4.5: השתמש בצורת השיפוע — יירוט של משוואת קו
- Page ID
- 205694
בסוף פרק זה תוכל:
- הכירו את הקשר בין הגרף לצורת השיפוע — יירוט של משוואת קו
- זהה את צורת השיפוע והיירוט y של משוואה של קו
- גרף קו באמצעות השיפוע והיירוט שלו
- בחר את השיטה הנוחה ביותר לתרשים קו
- גרף ופרש יישומים של שיפוע-יירוט
- השתמש במדרונות כדי לזהות קווים מקבילים
- השתמש במדרונות כדי לזהות קווים בניצב
לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.
- הוסף:\(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}\).
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.7.1. - מצא את ההדדיות של\(\frac{3}{7}\).
אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.6.19. - לפתור \(2x−3y=12\) עבור\(y\).
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 2.6.16.
הכירו את הקשר בין הגרף לצורת השיפוע — יירוט של משוואת קו
שרטטנו משוואות לינאריות על ידי שרטוט נקודות, שימוש ביירוטים, זיהוי קווים אופקיים ואנכיים ושימוש בשיטת שיפוע נקודה. ברגע שנראה כיצד משוואה בצורת שיפוע - יירוט והגרף שלה קשורים, תהיה לנו שיטה אחת נוספת בה נוכל להשתמש כדי לשרטט קווים.
בגרף משוואות לינאריות בשני משתנים, שרטטנו את קו המשוואה \(y=12x+3\) על ידי התוויית נקודות. ראה איור\(\PageIndex{1}\). בואו למצוא את השיפוע של הקו הזה.
הקווים האדומים מראים לנו את העלייה \(1\) והריצה היא\(2\). החלפה בנוסחת השיפוע:
\[\begin{aligned} m &=\frac{\text { rise }}{\text { rise }} \\ m &=\frac{1}{2} \end{aligned}\]
מהו \(y\) -היירוט של הקו? \(y\)היירוט הוא המקום בו הקו חוצה את \(y\) הציר, אז \(y\) -יירוט הוא. \((0,3)\) המשוואה של קו זה היא:
שימו לב, לקו יש:
כאשר נפתרת משוואה לינארית\(y\), מקדם \(x\) המונח הוא השיפוע והמונח הקבוע הוא \(y\) הקואורדינטה של היירוט. \(y\) אנו אומרים שהמשוואה \(y=\frac{1}{2}x+3\) היא בצורת שיפוע — יירוט.
צורת השיפוע -יירוט של משוואה של קו עם שיפוע מ"מ ו \(y\) -יירוט, היא, \((0,b)\)
\[y=mx+b\]
לפעמים צורת השיפוע — יירוט נקראת "y -form".
השתמש בגרף כדי למצוא את השיפוע \(y\) והיירוט של הקו,. \(y=2x+1\)
השווה ערכים אלה למשוואה\(y=mx+b\).
- תשובה
-
כדי למצוא את שיפוע הקו, עלינו לבחור שתי נקודות על הקו. נשתמש בנקודות \((0,1)\) ו\((1,3)\).
מצא את העלייה וברח. 
מצא את \(y\) -היירוט של הקו. \(y\)-היירוט הוא הנקודה. \((0, 1)\) 
השיפוע זהה למקדם של \(x\) \(y\) והקואורדינטה של \(y\) היירוט זהה למונח הקבוע.
השתמש בגרף כדי למצוא את השיפוע \(y\) והיירוט של הקו. \(y=\frac{2}{3}x−1\) השווה ערכים אלה למשוואה\(y=mx+b\).
- תשובה
-
שיפוע \(m = \frac{2}{3}\) ו \(y\) -יירוט \((0,−1)\)
השתמש בגרף כדי למצוא את השיפוע \(y\) והיירוט של הקו. \(y=\frac{1}{2}x+3\) השווה ערכים אלה למשוואה\(y=mx+b\).
- תשובה
-
שיפוע \(m = \frac{1}{2}\) ו \(y\) -יירוט \((0,3)\)
זהה את השיפוע ו \(y\) -יירוט ממשוואה של קו
בהבנת[1] שיפוע קו, שרטנו קו באמצעות השיפוע ונקודה. כאשר ניתנת לנו משוואה בצורת שיפוע — יירוט, אנו יכולים להשתמש \(y\) ב--intercept כנקודה, ולאחר מכן לספור את השיפוע משם. בואו נתרגל למצוא את ערכי השיפוע ו \(y\) -ליירט מהמשוואה של קו.
זהה את השיפוע \(y\) והיירוט של הקו עם משוואה. \(y=−3x+5\)
- תשובה
-
אנו משווים את המשוואה שלנו לצורת השיפוע -יירוט של המשוואה.
כתוב את המשוואה של השורה. 
זהה את המדרון. 
זהה את \(y\) -היירוט. 
