Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

4.7: גרפים של אי שוויון לינארי

מטרות למידה

בסוף פרק זה, תוכל:

  • אמת פתרונות לאי שוויון בשני משתנים
  • הכירו את הקשר בין הפתרונות של אי שוויון לגרף שלו
  • גרף אי שוויון לינארי
הערה

לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

  1. לפתור: 4x+3>23.
    אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 2.7.22.
  2. תרגם מאלגברה לאנגלית: x<5.
    אם פספסת את הבעיה, סקור את תרגיל 1.3.1.
  3. הערך 3x2y מתי x=1,y=2.
    אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.5.28.

אמת פתרונות לאי שוויון בשני משתנים

למדנו כיצד לפתור אי שוויון במשתנה אחד. כעת, נבחן את אי השוויון בשני משתנים. לאי-שוויון בשני משתנים יש יישומים רבים. אם ניהלת עסק, למשל, היית רוצה שההכנסות שלך יהיו גדולות מהעלויות שלך - כדי שהעסק שלך ירוויח.

אי שוויון לינארי

אי שוויון לינארי הוא אי שוויון שניתן לכתוב באחת מהצורות הבאות:

Ax+By>CAx+ByCAx+By<CAx+ByC

איפה A ולא B שניהם אפס.

האם אתה זוכר שלאי שוויון עם משתנה אחד היו פתרונות רבים? הפתרון לאי-השוויון x>3 הוא מספר גדול יותר מ3. הראינו זאת בשורת המספרים על ידי הצללה בשורת המספרים מימין3, והצבת סוגריים פתוחים ב3. ראה איור4.7.1.

האיור מציג קו מספר המשתרע בין 5 ל -5 שלילי. סוגריים מוצגים בחיובי 3 וחץ משתרע בצורה חיובית 3 עד אינסוף חיובי.
איור 4.7.1

באופן דומה, לאי-שוויון בשני משתנים יש פתרונות רבים. כל זוג מסודר (x,y) שהופך את אי השוויון לאמיתי כאשר אנו מחליפים בערכים הוא פיתרון של אי השוויון.

פתרון של אי שוויון ליניארי

זוג מסודר (x,y) הוא פתרון של אי שוויון ליניארי אם אי השוויון נכון כאשר אנו מחליפים את הערכים של x וy.

תרגיל 4.7.1

קבע אם כל זוג מסודר הוא פיתרון לאי השוויוןy>x+4:

  1. (0,0)
  2. (1,6)
  3. (2,6)
  4. (5,15)
  5. (8,12)
תשובה
1.
(0,0) .
. .
לפשט. .
אז, (0,0) הוא לא פתרוןy>x+4.
2.
(1,6) .
. .
לפשט. .
אז, (1,6) הוא פתרוןy>x+4.
3.
(2,6) .
. .
לפשט. .
אז, (2,6) הוא לא פתרוןy>x+4.
4.
(5,15) .
. .
לפשט. .
אז, (5,15) הוא לא פתרוןy>x+4.
5.
(-8,12) .
. .
לפשט. .
אז, (8,12) הוא פתרוןy>x+4.
תרגיל 4.7.2

קבע אם כל זוג מסודר הוא פיתרון לאי השוויוןy>x3:

  1. (0,0)
  2. (4,9)
  3. (2,1)
  4. (5,3)
  5. (5,1)
תשובה
  1. כן
  2. כן
  3. כן
  4. כן
  5. לא
תרגיל 4.7.3

קבע אם כל זוג מסודר הוא פיתרון לאי השוויוןy<x+1:

  1. (0,0)
  2. (8,6)
  3. (2,1)
  4. (3,4)
  5. (1,4)
תשובה
  1. כן
  2. כן
  3. לא
  4. לא
  5. כן

הכירו את הקשר בין פתרונות אי השוויון לבין הגרף שלו

כעת, נבחן כיצד הפתרונות של אי שוויון קשורים לגרף שלו.

בואו נחשוב 4.7.1 שוב על שורת המספרים באיור. הנקודה x=3 הפרידה את קו המספרים לשני חלקים. בצד אחד של כל 3 המספרים פחות מ3. בצד השני של 3 כל המספרים גדולים מ3. ראה איור4.7.2.

