8.4: Idadi ya Watu

Last updated
Save as PDF

Page ID: 181381

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Katika mwaka wa uchaguzi, tunaona makala katika gazeti kwamba hali ya kujiamini vipindi katika suala la idadi au asilimia. Kwa mfano, uchaguzi kwa mgombea fulani anayeendesha urais unaweza kuonyesha kwamba mgombea ana 40% ya kura ndani ya pointi tatu za asilimia (ikiwa sampuli ni kubwa ya kutosha). Mara nyingi, uchaguzi wa uchaguzi ni mahesabu kwa kujiamini 95%, hivyo, wapiga kura itakuwa 95% uhakika kwamba idadi ya kweli ya wapiga kura ambao Maria mgombea itakuwa kati ya 0.37 na 0.43: (0.40 - 0.03,0.40 + 0.03).

Wawekezaji katika soko la hisa ni nia ya idadi ya kweli ya hifadhi ya kwamba kwenda juu na chini kila wiki. Biashara zinazouza kompyuta binafsi zinavutiwa na uwiano wa kaya nchini Marekani ambazo zina kompyuta binafsi. Vipindi vya kujiamini vinaweza kuhesabiwa kwa uwiano wa kweli wa hifadhi ambazo huenda juu au chini kila wiki na kwa uwiano wa kweli wa kaya nchini Marekani ambazo zina kompyuta binafsi.

Utaratibu wa kupata muda wa kujiamini, ukubwa wa sampuli, kosa lililofungwa, na kiwango cha kujiamini kwa uwiano ni sawa na ile kwa maana ya idadi ya watu, lakini kanuni ni tofauti. Unajuaje unashughulika na tatizo la uwiano? Kwanza, usambazaji wa msingi ni usambazaji wa binomial. (Hakuna kutaja maana au wastani.) Ikiwa\(X\) ni variable ya binomial random, basi

\[X \sim B(n, p)\nonumber \]

ambapo\(n\) ni idadi ya majaribio na\(p\) ni uwezekano wa mafanikio.

Ili kuunda uwiano, kuchukua\(X\), kutofautiana kwa random kwa idadi ya mafanikio na ugawanye na\(n\), idadi ya majaribio (au ukubwa wa sampuli). variable random\(P′ \) (kusoma “P mkuu”) ni kwamba uwiano,

\[P' = \dfrac{X}{n}\nonumber \]

(Wakati mwingine variable random ni ulionyehsa kama\(\hat{P}\), kusoma “P kofia”.)

Wakati\(n\) ni kubwa na\(p\) si karibu na sifuri au moja, tunaweza kutumia usambazaji wa kawaida ili takriban binomial.

\[X \sim N(np, \sqrt{npq})\nonumber \]

Kama sisi kugawanya variable random, maana, na kupotoka kiwango na\(n\), sisi kupata usambazaji wa kawaida wa idadi na\(P′ \), aitwaye uwiano makadirio, kama variable random. (Kumbuka kwamba uwiano kama idadi ya mafanikio kugawanywa na\(n\).)

\[\dfrac{X}{n} = P' - N\left(\dfrac{np}{n}, \dfrac{\sqrt{npq}}{n}\right)\nonumber \]

Kutumia algebra ili kurahisisha:

\[\dfrac{\sqrt{npq}}{n} = \sqrt{\dfrac{pq}{n}}\nonumber \]

Pifuatavyo usambazaji wa kawaida kwa idadi:

\[\dfrac{X}{n} = P' - N\left(\dfrac{np}{n}, \dfrac{\sqrt{npq}}{n}\right)\nonumber \]

Muda wa kujiamini una fomu

\[(p′ – EBP, p′ + EBP).\nonumber \]

wapi

\(EBP\)ni makosa amefungwa kwa uwiano.
\(p′ = \dfrac{x}{n}\)
\(p′ =\)idadi ya makadirio ya mafanikio (pni makadirio ya uhakika kwa p, uwiano wa kweli.)
\(x =\)idadi ya mafanikio
\(n =\)ukubwa wa sampuli

Hitilafu imefungwa (EBP) kwa uwiano ni

\[EBP = \left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right)\nonumber \]

wapi\(q\ = 1 - p'\).

