Processing math: 100%
Skip to main content
Library homepage
 
Global

4.1: השתמש במערכת הקואורדינטות המלבנית

מטרות למידה

בסוף פרק זה תוכל:

  • נקודות עלילה במערכת קואורדינטות מלבנית
  • אמת פתרונות למשוואה בשני משתנים
  • השלם טבלת פתרונות למשוואה לינארית
  • מצא פתרונות למשוואה לינארית בשני משתנים
הערה

לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

  1. להעריך x+3 מתיx=1.
    אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.5.25.
  2. הערך 2x5y מתי x=3 ו- y = −2.
    אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.5.28.
  3. פתור עבור y: 404y=20
    אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 2.3.1.

נקודות עלילה במערכת קואורדינטות מלבנית

בדיוק כמו שמפות משתמשות במערכת רשת לזיהוי מיקומים, מערכת רשת משמשת באלגברה כדי להראות קשר בין שני משתנים במערכת קואורדינטות מלבנית. מערכת הקואורדינטות המלבנית נקראת גם מישור xy או 'מישור הקואורדינטות '.

קו המספרים האופקי נקרא ציר ה- x. קו המספרים האנכי נקרא ציר y. ציר x וציר y יחד יוצרים את מערכת הקואורדינטות המלבנית. צירים אלה מחלקים מישור לארבעה אזורים, הנקראים רביעים. הרביעים מזוהים על ידי ספרות רומיות, המתחילות בצד ימין למעלה ומתקדמות נגד כיוון השעון. ראה איור4.1.1.

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ- 7 ל- 7 שלילי. החלק הימני העליון של המטוס מסומן "I", החלק השמאלי העליון של המטוס מסומן "II", החלק השמאלי התחתון של המטוס מסומן "III" והחלק הימני התחתון של המטוס מסומן "IV".
איור4.1.1: ל'רבע' יש את השורש 'מרובע', שפירושו 'ארבע'.

במערכת הקואורדינטות המלבנית, כל נקודה מיוצגת על ידי זוג מסודר. המספר הראשון בצמד המסודר הוא קואורדינטת x של הנקודה, והמספר השני הוא ה- y -קואורדינטה של הנקודה.

זוג שהוזמן

זוג מסודר, (x, y) (x, y), נותן את הקואורדינטות של נקודה במערכת קואורדינטות מלבנית.

הזוג המסודר x y מסומן עם הקואורדינטה הראשונה x המסומנת כ- "קואורדינטת x" והקואורדינטה השנייה y מסומנת כ- "y-coordinate".
איור 4.1.2

המספר הראשון הוא קואורדינטת x.

המספר השני הוא ה- y -קואורדינטה.

הביטוי 'זוג מסודר' פירושו שהסדר חשוב. מהו הצמד המסודר של הנקודה בה הצירים חוצים? בשלב זה שתי הקואורדינטות הן אפס, כך שהזוג המסודר שלה הוא(0,0). לנקודה (0,0) יש שם מיוחד. זה נקרא המקור.

המקור

הנקודה (0,0) נקראת המקור. זו הנקודה בה מצטלבים ציר x וציר y.

אנו משתמשים בקואורדינטות כדי לאתר נקודה במישור xy. בואו נתווה את הנקודה (1,3) כדוגמה. ראשית, אתר 1 על ציר x ושרטט קלות קו אנכי דרך x = 1x=1. לאחר מכן, אתר 3 על ציר y ושרטט קו אופקי דרך y = 3y = 3. כעת, מצא את הנקודה בה שתי השורות הללו נפגשות - זו הנקודה עם קואורדינטות. (1,3)

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -6 ל -6 שלילי. חץ מתחיל במקור ונמשך ימינה למספר 2 בציר ה- x. הנקודה (1, 3) מתוארת ומתויגת. שני קווים מנוקדים, האחד מקביל לציר ה- x, השני מקביל לציר ה- y, נפגשים בניצב ב -1, 3. הקו המקווקו המקביל לציר ה- x מיירט את ציר ה- y ב -3. הקו המקווקו המקביל לציר ה- y מיירט את ציר ה- x ב -1.
איור 4.1.3

שימו לב שהקו האנכי דרכו x=1 והקו האופקי דרכו y=3 אינם חלק מהגרף. רק השתמשנו בהם כדי לעזור לנו לאתר את הנקודה(1,3).

תרגיל 4.1.1

התווה כל נקודה במערכת הקואורדינטות המלבנית וזהה את הרבע בו נמצאת הנקודה:

  1. (-5,4)
  2. (-3, -4)
  3. (2, -3)
  4. (-2,3)
  5. (3,52)
תשובה

המספר הראשון של צמד הקואורדינטות הוא קואורדינטת x, והמספר השני הוא ה- y -קואורדינטה.