זהה את השיפוע ואת \(y\) -יירוט הקו. \(y=\frac{2}{5}x−1\)
- תשובה
-
\(\frac{2}{5}\); (0, -1)
זהה את השיפוע ואת \(y\) -יירוט הקו. \(y=−\frac{4}{3}x+1\)
- תשובה
-
\(-\frac{4}{3}\); (0,1)
כאשר משוואה של קו אינה ניתנת בצורה של שיפוע — יירוט, הצעד הראשון שלנו יהיה לפתור את המשוואה עבור. \(y\)
זהה את השיפוע \(y\) והיירוט של הקו עם משוואה. \(x+2y=6\)
- תשובה
-
משוואה זו אינה בצורת שיפוע — יירוט. על מנת להשוות אותו לצורת השיפוע -יירוט עלינו לפתור תחילה את המשוואה עבור. \(y\)
לפתור עבור\(y\). \(x+2y=6\) הפחת את x מכל צד. 
מחלקים את שני הצדדים על ידי\(2\). 
לפשט. 
(זכור:\(\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}\)) לפשט. 
כתוב את צורת השיפוע -יירוט של משוואת הקו. 
כתוב את המשוואה של השורה. 
זהה את המדרון. 
זהה את \(y\) -היירוט. 
זהה את השיפוע ואת \(y\) -יירוט הקו. \(x+4y=8\)
- תשובה
-
\(-\frac{1}{4}\);( 0,2)
זהה את השיפוע ואת \(y\) -יירוט הקו. \(3x+2y=12\)
- תשובה
-
\(-\frac{2}{3}\);( 0,6)
גרף קו באמצעות השיפוע והיירוט שלו
כעת, כשאנחנו יודעים למצוא את השיפוע \(y\) והיירוט של קו מהמשוואה שלו, נוכל לשרטט את הקו על ידי התוויית \(y\) -יירוט ואז שימוש במדרון כדי למצוא נקודה אחרת.
גרף את קו המשוואה \(y=4x−2\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
גרף את קו המשוואה \(y=4x+1\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
גרף את קו המשוואה \(y=2x−3\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
- מצא את צורת יירוט השיפוע של משוואת הקו.
- זהה את המדרון ואת \(y\) -יירוט.
- תכנן את \(y\) היירוט.
- השתמש בנוסחת השיפוע \(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) כדי לזהות את העלייה והריצה.
- החל \(y\) מהיירוט, ספר את העלייה ורץ כדי לסמן את הנקודה השנייה.
- חבר את הנקודות עם קו.
גרף את קו המשוואה \(y=−x+4\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
לבדוק.\(y=mx+b\) המשוואה היא בצורת שיפוע — יירוט. \(y=−x+4\) זהה את המדרון ואת \(y\) -יירוט. \(m=−1\) \(y\)-יירוט הוא \((0, 4)\) תכנן את \(y\) היירוט. ראה גרף למטה. זהה את העלייה ואת הריצה. \(m = \frac{-1}{1}\) ספרו את העלייה ורצו לסמן את הנקודה השנייה. לעלות\(−1\), לרוץ \(1\) צייר את הקו. 
כדי לבדוק את העבודה שלך, אתה יכול למצוא נקודה נוספת על הקו ולוודא שזה פתרון של המשוואה. בגרף אנו רואים את הקו עובר\((4, 0)\). - \(\begin{array}{l}{y=-x+4} \\ {0\stackrel{?}{=}-4+4} \\ {0=0\checkmark}\end{array}\)
גרף את קו המשוואה \(y=−x−3\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
גרף את קו המשוואה \(y=−x−1\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
גרף את קו המשוואה \(y=−\frac{2}{3}x−3\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
\(y=mx+b\) המשוואה היא בצורת שיפוע — יירוט. \(y=−\frac{2}{3}x−3\) זהה את המדרון ואת \(y\) -יירוט. \(m = -\frac{2}{3}\); \(y\) -יירוט הוא \((0, −3)\) תכנן את \(y\) היירוט. ראה גרף למטה. זהה את העלייה ואת הריצה. ספרו את העלייה ורצו לסמן את הנקודה השנייה. צייר את הקו. 
גרף את קו המשוואה \(y=−\frac{5}{2}x+1\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
גרף את קו המשוואה \(y=−\frac{3}{4}x−2\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
גרף את קו המשוואה \(4x−3y=12\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
\(4x−3y=12\) מצא את צורת השיפוע -יירוט של המשוואה. \(−3y=−4x+12\) \(−\frac{3y}{3}=\frac{−4x+12}{−3}\) המשוואה נמצאת כעת בצורת שיפוע - יירוט. \(y=\frac{4}{3}x−4\) זהה את המדרון ואת \(y\) -יירוט. \(m=\frac{4}{3}\) \(y\)-חוץ מזה הוא \((0, −4)\) תכנן את \(y\) היירוט. ראה גרף למטה. זהה את העלייה ואת הריצה; לספור את העלייה ולרוץ כדי לסמן את הנקודה השנייה. צייר את הקו. 
גרף את קו המשוואה \(2x−y=6\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
גרף את קו המשוואה \(3x−2y=8\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
השתמשנו ברשת עם \(x\) \(y\) ושניהם עוברים בערך \(−10\) ל \(10\) עבור כל המשוואות שצירפנו עד כה. לא ניתן לתרשים את כל המשוואות הליניאריות ברשת הקטנה הזו. לעתים קרובות, במיוחד ביישומים עם נתונים בעולם האמיתי, נצטרך להרחיב את הצירים למספרים שליליים חיוביים גדולים יותר או קטנים יותר.