Fomula hii ni sawa na kosa amefungwa formula kwa maana, isipokuwa kwamba “sahihi kiwango kupotoka” ni tofauti. Kwa maana, wakati idadi ya watu kiwango kupotoka inajulikana, sahihi kiwango kupotoka kwamba sisi kutumia ni\(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Kwa uwiano, kupotoka kwa kiwango sahihi ni

\[\sqrt{\dfrac{pq}{n}}.\nonumber \]

Hata hivyo, katika fomu iliyofungwa ya hitilafu, tunatumia

\[\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\nonumber \]

kama kupotoka kiwango, badala ya

\[\sqrt{\dfrac{pq}{n}}.\nonumber \]

Katika kosa amefungwa formula, sampuli uwiano pna q ni makadirio ya idadi haijulikani idadi ya watu p na q. Idadi ya makadirio\(p′\) na\(q′\) hutumiwa kwa sababu\(p\) na\(q\) haijulikani. Uwiano wa sampuli\(p′\) na\(q′\) huhesabiwa kutoka kwa data:\(p′\) ni idadi ya makadirio ya mafanikio, na\(q′\) ni idadi ya makadirio ya kushindwa.

Muda wa kujiamini unaweza kutumika tu ikiwa idadi ya mafanikio\(np′\) na idadi ya kushindwa\(nq′\) ni kubwa zaidi ya tano.

Usambazaji wa kawaida wa Idadi

Kwa usambazaji wa kawaida wa uwiano, formula\(z\) -score ni kama ifuatavyo.

Kama

\[P' - N\left(p, \sqrt{\dfrac{pq}{n}}\right)\]

basi formula\(z\) -score ni

\[z = \dfrac{p'-p}{\sqrt{\dfrac{pq}{n}}} \]

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Tuseme kwamba kampuni ya utafiti wa soko imeajiriwa kukadiria asilimia ya watu wazima wanaoishi katika mji mkubwa ambao wana simu za mkononi. Wakazi wa watu wazima mia tano waliochaguliwa kwa nasibu katika mji huu wanachunguzwa ili kujua kama wana simu za mkononi. Kati ya watu 500 waliofanyiwa utafiti, 421 walijibu ndiyo - wana simu za mkononi. Kutumia kiwango cha kujiamini cha 95%, compute makadirio ya muda wa kujiamini kwa uwiano wa kweli wa wakazi wazima wa mji huu ambao wana simu za mkononi.

Suluhisho A

Suluhisho la kwanza ni hatua kwa hatua (Suluhisho A).
Suluhisho la pili linatumia kazi ya calculators TI-83, 83+ au 84 (Solution B).

Hebu idadi\(X =\) ya watu katika sampuli ambao wana simu za mkononi. \(X\)ni binomial.

\[X \sim B(500,\dfrac{421}{500}).\nonumber \]

Ili kuhesabu muda wa kujiamini, unapaswa kupata\(p′\),\(q′\), na\(EBP\).

\(n = 500\)
\(x =\)idadi ya mafanikio\(= 421\)

\[p′ = \dfrac{x}{n} = \dfrac{421}{500} = 0.842\nonumber \]

\(p′ = 0.842\)ni uwiano wa sampuli; hii ni makadirio ya uhakika ya idadi ya watu.

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.842 = 0.158\nonumber \]

Tangu\(CL = 0.95\), basi

\[\alpha = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = 0.025.\nonumber \]

Kisha

\[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025 = 1.96}\nonumber \]

Tumia amri ya TI-83, 83+, au 84+ ya calculator InvNorm (0.975,0,1) ili upate\(z_{0.025}\). Kumbuka kwamba eneo la haki\(z_{0.025}\) ni\(0.025\) na eneo upande wa kushoto wa\(z_{0.025}\) ni\(0.975\). Hii pia inaweza kupatikana kwa kutumia amri zinazofaa kwenye mahesabu mengine, kwa kutumia kompyuta, au kutumia meza ya kawaida ya kawaida ya uwezekano.

\[EBP = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (1.96)\sqrt{\dfrac{(0.842)(0.158)}{500}} = 0.032\nonumber \]

\[p' – EBP = 0.842 – 0.032 = 0.81\nonumber \]

\[p′ + EBP = 0.842 + 0.032 = 0.874\nonumber \]

Muda wa kujiamini kwa idadi ya kweli ya idadi ya watu wa binomial ni\((p′ – EBP, p′ +EBP) = (0.810, 0.874)\).