  1. מאז איקס=−5, הנקודה היא משמאל לציר y. כמו כן, מאז y = 4, הנקודה היא מעל ציר x. הנקודה (-5,4) נמצאת ברביע II.
  2. מאז איקס=−3, הנקודה היא משמאל לציר y. כמו כן, מאז y = −4, הנקודה נמצאת מתחת לציר x. הנקודה (-3, -4) נמצאת ברבע השלישי.
  3. מכיוון ש- x = 2, הנקודה היא מימין לציר y. מאז y = −3, הנקודה נמצאת מתחת לציר x. הנקודה (2, -3) נמצאת ברבע lV.
  4. מאז איקס=−2, הנקודה היא משמאל לציר y. מאז y = 3, הנקודה היא מעל ציר x. הנקודה (-2,3) נמצאת ברביע II.
  5. מכיוון ש- x = 3, הנקודה היא מימין לציר y. מכיוון y=52 שהנקודה היא מעל ציר ה - x. (זה עשוי להיות מועיל לכתוב 52 כמספר מעורב או עשרוני.) הנקודה (3,52) היא ברביע I.
הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ- 7 ל- 7 שלילי. הנקודות (שלילי 5, 4), (שלילי 2, 3), (שלילי 3, שלילי 4), (3, חמישה חצאים) ו- (2, שלילי 3) מתואמות ומתויגות.
איור 4.1.4
תרגיל 4.1.2

התווה כל נקודה במערכת קואורדינטות מלבנית וזהה את הרבע בו נמצאת הנקודה:

  1. (-2,1)
  2. (-3, -1)
  3. (4, -4)
  4. (-4,4)
  5. (4,32)
תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -6 ל -6 שלילי. הנקודה (שלילית 2, 1) מתווה ומתויגת "a". הנקודה (שלילית 3, שלילית 1) מתוארת ומתויגת "b". הנקודה (4, שלילית 4) מתווה ומתויגת "c". הנקודה (שלילית 4, שלילית מחצית אחת) מתוארת ומתויגת "d".

תרגיל 4.1.3

התווה כל נקודה במערכת קואורדינטות מלבנית וזהה את הרבע בו נמצאת הנקודה:

  1. (-4,1)
  2. (-2,3)
  3. (2, -5)
  4. (-2,5)
  5. (3,52)
תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -6 ל -6 שלילי. הנקודה (שלילית 4, 1) מתווה ומתויגת "a". הנקודה (שלילית 2, 3) מתווה ומתויגת "b". הנקודה (2, שלילית 5) מתווה ומתויגת "c". הנקודה (שלילית 3, 2 וחצי) מתוארת ומתויגת "d".

כיצד משפיעים השלטים על מיקום הנקודות? יתכן ששמת לב לדפוסים מסוימים בזמן שרשמת את הנקודות בדוגמה הקודמת.

לגבי הנקודה 4.1.4 באיור ברבע הרביעי, מה אתה מבחין בסימני הקואורדינטות? מה לגבי הסימנים של הקואורדינטות של נקודות ברבע השלישי? הרביע השני? הרביע הראשון?

האם אתה יכול לדעת רק על ידי התבוננות בקואורדינטות באיזה רביע הנקודה (-2,5) נמצאת? באיזה רביע נמצא (2, -5)?

רביעים

אנו יכולים לסכם דפוסי סימנים של הרביעים בדרך זו.

 Quadrant I  Quadrant II  Quadrant III  Quadrant IV (x,y)(x,y)(x,y)(x,y)(+,+)(,+)(,)(+,)

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ- 7 ל- 7 שלילי. הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. ציר ה- x וה- y פועל כל אחד מ -7 עד 7. החלק הימני העליון של המטוס מסומן "I" ו- "זוג מסודר +, +", החלק השמאלי העליון של המטוס מסומן "II" ו- "זוג מסודר -, +", החלק השמאלי התחתון של המטוס מסומן "III" "זוג מסודר -, -" והחלק הימני התחתון של המטוס מסומן "IV" ו- "זוג מסודר +, -".
איור 4.1.5

מה אם קואורדינטה אחת היא אפס כפי שמוצג באיור4.1.6? היכן נמצאת הנקודה (0,4)? היכן ממוקמת הנקודה (-2,0)?

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -6 ל -6 שלילי. נקודות (0, 4) ו- (שלילי 2, 0) מתואמות ומסומנות.
איור 4.1.6

הנקודה (0,4) נמצאת על ציר y והנקודה (-2,0) נמצאת על ציר x.

