4.7: גרפים של אי שוויון לינארי
בסוף פרק זה, תוכל:
- אמת פתרונות לאי שוויון בשני משתנים
- הכירו את הקשר בין הפתרונות של אי שוויון לגרף שלו
- גרף אי שוויון לינארי
לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.
- לפתור: 4x+3>23.
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 2.7.22. - תרגם מאלגברה לאנגלית: x<5.
אם פספסת את הבעיה, סקור את תרגיל 1.3.1. - הערך 3x−2y מתי x=1,y=−2.
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.5.28.
אמת פתרונות לאי שוויון בשני משתנים
למדנו כיצד לפתור אי שוויון במשתנה אחד. כעת, נבחן את אי השוויון בשני משתנים. לאי-שוויון בשני משתנים יש יישומים רבים. אם ניהלת עסק, למשל, היית רוצה שההכנסות שלך יהיו גדולות מהעלויות שלך - כדי שהעסק שלך ירוויח.
אי שוויון לינארי הוא אי שוויון שניתן לכתוב באחת מהצורות הבאות:
Ax+By>CAx+By≥CAx+By<CAx+By≤C
איפה A ולא B שניהם אפס.
האם אתה זוכר שלאי שוויון עם משתנה אחד היו פתרונות רבים? הפתרון לאי-השוויון x>3 הוא מספר גדול יותר מ3. הראינו זאת בשורת המספרים על ידי הצללה בשורת המספרים מימין3, והצבת סוגריים פתוחים ב3. ראה איור4.7.1.

באופן דומה, לאי-שוויון בשני משתנים יש פתרונות רבים. כל זוג מסודר (x,y) שהופך את אי השוויון לאמיתי כאשר אנו מחליפים בערכים הוא פיתרון של אי השוויון.
זוג מסודר (x,y) הוא פתרון של אי שוויון ליניארי אם אי השוויון נכון כאשר אנו מחליפים את הערכים של x וy.
קבע אם כל זוג מסודר הוא פיתרון לאי השוויוןy>x+4:
- (0,0)
- (1,6)
- (2,6)
- (−5,−15)
- (−8,12)
- תשובה
- 1.
(0,0) לפשט.
אז, (0,0) הוא לא פתרוןy>x+4.(1,6) לפשט.
אז, (1,6) הוא פתרוןy>x+4. - 3.
(2,6) לפשט.
אז, (2,6) הוא לא פתרוןy>x+4. - 4.
(−5,−15) לפשט.
אז, (−5,−15) הוא לא פתרוןy>x+4. - 5.
(-8,12) לפשט.
אז, (−8,12) הוא פתרוןy>x+4.
קבע אם כל זוג מסודר הוא פיתרון לאי השוויוןy>x−3:
- (0,0)
- (4,9)
- (−2,1)
- (−5,−3)
- (5,1)
- תשובה
-
- כן
- כן
- כן
- כן
- לא
קבע אם כל זוג מסודר הוא פיתרון לאי השוויוןy<x+1:
- (0,0)
- (8,6)
- (−2,−1)
- (3,4)
- (−1,−4)
- תשובה
-
- כן
- כן
- לא
- לא
- כן
הכירו את הקשר בין פתרונות אי השוויון לבין הגרף שלו
כעת, נבחן כיצד הפתרונות של אי שוויון קשורים לגרף שלו.
בואו נחשוב 4.7.1 שוב על שורת המספרים באיור. הנקודה x=3 הפרידה את קו המספרים לשני חלקים. בצד אחד של כל 3 המספרים פחות מ3. בצד השני של 3 כל המספרים גדולים מ3. ראה איור4.7.2.

הפתרון x>3 הוא החלק המוצל של שורת המספרים מימיןx=3.
באופן דומה, הקו y=x+4 מפריד את המטוס לשני אזורים. בצד אחד של הקו נקודות עםy<x+4. בצד השני של הקו הן נקודות עםy>x+4. אנו קוראים לקו y=x+4 קו גבול.
הקו עם המשוואה Ax+By=C הוא קו הגבול המפריד בין האזור Ax+By>C שממנו לאזור שבוAx+By<C.
עבור אי שוויון במשתנה אחד, נקודת הקצה מוצגת עם סוגריים או סוגר, תלוי אם aa כלול בפתרון או לא:
באופן דומה, עבור אי שוויון בשני משתנים, קו הגבול מוצג עם קו מוצק או מקווקו כדי לציין אם זה הקו כלול בפתרון או לא. זה מסוכם בטבלה4.7.1.
Ax+By<C | Ax+By≤C |
Ax+By>C | Ax+By≥C |
קו הגבול אינו כלול בפתרון. | קו הגבול כלול בפתרון. |
קו הגבול מקווקו. | קו הגבול הוא מוצק. |
עכשיו, בואו נסתכל על מה שמצאנו בפעילות גופנית4.7.1. נתחיל בתרשים הקוy=x+4, ואז נתווה את חמש הנקודות שבדקנו. ראה איור4.7.3.