Ufafanuzi

Tunakadiria kwa kujiamini 95% kwamba kati ya 81% na 87.4% ya wakazi wote wazima wa mji huu wana simu za mkononi.

Maelezo ya Ngazi ya kujiamini 95%

Asilimia tisini na tano ya vipindi kujiamini yalijengwa kwa njia hii ingekuwa na thamani ya kweli kwa idadi ya wakazi wote wazima wa mji huu ambao wana simu za mkononi.

Suluhisho B

Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.

Mshale chini hadi A:1-propzint. Bonyeza kuingia.
Mshale chini ya xx na uingie 421.
Arrow chini ya nn na kuingia 500.
Mshale chini ya C-Level na uingie .95.
Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia.
Muda wa kujiamini ni (0.81003, 0.87397).

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Tuseme watu 250 waliochaguliwa kwa nasibu wanachunguzwa ili kuamua kama wana kibao. Kati ya utafiti wa 250, 98 waliripoti kumiliki kibao. Kutumia kiwango cha kujiamini cha 95%, compute makadirio ya muda wa kujiamini kwa uwiano wa kweli wa watu ambao wana vidonge.

Jibu: (0.3315, 0.4525)

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Kwa mradi wa darasa, mwanafunzi wa sayansi ya siasa katika chuo kikuu kikubwa anataka kukadiria asilimia ya wanafunzi ambao ni wapiga kura waliosajiliwa. Yeye tafiti 500 wanafunzi na anaona kuwa 300 ni wapiga kura waliosajiliwa. Compute 90% kujiamini muda kwa asilimia ya kweli ya wanafunzi ambao ni wapiga kura waliosajiliwa, na kutafsiri muda kujiamini.

Jibu

Suluhisho la kwanza ni hatua kwa hatua (Suluhisho A).
Suluhisho la pili linatumia kazi ya calculators TI-83, 83+, au 84 (Solution B).

Suluhisho A

\(x = 300\)na
\(n = 500\)

\[p' = \dfrac{x}{n} = \dfrac{300}{500} = 0.600\nonumber \]

\[q′ = 1 − p′ = 1 − 0.600 = 0.400\nonumber \]

Tangu\(CL = 0.90\), basi

\[\alpha = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = 0.05\]

\[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05} = 1.645\nonumber \]

Tumia amri ya TI-83, 83+, au 84+ ya calculator InvNorm (0.95,0,1) ili upate\(z_{0.05}\). Kumbuka kwamba eneo la kulia\(z_{0.05}\) ni 0.05 na eneo la kushoto\(z_{0.05}\) ni 0.95. Hii pia inaweza kupatikana kwa kutumia amri zinazofaa kwenye mahesabu mengine, kwa kutumia kompyuta, au kutumia meza ya kawaida ya uwezekano.

\[EBP = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (1.645)\sqrt{\dfrac{(0.60)(0.40)}{500}} = 0.036\nonumber \]

\[p′ – EBP = 0.60 − 0.036 = 0.564\nonumber \]

\[p′ + EBP = 0.60 + 0.036 = 0.636\nonumber \]

Muda wa kujiamini kwa idadi ya kweli ya idadi ya watu wa binomial ni\((p′ – EBP, p′ +EBP) = (0.564,0.636)\).

Ufafanuzi

Tunakadiria kwa kujiamini 90% kwamba asilimia ya kweli ya wanafunzi wote ambao ni wapiga kura waliosajiliwa ni kati ya 56.4% na 63.6%.
Maneno mbadala: Tunakadiria kwa kujiamini 90% kwamba kati ya 56.4% na 63.6% ya wanafunzi wote ni wapiga kura waliosajiliwa.

Maelezo ya Kiwango cha Uaminifu wa 90%

Asilimia tisini ya vipindi vyote kujiamini yalijengwa kwa njia hii yana thamani ya kweli kwa asilimia ya wanafunzi ambao ni wapiga kura waliosajiliwa.

Suluhisho B

Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.