נקודות על הצירים

נקודות עם קואורדינטת y שווה ל- 0 נמצאות על ציר x, ויש להן קואורדינטות (a,0).

נקודות עם קואורדינטת x שווה ל- 0 נמצאות על ציר y, ויש להן קואורדינטות (0, b).

תרגיל 4.1.4

התווה כל נקודה:

  1. (0.5)
  2. (4.0)
  3. (−3,0)
  4. (0,0)
  5. (0, -1)
תשובה
  1. מכיוון ש- x = 0, הנקודה שהקואורדינטות שלה הן (0,5) נמצאת על ציר y.
  2. מאז y = 0, הנקודה שהקואורדינטות שלה (4,0) נמצאת על ציר x.
  3. מאז y = 0, הנקודה שהקואורדינטות שלה (−3,0) נמצאת על ציר x.
  4. מכיוון ש- x = 0 ו- y = 0, הנקודה שהקואורדינטות שלה הן (0,0) היא המקור.
  5. מאז איקס=0, הנקודה שהקואורדינטות שלה הן (0, −1) נמצאת על ציר y.


הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ- 7 ל- 7 שלילי. הנקודות (שליליות 3, 0), (0, 0), (0, שלילי 1), (0, 5) ו- (4, 0) מתואמות ומסומנות.

איור 4.1.7

תרגיל 4.1.5

התווה כל נקודה:

  1. (4.0)
  2. (−2,0)
  3. (0,0)
  4. (0,2)
  5. (0, -3).
תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -6 ל -6 שלילי. הנקודות (4, 0), (שלילי 2, 0), (0, 0), (0, 2) ו- (0, שלילי 3) מתואמות ומסומנות.

תרגיל 4.1.6

התווה כל נקודה:

  1. (−5,0)
  2. (3.0)
  3. (0,0)
  4. (0, -1)
  5. (0,4).
תשובה

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -6 ל -6 שלילי. הנקודות (שליליות 5, 0), (3, 0), (0, 0), (0, שלילי 1) ו- (0, 4) מתואמות ומסומנות.

באלגברה, היכולת לזהות את הקואורדינטות של נקודה המוצגת בגרף חשובה לא פחות מהיכולת לשרטט נקודות. כדי לזהות את קואורדינטת ה- x של נקודה בגרף, קרא את המספר על ציר ה - x ישירות מעל או מתחת לנקודה. כדי לזהות את ה- y -קואורדינטה של נקודה, קרא את המספר על ציר y ישירות משמאל או מימין לנקודה. זכור, כשאתה כותב את הזוג שהוזמן השתמש בסדר הנכון, (x, y).

תרגיל 4.1.7

תן שם לזוג המסודר של כל נקודה המוצגת במערכת הקואורדינטות המלבנית.

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -6 ל -6 שלילי. הנקודות (4, 0), (שלילי 2, 0), (0, 0), (0, 2) ו- (0, שלילי 3) מתוארות ומסומנות A, B, C, D ו- E, בהתאמה.
איור 4.1.8
תשובה

נקודה A היא מעל -3 על ציר x, כך שקואורדינטת x של הנקודה היא -3.

הנקודה היא משמאל ל -3 על ציר y, כך שקואורדינטת y של הנקודה היא 3.
הקואורדינטות של הנקודה הן (-3,3).

נקודה B נמצאת מתחת ל -1 על ציר x, כך שקואורדינטת x של הנקודה היא -1.

הנקודה היא משמאל ל -3 על ציר y, כך שקואורדינטת y של הנקודה היא -3.
הקואורדינטות של הנקודה הן (-1, -3).

נקודה C היא מעל 2 בציר x, כך שקואורדינטת ה - x של הנקודה היא 2.

הנקודה היא מימין ל -4 על ציר y, כך שקואורדינטת y של הנקודה היא 4.
הקואורדינטות של הנקודה הן (2,4).
נקודה D נמצאת מתחת ל -4 בציר x, כך שקואורדינטת ה - x של הנקודה היא 4.
הנקודה היא מימין ל -4 על ציר y, כך שקואורדינטת y של הנקודה היא -4.
הקואורדינטות של הנקודה הן (4, -4).

נקודה E נמצאת על ציר y ב- y = −2. הקואורדינטות של נקודה E הן (0, -2).

נקודה F נמצאת על ציר x ב- x = 3. הקואורדינטות של נקודה F הן (3,0).

תרגיל 4.1.8

תן שם לזוג המסודר של כל נקודה המוצגת במערכת הקואורדינטות המלבנית.

