12.R: Utangulizi wa Calculus (Tathmini)
12.1: Kupata Mipaka - Njia za Nambari na za kielelezo
Kwa mazoezi 1-6, tumia Kielelezo hapa chini.
1)limx→−1+f(x)
- Jibu
-
2
2)limx→−1−f(x)
3)limx→−1f(x)
- Jibu
-
haipo
4)limx→3f(x)
5) Ni maadili gani yax kazi ya kuacha? Ni hali gani ya kuendelea inavunjwa?
- Jibu
-
Discontinuous katikax=−1(limx→af(x) does not exist)x=3( jump discontinuity),, nax=7(limx→af(x) does not exist).
6) Kutumia Jedwali hapa chini, makadiriolimx→0f(x).
x | F(x) |
---|---|
\ (x\) "> -0.1 | \ (F (x)\) "> 2.875 |
\ (x\) ">-0.01 | \ (F (x)\) "> 2.92 |
\ (x\) "> -0.001 | \ (F (x)\) "> 2.998 |
\ (x\) "> 0 | \ (F (x)\) "> Haijafafanuliwa |
\ (x\) ">0.001 | \ (F (x)\) "> 2.9987 |
\ (x\) ">0.01 | \ (F (x)\) "> 2.865 |
\ (x\) "> 0.1 | \ (F (x)\) "> 2.78145 |
\ (x\) ">0.15 | \ (F (x)\) "> 2.678 |
- Jibu
-
3
Kwa mazoezi 7-9, pamoja na matumizi ya matumizi ya graphing, tumia ushahidi wa namba au wa kielelezo ili kuamua mipaka ya kushoto na ya kulia ya kazi iliyotolewa kamax mbinua. Kama kazi ina kikomo kamax mbinua, hali yake. Ikiwa sio, jadili kwa nini hakuna kikomo.
7)f(x)={|x|−1 if x≠1x3 if x=1a=1
8)f(x)={1x+1 if x=−2(x+1)2 if x≠−2a=−2
- Jibu
-
limx→−2f(x)=1
9)f(x)={√x+3 if x<1−3√x if x>1a=1
12.2: Kupata Mipaka - Mali ya Mipaka
Kwa mazoezi 1-6, pata mipaka ikiwalimx→cf(x)=−3 nalimx→cg(x)=5.
1)limx→c(f(x)+g(x))
- Jibu
-
2
2)limx→cf(x)g(x)
3)limx→c(f(x)⋅g(x))
- Jibu
-
−15
4)limx→0+f(x),f(x)={3x2+2x+1x>05x+3x<0
5)limx→0−f(x),f(x)={3x2+2x+1x>05x+3x<0
- Jibu
-
3
6)limx→3+(3x−〚x〛)
Kwa mazoezi 7-11, tathmini mipaka kwa kutumia mbinu za algebraic.
7)limh→0((h+6)2−36h)
- Jibu
-
12
8)limx→25(x2−625√x−5)
9)limx→1(−x2−9xx)
- Jibu
-
−10
10)limx→4(7−√12x+1x−4)
11)limx→3(13+1x3+x)
- Jibu
-
−19
12.3: Mwendelezo
Kwa mazoezi 1-5, tumia ushahidi wa namba ili uone kama kikomo kipox=a. Ikiwa sio, kuelezea tabia ya grafu ya kazix=a.
1)f(x)=−2x−4;a=4
2)f(x)=−2(x−4)2;a=4
- Jibu
-
Kwax=4, kazi ina asymptote ya wima.
3)f(x)=−xx2−x−6;a=3
4)f(x)=6x2+23x+204x2−25;a=−52
- Jibu
-
discontinuity kutolewa katikaa=−52
5)f(x)=√x−39−x;a=9
Kwa mazoezi 6-12, tambua wapi kazi iliyotolewaf(x) inaendelea. Ambapo sio kuendelea, hali ambayo hali inashindwa, na uainishe discontinuities yoyote.
6)f(x)=x2−2x−15
- Jibu
-
kuendelea(−∞,∞)
7)f(x)=x2−2x−15x−5
8)f(x)=x2−2xx2−4x+4
- Jibu
-
kutolewa discontinuity katikax=2. f(2)si defined, lakini mipaka zipo.
