Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

4.2: גרף משוואות לינאריות בשני משתנים

מטרות למידה

בסוף פרק זה, תוכל:

  • הכירו את הקשר בין פתרונות המשוואה לגרף שלה.
  • גרף משוואה לינארית על ידי התוויית נקודות.
  • תרשים קווים אנכיים ואופקיים.
הערה

לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

  1. להעריך 3x+2 מתיx=1.
    אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.5.34.
  2. לפתור 3x+2y=12 עבור y באופן כללי.
    אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 2.6.16.

הכירו את הקשר בין פתרונות המשוואה לגרף שלה

בחלק הקודם מצאנו מספר פתרונות למשוואה3x+2y=6. הם מפורטים בטבלה4.2.1. אז, הזוגות המסודרים (0,3), (2,0), (1,32) והם כמה פתרונות למשוואה. 3x+2y=6 אנו יכולים לשרטט פתרונות אלה במערכת הקואורדינטות המלבנית כפי שמוצג באיור4.2.1.

טבלה 4.2.1
3x+2y=6
x y (איקס, y)
0 3 (0.3)
2 0 (2.0)
1 32 (1,32)
האיור מציג ארבע נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את ארבע הנקודות ב (0, 3), (1, שלושה חצאים), (2, 0) ו- (4, שלילי 3). נראה כי ארבע הנקודות מתיישרות לאורך קו ישר.
איור 4.2.1

שימו לב איך הנקודות מסתדרות בצורה מושלמת? אנו מחברים את הנקודות עם קו כדי לקבל את הגרף של המשוואה 3x+2y = 6. ראה איור4.2.2. שימו לב לחצים על הקצוות של כל צד של הקו. חיצים אלה מציינים שהקו ממשיך.

האיור מציג קו ישר שנמשך דרך ארבע נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את ארבע הנקודות ב (0, 3), (1, שלושה חצאים), (2, 0) ו- (4, שלילי 3). קו ישר עם שיפוע שלילי עובר את כל ארבע הנקודות. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על קצה הדמות. הקו מסומן עם המשוואה 3x פלוס 2y שווה 6.
איור 4.2.2

כל נקודה על הקו היא פתרון של המשוואה. כמו כן, כל פתרון של משוואה זו הוא נקודה בקו זה. נקודות שאינן על הקו אינן פתרונות.

שימו לב שהנקודה שהקואורדינטות שלה (-2,6) נמצאת על הקו המוצג באיור. 4.2.3 אם אתה מחליף x = −2 ו- y = 6 במשוואה, אתה מגלה שזה פיתרון למשוואה.

האיור מציג קו ישר ושתי נקודות ובמישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שתי הנקודות ומסומנות על ידי הקואורדינטות "(שלילי 2, 6)" ו- "(4, 1)". הקו הישר עובר את הנקודה (שלילי 2, 6) אך אינו עובר את הנקודה (4, 1).
איור 4.2.3

האיור מציג סדרה של משוואות כדי לבדוק אם הזוג המסודר (שלילי 2, 6) הוא פתרון למשוואה 3x פלוס 2y שווה 6. השורה הראשונה קובעת "מבחן (שלילי 2, 6)". השלילי 2 הוא בצבע כחול 6 הוא בצבע אדום. השורה השנייה קובעת את המשוואה דו-משתנית 3x פלוס 2y שווה 6. השורה השלישית מציגה את הזוג המסודר שהוחלף במשוואה דו-משתנה וכתוצאה מכך 3 (שלילי 2) פלוס 2 (6) שווה ל -6 כאשר השלילי 2 בצבע כחול כדי להראות שהוא הרכיב הראשון בזוג המסודר וה -6 הוא אדום כדי להראות שהוא הרכיב השני בזוג המסודר. השורה הרביעית היא המשוואה הפשוטה שלילית 6 פלוס 12 שווה 6. השורה החמישית היא המשוואה הפשוטה יותר 6שווה 6. סימן ביקורת כתוב ליד המשוואה האחרונה כדי לציין שמדובר בהצהרה אמיתית ולהראות כי (שלילי 2, 6) הוא פיתרון למשוואה 3x פלוס 2y שווה 6.

אז הנקודה (-2,6) היא פיתרון למשוואה. 3x+2y=6 (הביטוי "הנקודה שהקואורדינטות שלה הן (-2,6)" מתקצר לעתים קרובות ל"נקודה (-2,6).