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -6 ל -6 שלילי. הנקודות (4, 0), (שלילי 2, 0), (0, 0), (0, 2) ו- (0, שלילי 3) מתוארות ומסומנות A, B, C, D ו- E, בהתאמה.
איור 4.1.9
תשובה

א: (5,1) ב: (-2,4) ג: (-5, -1) ד: (3, -2) ה: (0, -5) ו: (4,0)

תרגיל 4.1.9

תן שם לזוג המסודר של כל נקודה המוצגת במערכת הקואורדינטות המלבנית.

הגרף מציג את מישור הקואורדינטות x y. צירי ה- x ו- y עוברים כל אחד מ -6 ל -6 שלילי. הנקודות (שלילי 5, 0), (3, 0), (0, 0), (0, שלילי 1) ו- (0, 4) מתוארות ומסומנות A, B, C, D ו- E, בהתאמה.
איור 4.1.10
תשובה

א: (4,2) ב: (-2,3) ג: (-4, -4) ד: (3, -5) ה: (−3,0) ו: (0,2)

אמת פתרונות למשוואה בשני משתנים

עד כה, כל המשוואות שפתרת היו משוואות עם משתנה אחד בלבד. כמעט בכל מקרה, כשפתרת את המשוואה קיבלת פתרון אחד בדיוק. תהליך פתרון המשוואה הסתיים בהצהרה כמו x = 4. (לאחר מכן, בדקת את הפתרון על ידי החלפה חזרה למשוואה.)

הנה דוגמה למשוואה במשתנה אחד, והפתרון האחד שלה.

3x+5=173x=12x=4

אבל למשוואות יכולות להיות יותר ממשתנה אחד. משוואות עם שני משתנים עשויות להיות בצורה Ax+By=C משוואות של צורה זו נקראות משוואות לינאריות בשני משתנים.

משוואה לינארית

משוואה של הצורה Ax+By=C, כאשר A ו- B אינם שניהם אפס, נקראת משוואה לינארית בשני משתנים.

שימו לב לשורת המילה ליניארית. להלן דוגמה למשוואה לינארית בשני משתנים, x ו- y.

באיור זה אנו רואים את המשוואה הליניארית Ax פלוס By שווה C. להלן המשוואה x פלוס 4y שווה 8. להלן הערכים A שווה ל- 1, B שווה ל- 4 ו- C שווה ל- 8.
איור 4.1.11

המשוואה y = −3x+5 היא גם משוואה לינארית. אבל זה לא נראה בצורה Ax+By=C. אנו יכולים להשתמש במאפיין התוספת של שוויון ולשכתב אותו בצורה Ax+By=C.

y=3x+5Add to both sides.y+3x=3x+5+3xSimplify.y+3x=5Use the Commutative Property to put it in3x+y=5Ax+By=C form.

על ידי שכתוב y = −3x+5 כ- 3x+y = 5, אנו יכולים לראות בקלות שמדובר במשוואה לינארית בשני משתנים מכיוון שהיא מהצורה Ax+By=C כאשר משוואה היא בצורה Ax+By=C, אנו אומרים שהיא בצורה סטנדרטית.

צורה סטנדרטית של משוואה לינארית

משוואה לינארית היא בצורה סטנדרטית כאשר היא כתובה Ax+By=C.

רוב האנשים מעדיפים ש- A, B ו- C יהיו מספרים שלמים A0 וכאשר כותבים משוואה לינארית בצורה סטנדרטית, אם כי זה לא הכרחי בהחלט.

למשוואות לינאריות יש אינסוף פתרונות רבים. לכל מספר שמוחלף ב- x יש ערך y מתאים. צמד ערכים זה הוא פיתרון למשוואה הליניארית ומיוצג על ידי הזוג המסודר (x, y). כאשר אנו מחליפים ערכים אלה של x ו- y במשוואה, התוצאה היא אמירה אמיתית, מכיוון שהערך בצד שמאל שווה לערך בצד ימין.

פתרון משוואה לינארית בשני משתנים

זוג מסודר (x, y) הוא פתרון של המשוואה הליניארית Ax+By=C, אם המשוואה היא אמירה אמיתית כאשר ערכי x - ו- y של הזוג המסודר מוחלפים במשוואה.

תרגיל 4.1.10

קבע אילו זוגות מסודרים הם פתרונות למשוואה איקס+4y = 8.

(א) (0,2)

(ב) (2, -4)

(ג) (-4,3)

תשובה

החלף את ערכי x - ו- y מכל זוג מסודר למשוואה וקבע אם התוצאה היא אמירה אמיתית.

