2.6: Ulinganifu wa Quadratic
- Tatua equations quadratic kwa factoring.
- Tatua usawa wa quadratic na mali ya mizizi ya mraba.
- Tatua equations quadratic kwa kukamilisha mraba.
- Tatua usawa wa quadratic kwa kutumia formula ya quadratic.
Mfuatiliaji wa kompyuta upande wa kushoto katika Kielelezo2.6.1 ni mfano wa23.6 inchi na moja ya kulia ni mfano wa27 inchi. Kwa kiasi kikubwa, wachunguzi wanaonekana sawa. Ikiwa kuna kiasi kidogo cha nafasi na tunataka kufuatilia kubwa iwezekanavyo, tunaamuaje ni nani atakayechagua? Katika sehemu hii, tutajifunza jinsi ya kutatua matatizo kama haya kwa kutumia mbinu nne tofauti.

Kutatua equations Quadratic kwa factoring
Equation iliyo na polynomial ya shahada ya pili inaitwa equation quadratic. Kwa mfano, equations kama vile2x2+3x−1=0 nax2−4=0 ni equations quadratic. Wao hutumiwa kwa njia nyingi katika nyanja za uhandisi, usanifu, fedha, sayansi ya kibaiolojia, na, bila shaka, hisabati.
Mara nyingi njia rahisi ya kutatua equation quadratic ni factoring. Factoring inamaanisha kutafuta maneno ambayo yanaweza kuzidishwa pamoja ili kutoa usemi upande mmoja wa equation.
Ikiwa equation ya quadratic inaweza kuhesabiwa, imeandikwa kama bidhaa ya maneno ya mstari. Kutatua kwa kuzingatia inategemea mali ya sifuri, ambayo inasema kwamba ikiwaa⋅b=0, basia=0 aub=0, ambapo a na b ni namba halisi au maneno ya algebraic. Kwa maneno mengine, kama bidhaa ya namba mbili au maneno mawili ni sawa na sifuri, basi moja ya namba au moja ya maneno lazima sawa sifuri kwa sababu sifuri kuongezeka kwa kitu chochote sawa na sifuri.
Kuzidisha sababu huongeza equation kwa kamba ya maneno yaliyotengwa na ishara pamoja au ndogo. Kwa hiyo, kwa maana hiyo, uendeshaji wa kuzidisha hupunguza uendeshaji wa factoring. Kwa mfano, kupanua kujieleza(x−2)(x+3) kwa kuzidisha mambo mawili pamoja.
(x−2)(x+3)=x2+3x−2x−6=x2+x−6
Bidhaa ni kujieleza kwa quadratic. Kuweka sawa na sifuri,x2+x−6=0 ni equation quadratic. Kama tulikuwa na sababu equation, tunataka kupata nyuma sababu sisi tele.
Mchakato wa kuzingatia equation ya quadratic inategemea mgawo wa kuongoza, iwe ni1 au integer nyingine. Tutaangalia hali zote mbili; lakini kwanza, tunataka kuthibitisha kwamba equation imeandikwa katika hali ya kawaidaax2+bx+c=0, ambapoa,b, nac ni idadi halisi, naa≠0. Equationx2+x−6=0 iko katika fomu ya kawaida.
Tunaweza kutumia mali sifuri-bidhaa kutatua equations quadratic ambayo sisi kwanza kuwa na sababu nje kubwa ya kawaida sababu (GCF), na kwa equations kwamba kuwa maalum factoring formula pia, kama vile tofauti ya mraba, wote ambao tutaona baadaye katika sehemu hii.
Zero-bidhaa mali inasema
Ikiwaa⋅b=0, basia=0 aub=0,
wapia nab ni namba halisi au maneno ya algebraic.
Equation quadratic ni equation iliyo na polynomial ya shahada ya pili; kwa mfano
ax2+bx+c=0
ambapoa,b, nac ni idadi halisi, na kamaa≠0, ni katika hali ya kiwango.
Kutatua Quadratics na mgawo wa Uongozi wa1
Katika equation quadraticx2+x−6=0, mgawo wa kuongoza, au mgawo wax2, ni1. Tuna njia moja ya kuzingatia equations quadratic katika fomu hii.
- Kupata namba mbili ambazo bidhaa ni sawac na ambao jumla ni sawab.
