Skip to main content
Global

10.4: Kulinganisha Idadi ya Watu wa Independent mbili

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    181208

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Wakati wa kufanya mtihani wa hypothesis unaolinganisha idadi mbili za kujitegemea za idadi ya watu, sifa zifuatazo zinapaswa kuwepo:

    1. Sampuli mbili za kujitegemea ni sampuli rahisi za random ambazo zinajitegemea.
    2. Idadi ya mafanikio ni angalau tano, na idadi ya kushindwa ni angalau tano, kwa kila sampuli.
    3. Kuongezeka kwa maandiko inasema kwamba idadi ya watu lazima iwe angalau kumi au mara 20 ukubwa wa sampuli. Hii inaweka kila idadi ya watu kutoka kuwa sampuli zaidi na kusababisha matokeo yasiyo sahihi.

    Kulinganisha idadi mbili, kama kulinganisha njia mbili, ni kawaida. Kama idadi mbili inakadiriwa ni tofauti, inaweza kuwa kutokana na tofauti katika idadi ya watu au inaweza kuwa kutokana na nafasi. Mtihani wa hypothesis unaweza kusaidia kuamua kama tofauti katika idadi ya makadirio inaonyesha tofauti katika idadi ya watu.

    Tofauti ya idadi mbili ifuatavyo usambazaji wa kawaida wa wastani. Kwa ujumla, hypothesis null inasema kwamba idadi mbili ni sawa. Hiyo ni,\(H_{0}: p_{A} = p_{B}\). Ili kufanya mtihani, tunatumia uwiano uliounganishwa,\(p_{c}\).

    Uwiano wa pamoja umehesabiwa kama ifuatavyo:

    \[p_{c} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{n_{A} + n_{B}}\]

    Usambazaji wa tofauti ni:

    \[P\_{A} - P'_{b} N\left[0, \sqrt{p_{c}(1 - p_{c})\left(\dfrac{1}{n_{A}} + \dfrac{1}{n_{B}}\right)}\right]\]

    Takwimu za mtihani (z -score) ni:

    \[z = \dfrac{(p'_{A} - p'_{B}) - (p_{A} - p_{B})}{\sqrt{p_{c}(1 - p_{c})\left(\dfrac{1}{n_{A}} + \dfrac{1}{n_{B}}\right)}}\]

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Aina mbili za dawa za mizinga zinajaribiwa ili kuamua ikiwa kuna tofauti katika uwiano wa athari za mgonjwa wazima. Ishirini nje ya sampuli random ya watu 200 watu wazima kupewa dawa A bado alikuwa na mizinga 30 dakika baada ya kuchukua dawa. Kumi na mbili kati ya sampuli nyingine random ya watu 200 wazima kupewa dawa B bado alikuwa na mizinga 30 dakika baada ya kuchukua dawa. Mtihani kwa kiwango cha 1% cha umuhimu.

    Jibu

    Tatizo linauliza tofauti kwa uwiano, na kuifanya mtihani wa idadi mbili.

    Hebu\(A\) na\(B\) uwe na usajili wa dawa A na dawa B, kwa mtiririko huo. Kisha\(p_{A}\) na\(p_{B}\) ni idadi ya idadi ya watu taka.

    Random Variable:\(P′_{A} – P′_{B} =\) tofauti katika idadi ya wagonjwa wazima ambao hawakuguswa baada ya dakika 30 kwa dawa A na dawa B.

    \(H_{0}: p_{A} = p_{B}\)

    \(p_{A} - p_{B} = 0\)

    \(H_{a}: p_{A} \neq p_{B}\)

    \(p_{A} - p_{B} \neq 0\)

    Maneno “ni tofauti” kukuambia mtihani ni mbili-tailed.

    Usambazaji kwa mtihani: Kwa kuwa hii ni mtihani wa idadi mbili za idadi ya watu wa binomial, usambazaji ni wa kawaida:

    \[p_{c} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{n_{A} + n_{B}} = \dfrac{20 + 12}{200 + 200} = 800 1 - p_{c} = 0.92\]

    \[P'_{A} - P'_{B} - N\left[0, \sqrt{(0.08)(0.92)\left(\dfrac{1}{200} + \dfrac{1}{200}\right)}\right]\]

    \(P'_{A} - P'_{B}\)ifuatavyo usambazaji takriban kawaida.