נתון זה כולל שלוש עמודות. בחלק העליון של העמודה הראשונה נמצא הזוג המסודר (0, 2). להלן הערכים x שווה 0 ו- y שווה ל- 2. להלן המשוואה x פלוס 4y שווה 8. להלן אותה משוואה עם 0 ו -2 שהוחלפו ב- x ו- y: 0 פלוס 4 פעמים 2 עשויים להיות שווים ל 8. מתחת לזה 0 פלוס 8 עשוי להיות שווה 8. מתחת לזה 8 שווה 8 עם סימן ביקורת לידו. להלן המשפט "(0, 2) הוא פיתרון." בראש העמודה השנייה נמצא הזוג המסודר (2, שלילי 4). להלן הערכים x שווה ל- 2 ו- y שווה לשלילי 4. להלן המשוואה x פלוס 4y שווה 8. מתחת לזה נמצאת אותה משוואה עם 2 ושלילי 4 שהוחלפו ב- x ו- y: 2 פלוס 4 פעמים שליליות 4 עשויות להיות שוות 8. מתחת לזה 2 פלוס 16 שלילי עשוי להיות שווה 8. מתחת לזה שלילי 14 אינו שווה 8. להלן המשפט: "(2, שלילי 4) אינו פיתרון." בחלק העליון של העמודה השלישית נמצא הזוג המסודר (שלילי 4, 3). להלן הערכים x שווה לשלילי 4 ו- y שווה 3. להלן המשוואה x פלוס 4y שווה 8. להלן אותה משוואה עם 4 ו -3 שליליים שהוחלפו ב- x ו- y: שלילי 4 פלוס 4 פעמים 3 עשוי להיות שווה ל 8. מתחת לזה שלילי 4 פלוס 12 עשוי להיות שווה 8. מתחת לזה 8 שווה 8 עם סימן ביקורת לידו. להלן המשפט: "(שלילי 4, 3) הוא פיתרון."

תרגיל 4.1.11

אילו מהזוגות המסודרים הבאים הם פתרונות ל- 2x+3y = 6?

  1. (3.0)
  2. (2.0)
  3. (6, -2)
תשובה

1, 3

תרגיל 4.1.12

אילו מהזוגות המסודרים הבאים הם פתרונות למשוואה 4x−y = 8?

  1. (0.8)
  2. (2.0)
  3. (1, -4)
תשובה

2, 3

תרגיל 4.1.13

אילו מהזוגות המסודרים הבאים הם פתרונות למשוואה y = 5איקס−1?

(א) (0, -1)

(ב) (1,4)

(ג) (-2, −7)

תשובה

החלף את ערכי x - ו- y מכל זוג מסודר למשוואה וקבע אם התוצאה היא אמירה אמיתית.

נתון זה כולל שלוש עמודות. בחלק העליון של העמודה הראשונה נמצא הזוג המסודר (0, שלילי 1). להלן הערכים x שווה 0 ו- y שווה לשלילי 1. להלן המשוואה y שווה 5x מינוס 1. מתחת לזה נמצאת אותה משוואה עם 0 ושלילי 1 שהוחלפו ב- x ו- y: שלילי 1 עשוי להיות שווה 5 פעמים 0 מינוס 1. מתחת לזה שלילי 1 עשוי להיות שווה 0 מינוס 1. מתחת לזה שלילי 1 שווה לשלילי 1 עם סימן ביקורת לידו. להלן המשפט: "(0, שלילי 1) הוא פיתרון." בחלק העליון של העמודה השנייה נמצא הזוג המסודר (1, 4). להלן הערכים x שווה ל- 1 ו- y שווה 4. להלן המשוואה y שווה 5x מינוס 1. להלן אותה משוואה עם 1 ו -4 שהוחלפו ב- x ו- y: 4 עשויים להיות שווים 5 פעמים 1 מינוס 1. מתחת לזה 4 עשוי להיות שווה 5 מינוס 1. מתחת לזה 4 שווים 4 עם סימן ביקורת לידו. להלן המשפט: "(1, 4) הוא פיתרון." בחלק העליון של העמודה הימנית נמצא הזוג המסודר (שלילי 2, שלילי 7). להלן הערכים x שווה לשלילי 2 ו- y שווה לשלילה 7. להלן המשוואה y שווה 5x מינוס 1. מתחת לזה נמצאת אותה משוואה עם שלילי 2 ושלילי 7 שהוחלפו ב- x ו- y: שלילי 7 עשוי להיות שווה פי 5 שלילי 2 מינוס 1. מתחת לזה שלילי 7 עשוי להיות שווה שלילי 10 מינוס 1. להלן שלילי 7 אינו שווה לשלילי 11. להלן המשפט: "(שלילי 2, שלילי 7) אינו פיתרון."

תרגיל 4.1.14

אילו מהזוגות המסודרים הבאים הם פתרונות למשוואה y = 4x−3?

