המונחים של פולינום נכתבים בסדר יורד של מעלות.
- טרינום
- טרינום הוא פולינום עם שלושה מונחים בדיוק.