האיור מציג סדרה של משוואות כדי לבדוק אם הזוג המסודר (4, 1) הוא פתרון למשוואה 3x פלוס 2y שווה 6. השורה הראשונה קובעת "מה לגבי (4, 1)?". ה -4 בצבע כחול וה -1 בצבע אדום. השורה השנייה קובעת את המשוואה דו-משתנית 3x פלוס 2y שווה 6. השורה השלישית מציגה את הזוג המסודר שהוחלף במשוואה דו-משתנה וכתוצאה מכך 3 (4) פלוס 2 (1) שווה ל -6 כאשר ה -4 בצבע כחול כדי להראות שהוא הרכיב הראשון בזוג המסודר וה -1 אדום כדי להראות שזה הרכיב השני בזוג המסודר. השורה הרביעית היא המשוואה הפשוטה 12 פלוס 2 שווה 6. סימן שאלה ממוקם מעל סימן השוויון כדי לציין שלא ידוע אם המשוואה נכונה או שקרית. השורה החמישית היא ההצהרה הפשוטה יותר 14 שאינה שווה ל -6. סימן "לא שווה" כתוב בין שני המספרים ונראה כמו סימן שווה עם קו נטוי קדימה דרכו.
איור4.2.3. זוהי דוגמה לאמרה, "תמונה שווה אלף מילים". השורה מראה לך את כל הפתרונות למשוואה. כל נקודה על הקו היא פתרון של המשוואה. וכל פתרון של משוואה זו נמצא על הקו הזה. קו זה נקרא גרף המשוואה3x+2y=6.
גרף של משוואה לינארית
הגרף של משוואה ליניארית Ax+By=C הוא קו.
  • כל נקודה על הקו היא פתרון של המשוואה.
  • כל פתרון של משוואה זו הוא נקודה בקו זה.
תרגיל 4.2.1

הגרף של y = 2x−3 מוצג.

האיור מציג קו ישר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. לקו הישר יש שיפוע חיובי ועובר דרך ציר ה- y ב- (0, שלילי 3). הקו מסומן עם המשוואה y שווה 2x שלילי 3.

עבור כל זוג שהוזמן, החליטו:

  1. האם הזוג המסודר הוא פתרון למשוואה?
  2. האם הנקודה על הקו?

א (0, -3) ב (3,3) ג (2, -3) ד (-1, -5)

תשובה

החלף את ערכי x - ו - y - במשוואה כדי לבדוק אם הזוג המסודר הוא פיתרון למשוואה.

1.
האיור מציג סדרה של משוואות כדי לבדוק אם הזוגות המסודרים (0, שלילי 3), (3, 3), (2, שלילי 3) ו- (שלילי 1, שלילי 5) הם פתרונות למשוואה y שווה 2x שלילי 3. השורה הראשונה מציינת את הזוגות המסודרים עם התוויות A: (0, שלילי 3), B: (3, 3), C: (2, שלילי 3) ו- D: (שלילי 1, שלילי 5). הרכיבים הראשונים הם בצבע כחול ואת הרכיבים השני הם בצבע אדום. השורה השנייה קובעת את משוואת שני המשתנים y שווה 2x מינוס 3. השורה השלישית מציגה את ארבעת הזוגות המסודרים שהוחלפו במשוואה דו-משתנה וכתוצאה מכך ארבע משוואות. המשוואה הראשונה היא שלילית 3 שווה 2 (0) מינוס 3 כאשר 0 הוא רמז צבעוני והשלילי 3 בצד שמאל של המשוואה הוא בצבע אדום. המשוואה השנייה היא 3 שווה 2 (3) מינוס 3 כאשר 3 בסוגריים הוא רמז צבעוני וה -3 בצד שמאל של המשוואה בצבע אדום. המשוואה השלישית היא שלילית 3 שווה 2 (2) מינוס 3 כאשר 2 בסוגריים הוא רמז צבעוני והשלילי 3 בצד שמאל של המשוואה הוא בצבע אדום. המשוואה הרביעית היא שלילית 5 שווה 2 (שלילי 1) מינוס 3 כאשר השלילי 1 הוא רמז צבעוני והשלילי 5 צבוע באדום. סימני שאלה ממוקמים מעל כל הסימנים השווים כדי לציין שלא ידוע אם המשוואות נכונות או שקריות. השורה הרביעית מציגה את הגרסאות הפשוטות של ארבע המשוואות. הראשון הוא שלילי 3 שווה שלילי 3 עם סימן ביקורת המציין (0, שלילי 3) הוא פתרון. השני הוא 3 שווה 3 עם סימן ביקורת המציין (3, 3) הוא פתרון. השלישי הוא שלילי 3 לא שווה 1 המציין (2, שלילי 3) אינו פיתרון. הרביעי הוא שלילי 5 שווה שלילי 5 עם סימן ביקורת המציין (שלילי 1, שלילי 5) הוא פתרון.
2. התווה את הנקודות A (0,3), B (3,3), C (2, -3) ו- D (-1, −5).
האיור מציג קו ישר וארבע נקודות ובמישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שתי הנקודות ומסומנות על ידי הקואורדינטות (שלילי 1, שלילי 5), (0, שלילי 3), (2, שלילי 3) ו- (3, 3). הקו הישר, המסומן במשוואה y שווה ל- 2x שלילי 3 עובר בשלוש הנקודות (שלילי 1, שלילי 5), (0, שלילי 3) ו- (3, 3) אך אינו עובר את הנקודה (2, שלילי 3).

הנקודות שהן פתרונות ל- y= 2x−3 נמצאות על הקו, אך הנקודה שאינה פתרון אינה על הקו.