9)f(x)=x3−1252x2−12x+10
10)f(x)=x2−1x2−x
- Jibu
-
kukomesha saax=0 nax=2. Wotef(0) naf(2) si defined.
11)f(x)=x+2x2−3x−10
12)f(x)=x+2x3+8
- Jibu
-
kutolewa discontinuity katikax=−2. f(−2)si defined.
12.4: Derivatives
Kwa mazoezi 1-5, pata kiwango cha wastani cha mabadilikof(x)=f(x+h)−f(x)h.
1)f(x)=3x+2
2)f(x)=5
- Jibu
-
0
3)f(x)=1x+1
4)f(x)=ln(x)
- Jibu
-
f(x)=ln(x+h)−ln(x)h
5)f(x)=e2x
Kwa mazoezi 6-7, tafuta derivative ya kazi.
6)f(x)=4x−6
- Jibu
-
4
7)f(x)=5x2−3x
8) Pata usawa wa mstari wa tangent kwenye grafu yaf(x)x thamani iliyoonyeshwa. f(x)=−x3+4x;x=2
- Jibu
-
y=−8x+16
9) Kwa zoezi zifuatazo, kwa msaada wa matumizi ya graphing, kuelezea kwa nini kazi haijulikani kila mahali kwenye uwanja wake. Taja pointi ambapo kazi haijulikani. f(x)=x|x|
10) Kutokana na kwamba kiasi cha koni ya mviringo ya kulia niV=13πr2h na kwamba koni iliyotolewa ina urefu wa urefu wa9 cm na urefu wa radius ya kutofautiana, kupata kiwango cha instantaneous cha mabadiliko ya kiasi kuhusiana na urefu wa radius wakati radius ni2 cm. Kutoa jibu halisi katika suala laπ.
- Jibu
-
12\pi
Mazoezi mtihani
Kwa mazoezi 1-6, tumia grafu yaf kwenye Kielelezo hapa chini.
1)f(1)
- Jibu
-
3
2)\lim \limits_{x \to -1^+} f(x)
3)\lim \limits_{x \to -1^-} f(x)
- Jibu
-
0
4)\lim \limits_{x \to -1} f(x)
5)\lim \limits_{x \to -2} f(x)
- Jibu
-
-1
6) Ni maadili gani yaxf kuacha? Ni mali gani ya kuendelea inavunjwa?
7)f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{3}-3 & \text{ if } x\leq 2 \\ x^3+1 & \text{ if } x>2 \end{cases} a=2
- Jibu
-
\lim \limits_{x \to 2^-} f(x)=-\dfrac{5}{2}ana\lim \limits_{x \to 2^+} f(x)=9
Hivyo, kikomo cha kazi kamax mbinu2 haipo.
8)f(x)=\begin{cases} x^3+1 & \text{ if } x<1 \\ 3x^2-1 & \text{ if } x=1\; a=1 \\ -\sqrt{x+3}+4 & \text{ if } x>1 \end{cases}
Kwa mazoezi 9-11, tathmini kila kikomo kwa kutumia mbinu za algebraic.
9)\lim \limits_{x \to -5} \left ( \dfrac{\frac{1}{5}+\frac{1}{x}}{10+2x} \right )
- Jibu
-
-\dfrac{1}{50}
10)\lim \limits_{h \to 0} \left ( \dfrac{\sqrt{h^2+25}-5}{h^2} \right )
11)\lim \limits_{h \to 0} \left ( \dfrac{1}{h}-\dfrac{1}{h^2+h} \right )
- Jibu
-
1
Kwa mazoezi 12-13, onyesha kama kazi iliyopewaf inaendelea. Ikiwa inaendelea, onyesha kwa nini. Ikiwa haiendelei, hali ambayo hali inashindwa.
12)f(x)=\sqrt{x^2-4}
13)f(x)=\dfrac{x^3-4x^2-9x+36}{x^3-3x^2+2x-6}
- Jibu
-
discontinuity kutolewa katikax=3
Kwa mazoezi 14-16, tumia ufafanuzi wa derivative ili kupata derivative ya kazi iliyotolewax=a.