גרף את קו המשוואה \(y=0.2x+45\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
נשתמש ברשת עם הצירים שעוברים בערך \(−80\) ל\(80\).
\(y=mx+b\) המשוואה היא בצורת שיפוע — יירוט. \(y=0.2x+45\) זהה את המדרון ואת \(y\) -יירוט. \(m=0.2\) \(y\)-היירוט הוא \((0, 45)\) תכנן את \(y\) היירוט. ראה גרף למטה. ספרו את העלייה ורצו לסמן את הנקודה השנייה. השיפוע הוא\(m=0.2\); בצורה שברירית זה אומר\(m=\frac{2}{10}\). בהתחשב בסולם הגרף שלנו, יהיה קל יותר להשתמש בשבר המקביל\(m=\frac{10}{50}\). צייר את הקו. 
גרף את קו המשוואה \(y=0.5x+25\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
גרף את קו המשוואה \(y=0.1x−30\) באמצעות השיפוע והיירוט \(y\) שלה.
- תשובה
-
כעת, לאחר שרשמנו קווים באמצעות השיפוע \(y\) והיירוט, בואו נסכם את כל השיטות בהן השתמשנו לתרשים קווים. ראה איור\(\PageIndex{2}\).
בחר את השיטה הנוחה ביותר לתרשים קו
כעת, לאחר שראינו מספר שיטות בהן אנו יכולים להשתמש כדי לשרטט קווים, כיצד נדע באיזו שיטה להשתמש למשוואה נתונה?
אמנם נוכל לשרטט נקודות, להשתמש בטופס השיפוע -יירוט או למצוא את היירוט לכל משוואה, אך אם נזהה את הדרך הנוחה ביותר לשרטט סוג מסוים של משוואה, העבודה שלנו תהיה קלה יותר. באופן כללי, התוויית נקודות אינה הדרך היעילה ביותר לשרטט קו. ראינו שיטות טובות יותר בסעיפים 4.3, 4.4, ומוקדם יותר בסעיף זה. בואו נחפש כמה דפוסים שיעזרו לקבוע את השיטה הנוחה ביותר לתרשים קו.
להלן שש משוואות שציירנו בפרק זה, והשיטה בה השתמשנו כדי לתאר כל אחת מהן.
\[\begin{array}{lll}{\text{#1}}&{\text {Equation }} & {\text { Method }} \\ {\text{#2}}&{x=2} & {\text { Vertical line }} \\ {\text{#3}}&{y=4} & {\text { Hortical line }} \\ {\text{#4}}&{-x+2 y=6} & {\text { Intercepts }} \\ {\text{#5}}&{4 x-3 y=12} & {\text { Intercepts }} \\ {\text{#6}}&{y=4 x-2} & {\text { Slope-intercept }} \\{\text{#7}}& {y=-x+4} & {\text { Slope-intercept }}\end{array}\]
למשוואות #1 ו- #2 לכל אחת יש משתנה אחד בלבד. זכור, במשוואות של צורה זו הערך של אותו משתנה אחד קבוע; זה לא תלוי בערך של המשתנה השני. למשוואות של טופס זה יש גרפים שהם קווים אנכיים או אופקיים.
במשוואות #3 \(x\) ו #4, שניהם \(y\) נמצאים באותו צד של המשוואה. שתי המשוואות הללו הן מהצורה\(Ax+By=C\). החלפנו למצוא \(y=0\) את \(x\) -היירוט ולמצוא \(x=0\) את \(y\) -היירוט, ואז מצאנו נקודה שלישית על ידי בחירת ערך אחר עבור או. \(x\) \(y\)
משוואות #5 ו- #6 נכתבות בצורת שיפוע — יירוט. לאחר זיהוי השיפוע \(y\) והיירוט מהמשוואה השתמשנו בהם כדי לשרטט את הקו.
זה מוביל לאסטרטגיה הבאה.
שקול את צורת המשוואה.
- אם יש לו רק משתנה אחד, זהו קו אנכי או אופקי.
- \(x=a\)הוא קו אנכי העובר דרך \(x\) הציר ב\(a\).
- \(y=b\)הוא קו אופקי העובר דרך \(y\) הציר ב\(b\).
- אם \(y\) מבודד בצד אחד של המשוואה, בצורה\(y=mx+b\), גרף באמצעות השיפוע \(y\) -יירוט.
- זהה את השיפוע ואת \(y\) -יירוט ולאחר מכן גרף.
- אם המשוואה היא מהצורה\(Ax+By=C\), מצא את היירוטים.
- מצא את \(x\) - ו \(y\) -מיירט, נקודה שלישית, ולאחר מכן גרף.
קבע את השיטה הנוחה ביותר לתרשים כל שורה.
- \(y=−6\)
- \(5x−3y=15\)
- \(x=7\)
- \(y=\frac{2}{5}x−1\).