בתרגיל 4.7.1 גילינו שחלק מהנקודות היו פתרונות לאי השוויון y>x+4 וחלקן לא.
אילו מהנקודות שרטטנו הן פתרונות לאי השוויוןy>x+4? הנקודות (1,6) והן (−8,12) פתרונות לאי השוויוןy>x+4. שימו לב ששניהם נמצאים באותו צד של קו הגבולy=x+4.
שתי הנקודות (0,0) (−5,−15) נמצאות בצד השני של קו הגבולy=x+4, והן אינן פתרונות לאי השוויוןy>x+4. עבור שתי הנקודות האלה, y<x+4
מה לגבי הנקודה(2,6)? מכיוון 6=2+4 שהנקודה היא פיתרון למשוואהy=x+4. אז הנקודה (2,6) היא על קו הגבול.
בואו ניקח נקודה נוספת בצד שמאל של קו הגבול ונבדוק אם זה פיתרון לאי-השוויון או לאy>x+4. הנקודה נראית (0,10) בבירור משמאל לקו הגבול, לא? האם זה פתרון לחוסר השוויון?
y>x+410?>0+410>4So, (0,10) is a solution to y>x+4.
כל נקודה שתבחר בצד שמאל של קו הגבול היא פתרון לאי השוויוןy>x+4. כל הנקודות משמאל הן פתרונות.
באופן דומה, כל הנקודות בצד ימין של קו הגבול, הצד עם (0,0) ו(−5,−15), אינן פתרונותy>x+4. ראה איור4.7.4.

הגרף של אי השוויון y>x+4 מוצג ב דמות 4.7.5 לְהַלָן. הקו y=x+4 מחלק את המטוס לשני אזורים. הצד המוצל מראה את הפתרונות לאי השוויוןy>x+4.
הנקודות בקו הגבול, אלה שבהןy=x+4, אינן פתרונות לאי-השוויוןy>x+4, ולכן הקו עצמו אינו חלק מהפתרון. אנו מראים כי על ידי הפיכת הקו מקווקו, לא מוצק.