הנקודות (0,3), (3,3) ו- (−1, −5) נמצאות על הקו y = 2x−3, והנקודה (2, −3) אינה על הקו.

תרגיל 4.2.2

השתמש בגרף של y = 3x−1 כדי להחליט אם כל זוג מסודר הוא:

  • פתרון למשוואה.
  • על הקו.
  1. (0, -1)
  2. (2.5)

האיור מציג קו ישר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודה (שלילי 2, שלילי 7) ועל כל 3 יחידות הוא עולה, הוא עובר יחידה אחת ימינה. הקו מסומן עם המשוואה y שווה 3x מינוס 1.

תשובה
  1. כן, כן
  2. כן, כן
תרגיל 4.2.3

השתמש בגרף של y = 3x−1 כדי להחליט אם כל זוג מסודר הוא:

  • פתרון למשוואה
  • על הקו
  1. (3, -1)
  2. (-1, -4)

האיור מציג קו ישר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודה (שלילי 2, שלילי 7) ועל כל 3 יחידות הוא עולה, הוא עובר יחידה אחת ימינה. הקו מסומן עם המשוואה y שווה 3x מינוס 1.

תשובה
  1. לא, לא
  2. כן, כן

גרף משוואה לינארית על ידי התוויית נקודות

ישנן מספר שיטות בהן ניתן להשתמש כדי לתאר משוואה לינארית. השיטה בה השתמשנו לתרשים 3x+2y=6 נקראת נקודות התוויית, או שיטת נקודה-התוויית.

תרגיל 4.2.4: How To Graph an Equation By Plotting Points

גרף את המשוואה y = 2x+1 על ידי התוויית נקודות.

תשובה

האיור מציג את הליך שלושת השלבים לגרף קו מהמשוואה באמצעות המשוואה לדוגמה y שווה 2x מינוס 1. השלב הראשון הוא "מצא שלוש נקודות שהקואורדינטות שלהן הן פתרונות למשוואה. ארגן את הפתרונות בטבלה". ההערה נעשית כי "ניתן לבחור ערכים עבור x או y, במקרה זה, מכיוון ש- y מבודד בצד שמאל של המשוואה, קל יותר לבחור ערכים עבור x". העבודה לשלב הראשון של הדוגמה מוצגת באמצעות סדרה של משוואות מיושרות אנכית. מלמעלה למטה, המשוואות הן y שווה 2x פלוס 1, x שווה 0 (כאשר 0 הוא כחול), y שווה 2x פלוס 1, y שווה 2 (0) פלוס 1 (כאשר 0 הוא כחול), y שווה 0 פלוס 1, y שווה 1, x שווה 1 (כאשר 1 הוא כחול), y שווה 2x פלוס 1, y שווה 2 (1) פלוס 1 (כאשר 1 הוא כחול), y שווה 2 פלוס 1, y שווה 3, x שווה שלילי 2 (כאשר השלילי 2 הוא כחול), y שווה 2x פלוס 1, y שווה 2 (שלילי 2) פלוס 1 (כאשר השלילי 2 הוא כחול), y שווה שלילי 4 פלוס 1, y שווה שלילי 3. לאחר מכן העבודה מאורגנת בטבלה. הטבלה כוללת 5 שורות ו -3 עמודות. השורה הראשונה היא שורת כותרת עם המשוואה y שווה 2x פלוס 1. השורה השנייה היא שורת כותרת והיא מתייגת כל עמודה. כותרת העמודה הראשונה היא "x", השנייה היא "y" והשלישית היא "(x, y)". מתחת לעמודה הראשונה נמצאים המספרים 0, 1 ושלילי 2. מתחת לעמודה השנייה נמצאים המספרים 1, 3 ושלילי 3. מתחת לעמודה השלישית נמצאים הזוגות המסודרים (0, 1), (1, 3) ו- (שלילי 2, שלילי 3).השלב השני הוא "לתכנן את הנקודות במערכת קואורדינטות מלבנית. בדוק שהנקודות מסתדרות. אם לא, בדוק היטב את עבודתך! לדוגמה הנקודות הן (0, 1), (1, 3) ו- (שלילי 2, שלילי 3). גרף מציג את שלוש הנקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שלוש הנקודות ב (0, 1), (1, 3) ו- (שלילי 2, שלילי 3). השאלה "האם הנקודות מסתדרות?" נאמר ואחריו התשובה "כן, הנקודות מסתדרות."השלב השלישי של ההליך הוא "צייר את הקו דרך שלוש הנקודות. הרחב את הקו כדי למלא את הרשת והניח חצים בשני קצוות הקו." גרף מציג קו ישר שנמשך דרך שלוש נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שלוש הנקודות ב (0, 1), (1, 3) ו- (שלילי 2, שלילי 3). קו ישר עובר את כל שלוש הנקודות. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על קצה הדמות. הקו מסומן עם המשוואה y שווה 2x פלוס 1. ההצהרה "שורה זו היא הגרף של y שווה 2x פלוס 1" כלולה לצד הגרף.