- Tumia namba hizo kuandika mambo mawili ya fomu(x+k) au(x−k), ambapo k ni moja ya namba zilizopatikana katika hatua ya 1. Tumia namba hasa kama ilivyo. Kwa maneno mengine, kama namba mbili ni1 na−2, sababu ni(x+1)(x−2).
- Tatua kutumia mali ya sifuri kwa kuweka kila sababu sawa na sifuri na kutatua kwa kutofautiana.
Sababu na kutatua equation:x2+x−6=0.
Suluhisho
Kwa sababux2+x−6=0, tunatafuta namba mbili ambazo bidhaa zinalingana−6 na ambazo jumla yake ni sawa1. Anza kwa kuangalia mambo ya uwezekano wa−6.
1⋅(−6)
(−6)⋅1
2⋅(−3)
3⋅(−2)
jozi ya mwisho3⋅(−2), jumla kwa1, hivyo hizi ni idadi. Kumbuka kwamba jozi moja tu ya namba itafanya kazi. Kisha, andika mambo.
(x−2)(x+3)=0
Ili kutatua equation hii, tunatumia mali ya sifuri. Weka kila sababu sawa na sifuri na kutatua.
(x−2)(x+3)=0(x−2)=0x=2(x+3)=0x=−3
Ufumbuzi mbili ni2 na−3. Tunaweza kuona jinsi ufumbuzi unahusiana na grafu katika Kielelezo2.6.2. Ufumbuzi ni x-intercepts yax2+x−6=0.

Sababu na kutatua equation quadratic:x2−5x−6=0.
- Jibu
-
(x−6)(x+1)=0,x=6,x=−1
Kutatua equation quadratic kwa factoring:x2+8x+15=0.
Suluhisho
Kupata namba mbili ambazo bidhaa ni sawa15 na ambao jumla ni sawa8. Orodha ya mambo ya15.
1⋅15
3⋅5
(−1)⋅(−15)
(−3)⋅(−5)
Nambari zinazoongeza8 ni3 na5. Kisha, weka mambo, weka kila jambo sawa na sifuri, na usuluhishe.
(x+3)(x+5)=0(x+3)=0x=−3(x+5)=0x=−5
Ufumbuzi ni−3 na−5.
Kutatua equation quadratic kwa factoring:x2−4x−21=0.
- Jibu
-
(x−7)(x+3)=0,x=7,x=−3
Kutatua tofauti ya mraba equation kutumia mali sifuri-bidhaa:x2−9=0.
Suluhisho
Kutambua kwamba equation inawakilisha tofauti ya mraba, tunaweza kuandika mambo mawili kwa kuchukua mizizi ya mraba ya kila neno, kwa kutumia ishara minus kama operator katika sababu moja na ishara pamoja kama operator katika nyingine. Tatua kutumia mali ya sifuri.
x2−9=0(x−3)(x+3)=0x−3=0x=3(x+3)=0x=−3
Ufumbuzi ni3 na−3.
Kutatua kwa factoring:x2−25=0.
- Jibu
-
(x+5)(x−5)=0,x=−5,x=5
Kuzingatia na Kutatua Equation ya Quadratic ya Amri ya Juu
Wakati mgawo wa kuongoza sio1, tunazingatia equation ya quadratic kwa kutumia njia inayoitwa kikundi, ambayo inahitaji maneno manne.
Kwa usawa katika fomu ya kawaida, hebu tupate taratibu za makundi
- Kwa quadratic katika fomu ya kawaida,ax2+bx+c=0, kuzidishaa⋅c.
- Pata namba mbili ambazo bidhaa ni sawa na ac na ambao jumla ni sawab.
- Andika upya equation kuchukua nafasi yabx muda na maneno mawili kwa kutumia namba kupatikana katika hatua1 kama coefficients yax.
- Fanya masharti mawili ya kwanza na kisha ueleze masharti mawili ya mwisho. Maneno katika mabano yanapaswa kuwa sawa na kutumia kikundi.
- Fanya nje ya maneno katika mabano.
- Weka maneno sawa na sifuri na kutatua kwa kutofautiana.
Tumia kikundi kwa sababu na kutatua equation quadratic:4x2+15x+9=0.
Suluhisho
Kwanza, ongezeac:4(9)=36. Kisha orodha ya mambo ya36.