קו הגבול המוצג הואy=2x−1. כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי הגרף.
- תשובה
-
הקו y=2x−1 הוא קו הגבול. בצד אחד של הקו נמצאות הנקודות עם y>2x−1 ובצד השני של הקו הנקודות עםy<2x−1.
בואו נבדוק את הנקודה (0,0) ונראה איזה אי שוויון מתאר את הצד שלה בקו הגבול.
ב(0,0), איזה אי שוויון נכון:
y>2x−1 or y<2x−1?y>2x−1y<2x−10>2⋅0−10<2⋅0−10>−1 True 0<−1 False
מכיוון y>2x−1 שזה נכון, הצד של הקו עם(0,0), הוא הפיתרון. האזור המוצל מראה את פיתרון אי השוויוןy>2x−1.
מכיוון שקו הגבול מתואר בקו אחיד, אי השוויון כולל את הסימן השווה.
הגרף מראה את אי השוויוןy≥2x−1.
נוכל להשתמש בכל נקודה כנקודת מבחן, בתנאי שהיא לא על הקו. מדוע בחרנו(0,0)? כי זה הכי קל להעריך. ייתכן שתרצה לבחור נקודה בצד השני של קו הגבול ולבדוק זאתy<2x−1.
כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי הגרף עם קו הגבולy=−2x+3.
- תשובה
-
y≥−2x+3
כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי הגרף עם קו הגבולy=12x−4.
- תשובה
-
y≤12x−4
קו הגבול המוצג הוא2x+3y=6. כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי הגרף.
- תשובה
-
הקו 2x+3y=6 הוא קו הגבול. בצד אחד של הקו נמצאות הנקודות עם 2x+3y>6 ובצד השני של הקו הנקודות עם2x+3y<6.
בואו נבדוק את הנקודה (0,0) ונראה איזה אי שוויון מתאר את הצד שלה בקו הגבול.
ב(0,0), איזה אי שוויון נכון:
2x+3y>6 or 2x+3y<6?2x+3y>62x+3y<62(0)+3(0)>62(0)+3(0)<60>6 False 0<6 True
אז הצד עם (0,0) הוא הצד שבו2x+3y<6.
(ייתכן שתרצה לבחור נקודה בצד השני של קו הגבול ולבדוק זאת2x+3y>6.)
מכיוון שקו הגבול מתואר כקו מקווקו, אי השוויון אינו כולל סימן שווה.
הגרף מציג את הפיתרון לאי השוויון2x+3y<6.
כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי האזור המוצל בגרף עם קו הגבולx−4y=8.
- תשובה
-
x−4y≤8
כתוב את אי השוויון שמוצג על ידי האזור המוצל בגרף עם קו הגבול3x−y=6.
- תשובה
-
3x−y≤6
גרף אי שוויון לינארי
כעת, אנו מוכנים לחבר את כל זה כדי לתאר את אי השוויון הליניארי.
גרף את אי השוויון הליניאריy≥34x−2.
- תשובה
-
גרף את אי השוויון הליניאריy≥52x−4.
- תשובה
-
גרף את אי השוויון הליניאריy<23x−5.
- תשובה
-
הצעדים שאנו נוקטים כדי לתאר אי שוויון ליניארי מסוכמים כאן.
- זהה וגרף את קו הגבול.
- אם אי השוויון הוא ≤ או≥, קו הגבול מוצק.
- אם אי השוויון הוא < או>, קו הגבול מקווקו.
- בדוק נקודה שאינה על קו הגבול. האם זה פתרון של אי השוויון?
- צל בצד אחד של קו הגבול.
- אם נקודת הבדיקה היא פתרון, צל בצד הכולל את הנקודה.
- אם נקודת הבדיקה אינה פתרון, צל בצד הנגדי.
גרף את אי השוויון הליניאריx−2y<5.
- תשובה
-
ראשית אנו משרטטים את קו הגבולx−2y=5. אי השוויון הוא < כך שאנו מציירים קו מקווקו.
-
ואז אנו בודקים נקודה. נשתמש (0,0) שוב כי זה קל להעריך וזה לא על קו הגבול.
האם (0,0) פתרון שלx−2y<5?
הנקודה (0,0) היא פתרון שלx−2y<5, אז אנחנו צל בצד הזה של קו הגבול.
גרף את אי השוויון הליניארי2x−3y≤6.
- תשובה
-
גרף את אי השוויון הליניארי2x−y>3.
- תשובה
-
מה אם קו הגבול עובר דרך המקור? אז לא נוכל להשתמש (0,0) כנקודת מבחן. אין בעיה - פשוט נבחר נקודה אחרת שאינה על קו הגבול.
גרף את אי השוויון הליניאריy≤−4x.
- תשובה
-
ראשית אנו משרטטים את קו הגבולy=−4x. זה בצורת שיפוע - יירוט, עם ו. m=−4 b=0 אי השוויון הוא ≤ כך שאנו מציירים קו מוצק.
עכשיו, אנחנו צריכים נקודת מבחן. אנו יכולים לראות שהנקודה (1,0) אינה על קו הגבול.
האם (1,0) פתרון שלy≤−4x?
הנקודה (1,0) היא לא פתרוןy≤−4x, אז אנחנו צל בצד הנגדי של קו הגבול. ראה איור4.7.6.
איור 4.7.6
גרף את אי השוויון הליניאריy>−3x.
- תשובה
-
גרף את אי השוויון הליניאריy≥−2x.
- תשובה
-
לחלק מהאי-שוויון הליניארי יש רק משתנה אחד. אולי יש להם x אבל לאy, או y אבל לאx. במקרים אלה, קו הגבול יהיה קו אנכי או אופקי. האם אתה זוכר?
x=a vertical line y=b horizontal line
גרף את אי השוויון הליניאריy>3.
- תשובה
-
ראשית אנו משרטטים את קו הגבולy=3. זהו קו אופקי. אי השוויון הוא > כך שאנו מציירים קו מקווקו.
אנחנו בודקים את הנקודה(0,0).
y>30≯
(0,0)זה לא פתרון לy>3.
אז אנחנו מצללים את הצד שאינו כולל(0,0).
גרף את אי השוויון הליניאריy<5.
- תשובה
-
גרף את אי השוויון הליניאריy \leq-1.
- תשובה
-
מושגי מפתח
- לתרשים אי שוויון לינארי
- זהה וגרף את קו הגבול.
אם אי השוויון הוא ≤ או≥, קו הגבול מוצק.
אם אי השוויון הוא < או>, קו הגבול מקווקו. - בדוק נקודה שאינה על קו הגבול. האם זה פתרון של אי השוויון?
- צל בצד אחד של קו הגבול.
אם נקודת הבדיקה היא פתרון, צל בצד הכולל את הנקודה.
אם נקודת הבדיקה אינה פתרון, צל בצד הנגדי.
- זהה וגרף את קו הגבול.
רשימת מילים
- קו גבול
- הקו עם משוואה A x+B y=C המפריד בין האזור A x+B y>C שממנו לאזור שבוA x+B y<C.
- אי שוויון לינארי
- אי שוויון שניתן לכתוב באחת מהצורות הבאות:
A x+B y>C \quad A x+B y \geq C \quad A x+B y<C \quad A x+B y \leq C
איפה A ולא B שניהם אפס.
- פתרון של אי שוויון ליניארי
- זוג מסודר (x,\,y) הוא פתרון לאי שוויון ליניארי אי השוויון נכון כאשר אנו מחליפים את הערכים של x וy.