2.8: Usawa wa mstari na Usawa wa Thamani kamili
- Page ID
- 180765
- Tumia notation ya muda.
- Tumia mali ya kutofautiana.
- Kutatua usawa katika variable moja algebraically.
- Kutatua usawa kabisa thamani.
Si rahisi kufanya jukumu la heshima katika vyuo vikuu vya juu zaidi. Tuseme wanafunzi walitakiwa kubeba kozi mzigo wa saa angalau\(12\) mikopo na kudumisha daraja uhakika wastani wa\(3.5\) au juu. Jinsi gani mahitaji haya heshima roll kuwa walionyesha hesabu? Katika sehemu hii, tutachunguza njia mbalimbali za kueleza seti tofauti za idadi, kutofautiana, na kutofautiana kwa thamani kabisa.
Kutumia Nukuu ya Muda
Kuonyesha ufumbuzi wa kutofautiana kama vile\(x≥4\) inaweza kupatikana kwa njia kadhaa.
- Tunaweza kutumia mstari namba kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Rangi ya bluu huanza\(x = 4\) na, kama ilivyoonyeshwa na mshale wa mshale, inaendelea kuwa usio na mwisho, ambayo inaonyesha kwamba seti ya suluhisho inajumuisha namba zote halisi zaidi kuliko au sawa\(4\).
- Tunaweza kutumia kuweka-wajenzi notation:\(\{x|x≥4\}\), ambayo hutafsiriwa na “namba zote halisi\(x\) kama kwamba\(x\) ni kubwa kuliko au sawa na\(4\).” Angalia kwamba braces hutumiwa kuonyesha seti.
- Njia ya tatu ni notation ya muda, ambayo seti za ufumbuzi zinaonyeshwa kwa mabano au mabano. ufumbuzi wa\(x≥4\) ni kuwakilishwa kama\([4,\infty)\). Hii labda ni njia muhimu sana, kama inatumika kwa dhana zilizojifunza baadaye katika kozi hii na kwa kozi nyingine za kiwango cha juu cha hesabu.
Dhana kuu kukumbuka ni kwamba mabano yanawakilisha ufumbuzi mkubwa au chini ya idadi, na mabano yanawakilisha ufumbuzi ambao ni mkubwa kuliko au sawa na au chini au sawa na idadi. Tumia mabano kuwakilisha infinity au infinity hasi, kwa kuwa infinity chanya na hasi si namba kwa maana ya kawaida ya neno na, kwa hiyo, haiwezi kuwa “sawa.” mifano michache ya muda, au seti ya idadi ambayo ufumbuzi maporomoko, ni, au namba zote kati\(−2\) na\([−2,6)\), Ikiwa ni pamoja na\(6\)\(−2\), lakini si pamoja na\(6\);\((−1,0)\), namba zote halisi kati ya, lakini si pamoja\(−1\) na na\(0\); na\((−\infty,1]\), kila halisi idadi ya chini na ikiwa ni pamoja na\(1\). \(\PageIndex{1}\)Jedwali linaonyesha uwezekano.
| Weka Imeonyeshwa | Kuweka-Builder Nukuu | Muda Nukuu |
|---|---|---|
| Idadi yote halisi kati\(a\) na\(b\), lakini si ikiwa ni pamoja na\(a\) au\(b\) | \(\{x|a<x<b\}\) | \((a,b)\) |
| Nambari zote halisi zaidi kuliko\(a\), lakini si pamoja na\(a\) | \(\{x|x>a\}\) | \((a,\infty)\) |
| Nambari zote halisi chini ya\(b\), lakini si pamoja na\(b\) | \(\{x|x<b\}\) | \((−\infty,b)\) |
| Idadi yote halisi zaidi kuliko\(a\), Ikiwa ni pamoja na\(a\) | \(\{x|x≥a\}\) | \([a,\infty)\) |
| Nambari zote halisi chini ya\(b\), Ikiwa ni pamoja na\(b\) | \(\{x|x≤b\}\) | \((−\infty,b]\) |
| Idadi yote halisi kati\(a\) na\(b\), Ikiwa ni pamoja na\(a\) | \(\{x|a≤x<b\}\) | \([a,b)\) |
| Idadi yote halisi kati\(a\) na\(b\), Ikiwa ni pamoja na\(b\) | \(\{x|a<x≤b\}\) | \((a,b]\) |
| Idadi yote halisi kati\(a\) na\(b\), ikiwa ni pamoja\(a\) na\(b\) | \(\{x|a≤x≤b\}\) | \([a,b]\) |
| Nambari zote halisi chini\(a\) au zaidi kuliko\(b\) | \(\{x|x<a\space and\space x>b\}\) | \((−\infty,a)\cup(b,\infty)\) |
| Nambari zote halisi | \(\{x|x\space is\space all\space real\space numbers\}\) | \((−\infty,\infty)\) |
Tumia nukuu ya muda ili kuonyesha namba zote halisi zaidi kuliko au sawa na\(−2\).
