9.4: Usambazaji unahitajika kwa Upimaji wa Tete

Mapema katika kozi, tulijadili mgawanyo wa sampuli. Mgawanyo maalum unahusishwa na kupima hypothesis. Kufanya vipimo ya idadi ya watu maana ya kutumia usambazaji wa kawaida au mwanafunzi\(t\) -usambazaji. (Kumbuka, kutumia Mwanafunzi\(t\) -usambazaji wakati idadi ya watu kiwango kupotoka haijulikani na usambazaji wa sampuli maana ni wastani wa kawaida.) Tunafanya vipimo vya idadi ya watu kwa kutumia usambazaji wa kawaida (kwa kawaida\(n\) ni kubwa au ukubwa wa sampuli ni kubwa).

Ikiwa unajaribu idadi moja ya watu inamaanisha, usambazaji wa mtihani ni kwa njia:

\[\bar{X} - N\left(\mu_{x}, \frac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}}\right)\]

au

\[t_{df}\]

Kipimo cha idadi ya watu ni\(\mu\). Thamani inakadiriwa (makadirio ya uhakika) kwa\(\mu\) ni\(\bar{x}\), sampuli inamaanisha.

Ikiwa unajaribu idadi moja ya idadi ya watu, usambazaji wa mtihani ni kwa uwiano au asilimia:

\[P' - N\left(p, \sqrt{\frac{p-q}{n}}\right)\]

Kipimo cha idadi ya watu ni\(p\). Thamani inakadiriwa (makadirio ya uhakika) kwa\(p\) ni\(p′\). \(p' = \frac{x}{n}\)\(x\)wapi idadi ya mafanikio na n ni ukubwa wa sampuli.

Dhana

Unapofanya mtihani wa hypothesis wa idadi ya watu moja inamaanisha\(\mu\) kutumia\(t\) usambazaji wa Mwanafunzi (mara nyingi huitwa\(t\) -test), kuna mawazo ya msingi ambayo yanahitaji kukutana ili mtihani ufanyie kazi vizuri. Data yako inapaswa kuwa sampuli rahisi ya random inayotokana na idadi ya watu ambayo inakaribia kawaida kusambazwa. Matumizi sampuli kiwango kupotoka kwa takriban idadi ya watu kiwango kupotoka. (Kumbuka kwamba kama ukubwa wa sampuli ni kubwa ya kutosha,\(t\) -mtihani utafanya kazi hata kama idadi ya watu si takriban kawaida kusambazwa).

Unapofanya mtihani wa hypothesis wa idadi ya watu moja inamaanisha\(\mu\) kutumia usambazaji wa kawaida (mara nyingi huitwa\(z\) -test), unachukua sampuli rahisi ya random kutoka kwa idadi ya watu. Idadi ya watu unayojaribu ni kawaida kusambazwa au ukubwa wako wa sampuli ni wa kutosha. Unajua thamani ya kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu ambayo, kwa kweli, haijulikani.

Unapofanya mtihani wa hypothesis wa idadi moja ya idadi ya watu\(p\), unachukua sampuli rahisi ya random kutoka kwa idadi ya watu. Lazima ufikie masharti ya usambazaji wa binomial ambayo ni: kuna idadi fulani ya majaribio\(n\) ya kujitegemea, matokeo ya jaribio lolote ni mafanikio au kushindwa, na kila jaribio lina uwezekano sawa wa mafanikio\(p\). Sura ya usambazaji wa binomial inahitaji kuwa sawa na sura ya usambazaji wa kawaida. Ili kuhakikisha hili, kiasi\(np\) na\(nq\) lazima iwe kubwa zaidi ya tano\((np > 5\) na\(nq > 5)\). Kisha usambazaji wa binomial wa uwiano wa sampuli (inakadiriwa) unaweza kuhesabiwa na usambazaji wa kawaida na\(\mu = p\) na\(\sigma = \sqrt{\frac{pq}{n}}\). Kumbuka hilo\(q = 1 – p\).

Muhtasari

Ili matokeo ya mtihani wa hypothesis yawe ya jumla kwa idadi ya watu, mahitaji fulani yanapaswa kuridhika.