Mshale chini hadi A:1-propzint. Bonyeza kuingia.
Mshale chini ya xx na uingie 300.
Arrow chini ya nn na kuingia 500.
Mshale chini ya C-Level na uingie 0.90.
Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia.

Muda wa kujiamini ni (0.564, 0.636).

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Mwanafunzi anapiga kura shule yake ili kuona kama wanafunzi katika wilaya ya shule ni kwa au kupinga sheria mpya kuhusu sare za shule. Yeye tafiti 600 wanafunzi na anaona kwamba 480 ni kinyume na sheria mpya.

Compute 90% kujiamini muda kwa asilimia ya kweli ya wanafunzi ambao ni kinyume sheria mpya, na kutafsiri kujiamini muda.
Katika sampuli ya wanafunzi 300, 68% walisema wanamiliki iPod na simu smart. Compute 97% kujiamini muda kwa asilimia ya kweli ya wanafunzi ambao wana iPod na smartphone.

Jibu: (0.7731, 0.8269); Tunakadiria kwa kujiamini 90% kwamba asilimia ya kweli ya wanafunzi wote katika wilaya ambao wanapinga sheria mpya ni kati ya 77.31% na 82.69%.

Jibu b

Asilimia sitini na nane (68%) ya wanafunzi wana iPod na simu ya smart.

\[p′ = 0.68\nonumber \]

\[q′ = 1–p′ = 1 – 0.68 = 0.32\nonumber \]

Tangu\(CL = 0.97\), tunajua

\[\alpha = 1 – 0.97 = 0.03\nonumber \]

\[\dfrac{\alpha}{2} = 0.015.\nonumber \]

Eneo upande wa kushoto\(z_{0.05}\) ni 0.015, na eneo la kulia\(z_{0.05}\) ni 1 — 0.015 = 0.985.

Kutumia TI 83, 83+, au 84+ calculator kazi InvNorm (0.985,0,1),

\[z_{0.05} = 2.17\nonumber \]

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = 2.17\sqrt{\dfrac{0.68(0.32)}{300}} \approx 0.0269\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.68 – 0.0269 = 0.6531\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.68 + 0.0269 = 0.7069\nonumber \]

Sisi ni 97% uhakika kwamba idadi ya kweli ya wanafunzi wote ambao wana iPod na simu smart ni kati ya 0.6531 na 0.7069.

Kikokotoo

Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.

Mshale chini hadi A:1-propzint. Bonyeza kuingia.
Mshale chini hadi x na uingie 300*0.68.
Mshale chini ya n na kuingia 300.
Mshale chini ya C-Level na uingie 0.97.
Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia.

Muda wa kujiamini ni (0.6531, 0.7069).

“Plus Nne” Muda wa kujiamini kwa\(p\)

Kuna kiasi fulani cha hitilafu iliyoletwa katika mchakato wa kuhesabu muda wa kujiamini kwa uwiano. Kwa sababu hatujui uwiano wa kweli kwa idadi ya watu, tunalazimika kutumia makadirio ya uhakika ili kuhesabu kupotoka kwa kiwango sahihi cha usambazaji wa sampuli. Uchunguzi umeonyesha kuwa makadirio ya kusababisha kupotoka kwa kiwango inaweza kuwa kibaya.

Kwa bahati nzuri, kuna marekebisho rahisi ambayo inaruhusu sisi kuzalisha vipindi sahihi zaidi kujiamini. Tunajifanya tu kwamba tuna uchunguzi wa ziada wa nne. Mbili ya uchunguzi huu ni mafanikio na mbili ni kushindwa. Ukubwa mpya wa sampuli, basi\(n + 4\), ni, na hesabu mpya ya mafanikio ni\(x + 2\). Masomo ya kompyuta yameonyesha ufanisi wa njia hii. Inapaswa kutumika wakati kiwango cha kujiamini kinachohitajika ni angalau 90% na ukubwa wa sampuli ni angalau kumi.

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Sampuli ya random ya wanafunzi wa takwimu 25 iliulizwa: “Je, umevuta sigara katika wiki iliyopita?” Wanafunzi sita waliripoti uvutaji ndani ya wiki iliyopita. Tumia njia ya “plus-nne” ili kupata muda wa kujiamini wa 95% kwa uwiano wa kweli wa wanafunzi wa takwimu wanaovuta sigara.

