Skip to main content
Global

8.3: Idadi ya Watu Maana ya Kutumia usambazaji wa T wa Mwanafunzi

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    181398

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Katika mazoezi, sisi mara chache tunajua kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu. Katika siku za nyuma, wakati ukubwa wa sampuli ulikuwa mkubwa, hii haikuwasilisha tatizo kwa wanatakwimu. Walitumia kupotoka kwa kiwango cha sampuli\(s\) kama makadirio ya\(\sigma\) na kuendelea kama hapo awali ili kuhesabu muda wa kujiamini na matokeo ya karibu ya kutosha. Hata hivyo, wanatakwimu walikimbia matatizo wakati ukubwa wa sampuli ulikuwa mdogo. Ukubwa wa sampuli ndogo unasababishwa na usahihi katika muda wa kujiamini.

    William S. Goset (1876—1937) wa kampuni ya bia ya Guinness huko Dublin, Ireland alikimbia tatizo hili. Majaribio yake na humle na shayiri yalizalisha sampuli chache sana. Kubadilisha tu\(\sigma\) na\(s\) hakuzalisha matokeo sahihi wakati alijaribu kuhesabu muda wa kujiamini. Aligundua kwamba hakuweza kutumia usambazaji wa kawaida kwa hesabu; aligundua kuwa usambazaji halisi unategemea ukubwa wa sampuli. Tatizo hili lilimpelekea “kugundua” kile kinachoitwa t-usambazaji wa Mwanafunzi. Jina linatokana na ukweli kwamba Gosset aliandika chini ya jina la kalamu “Mwanafunzi.”

    Hadi katikati ya miaka ya 1970, baadhi ya wanatakwimu walitumia usambazaji wa kawaida wa makadirio kwa ukubwa mkubwa wa sampuli na walitumia tu\(t\) usambazaji wa Mwanafunzi kwa ukubwa wa sampuli ya 30. Kwa calculators graphing na kompyuta, mazoezi sasa ni kutumia mwanafunzi t-usambazaji wakati wowote\(s\) ni kutumika kama makadirio ya\(\sigma\). Kama kuteka rahisi random sampuli ya ukubwa\(n\) kutoka idadi ya watu ambayo ina takriban usambazaji wa kawaida na wastani\(\mu\) na haijulikani idadi ya watu kiwango kupotoka\(\sigma\) na mahesabu ya\(t\) -score

    \[t = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)},\]

    kisha\(t\) -alama kufuata mwanafunzi t-usambazaji na\(n – 1\) digrii ya uhuru. The\(t\) -score ina tafsiri sawa na z -score. Inapima jinsi mbali\(\bar{x}\) na maana yake\(\mu\). Kwa kila ukubwa sampuli\(n\), kuna tofauti Mwanafunzi t-usambazaji.

    Daraja la uhuru\(n – 1\), huja kutoka kwa hesabu ya kupotoka kwa kiwango cha sampuli\(s\). Hapo awali, tulitumia\(n\) upungufu (\(x - \bar{x}\)maadili) kuhesabu\(s\). Kwa sababu jumla ya kupotoka ni sifuri, tunaweza kupata kupotoka mwisho mara tu tunajua\(n – 1\) kupotoka nyingine. \(n – 1\)Ukosefu mwingine unaweza kubadilisha au kutofautiana kwa uhuru. Tunaita idadi\(n – 1\) ya digrii za uhuru (df).

    Kwa kila ukubwa sampuli\(n\), kuna tofauti Mwanafunzi t-usambazaji.

    Mali ya Mwanafunzi\(t\)-Distribution

    • Grafu ya\(t\) usambazaji wa Mwanafunzi ni sawa na kiwango cha kawaida cha kawaida.
    • Maana ya\(t\) Usambazaji wa Mwanafunzi ni sifuri na usambazaji ni ulinganifu kuhusu sifuri.
    • \(t\)Usambazaji wa Mwanafunzi una uwezekano mkubwa katika mikia yake kuliko usambazaji wa kawaida wa kawaida kwa sababu kuenea kwa\(t\) -usambazaji ni mkubwa kuliko kuenea kwa kiwango cha kawaida. Kwa hiyo grafu ya\(t\) usambazaji wa Mwanafunzi itakuwa mzito katika mkia na mfupi katikati kuliko grafu ya usambazaji wa kawaida wa kawaida.
    • Sura halisi ya\(t\) Usambazaji wa Mwanafunzi inategemea digrii za uhuru. Kama digrii za uhuru zinavyoongezeka, grafu ya\(t\) Usambazaji wa Mwanafunzi inakuwa zaidi kama grafu ya usambazaji wa kawaida wa kawaida.
    • idadi ya msingi ya uchunguzi wa mtu binafsi ni kudhani kuwa kawaida kusambazwa na idadi ya watu haijulikani maana\(\mu\) na haijulikani idadi ya watu kiwango kupotoka\(\sigma\). Ukubwa wa idadi ya watu msingi kwa ujumla si muhimu isipokuwa ni ndogo sana. Ikiwa ni umbo la kengele (kawaida) basi dhana inakutana na haihitaji majadiliano. Sampuli ya random inadhaniwa, lakini hiyo ni dhana tofauti kabisa na kawaida.