- תשובה
-
1. \(y=−6\)
למשוואה זו יש רק משתנה אחד\(y\). הגרף שלו הוא קו אופקי החוצה את \(y\) הציר ב\(−6\).2. \(5x−3y=15\)
משוואה זו היא של הצורה\(Ax+By=C\). הדרך הקלה ביותר לתרשים את זה תהיה למצוא את היירוטים ונקודה אחת נוספת.3. \(x=7\)
יש רק משתנה אחד,\(x\). הגרף הוא קו אנכי החוצה את \(x\) הציר ב\(7\).4. \(y=\frac{2}{5}x−1\)
מכיוון שמשוואה זו היא \(y=mx+b\) בצורה, יהיה הכי קל לשרטט קו זה באמצעות השיפוע \(y\) והיירוט.
קבע את השיטה הנוחה ביותר לתרשים כל שורה:
- \(3x+2y=12\)
- \(y=4\)
- \(y=\frac{1}{5}x−4\)
- \(x=−7\)
- תשובה
-
- מיירט
- קו אופקי
- מדרון — יירוט
- קו אנכי
קבע את השיטה הנוחה ביותר לתרשים כל שורה:
- \(x=6\)
- \(y=−\frac{3}{4}x+1\)
- \(y=−8\)
- \(4x−3y=−1\)
- תשובה
-
- קו אנכי
- מדרון — יירוט
- קו אופקי
- מיירט
גרף ופרש יישומים של שיפוע — יירוט
יישומים רבים בעולם האמיתי מעוצבים על ידי משוואות לינאריות. אנו נסתכל על כמה יישומים כאן כדי שתוכל לראות כיצד משוואות הכתובות בצורת שיפוע - יירוט מתייחסות למצבים בעולם האמיתי.
בדרך כלל כאשר משוואה לינארית מדגמנת מצב בעולם האמיתי, משתמשים באותיות שונות עבור המשתנים, במקום \(x\) ו\(y\). שמות המשתנים מזכירים לנו אילו כמויות נמדדות.
המשוואה \(F=\frac{9}{5}C+32\) משמשת להמרת טמפרטורות,\(C\), בסולם צלזיוס לטמפרטורות\(F\), בסולם פרנהייט.
- מצא את טמפרטורת פרנהייט לטמפרטורת צלזיוס של\(0\).
- מצא את טמפרטורת פרנהייט לטמפרטורת צלזיוס של\(20\).
- פרש את השיפוע \(F\) והיירוט של המשוואה.
- גרף את המשוואה.
- תשובה
-
1. \(\begin{array}{ll}{\text { Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of } 0 .} & {F=\frac{9}{5} C+32} \\ {\text { Find } F \text { when } C=0 .} & {F=\frac{9}{5}(0)+32} \\ {\text { Simplify. }} & {F=32}\end{array}\)
2. \ begin {array} {ll} {\ text {מצא את טמפרטורת פרנהייט לטמפרטורת צלזיוס של} 20.} & {F =\ frac {9} {5} C+32}\ {\ טקסט {מצא} F\ טקסט {כאשר} C = 20.} & {F =\ frac {9} {5} (20) +32}\\ {\ טקסט {לפשט.}} & {F = 36+32}\\ {\ טקסט {לפשט.}} & {F = 68}\ סוף {מערך}
3. פרש את השיפוע \(F\) והיירוט של המשוואה.
למרות שמשוואה זו משתמשת \(F\) ו\(C\), היא עדיין בצורת שיפוע - יירוט.
השיפוע,\(\frac{9}{5}\), פירושו שהטמפרטורה פרנהייט (\(F\)) עולה \(9\) מעלות כאשר הטמפרטורה צלזיוס (\(C\)) עולה \(5\) מעלות.
\(F\)יירוט פירושו שכאשר הטמפרטורה היא \(0°\) בסולם צלזיוס, היא נמצאת \(32°\) בסולם פרנהייט.
4. גרף את המשוואה.
נצטרך להשתמש בקנה מידה גדול מהרגיל שלנו. התחל \(F\) ב--intercept \((0,32)\) ואז לספור את העלייה \(9\) ואת הריצה של \(5\) כדי לקבל נקודה שנייה. ראה איור\(\PageIndex{3}\).
איור \(\PageIndex{3}\)
המשוואה \(h=2s+50\) משמשת להערכת גובה האישה בסנטימטרים\(h\), בהתבסס על מידת הנעליים שלה\(s\).
- הערך את גובהו של ילד שלובש את מידת הנעליים של הנשים\(0\).
- להעריך את הגובה של אישה עם גודל הנעל\(8\).
- פרש את השיפוע \(h\) והיירוט של המשוואה.
- גרף את המשוואה.
- תשובה
-
- \(50\)אינצ'ים
- \(66\)אינצ'ים
- השיפוע,\(2\), פירושו שהגובה,\(h\), גדל \(2\) בסנטימטרים כאשר גודל הנעל,\(s\), גדל ב\(1\). \(h\)יירוט פירושו שכאשר גודל הנעל הוא\(0\), הגובה הוא \(50\) סנטימטרים.
המשוואה \(T=\frac{1}{4}n+40\) משמשת להערכת הטמפרטורה במעלות פרנהייט,\(T\), בהתבסס על מספר ציוצי הקריקט\(n\), בדקה אחת.