  1. (0,3)
  2. (1,1)
  3. (-1, -1)
תשובה

2

תרגיל 4.1.15

אילו מהזוגות המסודרים הבאים הם פתרונות למשוואה y = −2x+6?

  1. (0,6)
  2. (1,4)
  3. (-2, -2)
תשובה

1, 2

השלם טבלת פתרונות למשוואה לינארית בשני משתנים

בדוגמאות לעיל החלפנו את ערכי x - ו- y של זוג מסודר נתון כדי לקבוע אם זה פיתרון למשוואה לינארית או לא. אבל איך מוצאים את הזוגות שהוזמנו אם הם לא ניתנים? זה קל יותר ממה שאתה חושב - אתה יכול פשוט לבחור ערך עבור xx ואז לפתור את המשוואה עבור yy. לחלופין, בחר ערך עבור yy ואז פתר עבור xx.

נתחיל בבחינת הפתרונות למשוואה y = 5x−1 שמצאנו בתרגיל. 4.1.13 אנו יכולים לסכם מידע זה בטבלת פתרונות, כפי שמוצג בטבלה4.1.1.

y=5איקס−1
x y (איקס, y)
0 -1 (0, -1)
1 4 (1,4)
טבלה 4.1.1

כדי למצוא פיתרון שלישי, אנו נותנים ל- x = 2 ונפתור עבור y.

האיור מציג את השלבים לפתרון עבור y כאשר x שווה 2 במשוואה y שווה 5 x מינוס 1. המשוואה y שווה ל- 5 x מינוס 1 מוצגת. להלן המשוואה עם 2 שהוחלפו ב- x שהוא y שווה 5 פעמים 2 מינוס 1. כדי לפתור עבור y תחילה הכפל כך שהמשוואה תהפוך ל- y שווה 10 מינוס 1 ואז גרע כך שהמשוואה תהיה y שווה 9.
איור 4.1.12

הזוג המסודר (2,9) הוא פתרון ל- y = 5x−1. נוסיף אותו לטבלה4.1.2.

y=5איקס−1
x y (איקס, y)
0 -1 (0, -1)
1 4 (1,4)
2 9 (2.9)
טבלה 4.1.2

אנו יכולים למצוא פתרונות נוספים למשוואה על ידי החלפת ערך כלשהו של x או כל ערך של y ופתרון המשוואה המתקבלת כדי לקבל זוג מסודר אחר שהוא פיתרון. יש אינסוף פתרונות למשוואה זו.

תרגיל 4.1.16

השלם את הטבלה כדי למצוא שלושה פתרונות למשוואה y = 4x−2.

y = 4איקס-2
x y (איקס, y)
0    
-1    
2  
טבלה 4.1.3
תשובה

תחליף איקס=0, איקס=−1, ו איקס=2 לתוך y = 4איקס−2.

נתון זה כולל שלוש עמודות. בחלק העליון של העמודה הראשונה נמצא הערך x שווה ל- 0. להלן המשוואה y שווה 4x מינוס 2. להלן אותה משוואה עם 0 שהוחלף ב- x: y שווה 4 פעמים 0 מינוס 2. מתחת לזה y שווה 0 מינוס 2. מתחת לזה y שווה לשלילי 2. מתחת לזה נמצא הזוג המסודר (0, שלילי 2). בחלק העליון של העמודה השנייה נמצא הערך x שווה לשלילי 1. להלן המשוואה y שווה 4x מינוס 2. להלן אותה משוואה עם שלילי 1 שהוחלף ב- x: y שווה פי 4 מינוס 1 מינוס 2. מתחת לזה y שווה לשלילי 4 מינוס 2. מתחת לזה y שווה לשלילי 6. מתחת לזה נמצא הזוג המסודר (שלילי 1, שלילי 6). בחלק העליון של העמודה השלישית הוא הערך x שווה 2. להלן המשוואה y שווה 4x מינוס 2. להלן אותה משוואה עם 2 שהוחלפו ב- x: y שווה 4 פעמים 2 מינוס 2. מתחת לזה y שווה 8 מינוס 2. מתחת לזה y שווה 6. להלן הזוג שהוזמן (2, 6).