    Tumia p -thamani kwa kutumia usambazaji wa kawaida:\(p\text{-value} = 0.1404\).

    Idadi ya idadi ya kikundi A:\(p'_{A} = \dfrac{x_{A}}{n_{A}} = \dfrac{20}{200} = 0.1\)

    Idadi ya kiwango cha kikundi B:\(p'_{B} = \dfrac{x_{B}}{n_{B}} = \dfrac{12}{200} = 0.06\)

    Grafu:

    Kawaida usambazaji Curve ya tofauti katika asilimia ya wagonjwa wazima ambao hawana kuguswa na dawa A na B baada ya dakika 30. Maana ni sawa na sifuri, na maadili -0.04, 0, na 0.04 yanaandikwa kwenye mhimili usio na usawa. Mistari miwili ya wima hupanua kutoka -0.04 na 0.04 hadi kwenye pembe. Mkoa upande wa kushoto wa -0.04 na kanda upande wa kulia wa 0.04 ni kila kivuli kuwakilisha 1/2 (p-thamani) = 0.0702.
    Kielelezo 10.4.1.

    \(P′_{A} - P′_{B} = 0.1 – 0.06 = 0.04\).

    Nusu\(p\text{-value}\) ya chini -0.04, na nusu iko juu ya 0.04.

    Linganisha\(\alpha\)\(p\text{-value}: \alpha = 0.01\) na na\(p\text{-value} = 0.1404\). \(\alpha < p\text{-value}\).

    Kufanya uamuzi: tangu\(\alpha < p\text{-value}\), usikatae\(H_{0}\).

    Hitimisho: Katika kiwango cha 1% cha umuhimu, kutoka kwa data ya sampuli, hakuna ushahidi wa kutosha wa kuhitimisha kuwa kuna tofauti katika idadi ya wagonjwa wazima ambao hawakuguswa baada ya dakika 30 kwa dawa A na dawa B.

    Vyombo vya habari STAT. Mshale juu ya vipimo na waandishi wa habari 6:2 -PropzTest. Mshale chini na uingie 20 kwa x1, 200 kwa n1, 12 kwa x2, na 200 kwa n2. Arrow chini ya p1: na mshale si sawa p2. Bonyeza kuingia. Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia. Thamani ya p ni p = 0.1404 na takwimu za mtihani ni 1.47. Je, utaratibu tena, lakini badala ya Kuhesabu kufanya Chora.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Aina mbili za valves zinajaribiwa ili kuamua ikiwa kuna tofauti katika uvumilivu wa shinikizo. Kumi na tano kati ya sampuli random ya 100 ya Valve A kupasuka chini ya 4,500 psi. Sita kati ya sampuli random ya 100 ya Valve B kupasuka chini ya 4,500 psi. Mtihani kwa kiwango cha 5% cha umuhimu.

    Jibu

    Ya\(p\text{-value}\) ni 0.0379, hivyo tunaweza kukataa hypothesis null. Katika kiwango cha umuhimu wa 5%, msaada wa data kwamba kuna tofauti katika uvumilivu wa shinikizo kati ya valves mbili.

    Mfano\(\PageIndex{2}\): Sexting

    Utafiti wa utafiti ulifanyika kuhusu tofauti za kijinsia katika “sexting.” Mtafiti aliamini kwamba idadi ya wasichana wanaohusika katika “sexting” ni chini ya idadi ya wavulana wanaohusika. Takwimu zilizokusanywa katika chemchemi ya 2010 kati ya sampuli ya random ya wanafunzi wa shule za kati na sekondari katika wilaya kubwa ya shule kusini mwa Marekani ni muhtasari katika Jedwali. Je, idadi ya wasichana kutuma sexts chini ya idadi ya wavulana “sexting?” Mtihani kwa kiwango cha 1% cha umuhimu.