1⋅36
2⋅18
3⋅12
4⋅9
6⋅6
jozi tu ya mambo ambayo ni kiasi kwa15 ni3+12. Andika upya equation kuondoa b mrefu,15x, na maneno mawili kutumia3 na12 kama coefficients yax. Fanya masharti mawili ya kwanza, na kisha ueleze masharti mawili ya mwisho.
4x2+3x+12x+9=0x(4x+3)+3(4x+3)=0(4x+3)(x+3)=0Solve using the zero-product property(4x+3)=3x=−34(x+3)=0x=−3
Ufumbuzi ni−34, na−3. Angalia Kielelezo2.6.3.

Tatua kutumia factoring kwa kikundi:12x2+11x+2=0.
- Jibu
-
(3x+2)(4x+1)=0,x=−23,x=−14
Kutatua equation kwa factoring:−3x3−5x2−2x=0.
Suluhisho
Equation hii haionekani kama quadratic, kama nguvu ya juu ni3, si2. Kumbuka kwamba jambo la kwanza tunataka kufanya wakati kutatua equation yoyote ni sababu nje GCF, kama moja ipo. Na inafanya hapa. Tunaweza kuzingatia−x kutoka kwa maneno yote na kisha kuendelea na kikundi.
\ [kuanza {align*}
-3x ^ 3-5x ^ 2-2x&= 0\\
-x (3x ^ 2+5x+2) &= 0\\
-x (3x ^ 2+3x+2x+2) &= 0\ qquad\ maandishi {Matumizi kikundi juu ya kujieleza katika mabano}\\
-x [3x (x+1) +2 (x+1)] &= 0\\
-x (3x+2) (x+1) &= 0\\
\ maandishi {Sasa, tunatumia mali sifuri-bidhaa. Angalia kwamba tuna mambo matatu.} \\
-x&= 0\\
x&= 0\\
3x+2&= 0\\
x&= -\ dfrac {2} {3}\\
x+1&= 0\\
x&= -1
\\ mwisho {align*}\]
Ufumbuzi ni0,−23, na−1.
Kutatua kwa factoring:x3+11x2+10x=0.
- Jibu
-
x=0,x=−10,x=−1
Kutumia Mali ya Mizizi ya Mraba
Wakati hakuna neno linear katika equation, njia nyingine ya kutatua equation quadratic ni kwa kutumia mali ya mizizi ya mraba, ambayo sisi kutenganishax2 mrefu na kuchukua mizizi mraba wa idadi upande wa pili wa ishara sawa. Kumbuka kwamba wakati mwingine tunaweza kuwa na kuendesha equation kujitengax2 mrefu ili mali mizizi mraba inaweza kutumika.
Kwax2 neno pekee, mali ya mizizi ya mraba inasema kwamba:
wapik nambari halisi ya nonzero.
- Suluax2 neno kwa upande mmoja wa ishara sawa.
- Kuchukua mizizi ya mraba ya pande zote mbili za equation, kuweka± ishara kabla ya kujieleza upande kinyume na muda wa mraba.
- Kurahisisha idadi upande na± ishara.
Tatua quadratic kutumia mali ya mizizi ya mraba:x2=8.
Suluhisho
Kuchukua mizizi ya mraba ya pande zote mbili, na kisha urahisishe radical. Kumbuka kutumia± ishara kabla ya ishara kali.
x2=8x=±√8=±2√2
Ufumbuzi ni2√2,−2√2
Tatua equation ya quadratic:4x2+1=7.
Suluhisho
Kwanza, jitengax2 neno. Kisha kuchukua mizizi ya mraba ya pande zote mbili.
4x2+1=74x2=6x2=64x=±√62
Ufumbuzi ni√62, na−√62.
Tatua equation ya quadratic kwa kutumia mali ya mizizi ya mraba:3(x−4)2=15.
- Jibu
-
x=4±√5
Kukamilisha Square
Sio equations zote za quadratic zinaweza kuzingatiwa au zinaweza kutatuliwa katika fomu yao ya awali kwa kutumia mali ya mizizi ya mraba. Katika kesi hizi, tunaweza kutumia njia ya kutatua equation quadratic inayojulikana kama kukamilisha mraba. Kutumia njia hii, tunaongeza au kuondoa maneno kwa pande zote mbili za equation mpaka tuwe na trinomial mraba kamili upande mmoja wa ishara sawa. Kisha tunatumia mali ya mizizi ya mraba. Ili kukamilisha mraba, mgawo wa kuongozaa, lazima iwe sawa1. Ikiwa haifai, basi ugawanye equation nzima naa. Kisha, tunaweza kutumia taratibu zifuatazo kutatua equation quadratic kwa kukamilisha mraba.