    Calculators na kompyuta kwa urahisi mahesabu yoyote Mwanafunzi\(t\) -probabilities. TI-83,83 +, na 84+ wana kazi ya tcdf ili kupata uwezekano wa maadili yaliyotolewa ya\(t\). Sarufi kwa amri ya tcdf ni tcdf (chini amefungwa, juu amefungwa, digrii za uhuru). Hata hivyo kwa vipindi vya kujiamini, tunahitaji kutumia uwezekano wa kinyume ili kupata thamani ya t tunapojua uwezekano.

    Kwa TI-84+ unaweza kutumia amri ya InvT kwenye orodha ya Distribution. Amri ya InvT inafanya kazi sawa na isiyo ya kawaida. Amri ya InvT inahitaji pembejeo mbili: InvT (eneo la kushoto, digrii za uhuru) Pato ni alama ya t-ambayo inalingana na eneo tuliloweka.

    TI-83 na 83+ hawana amri ya InvT. (TI-89 ina amri ya T inverse.)

    meza uwezekano kwa ajili ya Mwanafunzi\(t\) -usambazaji pia inaweza kutumika. Jedwali hutoa\(t\) -alama zinazohusiana na kiwango cha kujiamini (safu) na digrii za uhuru (mstari). (TI-86 haina mpango wa InvT au amri, hivyo ikiwa unatumia calculator hiyo, unahitaji kutumia meza ya uwezekano kwa ajili ya Mwanafunzi\(t\) -Distribution.) Unapotumia\(t\) -table, kumbuka kuwa baadhi ya meza zimepangiliwa ili kuonyesha kiwango cha kujiamini katika vichwa vya safu, wakati vichwa vya safu katika meza fulani vinaweza kuonyesha eneo linalofanana tu katika mikia moja au miwili.

    Mwanafunzi\(t\) -meza anatoa\(t\) -alama kupewa digrii ya uhuru na haki tailed uwezekano. Jedwali ni mdogo sana. Calculators na kompyuta kwa urahisi mahesabu yoyote Mwanafunzi\(t\) -probabilities.

    Nukuu ya usambazaji wa t wa Mwanafunzi (kwa kutumia T kama kutofautiana kwa random) ni:

    • \(T \sim t_{df}\)wapi\(df = n – 1\).
    • Kwa mfano, ikiwa tuna sampuli ya\(n = 20\) vitu vya ukubwa, basi tunahesabu digrii za uhuru kama\(df = n - 1 = 20 - 1 = 19\) na tunaandika usambazaji kama\(T \sim t_{19}\).

    Ikiwa kiwango cha kupotoka kwa idadi ya watu haijulikani, hitilafu iliyofungwa kwa maana ya idadi ya watu ni:

    • \(EBM = \left(t_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\),
    • \(t_{\frac{\alpha}{2}}\)ni\(t\) -score na eneo na haki sawa na\(\frac{\alpha}{2}\),
    • kutumia\(df = n – 1\) digrii za uhuru, na
    • \(s =\)sampuli kiwango kupotoka.

    Fomu ya muda wa kujiamini ni:

    \[(\bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM). \label{confint}\]

    Kuhesabu muda wa kujiamini moja kwa moja:

    Vyombo vya habari STAT.
    Mshale juu ya vipimo.
    Mshale chini ya 8:TInterval na waandishi wa habari kuingia (au bonyeza tu 8).

    Mfano\(\PageIndex{1}\): Acupuncture

    Tuseme unafanya utafiti wa acupuncture ili kuamua jinsi inavyofaa katika kupunguza maumivu. Unapima viwango vya hisia kwa masomo 15 na matokeo yaliyotolewa. Tumia data ya sampuli ili kujenga muda wa kujiamini wa 95% kwa kiwango cha maana cha hisia kwa idadi ya watu (kudhani kawaida) ambayo umechukua data.