האיור מציג קו מספר המשתרע בין 5 ל -5 שלילי. סוגריים מוצגים בחיובי 3 וחץ משתרע בצורה חיובית 3 עד אינסוף חיובי. חץ מעל קו המספרים משתרע מ -3 ומצביע שמאלה. הוא מסומן "מספרים פחות מ -3." חץ מעל קו המספרים משתרע מ -3 ומצביע ימינה. הוא מסומן "מספרים גדולים מ -3."
איור 4.7.2

הפתרון x>3 הוא החלק המוצל של שורת המספרים מימיןx=3.

באופן דומה, הקו y=x+4 מפריד את המטוס לשני אזורים. בצד אחד של הקו נקודות עםy<x+4. בצד השני של הקו הן נקודות עםy>x+4. אנו קוראים לקו y=x+4 קו גבול.

קו גבול

הקו עם המשוואה Ax+By=C הוא קו הגבול המפריד בין האזור Ax+By>C שממנו לאזור שבוAx+By<C.

עבור אי שוויון במשתנה אחד, נקודת הקצה מוצגת עם סוגריים או סוגר, תלוי אם aa כלול בפתרון או לא:

האיור מציג שתי שורות מספר. שורת המספרים בצד שמאל מסומנת x קטנה מ- a. שורת המספרים מציגה סוגריים ב- a וחץ המצביע שמאלה. שורת המספרים מימין מסומנת x קטנה או שווה ל- a. שורת המספרים מציגה סוגר ב- a וחץ המצביע שמאלה.

באופן דומה, עבור אי שוויון בשני משתנים, קו הגבול מוצג עם קו מוצק או מקווקו כדי לציין אם זה הקו כלול בפתרון או לא. זה מסוכם בטבלה4.7.1.

Ax+By<C Ax+ByC
Ax+By>C Ax+ByC
קו הגבול אינו כלול בפתרון. קו הגבול כלול בפתרון.
קו הגבול מקווקו. קו הגבול הוא מוצק.
טבלה 4.7.1

עכשיו, בואו נסתכל על מה שמצאנו בפעילות גופנית4.7.1. נתחיל בתרשים הקוy=x+4, ואז נתווה את חמש הנקודות שבדקנו. ראה איור4.7.3.

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו y שווה ל- x פלוס 4 מתווה כחץ המשתרע משמאל למטה לכיוון הימני העליון. הנקודות הבאות מתוארות ומתויגות (שלילי 8, 12), (1, 6), (2, 6), (0, 0) ו- (שלילי 5, שלילי 15).
איור 4.7.3

בתרגיל 4.7.1 גילינו שחלק מהנקודות היו פתרונות לאי השוויון y>x+4 וחלקן לא.

אילו מהנקודות שרטטנו הן פתרונות לאי השוויוןy>x+4? הנקודות (1,6) והן (8,12) פתרונות לאי השוויוןy>x+4. שימו לב ששניהם נמצאים באותו צד של קו הגבולy=x+4.

שתי הנקודות (0,0) (5,15) נמצאות בצד השני של קו הגבולy=x+4, והן אינן פתרונות לאי השוויוןy>x+4. עבור שתי הנקודות האלה, y<x+4

מה לגבי הנקודה(2,6)? מכיוון 6=2+4 שהנקודה היא פיתרון למשוואהy=x+4. אז הנקודה (2,6) היא על קו הגבול.

בואו ניקח נקודה נוספת בצד שמאל של קו הגבול ונבדוק אם זה פיתרון לאי-השוויון או לאy>x+4. הנקודה נראית (0,10) בבירור משמאל לקו הגבול, לא? האם זה פתרון לחוסר השוויון?

y>x+410?>0+410>4So, (0,10) is a solution to y>x+4.

כל נקודה שתבחר בצד שמאל של קו הגבול היא פתרון לאי השוויוןy>x+4. כל הנקודות משמאל הן פתרונות.

באופן דומה, כל הנקודות בצד ימין של קו הגבול, הצד עם (0,0) ו(5,15), אינן פתרונותy>x+4. ראה איור4.7.4.

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו y שווה ל- x פלוס 4 מתווה כחץ המשתרע משמאל למטה לכיוון הימני העליון. הנקודות הבאות מתוארות ומתויגות (שלילי 8, 12), (1, 6), (2, 6), (0, 0) ו- (שלילי 5, שלילי 15). בפינה השמאלית העליונה של הקו נמצא אי השוויון y גדול מ- x פלוס 4. מימין לקו נמצא אי השוויון y הוא פחות מ- x פלוס 4.
איור 4.7.4

הגרף של אי השוויון y>x+4 מוצג ב דמות 4.7.5 לְהַלָן. הקו y=x+4 מחלק את המטוס לשני אזורים. הצד המוצל מראה את הפתרונות לאי השוויוןy>x+4.