Suluhisho A

Wanafunzi sita kati ya 25 The sigara ndani ya wiki iliyopita, hivyo\(x = 6\) na\(n = 25\). Kwa sababu tunatumia njia ya “plus-nne”, tutatumia\(x = 6 + 2 = 8\) na\(n = 25 + 4 = 29\).

\[p' = \dfrac{x}{n} = \dfrac{8}{29} \approx 0.276\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.276 = 0.724\nonumber \]

tangu\(CL = 0.95\), tunajua\(\alpha = 1 – 0.95 = 0.05\) na\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.025\).

\[z_{0.025} = 1.96\nonumber \]

\(EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (1.96)\sqrt{\dfrac{0.276(0.724)}{29}} \approx 0.163\)

\[p′ – EPB = 0.276 – 0.163 = 0.113\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.276 + 0.163 = 0.439\nonumber \]

Sisi ni 95% uhakika kwamba idadi ya kweli ya wanafunzi wote takwimu ambao moshi sigara ni kati ya 0.113 na 0.439.

Suluhisho B

Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.

Mshale chini hadi A:1-propzint. Bonyeza kuingia.

UKUMBUSHO

Kumbuka kwamba njia ya plus-nne inachukua majaribio manne ya ziada: mafanikio mawili na kushindwa mbili. Huna haja ya kubadilisha mchakato wa kuhesabu muda wa kujiamini; tu sasisha maadili ya x na n kutafakari majaribio haya ya ziada.

Arrow chini\(x\) na kuingia nane.

Arrow chini\(n\) na kuingia 29.
Mshale chini ya C-Level na uingie 0.95.
Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia.

Muda wa kujiamini ni (0.113, 0.439).

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Kati ya sampuli ya random ya freshmen 65 katika Chuo Kikuu cha Jimbo, wanafunzi 31 wametangaza kuu. Tumia njia ya “plus-nne” ili kupata muda wa kujiamini wa 96% kwa uwiano wa kweli wa freshmen katika Chuo Kikuu cha Jimbo ambao wametangaza kuu.

Suluhisho A

Kutumia “pamoja na nne,” tuna\(x = 31 + 2 = 33\) na\(n = 65 + 4 = 69\).

\[p′ = 3369 \approx 0.478\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.478 = 0.522\nonumber \]

tangu\(CL = 0.96\), tunajua\(\alpha = 1 – 0.96 = 0.04\) na\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.02\).

\[z_{0.02} = 2.054\nonumber \]

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}} = (2.054)\left(\sqrt{\dfrac{(0.478)(0.522)}{69}}\right) - 0.124\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.478 – 0.124 = 0.354\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.478 + 0.124 = 0.602\nonumber \]

Sisi ni 96% uhakika kwamba kati ya 35.4% na 60.2% ya freshmen wote katika Jimbo U wametangaza kubwa.

Suluhisho B

Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.

Mshale chini hadi A:1-propzint. Bonyeza kuingia.
Arrow chini\(x\) na kuingia 33.
Arrow chini\(n\) na kuingia 69.
Mshale chini ya C-Level na uingie 0.96.
Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia.

Muda wa kujiamini ni (0.355, 0.602).

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Kituo cha Berkman cha Internet & Society huko Harvard hivi karibuni kilifanya utafiti kuchambua tabia za usimamizi wa faragha za watumiaji wa intaneti wa kijana. Katika kundi la vijana 50, 13 waliripoti kuwa na marafiki zaidi ya 500 kwenye Facebook. Tumia njia ya “plus nne” ili kupata muda wa kujiamini wa 90% kwa uwiano wa kweli wa vijana ambao wangeweza kutoa ripoti kuwa na marafiki zaidi ya 500 Facebook.