    Wanaume Wanawake
    Imetumwa “maandiko” 183 156
    Jumla ya idadi ya utafiti 2231 2169

    Jibu

    Hii ni mtihani wa idadi mbili za idadi ya watu. Na M na F ziwe michango kwa wanaume na wanawake. Kisha\(p_{M}\) na\(p_{F}\) ni idadi ya idadi ya watu taka.

    Tofauti ya kawaida:\(p'_{F} - p'_{M} =\) tofauti katika idadi ya wanaume na wanawake ambao walituma “sexts.”

    \(H_{a}: p_{F} = p_{m} H_{0}: p_{F} - p_{M} = 0\)

    \(H_{a}: p_{F} < p_{m} H_{a}: p_{F} - p_{M} < 0\)

    Maneno “chini ya” kukuambia mtihani ni kushoto-tailed.

    Usambazaji kwa mtihani: Kwa kuwa hii ni mtihani wa idadi mbili za idadi ya watu, usambazaji ni wa kawaida:

    \[p_{C} = \dfrac{x_{F} + x_{M}}{n_{F} + n_{M}} = \dfrac{156 + 183}{2169 + 2231} = 0.077\]

    \[1 - p_{C} = 0.923\]

    Kwa hiyo,

    \[p'_{F} - p'_{M} \sim N\left(0, \sqrt{(0.077)(0.923)\left(\dfrac{1}{2169} + \dfrac{1}{2231}\right)}\right)\]

    \(p′_{F} – p′_{M}\)ifuatavyo usambazaji takriban kawaida.

    \(p\text{-value}\)Tumia kutumia usambazaji wa kawaida:

    \(p\text{-value} = 0.1045\)

    Idadi ya wastani kwa wanawake: 0.0719

    Idadi ya wastani kwa wanaume: 0.082

    Grafu:

    Hii ni kawaida usambazaji Curve na maana sawa na sifuri. Mstari wa wima karibu na mkia wa pembe upande wa kushoto wa sifuri unatoka kwenye mhimili hadi kwenye pembe. Eneo chini ya pembe upande wa kushoto wa mstari ni kivuli kinachowakilisha p-thamani = 0.1045.
    Kielelezo 10.4.2.

    Uamuzi: Tangu\(\alpha < p\text{-value}\), Je, si kukataa\(H_{0}\)

    Hitimisho: Katika kiwango cha 1% cha umuhimu, kutoka kwa data ya sampuli, hakuna ushahidi wa kutosha wa kuhitimisha kuwa idadi ya wasichana kutuma “ngono” ni chini ya idadi ya wavulana kutuma “sexts.”

    Vyombo vya habari STAT. Mshale juu ya vipimo na waandishi wa habari 6:2 -PropzTest. Mshale chini na uingie 156 kwa x1, 2169 kwa n1, 183 kwa x2, na 2231 kwa n2. Arrow chini ya p1: na mshale chini ya p2. Bonyeza kuingia. Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia. \(p\text{-value}\)ni\(P = 0.1045\) na takwimu mtihani ni\(z = -1.256\).

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Watafiti walifanya utafiti wa matumizi ya smartphone kati ya watu wazima. Kampuni ya simu ya mkononi ilidai kuwa simu za mkononi za iPhone zinajulikana zaidi na wazungu (wasio na Rico) kuliko Wamarekani wa Afrika. Matokeo ya utafiti yanaonyesha kwamba kati ya 232 African American wamiliki simu za mkononi nasibu sampuli, 5% na iPhone. Ya 1,343 nyeupe wamiliki simu ya mkononi nasibu sampuli, 10% wenyewe iPhone. Mtihani katika kiwango cha 5% cha umuhimu. Je! Uwiano wa wamiliki wa iPhone nyeupe zaidi kuliko idadi ya wamiliki wa iPhone wa Afrika ya Amerika?

    Jibu

    Hii ni mtihani wa idadi mbili za idadi ya watu. Hebu W na A kuwa subscripts kwa wazungu na Wamarekani wa Afrika. Kisha p W na p A ni idadi ya watu inayotaka.