    Suluhisho linaonyeshwa hatua kwa hatua na kwa kutumia calculators TI-83, 83+, au 84+.

    8.6; 9.4; 7.9; 6.8; 8.3; 7.3; 9.2; 9.6; 8.7; 11.4; 10.3; 5.4; 8.1; 5.5; 6.9

    Jibu

    • Suluhisho la kwanza ni hatua kwa hatua (Suluhisho A).
    • Suluhisho la pili linatumia calculators ya TI-83+ na TI-84 (Solution B).

    Suluhisho A

    Ili kupata muda wa kujiamini, unahitaji sampuli maana\(\bar{x}\), na\(EBM\).

    \(\bar{x} = 8.2267 \)

    \(s = 1.6722\)\(n = 15\)

    \(df = 15 – 1 = 14 CL so \alpha = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05\)

    \(\frac{\alpha}{2} = 0.025 t_{\frac{\alpha}{2}} = t_{0.025}\)

    Eneo la kulia\(t_{0.025}\) ni 0.025, na eneo upande wa kushoto\(t_{0.025}\) ni 1 — 0.025 = 0.975

    \(t_{\frac{\alpha}{2}} = t_{0.025} = 2.14\)kutumia InvT (.975,14) kwenye calculator TI-84+.

    \[ \begin{align*} EBM &= \left(t_{\frac{\alpha}{2}}\right)\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \\[4pt] &= (2.14)\left(\frac{1.6722}{\sqrt{15}}\right) = 0.924 \end{align*}\]

    Sasa ni matumizi ya moja kwa moja ya Equation\ ref {confint}:

    \[ \begin{align*} \bar{x} – EBM &= 8.2267 – 0.9240 = 7.3 \\[4pt] \bar{x} + EBM &= 8.2267 + 0.9240 = 9.15 \end{align*}\]

    Muda wa kujiamini wa 95% ni (7.30, 9.15).

    Tunakadiria kwa kujiamini 95% kwamba idadi ya watu wa kweli inamaanisha kiwango cha hisia ni kati ya 7.30 na 9.15.

    Suluhisho B

    Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.

    Mshale chini ya 8:TInterval na waandishi wa habari kuingia (au unaweza tu vyombo vya habari 8).
    Mshale kwa Data na waandishi wa habari kuingia.
    Mshale chini kwenye Orodha na uingie jina la orodha ambapo unaweka data.
    Kuna lazima iwe na 1 baada ya Freq.
    Mshale chini ya kiwango cha C na uingie 0.95
    Arrow chini ya Hesabu na waandishi wa habari kuingia.
    Muda wa kujiamini wa 95% ni (7.3006, 9.1527)

    Wakati wa kuhesabu kosa lililofungwa, meza ya uwezekano kwa usambazaji wa t wa Mwanafunzi pia inaweza kutumika kupata thamani ya\(t\). Jedwali hutoa\(t\) -alama zinazohusiana na kiwango cha kujiamini (safu) na digrii za uhuru (mstari);\(t\) -alama hupatikana ambapo mstari na safu huingiliana katika meza.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Unafanya utafiti wa hypnotherapy kuamua jinsi ufanisi ni katika kuongeza idadi ya masaa ya masomo ya usingizi kupata kila usiku. Unapima masaa ya usingizi kwa masomo 12 na matokeo yafuatayo. Jenga muda wa kujiamini wa 95% kwa idadi ya masaa ya kulala kwa idadi ya watu (kudhani kawaida) ambayo umechukua data.

    8.2; 9.1; 7.7; 8.6; 6.9; 11.2; 10.1; 9.9; 8.9; 9.2; 7.5; 10.5

    Jibu

    (8.1634, 9.8032)

    Mfano\(\PageIndex{2}\): The Human Toxome Project

    Mradi wa Toxome wa Binadamu (HTP) unafanya kazi kuelewa upeo wa uchafuzi wa viwanda katika mwili wa mwanadamu. Kemikali za viwanda zinaweza kuingia mwilini kupitia uchafuzi wa mazingira au kama viungo katika bidhaa za walaji. Mnamo Oktoba 2008, wanasayansi wa HTP walijaribu sampuli za damu ya kamba kwa watoto wachanga 20 waliozaliwa nchini Marekani. Damu ya kamba ya kundi la “Katika utero/watoto wachanga” ilijaribiwa kwa misombo ya viwanda 430, uchafuzi, na kemikali nyingine, ikiwa ni pamoja na kemikali zinazohusishwa na sumu ya ubongo na mfumo wa neva, sumu ya mfumo wa kinga, na sumu ya uzazi, na matatizo ya uzazi. Kuna wasiwasi wa afya kuhusu madhara ya kemikali fulani kwenye ubongo na mfumo wa neva. Jedwali\(\PageIndex{1}\) linaonyesha jinsi wengi wa kemikali zilizolengwa zilipatikana katika damu ya kamba ya kila mtoto.