התוצאות מסוכמות בטבלה4.1.4.

y = 4איקס-2
x y (איקס, y)
0 -2 (0, -2)
-1 −6 (-1, -6)
2 6 (2.6)
טבלה 4.1.4
תרגיל 4.1.17

השלם את הטבלה כדי למצוא שלושה פתרונות למשוואה זו: y = 3x−1.

y=3איקס−1
x y (איקס, y)
0    
-1    
2    
טבלה 4.1.5
תשובה
y=3איקס−1
x y (איקס, y)
0 -1 (0, -1)
-1 -4 (-1, -4)
2 5 (2, 5)
טבלה 4.1.6
תרגיל 4.1.18

השלם את הטבלה כדי למצוא שלושה פתרונות למשוואה זו: y = 6x+1.

y = 6x+1
x y (איקס, y)
     
     
-2    
טבלה 4.1.7
תשובה
y = 6x+1
x y (איקס, y)
0 1 (0.1)
1 7 (1,7)
-2 −11 (-2, -11)
טבלה 4.1.8
תרגיל 4.1.19

השלם 4.1.9 את הטבלה כדי למצוא שלושה פתרונות למשוואה 5x−4y = 20.

5איקס−4y = 20
x y (איקס, y)
     
  0  
  5
טבלה 4.1.9
תשובה

החלף את הערך הנתון במשוואה 5x−4y = 20 ופתור עבור המשתנה האחר. לאחר מכן, מלא את הערכים בטבלה.

נתון זה כולל שלוש עמודות. בחלק העליון של העמודה הראשונה נמצא הערך x שווה ל- 0. להלן המשוואה 5x מינוס 4y שווה 20. להלן אותה משוואה עם 0 שהוחלף ב- x: 5 פעמים 0 מינוס 4y שווה 20. מתחת לזה 0 מינוס 4y שווה 20. מתחת לזה שלילי 4y שווה 20. מתחת לזה y שווה לשלילי 5. מתחת לזה נמצא הזוג המסודר (0, שלילי 5). בחלק העליון של העמודה השנייה נמצא הערך y שווה ל- 0. להלן המשוואה 5x מינוס 4y שווה 20. להלן אותה משוואה עם 0 שהוחלף ב- y: 5x מינוס 4 פעמים 0 שווה 20. מתחת לזה 5x מינוס 0 שווה 20. מתחת לזה 5x שווה 20. מתחת לזה x שווה 4. מתחת לזה נמצא הזוג שהוזמן (4, 0). בחלק העליון של העמודה השלישית הוא הערך y שווה 5. להלן המשוואה 5x מינוס 47 שווה 20. להלן אותה משוואה עם 5 שהוחלפו ב- y: 5x מינוס 4 פעמים 5 שווה 20. להלן המשוואה 5x מינוס 20 שווה 20. מתחת לזה 5x שווה 40. מתחת לזה x שווה 8. להלן זוג מסודר (8, 5).

התוצאות מסוכמות בטבלה4.1.10.

5איקס−4y = 20
x y (איקס, y)
0 -5 (0, -5)
4 0 (4.0)
8 5 (8.5)
טבלה 4.1.10
תרגיל 4.1.20

השלם את הטבלה כדי למצוא שלושה פתרונות למשוואה זו: 2x−5y = 20.

2איקס−5 י=20
x y (איקס, y)
     
     
-5    
טבלה 4.1.11
תשובה
2איקס−5 י=20
x y (איקס, y)
0 -4 (0, -4)
10 0 (10.0)
-5 −6 (-5, -6)
טבלה 4.1.12
תרגיל 4.1.21

השלם את הטבלה כדי למצוא שלושה פתרונות למשוואה זו: 3x−4y = 12.

3איקס−4y = 12
x y (איקס, y)
     
     
-4    
טבלה 4.1.13
תשובה
3איקס−4y = 12
x y (איקס, y)
0 -3 (0, -3)
4 0 (4.0)
-4 −6 (-4, -6)
טבלה 4.1.14

מצא פתרונות למשוואה לינארית

כדי למצוא פתרון למשוואה ליניארית, אתה באמת יכול לבחור כל מספר שאתה רוצה להחליף במשוואה עבור x או y. אבל מכיוון שתצטרך להשתמש במספר הזה כדי לפתור עבור המשתנה השני, זה רעיון טוב לבחור מספר שקל לעבוד איתו.

כאשר המשוואה היא בצורת y, כאשר ה- y בפני עצמו בצד אחד של המשוואה, בדרך כלל קל יותר לבחור ערכים של x ואז לפתור עבור y.

תרגיל 4.1.22

מצא שלושה פתרונות למשוואה y = −3x+2.

תשובה

אנחנו יכולים להחליף כל ערך שאנחנו רוצים עבור x או כל ערך עבור y. מכיוון שהמשוואה היא בצורת y, זה יהיה קל יותר להחליף בערכים של x. בואו לבחור איקס=0, איקס=1, ו איקס=−1.

