Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GreekAndCoptic.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

12.R: Utangulizi wa Calculus (Tathmini)

12.1: Kupata Mipaka - Njia za Nambari na za kielelezo

Kwa mazoezi 1-6, tumia Kielelezo hapa chini.

R 12.1.1.png

1)limx1+f(x)

Jibu

2

2)limx1f(x)

3)limx1f(x)

Jibu

haipo

4)limx3f(x)

5) Ni maadili gani yax kazi ya kuacha? Ni hali gani ya kuendelea inavunjwa?

Jibu

Discontinuous katikax=1(limxaf(x) does not exist)x=3( jump discontinuity),, nax=7(limxaf(x) does not exist).

6) Kutumia Jedwali hapa chini, makadiriolimx0f(x).

x F(x)
\ (x\) "> -0.1 \ (F (x)\) "> 2.875
\ (x\) ">-0.01 \ (F (x)\) "> 2.92
\ (x\) "> -0.001 \ (F (x)\) "> 2.998
\ (x\) "> 0 \ (F (x)\) "> Haijafafanuliwa
\ (x\) ">0.001 \ (F (x)\) "> 2.9987
\ (x\) ">0.01 \ (F (x)\) "> 2.865
\ (x\) "> 0.1 \ (F (x)\) "> 2.78145
\ (x\) ">0.15 \ (F (x)\) "> 2.678
Jibu

3

Kwa mazoezi 7-9, pamoja na matumizi ya matumizi ya graphing, tumia ushahidi wa namba au wa kielelezo ili kuamua mipaka ya kushoto na ya kulia ya kazi iliyotolewa kamax mbinua. Kama kazi ina kikomo kamax mbinua, hali yake. Ikiwa sio, jadili kwa nini hakuna kikomo.

7)f(x)={|x|1 if x1x3 if x=1a=1

8)f(x)={1x+1 if x=2(x+1)2 if x2a=2

Jibu

limx2f(x)=1

9)f(x)={x+3 if x<13x if x>1a=1

12.2: Kupata Mipaka - Mali ya Mipaka

Kwa mazoezi 1-6, pata mipaka ikiwalimxcf(x)=3 nalimxcg(x)=5.

1)limxc(f(x)+g(x))

Jibu

2

2)limxcf(x)g(x)

3)limxc(f(x)g(x))

Jibu

15

4)limx0+f(x),f(x)={3x2+2x+1x>05x+3x<0

5)limx0f(x),f(x)={3x2+2x+1x>05x+3x<0

Jibu

3

6)limx3+(3xx)

Kwa mazoezi 7-11, tathmini mipaka kwa kutumia mbinu za algebraic.

7)limh0((h+6)236h)

Jibu

12

8)limx25(x2625x5)

9)limx1(x29xx)

Jibu

10

10)limx4(712x+1x4)

11)limx3(13+1x3+x)

Jibu

19

12.3: Mwendelezo

Kwa mazoezi 1-5, tumia ushahidi wa namba ili uone kama kikomo kipox=a. Ikiwa sio, kuelezea tabia ya grafu ya kazix=a.

1)f(x)=2x4;a=4

2)f(x)=2(x4)2;a=4

Jibu

Kwax=4, kazi ina asymptote ya wima.

3)f(x)=xx2x6;a=3

4)f(x)=6x2+23x+204x225;a=52

Jibu

discontinuity kutolewa katikaa=52

5)f(x)=x39x;a=9

Kwa mazoezi 6-12, tambua wapi kazi iliyotolewaf(x) inaendelea. Ambapo sio kuendelea, hali ambayo hali inashindwa, na uainishe discontinuities yoyote.

6)f(x)=x22x15

Jibu

kuendelea(,)

7)f(x)=x22x15x5

8)f(x)=x22xx24x+4

Jibu

kutolewa discontinuity katikax=2. f(2)si defined, lakini mipaka zipo.

9)f(x)=x31252x212x+10

10)f(x)=x21x2x

Jibu

kukomesha saax=0 nax=2. Wotef(0) naf(2) si defined.