הנקודות בקו הגבול, אלה שבהןy=x+4, אינן פתרונות לאי-השוויוןy>x+4, ולכן הקו עצמו אינו חלק מהפתרון. אנו מראים כי על ידי הפיכת הקו מקווקו, לא מוצק.

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו y שווה ל- x פלוס 4 מתווה כחץ מקווקו המשתרע משמאל למטה לכיוון הימני העליון. מישור הקואורדינטות בפינה השמאלית העליונה של הקו מוצל.
איור4.7.5: הגרף של אי השוויון y>x+4.
תרגיל 4.7.4

קו הגבול המוצג הואy=2x1. כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי הגרף.

תשובה

הקו y=2x1 הוא קו הגבול. בצד אחד של הקו נמצאות הנקודות עם y>2x1 ובצד השני של הקו הנקודות עםy<2x1.

בואו נבדוק את הנקודה (0,0) ונראה איזה אי שוויון מתאר את הצד שלה בקו הגבול.

ב(0,0), איזה אי שוויון נכון:

y>2x1 or y<2x1?y>2x1y<2x10>2010<2010>1 True 0<1 False 

מכיוון y>2x1 שזה נכון, הצד של הקו עם(0,0), הוא הפיתרון. האזור המוצל מראה את פיתרון אי השוויוןy>2x1.

מכיוון שקו הגבול מתואר בקו אחיד, אי השוויון כולל את הסימן השווה.

הגרף מראה את אי השוויוןy2x1.

נוכל להשתמש בכל נקודה כנקודת מבחן, בתנאי שהיא לא על הקו. מדוע בחרנו(0,0)? כי זה הכי קל להעריך. ייתכן שתרצה לבחור נקודה בצד השני של קו הגבול ולבדוק זאתy<2x1.

תרגיל 4.7.5

כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי הגרף עם קו הגבולy=2x+3.

תשובה

y2x+3

תרגיל 4.7.6

כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי הגרף עם קו הגבולy=12x4.

תשובה

y12x4

תרגיל 4.7.7

קו הגבול המוצג הוא2x+3y=6. כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי הגרף.

תשובה

הקו 2x+3y=6 הוא קו הגבול. בצד אחד של הקו נמצאות הנקודות עם 2x+3y>6 ובצד השני של הקו הנקודות עם2x+3y<6.

בואו נבדוק את הנקודה (0,0) ונראה איזה אי שוויון מתאר את הצד שלה בקו הגבול.

ב(0,0), איזה אי שוויון נכון:

2x+3y>6 or 2x+3y<6?2x+3y>62x+3y<62(0)+3(0)>62(0)+3(0)<60>6 False 0<6 True 

אז הצד עם (0,0) הוא הצד שבו2x+3y<6.

(ייתכן שתרצה לבחור נקודה בצד השני של קו הגבול ולבדוק זאת2x+3y>6.)

מכיוון שקו הגבול מתואר כקו מקווקו, אי השוויון אינו כולל סימן שווה.

הגרף מציג את הפיתרון לאי השוויון2x+3y<6.

תרגיל 4.7.8

כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי האזור המוצל בגרף עם קו הגבולx4y=8.

תשובה

x4y8

תרגיל 4.7.9

כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי האזור המוצל בגרף עם קו הגבול3xy=6.

תשובה

3xy6

גרף אי שוויון לינארי

כעת, אנו מוכנים לחבר את כל זה כדי לתאר את אי השוויון הליניארי.

תרגיל 4.7.10: How to Graph Linear Inequalities

גרף את אי השוויון הליניאריy34x2.