תרגיל 4.2.5

גרף את המשוואה על ידי שרטוט נקודות: y = 2x−3.

תשובה

האיור מציג קו ישר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 2, שלילי 7), (שלילי 1, שלילי 5), (0, שלילי 3), (1, שלילי 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5) ו- (5, 7). ישנם חצים בקצות הקו המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

תרגיל 4.2.6

גרף את המשוואה על ידי התוויית נקודות: y = −2x+4.

תשובה

האיור מציג קו ישר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, שלילי 2), (4, שלילי 4) ו- (5, שלילי 6). ישנם חצים בקצות הקו המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

השלבים שיש לנקוט בעת גרף משוואה לינארית על ידי התוויית נקודות מסוכמים להלן.

גרף משוואה לינארית על ידי התוויית נקודות
  1. מצא שלוש נקודות שהקואורדינטות שלהן הן פתרונות למשוואה. ארגן אותם בטבלה.
  2. התווה את הנקודות במערכת קואורדינטות מלבנית. בדוק שהנקודות מסתדרות. אם הם לא עושים זאת, בדוק היטב את עבודתך.
  3. צייר את הקו דרך שלוש הנקודות. הרחב את הקו כדי למלא את הרשת ולשים חצים על שני הקצוות של הקו.

נכון שצריך רק שתי נקודות כדי לקבוע קו, אבל זה הרגל טוב להשתמש בשלוש נקודות. אם אתה מתווה רק שתי נקודות ואחת מהן שגויה, אתה עדיין יכול לשרטט קו אך הוא לא ייצג את הפתרונות למשוואה. זה יהיה הקו הלא נכון.

אם אתה משתמש בשלוש נקודות, ואחת שגויה, הנקודות לא יסתדרו בשורה. זה אומר לך שמשהו לא בסדר ואתה צריך לבדוק את העבודה שלך. התבונן בהבדל בין חלק (א) לחלק (ב) באיור4.2.4.

איור א 'מציג שלוש נקודות עם קו ישר שעובר בהן. איור ב 'מציג שלוש נקודות שאינן מונחות על אותו קו.
איור 4.2.4

בואו נעשה דוגמה נוספת. הפעם, נציג את שני השלבים האחרונים כולם ברשת אחת.

תרגיל 4.2.7

גרף את המשוואה y = −3x.

תשובה

מצא שלוש נקודות שהן פתרונות למשוואה. כאן, שוב, קל יותר לבחור ערכים עבור x האם אתה מבין מדוע?

האיור מציג שלוש קבוצות של משוואות המשמשות לקביעת זוגות מסודרים מהמשוואה y שווה 3x שלילי. הסט הראשון כולל את המשוואות: x שווה 0 (כאשר 0 הוא כחול), y שווה 3x שלילי, y שווה 3 שלילי (0) (כאשר 0 הוא כחול), y שווה 0. לקבוצה השנייה יש את המשוואות: x שווה 1 (כאשר 1 הוא כחול), y שווה 3x שלילי, y שווה שלילי 3 (1) (כאשר 1 הוא כחול), y שווה שלילי 3. למערכה השלישית יש את המשוואות: x שווה לשלילי 2 (כאשר השלילי 2 הוא כחול), y שווה 3x שלילי, y שווה לשלילי 3 (שלילי 2) (כאשר השלילי 2 הוא כחול), y שווה 6.

אנו מפרטים את הנקודות בטבלה4.2.2.

טבלה 4.2.2
y = −3איקס
x y (איקס, y)
0 0 (0,0)
1 -3 (1, -3)
-2 6 (-2,6)

התווה את הנקודות, בדוק שהן מתיישרות ושרטט את הקו.

האיור מציג קו ישר שנמשך דרך שלוש נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שלוש הנקודות המסומנות על ידי הזוגות המסודרים שלהן (שלילי 2, 6), (0, 0) ו- (1, שלילי 3). קו ישר עובר את כל שלוש הנקודות. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות. הקו מסומן במשוואה y שווה 3x שלילי.

תרגיל 4.2.8

גרף את המשוואה על ידי התוויית נקודות: y = −4x.

תשובה

האיור מציג קו ישר המצויר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 2, 8), (0, 0) ו- (2, שלילי 8). לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

תרגיל 4.2.9

גרף את המשוואה על ידי התוויית נקודות: y = x.

תשובה

האיור מציג קו ישר המצויר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 8, שלילי 8), (שלילי 6, שלילי 6), (שלילי 4, שלילי 4), (שלילי 2, שלילי 2), (0, 0), (2, 2), (4, 4), (6, 6) ו- (8, 8). לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

כאשר משוואה כוללת שבר כמקדם של x, אנחנו עדיין יכולים להחליף כל מספרים ב-x. אבל המתמטיקה קלה יותר אם נעשה בחירות 'טובות' לערכים של x. בדרך זו נמנע מתשובות שברים, שקשה לתאר אותן במדויק.

תרגיל 4.2.10

גרף את המשוואהy=12x+3.