Tutatumia mfanox2+4x+1=0 kuonyesha kila hatua.
Kutokana na equation quadratic ambayo haiwezi kuhesabiwa, na kwaa=1, first add or subtract the constant term to the right sign of the equal sign.
\ [kuanza {align*}
x ^ 2+4x+1&= 0\\
x ^ 2+4x&= -1\ qquad\ maandishi {Kuzidisha b}\ maandishi {neno kwa}\ dfrac {1} {2}\ maandishi {na mraba yake.} \
\ dfrac {1} {2} (4) &= 2\\ 2
^2&= 4\ qquad\ maandishi {Ongeza}\ kushoto ({\ dfrac {1} {2}}\ haki) ^2\ maandishi {kwa pande zote mbili za ishara sawa na kurahisisha upande wa kulia. Tuna}\\
x ^ 2+4x+4&= -1+4\\
x ^ 2+4x+4&= 3\ qquad\ Nakala {Upande wa kushoto wa equation sasa unaweza kuhesabiwa kama mraba kamilifu.} \\
{(x+2)} ^2&=3\
\ sqrt {{(x+2)} ^2} &=\ pm\ sqrt {3}\ qquad\ maandishi {Tumia mali ya mizizi ya mraba na kutatua.} \
\ sqrt {{(x+2)} ^2} &=\ pm\ sqrt {3}\
x+2&=\ pm\ sqrt {3}\
x&= -2\ pm\ sqrt {3}
\ mwisho {align*}\]
Ufumbuzi ni−2+√3, na−2−√3.
Tatua equation quadratic kwa kukamilisha mraba:x2−3x−5=0.
Suluhisho
Kwanza, fanya muda wa mara kwa mara upande wa kulia wa ishara sawa.
\ [kuanza {align*}
x ^ 2-3x&= 5\ qquad\ maandishi {Kisha, chukua}\ dfrac {1} {2}\ maandishi {ya b mrefu na mraba yake.} \
\ dfrac {1} {2} (-3) &= -\ dfrac {3} {2}\\
{kushoto (-\ dfrac {3} {2}\ haki)} ^2=\ dfrac {9} {4}\
x ^ 2-3x+ {kushoto (-\ dfrac {3} {2}\ haki)} ^2&= 5+ {\ kushoto (-\ dfrac {3} {2}\ kulia)} ^2\ qquad\ maandishi {Ongeza matokeo kwa pande zote mbili za ishara sawa.} \\
x^2-3x+\ dfrac {9} {4} &= 5+\ dfrac {9} {4}\
\ Nakala {Fanya upande wa kushoto kama mraba kamilifu na kurahisisha upande wa kulia.} \\
{kushoto (x-\ dfrac {3} {2}\ haki)} ^2&=\ dfrac {29} {4}\\
(x-\ dfrac {3} {2}) &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {29}} {2}\ qquad\ maandishi {Tumia mali ya mizizi ya mraba na kutatua.} \\
x&=\ dfrac {3} {2}\ pm\ dfrac {\ sqrt {29}} {2}\
\ mwisho {align*}\]
Ufumbuzi ni32+√292, na32−√292
Tatua kwa kukamilisha mraba:x2−6x=13.
- Jibu
-
x=3±√22
Kutumia Mfumo wa Quadratic
Njia ya nne ya kutatua equation ya quadratic ni kwa kutumia formula ya quadratic, formula ambayo itasuluhisha equations zote za quadratic. Ingawa formula ya quadratic inafanya kazi kwenye equation yoyote ya quadratic katika fomu ya kawaida, ni rahisi kufanya makosa katika kubadilisha maadili katika formula. Jihadharini sana wakati wa kubadilisha, na utumie mabano wakati wa kuingiza namba hasi.