- הערך את הטמפרטורה כשאין ציוצים.
- הערך את הטמפרטורה כאשר מספר הציוצים בדקה אחת הוא\(100\).
- פרש את השיפוע \(T\) והיירוט של המשוואה.
- גרף את המשוואה.
- תשובה
-
- \(40\)מעלות
- \(65\)מעלות
- השיפוע,\(\frac{1}{4}\), פירושו שהטמפרטורה פרנהייט (\(F\)) עולה \(1\) בדרגה כאשר מספר הציוצים,\(n\), עולה ב\(4\). ה \(T\) -יירוט פירושו שכאשר מספר הציוצים הוא\(0\), הטמפרטורה היא. \(40°\)
עלות ניהול עסקים מסוגים מסוימים כוללת שני מרכיבים - עלות קבועה ועלות משתנה. העלות הקבועה תמיד זהה ללא קשר למספר היחידות המיוצרות. זוהי העלות של שכר דירה, ביטוח, ציוד, פרסום, ופריטים אחרים שיש לשלם באופן קבוע. העלות המשתנה תלויה במספר היחידות המיוצרות. זה עבור החומר והעבודה הדרושים כדי לייצר כל פריט.
לסטלה יש עסק ביתי שמוכר פיצות גורמה. המשוואה \(C=4p+25\) מדגמנת את הקשר בין העלות השבועית שלה\(C\), בדולרים ומספר הפיצות שהיא מוכרת. \(p\)
- מצא את העלות של סטלה לשבוע כשהיא לא מוכרת פיצות.
- מצא את העלות לשבוע כשהיא מוכרת \(15\) פיצות.
- פרש את השיפוע \(C\) והיירוט של המשוואה.
- גרף את המשוואה.
- תשובה
-
1. מצא את העלות של סטלה לשבוע כשהיא לא מוכרת פיצות. 
מצא \(C\) מתי\(p=0\). 
לפשט. 
העלות הקבועה של סטלה היא \($25\) כשהיא לא מוכרת פיצות. 2. מצא את העלות לשבוע כשהיא מוכרת \(15\) פיצות. 
מצא \(C\) מתי\(p=15\). 
לפשט. 
העלויות של סטלה הן \($85\) כשהיא מוכרת \(15\) פיצות. 3. פרש את השיפוע \(C\) והיירוט של המשוואה. 
המדרון,\(4\), אומר שהעלות עולה \($4\) על כל פיצה שסטלה מוכרת. משמעות \(C\) היירוט היא שגם כשסטלה לא מוכרת פיצות, העלויות שלה לשבוע הן. \($25\) 4. גרף את המשוואה. נצטרך להשתמש בקנה מידה גדול מהרגיל שלנו. התחל \(C\) ב--intercept \((0, 25)\) ואז לספור את העלייה \(4\) ואת הריצה של \(1\) כדי לקבל נקודה שנייה. 
סאם נוהג בטנדר משלוחים. המשוואה \(C=0.5m+60\) מדגמנת את היחס בין העלות השבועית שלו\(C\), בדולרים ומספר הקילומטרים שהוא נוהג בהם. \(m\)
- מצא את העלות של סם לשבוע כשהוא נוסע \(0\) קילומטרים.
- מצא את העלות לשבוע כשהוא נוסע \(250\) קילומטרים.
- פרש את השיפוע \(C\) והיירוט של המשוואה.
- גרף את המשוואה.
- תשובה
-
- \($60\)
- \($185\)
- השיפוע,\(0.5\), אומר שהעלות השבועית,\(C\), עולה \($0.50\) כאשר מספר הקילומטרים שנסעו,\(n\), עולה ב\(1\). משמעות \(C\) היירוט היא שכאשר מספר הקילומטרים שנסעו הוא\(0\), העלות השבועית היא. \($60\)
ללורין יש עסק בקליגרפיה. המשוואה \(C=1.8n+35\) מדגמנת את הקשר בין העלות השבועית שלה\(C\),, בדולרים ומספר ההזמנות לחתונה\(n\),, שהיא כותבת.
- מצא את העלות של לורין לשבוע כשהיא לא כותבת הזמנות.
- מצא את העלות במשך שבוע כאשר היא כותבת \(75\) הזמנות.
- פרש את השיפוע \(C\) והיירוט של המשוואה.
- גרף את המשוואה.
- תשובה
-
- \($35\)
- \($170\)
- המדרון,\(1.8\), פירושו כי העלות השבועית\(C\),, עולה \($1.80\) כאשר מספר ההזמנות,\(n\), עולה ב\(1.80\). משמעות \(C\) היירוט היא שכאשר מספר ההזמנות הוא\(0\), העלות השבועית היא. \($35\)
השתמש במדרונות כדי לזהות קווים מקבילים
שיפוע הקו מציין עד כמה הקו תלול והאם הוא עולה או נופל כשאנחנו קוראים אותו משמאל לימין. שני קווים בעלי שיפוע זהה נקראים קווים מקבילים. קווים מקבילים לעולם אינם מצטלבים.