    \(p′_{W} – p′_{A} =\)Tofauti ya random: tofauti katika idadi ya watumiaji wa Android na iPhone.

    \(H_{0}: p_{W} = p_{A} H_{0}: p_{W} – p_{A} = 0\)

    \(H_{a}: p_{W} > p_{A} H_{a}: p_{W} – p_{A} < 0\)

    Maneno “maarufu zaidi” yanaonyesha kwamba mtihani ni sahihi.

    Usambazaji kwa mtihani: Usambazaji ni wastani wa kawaida:

    \[p_{C} = \dfrac{x_{W} + x_{A}}{n_{W} + n_{A}} = \dfrac{134 + 12}{1343 + 232} = 0.0927\]

    \[1 - p_{C} = 0.9073\]

    Kwa hiyo,

    \[p'_{W} - p'_{A} \sim N\left(0, \sqrt{(0.0927)(0.9073)\left(\dfrac{1}{1343} + \dfrac{1}{232}\right)}\right)\]

    \(p'_{W} - p'_{A}\)ifuatavyo usambazaji takriban kawaida.

    \(p\text{-value}\)Tumia kutumia usambazaji wa kawaida:

    \(p\text{-value} = 0.0077\)

    Idadi ya kiwango cha kikundi A: 0.10

    Idadi ya kiwango cha kikundi B: 0.05

    Grafu:

    Hii ni kawaida usambazaji Curve na maana sawa na sifuri. Mstari wa wima karibu na mkia wa curve kwa haki ya sifuri unatoka kwenye mhimili hadi kwenye pembe. Eneo chini ya pembe ya kulia ya mstari ni kivuli kinachowakilisha p-thamani = 0.00004.
    Kielelezo 10.4.3.

    uamuzi: tangu\(\alpha > p\text{-value}\), kukataa\(H_{0}\).

    Hitimisho: Katika kiwango cha 5% cha umuhimu, kutoka data ya sampuli, kuna ushahidi wa kutosha kuhitimisha kuwa idadi kubwa ya wamiliki wa simu za mkononi nyeupe hutumia iphone kuliko Wamarekani wa Afrika.

    TI-83+ na TI-84: Press STAT. Mshale juu ya vipimo na waandishi wa habari 6:2 -PropzTest. Arrow chini na kuingia 135 kwa x1, 1343 kwa n1, 12 kwa x2, na 232 kwa n2. Arrow chini ya p1: na mshale kwa zaidi ya p2. Waandishi wa habari kuingia. Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia. Thamani ya P ni P = 0.0092 na takwimu za mtihani ni Z = 2.33.

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Kundi linalohusika la wananchi walitaka kujua kama uwiano wa ubakaji wa kulazimishwa huko Texas ulikuwa tofauti mwaka 2011 kuliko mwaka 2010. Utafiti wao ulionyesha kuwa kati ya uhalifu wa vurugu wa 113,231 huko Texas mwaka 2010, 7,622 kati yao walikuwa ubakaji wa kulazimishwa. Mwaka 2011, 7,439 kati ya 104,873 uhalifu wa vurugu walikuwa katika jamii ya ubakaji wa kulazimishwa. Mtihani kwa kiwango cha umuhimu wa 5%. Jibu maswali yafuatayo:

    1. Je! Hii ni mtihani wa njia mbili au idadi mbili?
    2. Ni usambazaji gani unayotumia kufanya mtihani?
    3. ni variable random nini?
    4. Je, ni null na mbadala hypothesis nini? Andika hypothesis null na mbadala katika alama.
    5. Je, mtihani huu ni haki, kushoto, au mbili-tailed?
    6. ni nini\(p\text{-value}\)?
    7. Je, kukataa au kukataa hypothesis null?
    8. Katika kiwango cha ___ cha umuhimu, kutoka kwa data ya sampuli, kuna ______ (ni/sio) ushahidi wa kutosha ili kuhitimisha kuwa ____________.