Tunaweza kupata formula ya quadratic kwa kukamilisha mraba. Sisi kudhani kwamba mgawo wa kuongoza ni chanya; kama ni hasi, tunaweza kuzidisha equation−1 na kupata chanya. kutokanaax2+bx+c=0,a≠0, sisi kukamilisha mraba kama ifuatavyo:
Kwanza, fanya muda wa mara kwa mara upande wa kulia wa ishara sawa:
ax2+bx=−c
Kama tunataka mgawo wa kuongoza kuwa sawa1, ugawanye kupitia kwaa:
x2+bax=−ca
Kisha,12 tafuta muda wa kati, na(12ba)2=b24a2 uongeze pande zote mbili za ishara sawa:
x2+bax+b24a2=b24a2−ca
Kisha, weka upande wa kushoto kama mraba kamilifu. Pata denominator ya kawaida ya upande wa kulia na uandike kama sehemu moja:
(x+b2a)2=b2−4ac4a2
Sasa, kutumia mizizi ya mraba mali, ambayo inatoa
x+b2a=±√b2−4ac4a2
x+b2a=±√b2−4ac2a
Hatimaye,−b2a kuongeza pande zote mbili za equation na kuchanganya maneno upande wa kulia. Hivyo,
x=−b±√b2−4ac2a
Imeandikwa kwa fomu ya kawaida,ax2+bx+c=0, equation yoyote ya quadratic inaweza kutatuliwa kwa kutumia formula quadratic:
x=−b±√b2−4ac2aambapoa,b, nac ni idadi halisi naa≠0.
Kutokana na equation quadratic, kutatua kwa kutumia formula quadratic
- Hakikisha equation iko katika hali ya kawaida:ax2+bx+c=0.
- Tambua maadili ya coefficients na muda wa mara kwa mara,a,b, nac.
- Makini badala ya maadili alibainisha katika hatua ya 2 katika equation. Ili kuepuka makosa yasiyo na maana, tumia mabano karibu na kila pembejeo ya namba kwenye fomu.
- Tumia na kutatua.
Tatua equation ya quadratic:x2+5x+1=0.
Suluhisho
Tambua coefficients:a=1,b=5,c=1. Kisha tumia formula ya quadratic.
x=−(5)±√(5)2−4(1)(1)2(1)=−5±√25−42=−5±√212
Tumia formula ya quadratic kutatuax2+x+2=0.
Suluhisho
Kwanza, tunatambua coefficients:a=1,b=1, nac=2.
Weka maadili haya katika formula ya quadratic.
x=−b±√b2−4ac2a=−(1)±√(1)2−4(1)(2)2(1)=−1±√1−82=−1±√−72=−1±i√72
Tatua equation ya quadratic kwa kutumia formula ya quadratic:9x2+3x−2=0.
- Jibu
-
x=−23,x=13
Wabaguzi
Fomu ya quadratic sio tu inazalisha ufumbuzi wa equation ya quadratic, inatuambia kuhusu hali ya ufumbuzi wakati tunazingatia ubaguzi, au maneno chini ya radical,b2−4ac. Mbaguzi hutuambia kama ufumbuzi ni namba halisi au namba ngumu, na ni ufumbuzi wangapi wa kila aina ya kutarajia. Jedwali2.6.1 linahusiana na thamani ya wabaguzi kwa ufumbuzi wa equation quadratic.
Thamani ya Ubaguzi | Matokeo |
---|---|
b2−4ac=0 | Suluhisho moja la busara (ufumbuzi mara mbili) |
b2−4ac>0, mraba kamili | Ufumbuzi mbili wa busara |
b2−4ac>0, si mraba kamili | Mbili ufumbuzi irrational |
b2−4ac<0 | Ufumbuzi mbili tata |
Kwaax2+bx+c=0, wapiab, nac ni namba halisi, ubaguzi ni usemi chini ya radical katika formula quadratic:b2−4ac. Inatuambia kama ufumbuzi ni namba halisi au namba ngumu na jinsi ufumbuzi wengi wa kila aina ya kutarajia.
Tumia ubaguzi ili kupata asili ya ufumbuzi wa equations zifuatazo za quadratic:
- x2+4x+4=0
- 8x2+14x+3=0
- 3x2−5x−2=0
- 3x2−10x+15=0
Suluhisho
Tumia mabaguzib2−4ac kwa kila equation na ueleze aina inayotarajiwa ya ufumbuzi.
a.
x2+4x+4=0
b2−4ac=(4)2−4(1)(4)=0Kutakuwa na suluhisho moja la busara mara mbili.
b.