מה לגבי קווים אנכיים? השיפוע של קו אנכי אינו מוגדר, ולכן קווים אנכיים אינם מתאימים להגדרה לעיל. אנו אומרים כי קווים אנכיים שיש להם שונים \(x\) -יירוט מקבילים. ראה איור\(\PageIndex{5}\).
קווים מקבילים הם קווים באותו מישור שאינם מצטלבים.
- קווים מקבילים יש את אותו שיפוע שונה \(y\) -יירוט.
- אם \(m_{1}\) \(m_{2}\) והם המדרונות של שני קווים מקבילים אז\(m_{1} = m_{2}\).
- קווים אנכיים מקבילים שונים \(x\) -מיירטים.
בואו נגרף את המשוואות \(y=−2x+3\) \(2x+y=−1\) ועל אותה רשת. המשוואה הראשונה כבר נמצאת בצורת שיפוע — יירוט:. \(y=−2x+3\) אנו פותרים את המשוואה השנייה עבור\(y\):
\[\begin{aligned} 2x+y &=-1 \\ y &=-2x-1 \end{aligned}\]
גרף את השורות.
שימו לב שהקווים נראים מקבילים. מהו השיפוע של כל שורה? מהו \(y\) היירוט של כל שורה?
\[\begin{array}{lll} {y} & {=m x+b} & {y=m x+b} \\ {y} & {=-2 x+3} & {y=-2 x-1} \\ {m} & {=-2} & {m=-2}\\ {b} & {=3,(0,3)} & {b=-1,(0,-1)}\end{array}\]
המדרונות של הקווים זהים ו \(y\) -יירוט של כל שורה שונה. אז אנחנו יודעים שהקווים האלה מקבילים.
מכיוון שלקווים מקבילים יש אותו שיפוע \(y\) ויירוטים שונים, כעת אנו יכולים רק להסתכל על צורת השיפוע - יירוט של משוואות הקווים ולהחליט אם הקווים מקבילים.
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(3x−2y=6\). \(y = \frac{3}{2}x + 1\)
- תשובה
-
\(\begin{array} {lrll} {\text { Solve the first equation for } y .} &{ 3 x-2 y} &{=} &{6}\\{} & {\frac{-2 y}{-2}} &{ =}&{-3 x+6 }\\ {} &{\frac{-2 y}{-2}}&{ =}&{\frac{-3 x+6}{-2}} \\ {} & {y }&{=}&{\frac{3}{2} x-3} \end{array}\)
המשוואה נמצאת כעת בצורת שיפוע - יירוט.
המשוואה של השורה השנייה כבר נמצאת בצורת שיפוע — יירוט.
זהה את השיפוע \(y\) והיירוט של שני הקווים.
\(\begin{array}{lll}{y=\frac{3}{2} x+1} & {} & {y=\frac{3}{2} x-3} \\ {y=m x+b} & {} & {y=m x+b}\\ {m=\frac{3}{2}} & {} & {m=\frac{3}{2}} \\ {y\text{-intercept is }(0, 1)} & {} & {y\text{-intercept is }(0, −3)} \end{array}\)
לקווים יש שיפוע זהה ושונה \(y\) -מיירטים ולכן הם מקבילים. ייתכן שתרצה לשרטט את השורות כדי לאשר אם הן מקבילות.
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(2x+5y=5\). \(y=−\frac{2}{5}x−4\)
- תשובה
-
במקביל
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(4x−3y=6\). \(y=\frac{4}{3}x−1\)
- תשובה
-
במקביל
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(y=−4\). \(y=3\)
- תשובה
-
\(\begin{array}{llll}{\text{Write each equation in slope-intercept form.}} &{y=-4} & {\text { and }} &{ y=3} \\ {\text{Since there is no }x\text{ term we write }0x.} &{y=0 x-4} & {} &{y=0 x+3} \\ {\text{Identify the slope and }y\text{-intercept of both lines.}} &{y=m x+b} &{} & {y=m x+b} \\ {} &{m=0} &{} & {m=0} \\{} & {y\text {-intercept is }(0,4)} &{} & {y \text {-intercept is }(0,3)}\end{array}\)
לקווים יש שיפוע זהה ושונה \(y\) -מיירטים ולכן הם מקבילים.
יש דרך אחרת שאתה יכול להסתכל על הדוגמה הזו. אם אתה מזהה מיד מהמשוואות שמדובר בקווים אופקיים, אתה יודע שהמדרונות שלהם הם שניהם\(0\). מכיוון שהקווים האופקיים חוצים את \(y\) הציר ב- \(y=−4\) וב-\(y=3\), אנו יודעים \(y\) שהיירוטים הם ו. \((0,−4)\) \((0,3)\) לקווים יש שיפוע זהה ושונה \(y\) -מיירטים ולכן הם מקבילים.
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(y=8\). \(y=−6\)
- תשובה
-
במקביל
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(y=1\). \(y=−5\)
- תשובה
-
במקביל
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(x=−2\). \(x=−5\)
- תשובה
-
\[x=-2 \text { and } x=-5\]
מכיוון שאין\(y\), לא ניתן להכניס את המשוואות בצורה של שיפוע - יירוט. אבל אנחנו מזהים אותם כמשוואות של קווים אנכיים. \(x\)היירוטים שלהם הם ו. \(−2\) \(−5\) מכיוון \(x\) שהיירוט שלהם שונה, הקווים האנכיים מקבילים.