Suluhisho
Matumizi mabano upande wa kushoto wa\(−2\) na mabano baada infinity:\([−2,\infty)\). Bracket inaonyesha kwamba\(−2\) ni pamoja na katika seti na namba zote halisi zaidi kuliko\(−2\) infinity.
Tumia nukuu ya muda ili kuonyesha namba zote halisi kati na ikiwa ni pamoja\(−3\) na\(5\).
- Jibu
-
\([−3,5]\)
Andika muda unaoonyesha namba zote halisi chini ya au sawa\(−1\) au kubwa kuliko au sawa na\(1\).
Suluhisho
Tunapaswa kuandika vipindi viwili kwa mfano huu. Muda wa kwanza lazima uonyeshe namba zote halisi chini ya au sawa na\(1\). Kwa hiyo, muda huu huanza\(−\infty\) na kuishia saa\(−1\), ambayo imeandikwa kama\((−\infty,−1]\).
Muda wa pili lazima kuonyesha namba zote halisi zaidi au sawa na\(1\), ambayo imeandikwa kama\([1,\infty)\). Hata hivyo, tunataka kuchanganya seti hizi mbili. Tunakamilisha hili kwa kuingiza ishara ya muungano,, kati ya vipindi viwili.
\[(−\infty,−1]\cup[1,\infty) \nonumber\]
Eleza namba zote halisi chini ya\(−2\) au zaidi kuliko au sawa na\(3\) katika nukuu ya muda.
- Jibu
-
\((−\infty,−2)\cup[3,\infty)\)
Kutumia Mali ya Usawa
Tunapofanya kazi na kutofautiana, tunaweza kuwatendea sawa na lakini si hasa kama tunavyoshughulikia usawa. Tunaweza kutumia mali ya kuongeza na mali ya kuzidisha ili kutusaidia kutatua. Mbali moja ni wakati sisi kuzidisha au kugawa na idadi hasi; kufanya hivyo reverses ishara ya usawa.
Aidha Mali
- Ikiwa\(a<b\), basi\(a+c<b+c\).
Mali ya kuzidisha
- Ikiwa\(a<b\) na\(c>0\), basi\(ac<bc\).
- Ikiwa\(a<b\) na\(c<0\), basi\(ac>bc\).
Mali hizi pia zinatumika kwa\(a≤b\)\(a>b\),, na\(a≥b\).
Onyesha mali ya kuongeza kwa usawa kwa kutatua kila moja ya yafuatayo:
- (a)\(x−15<4\)
- (b)\(6≥x−1\)
- (c)\(x+7>9\)
Suluhisho
Mali ya kuongeza kwa kutofautiana inasema kwamba ikiwa ukosefu wa usawa upo, kuongeza au kuondoa idadi sawa pande zote mbili haubadili usawa.
a.
\[\begin{align*} x-15&< 4\\ x-15+15&< 4+15\\ x&< 19 \end{align*}\]
b.
\[\begin{align*} 6&\geq x-1\\ 6+1&\geq x-1+1\\ 7&\geq x \end{align*}\]
c.
\[\begin{align*} x+7&> 9\\ x+7-7&> 9-7\\ x&> 2 \end{align*}\]
Kutatua:\(3x−2<1\).
- Jibu
-
\(x<1\)
Eleza mali ya kuzidisha kwa kutofautiana kwa kutatua kila moja ya yafuatayo:
- \(3x<6\)
- \(−2x−1≥5\)
- \(5−x>10\)
Suluhisho
a.
\[\begin{align*} 3x&< 6\\ \dfrac{1}{3}(3x)&< (6)\dfrac{1}{3}\\ x&< 2 \end{align*}\]
b.
\[\begin{align*} -2x-1&\geq 5\\ -2x&\geq 6\\ \left (-\dfrac{1}{2} \right )(-2)&\geq (6)\left (-\dfrac{1}{2} \right ) & & \text{Multiply by } \left (-\dfrac{1}{2} \right )\\ x&\leq -3 & & \text{Reverse the inequality.} \end{align*}\]
c.
\[\begin{align*} 5-x&> 10\\ -x&> 5\\ (-1)(-x)&> (5)(-1) & & \text{Multiply by } -1\\ x&< -5 & & \text{Reverse the inequality.} \end{align*}\]
Kutatua:\(4x+7≥2x−3\).