14)f(x)=\dfrac{3}{5+2x}
15)f(x)=\dfrac{3}{\sqrt{x}}
- Jibu
-
f'(x)=-\dfrac{3}{2a^{\frac{3}{2}}}
16)f(x)=2x^2+9x
17) Kwa grafu katika Kielelezo hapa chini, onyesha ambapo kazi inaendelea/kuacha na kutofautishwa/haijulikani.
- Jibu
-
discontinuous katika-2,0, si differentiable katika-2,0, 2.
Kwa mazoezi 18-19, kwa msaada wa matumizi ya graphing, kuelezea kwa nini kazi haijulikani kila mahali kwenye uwanja wake. Taja pointi ambapo kazi haijulikani.
18)f(x)=\left | x-2 \right | - \left | x+2 \right |
19)f(x)=\dfrac{2}{1+e^{\frac{2}{x}}}
- Jibu
-
si differentiable katikax=0 (hakuna kikomo)
Kwa mazoezi 20-24, kueleza notation kwa maneno wakati urefu wa projectile kwa miguus, ni kazi ya mudat katika sekunde baada ya uzinduzi na hutolewa na kazis(t).
20)s(0)
21)s(2)
- Jibu
-
urefu wa projectile kwat=2 sekunde
22)s'(2)
23)\dfrac{s(2)-s(1)}{2-1}
- Jibu
-
kasi ya wastani kutokat=1 kwat=2
24)s(t)=0
Kwa mazoezi 25-28, tumia teknolojia ili kutathmini kikomo.
25)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\sin (x)}{3x}
- Jibu
-
\dfrac{1}{3}
26)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\tan ^2(x)}{2x}
27)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\sin (x)(1-\cos (x))}{2x^2}
- Jibu
-
0
28) Tathmini kikomo kwa mkono.
\lim \limits_{x \to 1}f(x), \text{ where } f(x)=\begin{cases} 4x-7 & x\neq 1 \\ x^2-4 & x= 1 \end{cases} \nonumber
Kwa thamani gani (s) yax ni kazi chini ya kuacha?
f(x)=\begin{cases} 4x-7 & x\neq 1 \\ x^2-4 & x= 1 \end{cases} \nonumber
Kwa mazoezi 29-32, fikiria kazi ambayo grafu inaonekana kwenye Kielelezo.
29) Kupata kiwango cha wastani wa mabadiliko ya kazi kutokax=1 kwax=3.
- Jibu
-
2
30) Kupata maadili yote yax saa ambayof'(x)=0.
- Jibu
-
x=1
31) Pata maadili yote ambayof'(x) haipo.x
32) Pata usawa wa mstari wa tangent kwenye grafuf ya hatua iliyoonyeshwa:f(x)=3x^2-2x-6,\; x=-2
- Jibu
-
y=-14x-18
Kwa mazoezi 33-34, tumia kazif(x)=x(1-x)^{\frac{2}{5}}
33) Graph kazif(x)=x(1-x)^{\tfrac{2}{5}} kwa kuingiaf(x)=x\left ((1-x)^2 \right )^{\tfrac{1}{5}} na kisha kwa kuingiaf(x)=x\left ((1-x)^{\tfrac{1}{5}} \right )^2.
34) Kuchunguza tabia ya grafu yaf(x) karibux=1 na kuchora kazi kwenye nyanja zifuatazo,[0.9, 1.1], [0.99, 1.01], [0.999, 1.001], na[0.9999, 1.0001]. Tumia habari hii ili kuamua kama kazi inaonekana kuwa tofauti katikax=1.
- Jibu
-
Grafu haipatikani katikax=1 (cusp).
Kwa mazoezi 35-42, tafuta derivative ya kila kazi kwa kutumia ufafanuzi: \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
35)f(x)=2x-8
36)f(x)=4x^2-7
- Jibu
-
f'(x)=8x
37)f(x)=x-\dfrac{1}{2}x^2
38)f(x)=\dfrac{1}{x+2}
- Jibu
-
f'(x)=-\dfrac{1}{(2+x)^2}
39)f(x)=\dfrac{3}{x-1}
40)f(x)=-x^3+1
- Jibu
-
f'(x)=-3x^2
41)f(x)=x^2+x^3
42)f(x)=\sqrt{x-1}
- Jibu
-
f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}