תשובה

מצא שלוש נקודות שהן פתרונות למשוואה. מכיוון שלמשוואה זו יש את השבר 12 כמקדם של x, אנו נבחר ערכים של x בזהירות. נשתמש באפס כבחירה אחת וכפולות של 2 לבחירות האחרות. מדוע מכפילים של 2 הם בחירה טובה לערכים של x?

האיור מציג שלוש קבוצות של משוואות המשמשות לקביעת זוגות מסודרים מהמשוואה y שווה (חצי אחד) x פלוס 3. הסט הראשון כולל את המשוואות: x שווה 0 (כאשר 0 הוא כחול), y שווה (חצי אחד) x פלוס 3, y שווה (חצי אחד) (0) פלוס 3 (כאשר 0 הוא כחול), y שווה 0 פלוס 3, y שווה 3. הסט השני כולל את המשוואות: x שווה 2 (כאשר 2 הוא כחול), y שווה (חצי אחד) x פלוס 3, y שווה (חצי אחד) (2) פלוס 3 (כאשר 2 הוא כחול), y שווה 1 פלוס 3, y שווה 4. לסט השלישי יש את המשוואות: x שווה ל -4 (כאשר ה -4 כחול), y שווה (חצי אחד) x פלוס 3, y שווה (חצי אחד) (4) פלוס 3 (כאשר ה -4 כחול), y שווה ל -2 פלוס 3, y שווה ל -5.

הנקודות מוצגות בטבלה4.2.3.

טבלה 4.2.3
y = 12 איקס+3
x y (איקס, y)
0 3 (0.3)
2 4 (2.4)
4 5 (4.5)

התווה את הנקודות, בדוק שהן מתיישרות ושרטט את הקו.

האיור מציג קו ישר שנמשך דרך שלוש נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שלוש הנקודות המסומנות על ידי הזוגות המסודרים שלהן (0, 3), (2, 4) ו- (4, 5). קו ישר עובר את כל שלוש הנקודות. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות. הקו מסומן במשוואה y שווה (חצי אחד) x פלוס 3.

תרגיל 4.2.11

גרף את המשוואהy=13x1.

תשובה

האיור מציג קו ישר המצויר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 9, שלילי 4), (שלילי 6, שלילי 3), (שלילי 3, שלילי 2), (0, שלילי 1), (3, 0), (6, 1), ו- (9, 2). לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

תרגיל 4.2.12

גרף את המשוואהy=14x+2.

תשובה

האיור מציג קו ישר המצויר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 12, שלילי 1), (שלילי 8, 0), (שלילי 4, 1), (0, 2), (4, 3), (8, 4) ו- (12, 5). לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

עד כה, כל המשוואות שציירנו נתנו y במונחים של x, כעת נגרף משוואה עם x ו- y באותו צד. בואו נראה מה קורה במשוואה 2x+y = 3. אם y=0 מהו הערך של x?

האיור מציג קבוצה של משוואות המשמשות לקביעת זוג מסודר מהמשוואה 2x פלוס y שווה 3. המשוואה הראשונה היא y שווה 0 (כאשר 0 הוא אדום). המשוואה השנייה היא משוואה דו-משתנה 2x פלוס y שווה 3. המשוואה השלישית היא המשוואה המשתנה החדשנית 2x פלוס 0 שווה 3 (כאשר 0 הוא אדום). המשוואה הרביעית היא 2x שווה 3. המשוואה החמישית היא x שווה לשלושה חצאים. השורה האחרונה היא זוג מסודר (שלושה חצאים, 0).

לנקודה זו יש שבר עבור קואורדינטת x, ולמרות שנוכל לתאר את הנקודה הזו, קשה לדייק שברים גרפים. זכור בדוגמה y = 12x+3, בחרנו בקפידה ערכים עבור x כדי לא לשרטט שברים כלל. אם נפתור את המשוואה 2x+y = 3 עבור y, יהיה קל יותר למצוא שלושה פתרונות למשוואה.

2x+y=3y=2x+3

הפתרונות עבור איקס=0, איקס=1, ו איקס=−1 מוצגים בטבלה. 4.2.4 הגרף מוצג באיור4.2.5.

טבלה 4.2.4
2איקס+y = 3
x y (איקס, y)
0 3 (0.3)
1 1 (1,1)
−1−1 5 (-1,5)
האיור מציג קו ישר שנמשך דרך שלוש נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שלוש הנקודות המסומנות על ידי הזוגות המסודרים שלהן (שלילי 1, 5), (0, 3) ו- (1, 1). קו ישר עובר את כל שלוש הנקודות. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות. הקו מסומן עם המשוואה 2x פלוס y שווה 3.
איור 4.2.5

האם אתה יכול לאתר את הנקודה (32,0) שמצאנו על ידי מתן y = 0, על הקו?

תרגיל 4.2.13

גרף את המשוואה 3x+y = −1.