- Jibu
-
\(x≥−5\)
Kutatua Usawa katika Variable Moja Algebraically
Kama mifano imeonyesha, tunaweza kufanya shughuli sawa pande zote mbili za usawa, kama tunavyofanya na equations; tunachanganya kama maneno na kufanya shughuli. Ili kutatua, sisi hutenganisha kutofautiana.
Kutatua kukosekana kwa usawa:\(13−7x≥10x−4\).
Suluhisho
Kutatua usawa huu ni sawa na kutatua equation hadi hatua ya mwisho.
\[\begin{align*} 13-7x&\geq 10x-4\\ 13-17x&\geq -4 & & \text{Move variable terms to one side of the inequality}\\ -17x&\geq -17 & & \text{Isolate the variable term}\\ x&\leq 1 & & \text{Dividing both sides by -17 reverses the inequality.} \end{align*}\]
Seti ya suluhisho hutolewa kwa muda\((−\infty,1]\), au namba zote halisi chini na ikiwa ni pamoja na\(1\).
Tatua usawa na uandike jibu kwa kutumia notation ya muda:\(−x+4<\dfrac{1}{2}x+1\).
- Jibu
-
\((2,\infty)\)
Tatua usawa wafuatayo na uandike jibu katika maelezo ya muda:\(−\dfrac{3}{4}x≥−\dfrac{5}{8}+\dfrac{2}{3}x\).
Suluhisho
Tunaanza kutatua kwa njia ile ile tunayofanya wakati wa kutatua equation.
\[\begin{align*} -\dfrac{3}{4}x&\geq -\dfrac{5}{8}+\dfrac{2}{3}x\\[5pt] -\dfrac{3}{4}x-\dfrac{2}{3}x&\geq -\dfrac{5}{8} & & \text{Put variable terms on one side.}\\[5pt] -\dfrac{9}{12}x-\dfrac{8}{12}x&\geq -\dfrac{5}{8} & & \text{Write fractions with common denominator.}\\[5pt] -\dfrac{17}{12}x&\geq -\dfrac{5}{8}\\[5pt] x&\leq -\dfrac{5}{8}\left (-\dfrac{12}{17} \right ) & & \text{Multiplying by a negative number reverses the inequality.}\\[5pt] x&\leq \dfrac{15}{34} \end{align*}\]
Suluhisho la kuweka ni muda\(\left (−\infty,\dfrac{15}{34} \right ]\).
Kutatua usawa na kuandika jibu katika nukuu ya muda:\(−\dfrac{5}{6}x≤\dfrac{3}{4}+\dfrac{8}{3}x\).
- Jibu
-
\(\left [-\dfrac{3}{14},\infty \right )\)
Uelewa wa kutofautiana kiwanja
Ukosefu wa usawa wa kiwanja unajumuisha kutofautiana mbili katika taarifa moja. Taarifa kama\(4<x≤6\) njia\(4<x\) na\(x≤6.\) Kuna njia mbili za kutatua kutofautiana kwa kiwanja: kuwatenganisha katika kutofautiana kwa tofauti mbili au kuacha usawa wa kiwanja usio sahihi na kufanya shughuli kwenye sehemu zote tatu kwa wakati mmoja. Tutaonyesha njia zote mbili.
Tatua usawa wa kiwanja:\(3≤2x+2<6\)
Suluhisho
Njia ya kwanza ni kuandika kutofautiana mbili tofauti:\(3≤2x+2\) na\(2x+2<6.\) Sisi kutatua yao kwa kujitegemea.
\ [kuanza {safu} {lcr}
3≤ 2x+2 &\ maandishi {na} & 2x+2<6\\ [5pt]
1≤ 2x & & 2x<4\\ [5pt]
\ tfrac {1} {2}\ leq x & x <2
\ mwisho {safu}\ nonumber\]
Kisha, tunaweza kuandika upya ufumbuzi kama usawa wa kiwanja, njia sawa na tatizo lilianza.
\[\frac{1}{2}≤x<2\nonumber\]
Katika maelezo ya muda, suluhisho limeandikwa kama\([\tfrac{1}{2},\, 2).\)
Njia ya pili ni kuondoka usawa wa kiwanja intact, na kufanya taratibu za kutatua sehemu tatu kwa wakati mmoja.