תשובה

נתון זה הוא טבלה הכוללת שלוש עמודות ושלוש שורות. העמודה הראשונה היא עמודת כותרת, והיא מכילה את השמות והמספרים של כל שלב. העמודה השנייה מכילה הוראות כתובות נוספות. העמודה השלישית מכילה מתמטיקה. בשורה העליונה של הטבלה, התא הראשון משמאל קורא: "שלב 1. זהה וגרף את קו הגבול. אם אי השוויון קטן או שווה או גדול או שווה לו, קו הגבול מוצק. אם אי השוויון קטן או גדול מ-, קו הגבול מקווקו. הטקסט בתא השני כתוב: "החלף את סימן האי-שוויון בסימן שווה כדי למצוא את קו הגבול. גרף קו הגבול y שווה לשלושה רבעים x מינוס 2. סימן האי-שוויון גדול או שווה ל, ולכן אנו מציירים קו מוצק. התא השלישי מכיל את הגרף של הקו שלושה רבעים x מינוס 2 במישור קואורדינטות.בשורה השנייה של הטבלה, התא הראשון אומר: "שלב 2. בדוק נקודה שאינה על קו הגבול. האם זה פתרון של אי השוויון? בתא השני, ההוראות אומרות: "נבדוק (0, 0). האם זה פתרון של אי השוויון?" התא השלישי שואל: ב (0, 0), האם y גדול או שווה לשלושה רבעים x מינוס 2? מתחת לזה אי השוויון 0 גדול או שווה לשלושה רבעים 0 מינוס 2, עם סימן שאלה מעל סמל אי השוויון. מתחת לזה אי השוויון 0 גדול או שווה לשלילי 2. להלן: "אז (0, 0) הוא פיתרון.בשורה השלישית של הטבלה, התא הראשון אומר: "שלב 3. צל בצד אחד של קו הגבול. אם נקודת הבדיקה היא פתרון, צל בצד הכולל את הנקודה. אם נקודת הבדיקה אינה פתרון, צל בצד הנגדי. בתא השני ההוראות אומרות: נקודת הבדיקה (0, 0) היא פיתרון ל- y גדול או שווה לשלושה רבעים x מינוס 2. אז אנחנו מצללים בצד הזה." בתא השלישי נמצא הגרף של הקו שלושה רבעים x מינוס 2 במישור קואורדינטות כשהאזור מעל הקו מוצל.

תרגיל 4.7.11

גרף את אי השוויון הליניאריy52x4.

תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו y שווה לחמישה חצאים x מינוס 4 מתווה כחץ מוצק המשתרע משמאל למטה לכיוון ימין למעלה. האזור שמעל לקו מוצל.

תרגיל 4.7.12

גרף את אי השוויון הליניאריy<23x5.

תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו y שווה לשני שלישים x מינוס 5 מתווה כחץ מקווקו המשתרע משמאל למטה לכיוון ימין למעלה. האזור שמתחת לקו מוצל.

הצעדים שאנו נוקטים כדי לתאר אי שוויון ליניארי מסוכמים כאן.

גרף אי שוויון ליניארי.
  1. זהה וגרף את קו הגבול.
    • אם אי השוויון הוא או, קו הגבול מוצק.
    • אם אי השוויון הוא < או>, קו הגבול מקווקו.
  2. בדוק נקודה שאינה על קו הגבול. האם זה פתרון של אי השוויון?
  3. צל בצד אחד של קו הגבול.
    • אם נקודת הבדיקה היא פתרון, צל בצד הכולל את הנקודה.
    • אם נקודת הבדיקה אינה פתרון, צל בצד הנגדי.
תרגיל 4.7.13

גרף את אי השוויון הליניאריx2y<5.

תשובה

ראשית אנו משרטטים את קו הגבולx2y=5. אי השוויון הוא < כך שאנו מציירים קו מקווקו.

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו x מינוס 2 y שווה ל -5 מתווה כחץ מקווקו המשתרע משמאל למטה לכיוון ימין למעלה.

ואז אנו בודקים נקודה. נשתמש (0,0) שוב כי זה קל להעריך וזה לא על קו הגבול.

האם (0,0) פתרון שלx2y<5?

האיור מראה את אי השוויון 0 מינוס 2 פעמים 0 בסוגריים הוא פחות מ -5, עם סימן שאלה מעל סמל אי השוויון. השורה הבאה מציגה 0 מינוס 0 הוא פחות מ -5, עם סימן שאלה מעל סמל אי השוויון. השורה השלישית מראה 0 הוא פחות מ 5.

הנקודה (0,0) היא פתרון שלx2y<5, אז אנחנו צל בצד הזה של קו הגבול.

תרגיל 4.7.14

גרף את אי השוויון הליניארי2x3y6.

תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו 2 x מינוס 3 y שווה ל 6 מתווה כחץ מוצק המשתרע משמאל למטה לכיוון ימין למעלה. האזור שמעל לקו מוצל.

תרגיל 4.7.15

גרף את אי השוויון הליניארי2xy>3.

תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו 2 x מינוס y שווה ל -3 מתווה כחץ מקווקו המשתרע משמאל למטה לכיוון ימין למעלה. האזור שמתחת לקו מוצל.