תשובה

 Find three points that are solutions to the equation. 3x+y=1 First solve the equation for y.y=3x1

אנו נותנים ל- x להיות 0, 1 ו- -1 כדי למצוא 3 נקודות. הזוגות המסודרים מוצגים בטבלה4.2.5. התווה את הנקודות, בדוק שהן מתיישרות ושרטט את הקו. ראה איור4.2.6.

טבלה 4.2.5
3איקס+y = −1
x y (איקס, y)
0 -1 (0, -1)
1 -4 (1, -4)
-1 2 (-1,2)
האיור מציג קו ישר שנמשך דרך שלוש נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שלוש הנקודות המסומנות על ידי הזוגות המסודרים שלהן (שלילי 1, 2), (0, שלילי 1) ו- (1, שלילי 4). קו ישר עובר את כל שלוש הנקודות. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות. הקו מסומן במשוואה 3x פלוס y שווה לשלילי 1.
איור 4.2.6
תרגיל 4.2.14

גרף את המשוואה 2x+y = 2.

תשובה

האיור מציג קו ישר המצויר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 4, 10), (שלילי 2, 6), (0, 2), (2, שלילי 2), (4, שלילי 6) ו- (6, שלילי 10). לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

תרגיל 4.2.15

גרף את המשוואה 4x+y = −3.

תשובה

האיור מציג קו ישר המצויר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 3, 9), (שלילי 2, 5), (שלילי 1, 1), (0, שלילי 3), (1, שלילי 7) ו- (2, שלילי 10). לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

אם אתה יכול לבחור שלוש נקודות כלשהן לתרשים קו, איך תדע אם הגרף שלך תואם לזה שמוצג בתשובות בספר? אם הנקודות בהן הגרפים חוצים את ציר ה - x ו- y זהים, הגרפים תואמים!

המשוואה בתרגיל 4.2.13 נכתבה בצורה סטנדרטית, כאשר גם x וגם y באותו צד. פתרנו את המשוואה הזו עבור y בצעד אחד בלבד. אבל עבור משוואות אחרות בצורה סטנדרטית זה לא כל כך קל לפתור עבור y, אז נשאיר אותם בצורה סטנדרטית. אנחנו עדיין יכולים למצוא נקודה ראשונה להתוות על ידי מתן איקס=0 ופתרון עבור y. אנו יכולים לשרטט נקודה שנייה על ידי מתן y = 0 ולאחר מכן לפתור עבור x. לאחר מכן נתווה נקודה שלישית על ידי שימוש בערך אחר עבור x או y.

תרגיל 4.2.16

גרף את המשוואה2x3y=6.

תשובה

 Find three points that are solutions to the 2x3y=6 equation. 2x3y=6 First let x=0.2(0)3y=6 Solve for y.3y=6y=2 Now let y=0.2x3(0)=6 Solve for x.2x=6x=3 We need a third point. Remember, we can2(6)3y=6 choose any value for x or y. We’ll let x = 6.123y=6 Solve fory.3y=6y=2

אנו מפרטים את הזוגות המסודרים בטבלה4.2.6. התווה את הנקודות, בדוק שהן מתיישרות ושרטט את הקו. ראה איור4.2.7.

טבלה 4.2.6
2איקס-3 י=6
x Yt (איקס, y)
0 -2 (0, -2)
3 0 (3.0)
6 2 (6.2)
האיור מציג קו ישר שנמשך דרך שלוש נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שלוש הנקודות המסומנות על ידי הזוגות המסודרים שלהן (0, שלילי 2), (3, 0) ו- (6, 2). קו ישר עובר את כל שלוש הנקודות. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות. הקו מסומן עם המשוואה 2x מינוס 3y שווה 6.
איור 4.2.7
תרגיל 4.2.17

גרף את המשוואה4x+2y=8.

תשובה

האיור מציג קו ישר המצויר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, שלילי 2) ו- (4, שלילי 4). לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

תרגיל 4.2.18

גרף את המשוואה2x4y=8.

תשובה

האיור מציג קו ישר המצויר במישור קואורדינטת x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. הקו הישר עובר בנקודות (שלילי 6, שלילי 5), (שלילי 4, שלילי 4), (שלילי 2, שלילי 3), (0, שלילי 2), (2, שלילי 1), (4, 0), ו- (6, 1). לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

תרשים קווים אנכיים ואופקיים

האם נוכל לשרטט משוואה עם משתנה אחד בלבד? רק x ולא y, או סתם y בלי x? כיצד נכין טבלת ערכים כדי לקבל את הנקודות לעלילה?

הבה נבחן את המשוואה איקס=−3. למשוואה זו יש רק משתנה אחד, x. המשוואה אומרת ש- x תמיד שווה ל- -3, ולכן הערך שלה אינו תלוי ב- y. לא משנה מה y הוא, הערך של x הוא תמיד −3.