\ (\ kuanza {align*}\ qquad 3&≤ 2x+2<6\\ [5pt]
1&≤ 2x<4 &\ Nakala {Sulua neno la kutofautiana, na uondoe} 2\ maandishi {kutoka sehemu zote tatu.}\\ [5pt]
\ tfrac {1} {2} & ≤ x<2 &\ maandishi {Gawanya kupitia sehemu zote tatu na} 2.
\ mwisho {align*}\)
Tunapata suluhisho sawa:\([\tfrac{1}{2},\, 2).\)
Tatua usawa wa kiwanja:\(4<2x−8≤10.\)
- Jibu
-
\(6<x≤9\)au\((6,9]\)
Tatua usawa wa kiwanja na vigezo katika sehemu zote tatu:\(3+x>7x−2>5x−10.\)
Suluhisho
Hebu jaribu njia ya kwanza. Andika kutofautiana mbili:
\ [kuanza {safu} {cc} 3+x>7x-1 &\ maandishi {na} & 7x-2>5x-10\\ [5pt]
3>6x-2 & 2x-2>-10\ [5pt]
5>6x & 2x>-8\ [5pt]
\ [5} {6} >x & -4pt <x\\ [5pt]
\ mwisho {safu}\ nonumber\]
Suluhisho lililowekwa ni\(−4<𝑥<\tfrac{5}{6}\) au katika maelezo ya muda\(\left(−4,\tfrac{5}{6}\right).\) Ilani kwamba tunapoandika suluhisho katika notation ya muda, idadi ndogo inakuja kwanza. Tunasoma vipindi kutoka kushoto kwenda kulia, kama wanavyoonekana kwenye mstari wa nambari. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{3}\).
Tatua usawa wa kiwanja:\(3y<4−5y<5+3y.\)
- Jibu
-
\(\left(−\tfrac{1}{8},\, \tfrac{1}{2}\right)\)
Kutatua Ukosefu wa Thamani kamili
Kama tunavyojua, thamani kamili ya wingi ni idadi nzuri au sifuri. Kutoka asili, hatua iliyopo\((−x,\, 0)\) ina thamani kamili ya\(x,\) kama ilivyo\(x\) vitengo mbali. Fikiria thamani kamili kama umbali kutoka hatua moja hadi hatua nyingine. Bila kujali mwelekeo, chanya au hasi, umbali kati ya pointi mbili huwakilishwa kama namba nzuri au sifuri.
Thamani kamili ya usawa ni equation ya fomu
\[|A|<B,\quad |A|≤B, \quad |A|>B,\quad \text{or} \quad|A|≥B,\nonumber\]
Wapi\(A,\) na wakati mwingine\(B,\) inawakilisha kujieleza algebraic tegemezi kutofautiana\(x.\) Kutatua usawa ina maana ya kutafuta seti ya yote\(x\) - maadili ambayo kukidhi tatizo. Kawaida kuweka hii itakuwa muda au umoja wa vipindi viwili na itajumuisha maadili mbalimbali.
Kuna mbinu mbili za msingi za kutatua usawa wa thamani kabisa: graphical na algebraic. Faida ya mbinu ya kielelezo ni tunaweza kusoma suluhisho kwa kutafsiri grafu za equations mbili. Faida ya mbinu ya algebraic ni kwamba ufumbuzi ni halisi, kama ufumbuzi sahihi wakati mwingine ni vigumu kusoma kutoka kwenye grafu.
Tuseme tunataka kujua faida zote iwezekanavyo kwenye uwekezaji kama tunaweza kupata kiasi fulani cha fedha ndani ya $200 ya $600. Tunaweza kutatua algebraically kwa seti ya\(x\) - maadili kama kwamba umbali kati\(x\) na\(600\) ni chini ya au sawa na\(200.\) Sisi kuwakilisha umbali kati\(x\) na\(600\) kama\(| x−600 |,\) na kwa hiyo,\(| x−600 |≤200\) au
\ [kuanza {safu} {c} -200≤ x-600≤ 200\\
-200+600≤ x-600+600≤ 200+600\\
400≤ x≤ 800
\\ mwisho {safu}\ nonumber\]
Hii ina maana anarudi yetu itakuwa kati ya $400 na $800.