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(x=1\). \(x=−5\)
- תשובה
-
במקביל
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(x=8\). \(x=−6\)
- תשובה
-
במקביל
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(y=2x−3\). \(−6x+3y=−9\) ייתכן שתרצה גם לשרטט שורות אלה כדי לראות איך הן נראות.
- תשובה
-
\(\begin{array} {llll} {\text { The first equation is already in slope-intercept form. }} & {y=2x-3}&{}&{} \\ \\ {\text { Solve the second equation for } y} & {-6x+3y} &{=}&{-9} \\{} & {3y}&{=}&{6x-9} \\ {}&{\frac{3y}{3} }&{=}&{\frac{6x-9}{3}} \\{} & {y}&{=}&{2x-3}\end{array}\)
המשוואה השנייה נמצאת כעת גם בצורת שיפוע - יירוט.
זהה את השיפוע \(y\) והיירוט של שני הקווים.
\[\begin{array}{lll}{y=2x-3} &{} & {y=2x-3} \\ {y=mx+b} &{} & {y=mx+b} \\ {m=2} &{} & {m=2} \\ {\text{The }y\text{-intercept is }(0 ,−3)} &{} & {\text{The }y\text{-intercept is }(0 ,−3)} \end{array} \nonumber\]
לקווים יש אותו שיפוע, אבל יש להם גם אותו \(y\) -יירוט. המשוואות שלהם מייצגות את אותו קו. הם אינם מקבילים; הם אותו קו.
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(y=−\frac{1}{2}x−1\). \(x+2y=2\)
- תשובה
-
לא מקביל; אותו קו
השתמש במדרונות ו \(y\) -יירוט כדי לקבוע אם הקווים מקבילים\(y=\frac{3}{4}x−3\). \(3x−4y=12\)
- תשובה
-
לא מקביל; אותו קו
השתמש במדרונות כדי לזהות קווים בניצב
בואו נסתכל על השורות שהמשוואות שלהן \(y=\frac{1}{4}x−1\) \(y=−4x+2\) ומוצגות באיור\(\PageIndex{5}\).
קווים אלה שוכבים באותו מישור ומצטלבים בזוויות ישרות. אנו מכנים קווים אלה בניצב.
מה אתה שם לב על המדרונות של שתי שורות אלה? כאשר אנו קוראים משמאל לימין, הקו \(y=14x−1\) עולה, כך המדרון שלו הוא חיובי. הקו \(y=−4x+2\) צונח משמאל לימין, כך שיש לו שיפוע שלילי. האם זה הגיוני לך כי המדרונות של שני קווים בניצב יהיו סימנים מנוגדים?
אם נסתכל על המדרון של השורה הראשונה,\(m_{1}=14\), ואת המדרון של הקו השני,\(m_{2}=−4\), אנו יכולים לראות כי הם הדדיות שליליות אחד של השני. אם נכפיל אותם, המוצר שלהם הוא\(−1\).
\[\begin{array}{c}{m_{1} \cdot m_{2}} \\ {\frac{1}{4}(-4)} \\ {-1}\end{array}\]
זה תמיד נכון לגבי קווים בניצב ומוביל אותנו להגדרה זו.
קווים בניצב הם קווים באותו מישור היוצרים זווית ישרה.
אם m1 ו- m2 הם המדרונות של שני קווים בניצב, אז:
\[m_{1} \cdot m_{2}=-1 \text { and } m_{1}=\frac{-1}{m_{2}}\]
קווים אנכיים וקווים אופקיים תמיד בניצב זה לזה.
הצלחנו להסתכל על צורת השיפוע -יירוט של משוואות לינאריות ולקבוע אם הקווים מקבילים או לא. אנחנו יכולים לעשות את אותו הדבר עבור קווים בניצב.
אנו מוצאים את צורת השיפוע -יירוט של המשוואה, ואז רואים אם המדרונות הם הדדיות שליליות. אם המוצר של המדרונות הוא\(−1\), הקווים הם בניצב. קווים בניצב עשויים להיות זהים \(y\) -מיירט.
השתמש במדרונות כדי לקבוע אם הקווים, \(y=−5x−4\) \(x−5y=5\) והם בניצב.
- תשובה
-
המשוואה הראשונה כבר נמצאת בצורת שיפוע — יירוט: \(\quad y=−5x−4\)
\(\begin{array} {llll} {\text{Solve the second equation for }y.} &{x-5y} &{=} &{5} \\{} &{-5 y} &{=} &{-x+5} \\ {} & {\frac{-5 y}{-5}} &{=} &{\frac{-x+5}{-5}} \\ {} &{y} &{=} &{\frac{1}{5} x-1} \end{array}\)המשוואה השנייה נמצאת כעת גם בצורת יירוט שיפוע.