    Solutions

    a. idadi mbili

    b. kawaida kwa idadi mbili

    c Subscripts: 1 = 2010, 2 = 2011\(P′_{1} - P′_{2}\)

    d. Subscripts: 1 = 2010, 2 = 2011\(H_{0}: p_{1} = p_{2} H_{0}: p_{1} − p_{2} = 0\)\(H_{0}: p_{1} \neq p_{2} H_{0}: p_{1} − p_{2} \neq 0\)

    e. mbili-tailed

    f.\(p\text{-value} = 0.00086\)

    Hii ni kawaida usambazaji Curve na maana sawa na sifuri. Mikia yote ya kulia na ya kushoto ya curve ni kivuli. Kila mkia inawakilisha 1/2 (p-thamani) = 0.0004.
    Kielelezo 10.4.4.

    g. kukataa\(H_{0}\).

    h Katika kiwango cha umuhimu wa 5%, kutoka kwa data ya sampuli, kuna ushahidi wa kutosha ili kuhitimisha kuwa kuna tofauti kati ya uwiano wa ubakaji wa kulazimishwa mwaka 2011 na 2010.

    Marejeo

    1. Takwimu kutoka Rasilimali Elimu, Desemba catalog.
    2. Takwimu kutoka Hilton Hotels. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.hilton.com (imefikia Juni 17, 2013).
    3. Takwimu kutoka Hyatt Hoteli. Inapatikana mtandaoni kwenye hyatt.com (imefikia Juni 17, 2013).
    4. Takwimu kutoka Takwimu, Idara ya Afya ya Marekani na Huduma za Binadamu.
    5. Takwimu kutoka Whitney Maonyesho kwa mkopo kwa San Jose Makumbusho ya Sanaa.
    6. Takwimu kutoka Marekani Cancer Society. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.cancer.org/index (imefikia Juni 17, 2013).
    7. Takwimu kutoka ofisi ya Chansela, California Community Vyuo, Novemba 1994.
    8. “Hali ya Mataifa.” Gallup, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye www.Gallup.com/poll/125066/st... ef=interactive (kupatikana Juni 17, 2013).
    9. “Virusi vya Magharibi ya Nile.” Vituo vya Kudhibiti Magonjwa na Kuzuia. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.cdc.gov/ncidod/dvbid/westnile/index.htm (imefikia Juni 17, 2013).

    Mapitio

    • Mtihani wa idadi mbili za idadi ya watu kutoka sampuli za kujitegemea.
    • Random kutofautiana:\(\hat{p}_{A} - \hat{p}_{B} =\) tofauti kati ya idadi mbili inakadiriwa
    • Usambazaji: usambazaji wa kawaida

    Mapitio ya Mfumo

    Idadi iliyokusanywa:

    \[p_{c} = \dfrac{x_{F} + x_{M}}{n_{F} + n_{M}}\]

    Usambazaji kwa tofauti:

    \[p'_{A} - p'_{B} \sim N\left[0, \sqrt{p_{c}(1-p_{c})\left(\dfrac{1}{n_{A}} + \dfrac{1}{n_{B}}\right)}\right]\]

    ambapo hypothesis null ni\(H_{0}: p_{A} = p_{B}\) au\(H_{0}: p_{A} - p_{B} = 0\).

    Takwimu za mtihani (z -score):

    \[z = \dfrac{(p'_{A} - p'_{B})}{\sqrt{p_{c}(1-p_{c})\left(\dfrac{1}{n_{A}} + \dfrac{1}{n_{B}}\right)}}\]

    ambapo hypothesis null ni\(H_{0}: p_{A} = p_{B}\) au\(H_{0}: p_{A} - p_{B} = 0\).

    na

    • \(p'_{A}\)na\(p'_{B}\) ni idadi ya sampuli,\(p_{A}\) na\(p_{B}\) ni idadi ya watu,
    • \(P_{c}\)ni idadi ya pamoja,\(n_{A}\) na\(n_{B}\) ni ukubwa sampuli.

    faharasa

    Uwiano uliogawanyika
    makadirio ya thamani ya kawaida ya\(p_{1}\) na\(p_{2}\).