Wakati wa kupima kwa idadi moja ya watu inamaanisha:

1. Mwanafunzi\(t\) -mtihani itumike kama data kuja kutoka rahisi, sampuli random na idadi ya watu ni takriban kawaida kusambazwa, au ukubwa sampuli ni kubwa, na haijulikani kiwango kupotoka.
2. Jaribio la kawaida litafanya kazi ikiwa data inatoka sampuli rahisi, ya random na idadi ya watu inakaribia kawaida kusambazwa, au ukubwa wa sampuli ni kubwa, na kupotoka kwa kiwango kinachojulikana.

Wakati wa kupima idadi moja ya idadi ya watu hutumia mtihani wa kawaida kwa idadi moja ya idadi ya watu ikiwa data inatokana na sampuli rahisi, random, kujaza mahitaji ya usambazaji wa binomial, na idadi ya wastani ya mafanikio na idadi ya wastani ya kushindwa kukidhi masharti:\(np > 5\) na\(nq > 5\) wapi\(n\) ukubwa wa sampuli,\(p\) ni uwezekano wa mafanikio, na\(q\) ni uwezekano wa kushindwa.

Mapitio ya Mfumo

Ikiwa hakuna iliyotolewa kabla\(\alpha\), basi utumie\(\alpha = 0.05\).

Aina ya vipimo vya hypothesis

• Single idadi ya watu maana, inayojulikana idadi ya watu ugomvi (au kiwango kupotoka): Kawaida mtihani.
• Single idadi ya watu maana, haijulikani idadi ya watu ugomvi (au kiwango kupotoka): Mwanafunzi\(t\) -mtihani.
• Single idadi ya watu: Kawaida mtihani.
• Kwa maana moja ya idadi ya watu, tunaweza kutumia usambazaji wa kawaida na maana zifuatazo na kiwango kupotoka. Ina maana:\(\mu = \mu_{\bar{x}}\) na\(\\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}}\)
• idadi moja idadi ya watu, tunaweza kutumia usambazaji wa kawaida na zifuatazo maana na kiwango kupotoka. idadi:\(\mu = p\) na\(\sigma = \sqrt{\frac{pq}{n}}\).

faharasa

Usambazaji wa Binomial

kipekee random variable (RV) inayotokana na majaribio Bernoulli. Kuna idadi fasta,\(n\), ya majaribio ya kujitegemea. “Independent” inamaanisha kwamba matokeo ya jaribio lolote (kwa mfano, jaribio 1) haliathiri matokeo ya majaribio yafuatayo, na majaribio yote yanafanyika chini ya hali sawa. Chini ya hali hizi RV binomial hufafanuliwa kama idadi ya mafanikio katika\(n\) majaribio. Uthibitisho ni:\(X \sim B(n, p) \mu = np\) na kupotoka kwa kiwango ni\(\sigma = \sqrt{npq}\). Uwezekano wa\(x\) mafanikio hasa katika\(n\) majaribio ni\(P(X = x) = \binom{n}{x} p^{x}q^{n-x}\).

Usambazaji wa kawaida

kuendelea random variable (RV) na pdf\(f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\), ambapo\(\mu\) ni maana ya usambazaji, na\(\sigma\) ni kupotoka kiwango, nukuu:\(X \sim N(\mu, \sigma)\). Ikiwa\(\mu = 0\) na\(\sigma = 1\), RV inaitwa usambazaji wa kawaida wa kawaida.

Mkengeuko

idadi ambayo ni sawa na mizizi mraba ya ugomvi na hatua jinsi mbali data maadili ni kutoka maana yao; nukuu:\(s\) kwa sampuli kiwango kupotoka na\(\sigma\) kwa idadi ya watu kiwango kupotoka.

Mwanafunzi t -Distribution

kuchunguzwa na kuripotiwa na William S. Gossett katika 1908 na kuchapishwa chini ya jina la siri Mwanafunzi. sifa kuu ya variable random (RV) ni:

• Ni kuendelea na inachukua maadili yoyote halisi.
• Pdf ni sawa kuhusu maana yake ya sifuri. Hata hivyo, ni zaidi kuenea nje na flatter katika kilele kuliko usambazaji wa kawaida.
• Inakaribia usambazaji wa kawaida wa kawaida kama\(n\) anapata kubwa.
• Kuna “familia” ya\(t\) -mgawanyo: kila mwakilishi wa familia hufafanuliwa kabisa na idadi ya digrii za uhuru ambayo ni moja chini ya idadi ya vitu vya data.