מה אם קו הגבול עובר דרך המקור? אז לא נוכל להשתמש (0,0) כנקודת מבחן. אין בעיה - פשוט נבחר נקודה אחרת שאינה על קו הגבול.

תרגיל 4.7.16

גרף את אי השוויון הליניאריy4x.

תשובה

ראשית אנו משרטטים את קו הגבולy=4x. זה בצורת שיפוע - יירוט, עם ו. m=4 b=0 אי השוויון הוא כך שאנו מציירים קו מוצק.

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו s y שווה לשלילי 4 x משורטט כחץ מוצק המשתרע משמאל למעלה לכיוון ימין למטה.

עכשיו, אנחנו צריכים נקודת מבחן. אנו יכולים לראות שהנקודה (1,0) אינה על קו הגבול.

האם (1,0) פתרון שלy4x?

האיור מראה ש- 0 פחות או שווה לשלילי 4 פעמים 1 בסוגריים, עם סימן שאלה מעל סמל אי השוויון. השורה הבאה מראה 0 הוא לא פחות או שווה לשלילי 4.

הנקודה (1,0) היא לא פתרוןy4x, אז אנחנו צל בצד הנגדי של קו הגבול. ראה איור4.7.6.

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו y שווה לשלילי 4 x משורטט כחץ מוצק המשתרע משמאל למעלה לכיוון ימין למטה. הנקודה (1, 0) משורטטת, אך אינה מסומנת. האזור משמאל לקו מוצל.
איור 4.7.6
תרגיל 4.7.17

גרף את אי השוויון הליניאריy>3x.

תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו y שווה ל -3 x שלילי משורטט כחץ מקווקו המשתרע משמאל למעלה לכיוון ימין למטה. האזור מימין לקו מוצל.

תרגיל 4.7.18

גרף את אי השוויון הליניאריy2x.

תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו y שווה לשלילי 2 x משורטט כחץ מוצק המשתרע משמאל למעלה לכיוון ימין למטה. האזור מימין לקו מוצל.

לחלק מהאי-שוויון הליניארי יש רק משתנה אחד. אולי יש להם x אבל לאy, או y אבל לאx. במקרים אלה, קו הגבול יהיה קו אנכי או אופקי. האם אתה זוכר?

x=a vertical line y=b horizontal line 

תרגיל 4.7.19

גרף את אי השוויון הליניאריy>3.

תשובה

ראשית אנו משרטטים את קו הגבולy=3. זהו קו אופקי. אי השוויון הוא > כך שאנו מציירים קו מקווקו.

אנחנו בודקים את הנקודה(0,0).

y>30

(0,0)זה לא פתרון לy>3.

אז אנחנו מצללים את הצד שאינו כולל(0,0).

תרגיל \PageIndex{20}

גרף את אי השוויון הליניאריy<5.

תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו y שווה ל -5 מתווה כחץ מקווקו אופקית על פני המישור. האזור שמעל לקו מוצל.

תרגיל \PageIndex{21}

גרף את אי השוויון הליניאריy \leq-1.

תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -10 ל -10 שלילי. הקו y שווה לשלילי 1 משורטט כחץ מקווקו אופקית על פני המישור. האזור שמתחת לקו מוצל.

מושגי מפתח

  • לתרשים אי שוויון לינארי
    1. זהה וגרף את קו הגבול.
      אם אי השוויון הוא או, קו הגבול מוצק.
      אם אי השוויון הוא < או>, קו הגבול מקווקו.
    2. בדוק נקודה שאינה על קו הגבול. האם זה פתרון של אי השוויון?
    3. צל בצד אחד של קו הגבול.
      אם נקודת הבדיקה היא פתרון, צל בצד הכולל את הנקודה.
      אם נקודת הבדיקה אינה פתרון, צל בצד הנגדי.

רשימת מילים

קו גבול
הקו עם משוואה A x+B y=C המפריד בין האזור A x+B y>C שממנו לאזור שבוA x+B y<C.
אי שוויון לינארי
אי שוויון שניתן לכתוב באחת מהצורות הבאות:

A x+B y>C \quad A x+B y \geq C \quad A x+B y<C \quad A x+B y \leq C

איפה A ולא B שניהם אפס.
פתרון של אי שוויון ליניארי
זוג מסודר (x,\,y) הוא פתרון לאי שוויון ליניארי אי השוויון נכון כאשר אנו מחליפים את הערכים של x וy.