Suluhisho A

Kutumia “plus-nne,” tuna\(x = 13 + 2 = 15\) na\(n = 50 + 4 = 54\).

\[p′ = 1554 \approx 0.278\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 − 0.241 = 0.722\nonumber \]

tangu\(CL = 0.90\), tunajua\(\alpha = 1 – 0.90 = 0.10\) na\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.05\).

\[z_{0.05} = 1.645\nonumber \]

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right) = (1.645)\left(\sqrt{\dfrac{(0.278)(0.722)}{54}}\right) \approx 0.100\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.278 – 0.100 = 0.178\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.278 + 0.100 = 0.378\nonumber \]

Sisi ni 90% uhakika kwamba kati ya 17.8% na 37.8% ya vijana wote bila taarifa kuwa na marafiki zaidi ya 500 kwenye Facebook.

Suluhisho B

Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.

Mshale chini hadi A:1-propzint. Bonyeza kuingia.
Arrow chini\(x\) na kuingia 15.
Arrow chini\(n\) na kuingia 54.
Mshale chini ya C-Level na uingie 0.90.
Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia.

Muda wa kujiamini ni (0.178, 0.378).

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Berkman Center Utafiti inatazamwa katika Mfano kuongea na vijana katika makundi madogo lengo, lakini pia waliohojiwa vijana ziada juu ya simu. Utafiti ulipokamilika, vijana 588 walikuwa wamejibu swali kuhusu marafiki zao wa Facebook na 159 wakisema kuwa wana marafiki zaidi ya 500. Tumia njia ya “plus-nne” ili kupata muda wa kujiamini wa 90% kwa uwiano wa kweli wa vijana ambao wataripoti kuwa na marafiki zaidi ya 500 Facebook kulingana na sampuli hii kubwa. Linganisha matokeo kwa wale walio katika Mfano.

Jibu

Suluhisho A

Kutumia “plus-nne,” tuna\(x = 159 + 2 = 161\) na\(n = 588 + 4 = 592\).

\[p′ = 161592 \approx 0.272\nonumber \]

\[q′ = 1 – p′ = 1 – 0.272 = 0.728\nonumber \]

Tangu CL = 0.90, tunajua\(\alpha = 1 – 0.90 = 0.10\) na\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.05\)

\[EPB = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right) = (1.645)\left(\sqrt{\dfrac{(0.272)(0.728)}{592}}\right) \approx 0.030\nonumber \]

\[p′ – EPB = 0.272 – 0.030 = 0.242\nonumber \]

\[p′ + EPB = 0.272 + 0.030 = 0.302\nonumber \]

Sisi ni 90% uhakika kwamba kati ya 24.2% na 30.2% ya vijana wote bila taarifa kuwa na marafiki zaidi ya 500 kwenye Facebook.

Suluhisho B

Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.
Mshale chini hadi A:1-propzint. Bonyeza kuingia.
Arrow chini\(x\) na kuingia 161.
Mshale chini\(n\) na kuingia 592.
Mshale chini ya C-Level na uingie 0.90.
Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia.
Muda wa kujiamini ni (0.242, 0.302).

Hitimisho: Muda wa kujiamini kwa sampuli kubwa ni nyembamba kuliko muda kutoka kwa Mfano. Sampuli kubwa daima mavuno sahihi zaidi vipindi kujiamini kuliko sampuli ndogo. Njia “pamoja na nne” ina athari kubwa kwenye sampuli ndogo. Inabadilisha makadirio ya uhakika kutoka 0.26 (13/50) hadi 0.278 (15/54). Ina athari ndogo kwenye EPB, ikibadilisha kutoka 0.102 hadi 0.100. Katika sampuli kubwa, makadirio ya uhakika yanakabiliwa na mabadiliko madogo: kutoka 0.270 (159/588) hadi 0.272 (161/592). Ni rahisi kuona kwamba njia ya plus-nne ina athari kubwa juu ya sampuli ndogo.

Kuhesabu Ukubwa wa Mfano\(n\)

Kama watafiti hamu kiasi maalum ya makosa, basi wanaweza kutumia kosa amefungwa formula kwa mahesabu required sampuli ukubwa. kosa amefungwa formula kwa idadi ya watu ni

\[EBP = \left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\sqrt{\dfrac{p'q'}{n}}\right)\nonumber \]

Kutatua kwa\(n\) inakupa equation kwa ukubwa sampuli.

\[n = \dfrac{\left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)^{2}(p'q')}{EBP^{2}}\nonumber \]

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Tuseme kampuni ya simu ya mkononi anataka kuamua asilimia ya sasa ya wateja wenye umri wa miaka 50+ambao wanatumia ujumbe wa maandishi kwenye simu zao za mkononi. Wangapi wateja wenye umri wa miaka 50+lazima utafiti wa kampuni ili kuwa 90% imani kwamba wastani (sampuli) uwiano ni ndani ya pointi asilimia tatu ya idadi ya watu wa kweli idadi ya wateja wenye umri wa miaka 50+ambao wanatumia ujumbe wa maandishi kwenye simu zao za mkononi.