אז כדי ליצור טבלת ערכים, כתוב -3 עבור כל ערכי x. לאחר מכן בחר ערכים כלשהם עבור y מכיוון ש- x אינו תלוי ב- y, אתה יכול לבחור את כל המספרים שאתה אוהב. אך כדי להתאים לנקודות בגרף הקואורדינטות שלנו, נשתמש ב -1, 2 ו -3 עבור קואורדינטות y. ראה טבלה 4.2.7

טבלה 4.2.7
איקס=−3
x y (איקס, y)
-3 1 (-3,1)
-3 2 (-3,2)
-3 3 (-3,3)

התווה את הנקודות מהטבלה 4.2.7 וחבר אותן בקו ישר. שימו לב באיור 4.2.8 שיש לנו תרשים קו אנכי.

האיור מציג קו ישר אנכי הנמשך דרך שלוש נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שלוש הנקודות המסומנות על ידי הזוגות המסודרים שלהן (שלילי 3, 1), (שלילי 3, 2) ו- (שלילי 3, 3). קו ישר אנכי עובר את כל שלוש הנקודות. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות. הקו מסומן במשוואה x שווה לשלילה 3.
איור 4.2.8
קו אנכי

קו אנכי הוא הגרף של משוואה של הצורה x = a.

הקו עובר דרך ציר x ב (a,0).

תרגיל 4.2.19

תרשים המשוואה x = 2.

תשובה

למשוואה יש רק משתנה אחד, x ו- x תמיד שווה ל- 2. אנו יוצרים טבלה 4.2.8 שבה x הוא תמיד 2 ואז מכניסים ערכים כלשהם ל- y הגרף הוא קו אנכי העובר דרך ציר x ב -2. ראה איור4.2.9.

טבלה 4.2.8
איקס=2
x y (איקס, y)
2 1 (2.1)
2 2 (2.2)
2 3 (2.3)
האיור מציג קו אנכי ישר שנמשך דרך שלוש נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שלוש הנקודות המסומנות על ידי הזוגות המסודרים שלהן (2, 1), (2, 2) ו- (2, 3). קו ישר אנכי עובר את כל שלוש הנקודות. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות. הקו מסומן במשוואה x שווה ל -2.
איור 4.2.9
תרגיל 4.2.20

תרשים המשוואה x = 5.

תשובה

האיור מציג קו אנכי ישר המצויר במישור x y- קואורדינטות. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (5, 1), (5, 2), (5, 3), וכל שאר הנקודות עם הקואורדינטה הראשונה 5. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

תרגיל 4.2.21

גרף את המשוואה איקס=−2.

תשובה

האיור מציג קו אנכי ישר המצויר במישור x y- קואורדינטות. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 2, 1), (שלילי 2, 2), (שלילי 2, 3), וכל שאר הנקודות עם הקואורדינטה הראשונה שלילית 2. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

מה אם למשוואה יש y אך אין x? בואו נגרף את המשוואה y = 4. הפעם ערך ה - y הוא קבוע, ולכן במשוואה זו y אינו תלוי ב- xx. מלא 4 עבור כל ה- y בטבלה 4.2.9 ולאחר מכן בחר ערכים עבור x. נשתמש 0, 2, ו 4 עבור x -קואורדינטות.

טבלה 4.2.9
y=4
x y (איקס, y)
0 4 (0,4)
2 4 (2.4)
4 4 (4,4)

הגרף הוא קו אופקי העובר דרך ציר y ב -4. ראה איור4.2.10.

האיור מציג קו אופקי ישר שנמשך דרך שלוש נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שלוש הנקודות המסומנות על ידי הזוגות המסודרים שלהן (0, 4), (2, 4) ו- (4, 4). קו אופקי ישר עובר את כל שלוש הנקודות. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות. הקו מסומן במשוואה y שווה ל -4.
איור 4.2.10
קו אופקי
קו אופקי הוא הגרף של משוואה של הצורה y = b.

הקו עובר דרך ציר y ב- (0, b).

תרגיל 4.2.22

גרף את המשוואה y = −1.

תשובה

למשוואה y=−1y=−1 יש רק משתנה אחד, y הערך של y הוא קבוע. לכל הזוגות המסודרים בטבלה 4.2.10 יש את אותה קואורדינטת y. הגרף הוא קו אופקי העובר דרך ציר y ב -1 -1, כפי שמוצג באיור. 4.2.11

טבלה 4.2.10
y=−1
x y (איקס, y)
  טה-1 (0, -1)
  -1 (3, -1)
-3 -1 (-3, -1)
האיור מציג קו אופקי ישר שנמשך דרך שלוש נקודות במישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. נקודות מסמנות את שלוש הנקודות המסומנות על ידי הזוגות המסודרים שלהן (שלילי 3, שלילי 1), (0, שלילי 1) ו- (3, שלילי 1). קו אופקי ישר עובר את כל שלוש הנקודות. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות. הקו מסומן במשוואה y שווה לשלילי 1.
איור 4.2.11
תרגיל 4.2.23

גרף את המשוואה y = −4.

תשובה

האיור מציג קו אופקי ישר המצויר במישור x y- קואורדינטות. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 4, שלילי 4), (0, שלילי 4), (4, שלילי 4), וכל שאר הנקודות עם הקואורדינטה השנייה שלילית 4. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

תרגיל 4.2.24

גרף את המשוואה y = 3.