\(\begin{array} {lrllllll} {\text{Identify the slope of each line.}} &{y} &{=} &{-5 x-4} & {} &{y} &{=} &{\frac{1}{5} x-1} \\ {} &{y} &{=} &{m x+b} & {} &{y} &{=} &{m x+b}\\ {} &{m_{1}} &{=}&{-5} & {} &{m_{2}} &{=}&{\frac{1}{5}}\end{array}\)
המדרונות הם הדדיות שליליות זה מזה, כך שהקווים בניצב. אנו בודקים על ידי הכפלת המדרונות,
\[\begin{array}{l}{m_{1} \cdot m_{2}} \\ {-5\left(\frac{1}{5}\right)} \\ {-1\checkmark}\end{array}\]
השתמש במדרונות כדי לקבוע אם הקווים \(y=−3x+2\) \(x−3y=4\) הם בניצב.
- תשובה
-
ניצב
השתמש במדרונות כדי לקבוע אם הקווים \(y=2x−5\) \(x+2y=−6\) הם בניצב.
- תשובה
-
ניצב
השתמש במדרונות כדי לקבוע אם הקווים, \(7x+2y=3\) \(2x+7y=5\) והם בניצב.
- תשובה
-
\(\begin{array}{lrlrl}{\text{Solve the equations for y.}} &{7 x+2 y} & {=3} & {2 x+7 y}&{=}&{5} \\{} & {2 y} & {=-7 x+3} & {7 y}&{=}&{-2 x+5} \\ {} &{\frac{2 y}{2}} & {=\frac{-7 x+3}{2} \quad} & {\frac{7 y}{7}}&{=}&{\frac{-2 x+5}{7}} \\ {} &{y} & {=-\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}} &{y}&{=}&{\frac{-2}{7}x + \frac{5}{7}}\\ \\{\text{Identify the slope of each line.}} & {y}&{=m x+b} &{y}&{=}&{m x+b} \\{} & {m_{1}} & {=-\frac{7}{2} }&{ m_{2}}&{=}&{-\frac{2}{7}}\end{array}\)
המדרונות הם הדדיים זה לזה, אבל יש להם את אותו סימן. מכיוון שהם אינם הדדיות שליליות, הקווים אינם בניצב.
השתמש במדרונות כדי לקבוע אם הקווים \(5x+4y=1\) \(4x+5y=3\) הם בניצב.
- תשובה
-
לא בניצב
השתמש במדרונות כדי לקבוע אם הקווים \(2x−9y=3\) \(9x−2y=1\) הם בניצב.
- תשובה
-
לא בניצב
גש למשאב מקוון זה לקבלת הדרכה ותרגול נוספים עם גרפים.
מושגי מפתח
- צורת השיפוע -יירוט של משוואה של קו עם שיפוע מ"מ ו \(y\) -יירוט, היא,. \((0,b)\) \(y=mx+b\)
- גרף קו באמצעות השיפוע שלו ו \(y\) -יירוט
- מצא את צורת יירוט השיפוע של משוואת הקו.
- זהה את המדרון ואת \(y\) -יירוט.
- תכנן את \(y\) היירוט.
- השתמש בנוסחת השיפוע \(m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}\) כדי לזהות את העלייה והריצה.
- החל \(y\) מהיירוט, ספר את העלייה ורץ כדי לסמן את הנקודה השנייה.
- חבר את הנקודות עם קו.
- אסטרטגיה לבחירת השיטה הנוחה ביותר לתרשים קו: שקול את צורת המשוואה.
- אם יש לו רק משתנה אחד, זהו קו אנכי או אופקי.
\(x = a\)הוא קו אנכי העובר דרך \(x\) הציר ב א.
\(y = b\) הוא קו אופקי העובר דרך \(y\) הציר ב. \(b\) - אם \(y\) מבודד בצד אחד של המשוואה, בצורה\(y=mx+b\), גרף באמצעות השיפוע \(y\) -יירוט.
זהה את השיפוע ואת \(y\) -יירוט ולאחר מכן גרף. - אם המשוואה היא מהצורה\(Ax+By=C\), מצא את היירוטים.
מצא את \(x\) - ו \(y\) -מיירט, נקודה שלישית, ולאחר מכן גרף.
- אם יש לו רק משתנה אחד, זהו קו אנכי או אופקי.
- קווים מקבילים הם קווים באותו מישור שאינם מצטלבים.
- קווים מקבילים יש את אותו שיפוע שונה \(y\) -יירוט.
- אם \(m_1\) \(m_2\) והם המדרונות של שני קווים מקבילים אז\(m_1 = m_2\).
- קווים אנכיים מקבילים שונים \(x\) -מיירטים.
- קווים בניצב הם קווים באותו מישור היוצרים זווית ישרה.
- אם \(m_1\) \(m_2\) והם המדרונות של שני קווים בניצב, ואז \(m_1\cdot m_2=−1\) ו\(m_1=\frac{−1}{m_2}\).
- קווים אנכיים וקווים אופקיים תמיד בניצב זה לזה.
רשימת מילים
- קווים מקבילים
- קווים באותו מישור שאינם מצטלבים.
- קווים בניצב
- קווים באותו מישור היוצרים זווית ישרה.
- צורת יירוט שיפוע של משוואה של קו
- צורת השיפוע -יירוט של משוואה של קו עם שיפוע מ"מ ו \(y\) -יירוט, היא,. \((0,b)\) \(y=mx+b\)