11)f(x)=x+2x23x10

12)f(x)=x+2x3+8

Jibu

kutolewa discontinuity katikax=2. f(2)si defined.

12.4: Derivatives

Kwa mazoezi 1-5, pata kiwango cha wastani cha mabadilikof(x)=f(x+h)f(x)h.

1)f(x)=3x+2

2)f(x)=5

Jibu

0

3)f(x)=1x+1

4)f(x)=ln(x)

Jibu

f(x)=ln(x+h)ln(x)h

5)f(x)=e2x

Kwa mazoezi 6-7, tafuta derivative ya kazi.

6)f(x)=4x6

Jibu

4

7)f(x)=5x23x

8) Pata usawa wa mstari wa tangent kwenye grafu yaf(x)x thamani iliyoonyeshwa. f(x)=x3+4x;x=2

Jibu

y=8x+16

9) Kwa zoezi zifuatazo, kwa msaada wa matumizi ya graphing, kuelezea kwa nini kazi haijulikani kila mahali kwenye uwanja wake. Taja pointi ambapo kazi haijulikani. f(x)=x|x|

10) Kutokana na kwamba kiasi cha koni ya mviringo ya kulia niV=13πr2h na kwamba koni iliyotolewa ina urefu wa urefu wa9 cm na urefu wa radius ya kutofautiana, kupata kiwango cha instantaneous cha mabadiliko ya kiasi kuhusiana na urefu wa radius wakati radius ni2 cm. Kutoa jibu halisi katika suala laπ.

Jibu

12\pi

Mazoezi mtihani

Kwa mazoezi 1-6, tumia grafu yaf kwenye Kielelezo hapa chini.

R Practice.png

1)f(1)

Jibu

3

2)\lim \limits_{x \to -1^+} f(x)

3)\lim \limits_{x \to -1^-} f(x)

Jibu

0

4)\lim \limits_{x \to -1} f(x)

5)\lim \limits_{x \to -2} f(x)

Jibu

-1

6) Ni maadili gani yaxf kuacha? Ni mali gani ya kuendelea inavunjwa?

7)f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{3}-3 & \text{ if } x\leq 2 \\ x^3+1 & \text{ if } x>2 \end{cases} a=2

Jibu

\lim \limits_{x \to 2^-} f(x)=-\dfrac{5}{2}ana\lim \limits_{x \to 2^+} f(x)=9

Hivyo, kikomo cha kazi kamax mbinu2 haipo.

8)f(x)=\begin{cases} x^3+1 & \text{ if } x<1 \\ 3x^2-1 & \text{ if } x=1\; a=1 \\ -\sqrt{x+3}+4 & \text{ if } x>1 \end{cases}

Kwa mazoezi 9-11, tathmini kila kikomo kwa kutumia mbinu za algebraic.

9)\lim \limits_{x \to -5} \left ( \dfrac{\frac{1}{5}+\frac{1}{x}}{10+2x} \right )

Jibu

-\dfrac{1}{50}

10)\lim \limits_{h \to 0} \left ( \dfrac{\sqrt{h^2+25}-5}{h^2} \right )

11)\lim \limits_{h \to 0} \left ( \dfrac{1}{h}-\dfrac{1}{h^2+h} \right )

Jibu

1

Kwa mazoezi 12-13, onyesha kama kazi iliyopewaf inaendelea. Ikiwa inaendelea, onyesha kwa nini. Ikiwa haiendelei, hali ambayo hali inashindwa.

12)f(x)=\sqrt{x^2-4}

13)f(x)=\dfrac{x^3-4x^2-9x+36}{x^3-3x^2+2x-6}

Jibu

discontinuity kutolewa katikax=3

Kwa mazoezi 14-16, tumia ufafanuzi wa derivative ili kupata derivative ya kazi iliyotolewax=a.

14)f(x)=\dfrac{3}{5+2x}

15)f(x)=\dfrac{3}{\sqrt{x}}

Jibu

f'(x)=-\dfrac{3}{2a^{\frac{3}{2}}}

16)f(x)=2x^2+9x

17) Kwa grafu katika Kielelezo hapa chini, onyesha ambapo kazi inaendelea/kuacha na kutofautishwa/haijulikani.