8x2+14x+3=0
b2−4ac=(14)2−4(8)(3)=100Kama100 ni mraba kamili, kutakuwa na ufumbuzi wa busara mbili.
c.
3x2−5x−2=0
b2−4ac=(−5)2−4(3)(−2)=49Kama49 ni mraba kamili, kutakuwa na ufumbuzi wa busara mbili.
d.
3x2−10x+15=0
b2−4ac=(−10)2−4(3)(15)=−80Kutakuwa na ufumbuzi wawili tata.
Kutumia Theorem ya Pythagorean
Moja ya formula maarufu zaidi katika hisabati ni Theorem ya Pythagorean. Inategemea pembetatu ya kulia, na inasema uhusiano kati ya urefu wa pande kamaa2+b2=c2, wapia nab kutaja miguu ya pembetatu ya kulia karibu na90° angle, nac inahusu hypotenuse. Ina matumizi yasiyopimika katika usanifu, uhandisi, sayansi, jiometri, trigonometry, na algebra, na katika maombi ya kila siku.
Tunatumia Theorem ya Pythagorean kutatua kwa urefu wa upande mmoja wa pembetatu wakati tuna urefu wa wengine wawili. Kwa sababu kila moja ya maneno ni mraba katika theorem, wakati sisi ni kutatua kwa upande wa pembetatu, tuna equation quadratic. Tunaweza kutumia mbinu za kutatua equations quadratic ambayo tulijifunza katika sehemu hii kutatua kwa upande kukosa.
Theorem ya Pythagorean inapewa kama
a2+b2=c2
wapia nab rejea miguu ya pembetatu ya kulia karibu na90° angle, nac inahusu hypotenuse, kama inavyoonekana.

Pata urefu wa upande usiopotea wa pembetatu sahihi katika Kielelezo2.6.5.

Suluhisho
Kama tuna vipimo kwa upandeb na hypotenuse, upande wa kukosa nia.
a2+b2=c2a2+(4)2=(12)2a2+16=144a2=128a=√128=8√2
Tumia Theorem ya Pythagorean kutatua tatizo la pembetatu sahihi: Mguu hatua 4 vitengo, mguu b hatua 3 vitengo. Pata urefu wa hypotenuse.
- Jibu
-
5vitengo
Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na usawa wa quadratic.
- Kutatua equations Quadratic kwa factoring
- Zero-Bidhaa Mali
- Kukamilisha Square
- Mfumo wa Quadratic na Suluhisho mbili za busara
- Urefu wa mguu wa pembetatu ya kulia
Mlinganyo muhimu
formula ya quadratic | x=−b±√b2−4ac2a |
Dhana muhimu
- Wengi equations quadratic inaweza kutatuliwa kwa factoring wakati equation ina mgawo wa kuongoza wa1 au kama equation ni tofauti ya mraba. Mali ya sifuri hutumiwa kutafuta ufumbuzi. Angalia Mfano, Mfano, na Mfano.
- Equations nyingi za quadratic na mgawo wa kuongoza zaidi ya1 inaweza kutatuliwa kwa kuzingatia kutumia njia ya kikundi. Angalia Mfano na Mfano.
- Njia nyingine ya kutatua quadratics ni mali ya mizizi ya mraba. Tofauti ni mraba. Tunajitenga muda wa mraba na kuchukua mizizi ya mraba ya pande zote mbili za equation. Suluhisho litazalisha suluhisho chanya na hasi. Angalia Mfano na Mfano.
- Kukamilisha mraba ni njia ya kutatua equations quadratic wakati equation haiwezi kuhesabiwa. Angalia Mfano.
- Njia yenye kutegemewa sana ya kutatua equations quadratic ni formula ya quadratic, kulingana na coefficients na muda wa mara kwa mara katika equation. Angalia Mfano.
- Ubaguzi hutumiwa kuonyesha asili ya mizizi ambayo equation ya quadratic itazaa: halisi au ngumu, busara au isiyo ya maana, na ni wangapi kila mmoja. Angalia Mfano.
- Theorem ya Pythagorean, kati ya theorems maarufu zaidi katika historia, hutumiwa kutatua matatizo ya pembetatu ya kulia na ina maombi katika maeneo mengi. Kutatua kwa urefu wa upande mmoja wa pembetatu sahihi inahitaji kutatua equation quadratic. Angalia Mfano.