Ili kutatua usawa wa thamani kabisa, kama vile usawa wa thamani kamili, tunaandika kutofautiana mbili na kisha kuzitatua kwa kujitegemea.
Kwa kujieleza\(k>0,\) algebraic\(X\) na thamani kamili usawa ni usawa wa fomu
\ [begen {align*} | X |&<k\ maandishi {ni sawa na} -k<x<K\\ [4pt]
| X |&>k\ text {ni sawa na} x<:K\ maandishi {au} x>K\ mwisho {align*}\]
Taarifa hizi pia zinatumika\(| X |≤k\) na\(| X |≥k.\)
Eleza maadili yote\(x\) ndani ya umbali wa\(4\) kutoka kwa nambari\(5.\)
Suluhisho
Tunataka umbali kati\(x\) na\(5\) kuwa chini ya au sawa na\(4.\) Tunaweza kuteka mstari namba, kama vile katika Kielelezo\(\PageIndex{4},\) kuwakilisha hali ya kuridhika.
umbali kutoka kwa\(5\) inaweza\(x\) kuwakilishwa kwa kutumia kabisa thamani ishara,\(| x−5 |.\) Andika maadili ya\(x\) kwamba kukidhi hali kama usawa kabisa thamani.
\[| x−5 |≤4\nonumber\]
Tunahitaji kuandika kutofautiana mbili kama daima kuna ufumbuzi mbili kwa equation thamani kamili.
\ [kuanza {safu} {cc} x-5≤ 4 &\ maandishi {na} & x-5≥ -4\\ [4pt]
x≤ 9 & & x≥ 1
\ mwisho {safu}\ nonumber\]
Ikiwa suluhisho linawekwa\(x≤9\) na\(x≥1,\) kisha kuweka suluhisho ni muda ikiwa ni pamoja na namba zote halisi kati na ikiwa ni pamoja na 1 na 9.
Hivyo\(| x−5 |≤4\) ni sawa na\([ 1,9 ]\) katika nukuu ya muda.
Eleza zote\(x\) -maadili ndani ya umbali wa\(3\) kutoka namba\(2.\)
- Jibu
-
\(|x−2|≤3\)
Kutatua\(|x−1|≤3.\)
Suluhisho
\ (\ quad\ kuanza {safu} {c} |x-1 |≤ 3\\ [4pt]
-3≤ x-1≤ 3\\ [4pt]
-2≤ x≤ 4\\ [4pt]
[-2,4]
\ mwisho {safu}\)
Kutokana na equation\(y=−\tfrac{1}{2}|4x−5|+3,\) kuamua\(x\) -maadili ambayo\(y\) -maadili ni hasi.
Suluhisho
Tunajaribu\(y<0,\) kuamua wapi ni wakati\(−\tfrac{1}{2}|4x−5|+3<0.\) Tunaanza kwa kutenganisha thamani kamili.
\ [begen {align* }-\ tfrac {1} {2} |4x-5|&<1-3 & &\ maandishi {Panua pande zote mbili na} —2,\ maandishi {na urekebishe usawa.}\\ [5pt]
|4x-5|&>6\ mwisho {align*}\]
Next, sisi kutatua kwa usawa\(|4x−5|=6.\)
\ [kuanza {safu} {rcr} 4x-5=6 & & 4x-5=-6\\ [5pt]
4x=11 &\ maandishi {au} & 4x=-1\\ [5pt]
x=\ tfrac {11} {4} & x =\ tfrac {1} {4}
\ mwisho {safu}\ nonumber\]
Sasa, tunaweza kuchunguza grafu kuchunguza ambapo\(y\) maadili ni hasi. Tunaona ambapo matawi ni chini ya\(x\) -axis. Kumbuka kwamba si muhimu hasa kile grafu inaonekana kama, kwa muda mrefu kama tunajua kwamba huvuka mhimili usawa\(x=−\tfrac{1}{4}\)\(x=\tfrac{11}{4},\) na kwamba grafu inafungua chini. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{5}.\)
Kutatua\(−2|k−4|≤−6.\)
- Jibu
-
\(k≤1\)au\(k≥7;\) katika nukuu ya muda, hii itakuwa\((−∞,1]∪[7,∞).\)
Kielelezo\(\PageIndex{6}\)