R Mazoezi 17.png

Jibu

discontinuous katika-2,0, si differentiable katika-2,0, 2.

Kwa mazoezi 18-19, kwa msaada wa matumizi ya graphing, kuelezea kwa nini kazi haijulikani kila mahali kwenye uwanja wake. Taja pointi ambapo kazi haijulikani.

18)f(x)=\left | x-2 \right | - \left | x+2 \right |

19)f(x)=\dfrac{2}{1+e^{\frac{2}{x}}}

Jibu

si differentiable katikax=0 (hakuna kikomo)

Kwa mazoezi 20-24, kueleza notation kwa maneno wakati urefu wa projectile kwa miguus, ni kazi ya mudat katika sekunde baada ya uzinduzi na hutolewa na kazis(t).

20)s(0)

21)s(2)

Jibu

urefu wa projectile kwat=2 sekunde

22)s'(2)

23)\dfrac{s(2)-s(1)}{2-1}

Jibu

kasi ya wastani kutokat=1 kwat=2

24)s(t)=0

Kwa mazoezi 25-28, tumia teknolojia ili kutathmini kikomo.

25)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\sin (x)}{3x}

Jibu

\dfrac{1}{3}

26)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\tan ^2(x)}{2x}

27)\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\sin (x)(1-\cos (x))}{2x^2}

Jibu

0

28) Tathmini kikomo kwa mkono.

\lim \limits_{x \to 1}f(x), \text{ where } f(x)=\begin{cases} 4x-7 & x\neq 1 \\ x^2-4 & x= 1 \end{cases} \nonumber

Kwa thamani gani (s) yax ni kazi chini ya kuacha?

f(x)=\begin{cases} 4x-7 & x\neq 1 \\ x^2-4 & x= 1 \end{cases} \nonumber

Kwa mazoezi 29-32, fikiria kazi ambayo grafu inaonekana kwenye Kielelezo.

R Mazoezi 29-32.png

29) Kupata kiwango cha wastani wa mabadiliko ya kazi kutokax=1 kwax=3.

Jibu

2

30) Kupata maadili yote yax saa ambayof'(x)=0.

Jibu

x=1

31) Pata maadili yote ambayof'(x) haipo.x

32) Pata usawa wa mstari wa tangent kwenye grafuf ya hatua iliyoonyeshwa:f(x)=3x^2-2x-6,\; x=-2

Jibu

y=-14x-18

Kwa mazoezi 33-34, tumia kazif(x)=x(1-x)^{\frac{2}{5}}

33) Graph kazif(x)=x(1-x)^{\tfrac{2}{5}} kwa kuingiaf(x)=x\left ((1-x)^2 \right )^{\tfrac{1}{5}} na kisha kwa kuingiaf(x)=x\left ((1-x)^{\tfrac{1}{5}} \right )^2.

34) Kuchunguza tabia ya grafu yaf(x) karibux=1 na kuchora kazi kwenye nyanja zifuatazo,[0.9, 1.1], [0.99, 1.01], [0.999, 1.001], na[0.9999, 1.0001]. Tumia habari hii ili kuamua kama kazi inaonekana kuwa tofauti katikax=1.

Jibu

Grafu haipatikani katikax=1 (cusp).

Kwa mazoezi 35-42, tafuta derivative ya kila kazi kwa kutumia ufafanuzi: \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

35)f(x)=2x-8

36)f(x)=4x^2-7

Jibu

f'(x)=8x

37)f(x)=x-\dfrac{1}{2}x^2

38)f(x)=\dfrac{1}{x+2}

Jibu

f'(x)=-\dfrac{1}{(2+x)^2}

39)f(x)=\dfrac{3}{x-1}

40)f(x)=-x^3+1

Jibu

f'(x)=-3x^2

41)f(x)=x^2+x^3

42)f(x)=\sqrt{x-1}

Jibu

f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}

Wachangiaji na Majina