  . . .
  . . .
החלף את הערך במשוואה. . . .
לפשט. . . .
לפשט. . . .
כתוב את הזוג שהוזמן. (0, 2) (1, -1) (-1, 5)
בדוק.      
y = −3איקס+2 y = −3איקס+2 y = −3איקס+2      
2?=30+2 1?=31+2 5?=3(1)+2      
2?=0+2 1?=3+2 5?=3+2      
2=2 1=1 5=5      
טבלה 4.1.15

אז, (0,2), (1, -1) ו- (-1,5) הם כולם פתרונות ל- y=−3x+2. אנו מראים אותם בטבלה4.1.16.

y = -3איקס+2
x y (איקס, y)
0 2 (0,2)
1 -1 (1, -1)
-1 5 (-1,5)
טבלה 4.1.16
תרגיל 4.1.23

מצא שלושה פתרונות למשוואה זו: y = −2x+3.

תשובה

התשובות ישתנו.

תרגיל 4.1.24

מצא שלושה פתרונות למשוואה זו: y = −4x+1.

תשובה

התשובות ישתנו.

ראינו כיצד השימוש באפס כערך אחד של x הופך את מציאת הערך של y לקלה. כאשר משוואה היא בצורה סטנדרטית, כאשר גם x וגם y באותו צד של המשוואה, בדרך כלל קל יותר למצוא פתרון אחד כאשר איקס=0 למצוא פתרון שני כאשר y=0, ואז למצוא פתרון שלישי.

תרגיל 4.1.25

מצא שלושה פתרונות למשוואה 3x+2y = 6.

תשובה

אנחנו יכולים להחליף כל ערך שאנחנו רוצים עבור x או כל ערך עבור y. מכיוון שהמשוואה היא בצורה סטנדרטית, בואו לבחור תחילה x=0, ואז y=0, ולאחר מכן למצוא נקודה שלישית.

. . .
  . . .
החלף את הערך במשוואה. . . .
לפשט. . . .
לפתור. . . .
  . . .
כתוב את הזוג שהוזמן. (0, 3) (2, 0) (1,32)
בדוק.      
3x+2y=6 3x+2y=6 3x+2y=6      
30+23?=6 32+20?=6 31+232?=6      
0+6?=6 6+0?=6 3+3?=6      
6=6 6=6 6=6
טבלה 4.1.17

אז (0,3), (2,0), וכולם פתרונות למשוואה (1,32) 3x+2y = 6. אנו יכולים לרשום את שלושת הפתרונות הללו בטבלה4.1.18.

3x+2y = 63 איקס+2y = 6
x y (איקס, y)
0 3 (0,3)
2 0 (2.0)
1 32 (1,32)
טבלה 4.1.18
תרגיל 4.1.26

מצא שלושה פתרונות למשוואה 2x+3y = 6.

תשובה

התשובות ישתנו.

תרגיל 4.1.27

מצא שלושה פתרונות למשוואה 4x+2y = 8.

תשובה

התשובות ישתנו.

מושגי מפתח

  • דפוסי סימנים של הרביעים
     Quadrant I  Quadrant II  Quadrant III  Quadrant IV (x,y)(x,y)(x,y)(x,y)(+,+)(,+)(,)(+,)
  • נקודות על הצירים
    • על ציר x, y = 0. נקודות עם קואורדינטת y שווה ל- 0 נמצאות על ציר x, ויש להן קואורדינטות (a,0).
    • על ציר y, איקס=0. נקודות עם קואורדינטת x שווה ל- 0 נמצאות על ציר y, ויש להן קואורדינטות (0, b).
  • פתרון משוואה לינארית
    • זוג מסודר (x, y) הוא פתרון של המשוואה הליניארית Ax+By=C, אם המשוואה היא אמירה אמיתית כאשר ערכי x - ו- y - של הזוג המסודר מוחלפים במשוואה.

רשימת מילים

משוואה לינארית
משוואה לינארית היא מהצורה Ax+By=C, כאשר A ו- B אינם שניהם אפס, נקראת משוואה לינארית בשני משתנים.
זוג שהוזמן
זוג מסודר (x, y) נותן את הקואורדינטות של נקודה במערכת קואורדינטות מלבנית.
מוצא
הנקודה (0,0) (0,0) נקראת המקור. זו הנקודה בה מצטלבים ציר x וציר y.
רביע
ציר ה- x וציר y מחלקים מישור לארבעה אזורים, הנקראים רביעים.
מערכת קואורדינטות מלבנית
מערכת רשת משמשת באלגברה כדי להראות קשר בין שני משתנים; נקרא גם ה- xy -plane או 'מישור הקואורדינטות '.
x -קואורדינטה
המספר הראשון בזוג מסודר (x, y).
y -קואורדינטה
המספר השני בזוג מסודר (x, y).