Jibu

Kutokana na tatizo, tunajua kwamba\(\bf{EBP = 0.03}\) (3% =0.03) na\(z_{\dfrac{\alpha}{2}} z_{0.05} = 1.645\) kwa sababu kiwango cha kujiamini ni 90%.

Hata hivyo, ili kupata\(n\), tunahitaji kujua uwiano wa makadirio (sampuli)\(p′\). Kumbuka hilo\(q′ = 1 – p′\). Lakini, hatujui\(p′\) bado. Kwa kuwa tunazidisha\(p′\) na\(q′\) pamoja, tunawafanya wote sawa na 0.5 kwa sababu\(p′q′ = (0.5)(0.5) = 0.25\) matokeo katika bidhaa kubwa iwezekanavyo. (Jaribu bidhaa nyingine:\((0.6)(0.4) = 0.24\);\((0.3)(0.7) = 0.21\);\((0.2)(0.8) = 0.16\) na kadhalika). Bidhaa kubwa iwezekanavyo inatupa ukubwa\(n\). Hii inatupa sampuli kubwa ya kutosha ili tuweze kuwa na uhakika wa 90% kwamba tuko ndani ya asilimia tatu ya idadi ya watu wa kweli. Ili kuhesabu ukubwa wa sampuli\(n\), tumia formula na ufanye mbadala.

\[n = \dfrac{z^{2}p'q'}{EBP^{2}}\nonumber \]

anatoa

\[n = \dfrac{1.645^{2}(0.5)(0.5)}{0.03^{2}} = 751.7\nonumber \]

Pande zote jibu kwa thamani ya juu ijayo. Ukubwa wa sampuli lazima 752 wateja simu ya mkononi wenye umri wa miaka 50+ili kuwa 90% imani kwamba wastani (sampuli) uwiano ni ndani ya pointi asilimia tatu ya idadi ya watu wa kweli idadi ya wateja wote wenye umri wa miaka 50+ambao wanatumia ujumbe wa maandishi kwenye simu zao za mkononi.

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Tuseme kampuni ya masoko ya mtandao inataka kuamua asilimia ya sasa ya wateja ambao wanabonyeza matangazo kwenye simu zao za mkononi. Ni wateja wangapi wanapaswa utafiti wa kampuni ili wawe na uhakika wa 90% kwamba idadi inakadiriwa iko ndani ya asilimia tano ya idadi ya watu halisi ya wateja ambao bonyeza matangazo kwenye simu zao za mkononi?

Jibu: 271 wateja wanapaswa kuwa utafiti. Angalia sehemu ya Real Estate katika eneo lako

faharasa

Usambazaji wa Binomial: kipekee random variable (RV) ambayo inatokana na majaribio Bernoulli; kuna idadi fasta\(n\),, ya majaribio huru. “Independent” inamaanisha kwamba matokeo ya jaribio lolote (kwa mfano, jaribio 1) haliathiri matokeo ya majaribio yafuatayo, na majaribio yote yanafanyika chini ya hali sawa. Chini ya hali hizi RV binomial\(X\) inaelezwa kama idadi ya mafanikio katika\(n\) majaribio. Nukuu ni:\(X \sim B(\mathbf{n},\mathbf{p})\). Maana ni\(\mu = np\) na kupotoka kwa kiwango ni\(\sigma = \sqrt{npq}\). Uwezekano wa\(x\) mafanikio hasa katika\(n\) majaribio ni\(P(X = x = \left(\binom{n}{x}\right))p^{x}q^{n-x}\).

Hitilafu imefungwa kwa Idadi ya Watu (\(EBP\)): kiasi cha kosa; inategemea kiwango cha kujiamini, ukubwa wa sampuli, na uwiano wa mafanikio (kutoka kwa sampuli).