תשובה

האיור מציג קו אופקי ישר המצויר במישור x y- קואורדינטות. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. הקו הישר עובר דרך הנקודות (שלילי 4, 3), (0, 3), (4, 3), וכל שאר הנקודות עם הקואורדינטה השנייה 3. לקו יש חצים בשני הקצוות המצביעים על החלק החיצוני של הדמות.

המשוואות לקווים אנכיים ואופקיים נראות דומות מאוד למשוואות כמו y = 4x. מה ההבדל בין המשוואות y = 4x ו- y = 4?

למשוואה y = 4x יש גם x וגם y. הערך של y תלוי בערך של x. קואורדינטת y משתנה לפי הערך של x. למשוואה y=4 יש משתנה אחד בלבד. הערך של y הוא קבוע. קואורדינטת y היא תמיד 4. זה לא תלוי בערך של x ראה טבלה4.2.11.

טבלה 4.2.11
y = 4x   y=4
x y (איקס, y) x y (איקס, y)
0 0 (0,0) 0 4 (0,4)
1 4 (1,4) 1 4 (1,4)
2 8 (2.8) 2 4 (2.4)
האיור מציג שני קווים ישרים המצוירים באותו מישור קואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. קו אחד הוא קו אופקי ישר המסומן במשוואה y שווה 4. הקו השני הוא קו משופע המסומן במשוואה y שווה 4x.
איור 4.2.12

שימו לב, באיור4.2.12, המשוואה y = 4x נותנת קו משופע, ואילו y = 4 נותן קו אופקי.

תרגיל 4.2.25

תרשים y = −3x ו- y = −3 באותה מערכת קואורדינטות מלבנית.

תשובה

שימו לב שלמשוואה הראשונה יש את המשתנה x, ואילו השנייה לא. ראה טבלה4.2.12. שני הגרפים מוצגים באיור4.2.13.

טבלה 4.2.12
y = −3איקס   y=−3
x y (איקס, y) x y (איקס, y)
    (0,0)   -3 (0, -3)
  -3 (1, -3)   -3 (1, -3)
  −6 (2, -6)   -3 (2, -3)
האיור מציג שני קווים ישרים המצוירים באותו מישור קואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 7 ל -7 שלילי. קו אחד הוא קו אופקי ישר המסומן במשוואה y שווה לשלילי 3. הקו השני הוא קו משופע המסומן במשוואה y שווה 3x שלילי.
איור 4.2.13
תרגיל 4.2.26

תרשים y = −4x ו- y = −4 באותה מערכת קואורדינטות מלבנית.

תשובה

האיור מציג שני קווים ישרים המצוירים באותו מישור קואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. קו אחד הוא קו אופקי ישר העובר בנקודות (שלילי 4, שלילי 4), (0, שלילי 4), (4, שלילי 4), וכל שאר הנקודות עם קואורדינטות שנייה שליליות 4. הקו השני הוא קו משופע העובר בנקודות (שלילי 2, 8), (שלילי 1, 4), (0, 0), (1, שלילי 4) ו- (2, שלילי 8).

תרגיל 4.2.27

תרשים y = 3 ו- y = 3x באותה מערכת קואורדינטות מלבנית.

תשובה

האיור מציג שני קווים ישרים המצוירים באותו מישור קואורדינטות x y. ציר ה- x של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. ציר ה- y של המטוס עובר בין 12 ל -12 שלילי. קו אחד הוא קו אופקי ישר העובר בנקודות (שלילי 4, 3) (0, 3), (4, 3), וכל שאר הנקודות עם הקואורדינטה השנייה 3. הקו השני הוא קו משופע העובר בנקודות (שלילי 2, שלילי 6), (שלילי 1, שלילי 3), (0, 0), (1, 3) ו- (2, 6).

מושגי מפתח

  • גרף משוואה לינארית על ידי התוויית נקודות
    1. מצא שלוש נקודות שהקואורדינטות שלהן הן פתרונות למשוואה. ארגן אותם בטבלה.
    2. התווה את הנקודות במערכת קואורדינטות מלבנית. בדוק שהנקודות מסתדרות. אם הם לא, לבדוק היטב את העבודה שלך!
    3. צייר את הקו דרך שלוש הנקודות. הרחב את הקו כדי למלא את הרשת ולשים חצים על שני הקצוות של הקו.

רשימת מילים

גרף של משוואה ליניארית
הגרף של משוואה ליניארית Ax+By=C הוא קו ישר. כל נקודה על הקו היא פתרון של המשוואה. כל פתרון של משוואה זו הוא נקודה בקו זה.
קו אופקי
קו אופקי הוא הגרף של משוואה של הצורה y = b הקו עובר דרך ציר y ב- (0, b).
קו אנכי
קו אנכי הוא הגרף של משוואה של הצורה איקס=א הקו עובר דרך ציר x ב- (a,0).