    Jedwali\(\PageIndex{1}\)
    79 145 147 160 116 100 159 151 156 126
    137 83 156 94 121 144 123 114 139 99

    Tumia data hii ya sampuli ili kujenga muda wa kujiamini wa 90% kwa idadi ya wastani ya kemikali za viwanda zinazolengwa kupatikana katika damu ya watoto wachanga.

    Suluhisho A

    Kutoka sampuli, unaweza kuhesabu\(\bar{x} = 127.45\) na\(s = 25.965\). Kuna watoto wachanga 20 katika sampuli, hivyo\(n = 20\), na\(df = 20 – 1 = 19\).

    Wewe ni aliuliza mahesabu ya 90% kujiamini muda:\(CL = 0.90\), hivyo

    \[\alpha = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10 \frac{\alpha}{2} = 0.05, t_{\frac{\alpha}{2}} = t_{0.05}\]

    Kwa ufafanuzi, eneo la kulia\(t_{0.05}\) ni 0.05 na hivyo eneo la kushoto la\(t_{0.05}\) ni\(1 – 0.05 = 0.95\).

    Tumia meza, calculator, au kompyuta ili upate hiyo\(t_{0.05} = 1.729\).

    \(EBM = t_{\frac{\alpha}{2}}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) = 1.729\left(\frac{25.965}{\sqrt{20}}\right) \approx 10.038\)

    \(\bar{x} – EBM = 127.45 – 10.038 = 117.412\)

    \(\bar{x} + EBM = 127.45 + 10.038 = 137.488\)

    Tunakadiria kwa kujiamini 90% kuwa idadi ya wastani ya kemikali zote za viwanda zinazolengwa zilizopatikana katika damu ya kamba nchini Marekani ni kati ya 117.412 na 137.488.

    Suluhisho B

    Ingiza data kama orodha.

    Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.
    Mshale chini ya 8:TInterval na waandishi wa habari kuingia (au unaweza tu vyombo vya habari 8). Mshale kwa Data na waandishi wa habari kuingia.
    Mshale chini kwenye Orodha na uingie jina la orodha ambapo unaweka data.
    Mshale chini ya Freq na uingie 1.
    Mshale chini ya kiwango cha C na uingie 0.90
    Arrow chini ya Hesabu na waandishi wa habari kuingia.

    Muda wa kujiamini wa 90% ni (117.41, 137.49).

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Sampuli ya random ya wanafunzi wa takwimu waliulizwa kukadiria idadi ya masaa wanayotumia kuangalia televisheni kwa wiki ya wastani. Majibu yameandikwa katika Jedwali\(\PageIndex{2}\). Tumia data hii ya sampuli ili kujenga muda wa kujiamini wa 98% kwa idadi ya wastani ya masaa ya wanafunzi watatumia kuangalia televisheni katika wiki moja.

    Jedwali\(\PageIndex{2}\)
    0 3 1 20 9
    5 10 1 10 4
    14 2 4 4 5

    Suluhisho A

    • \(\bar{x} = 6.133\),
    • \(s = 5.514\),
    • \(n = 15\), na
    • \(df = 15 – 1 = 14\).

    \(CL = 0.98\), hivyo\(\alpha = 1 - CL = 1 - 0.98 = 0.02\)

    \(\frac{\alpha}{2} = 0.01 t_{\frac{\alpha}{2}} = t_{0.01} 2.624\)

    \(EBM = t_{\frac{\alpha}{2}}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) = 2.624\left(\frac{5.514}{\sqrt{15}}\right) - 3.736\)

    \(\bar{x} – EBM = 6.133 – 3.736 = 2.397\)

    \(\bar{x} + EBM = 6.133 + 3.736 = 9.869\)

    Tunakadiria kwa 98% kujiamini kwamba idadi ya wastani ya masaa yote ambayo takwimu wanafunzi hutumia kuangalia televisheni katika wiki moja ni kati ya 2.397 na 9.869.

    Suluhisho B

    Ingiza data kama orodha.

    Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.
    Mshale chini ya 8:TInterval.
    Waandishi wa habari kuingia.
    Mshale kwa Data na waandishi wa habari kuingia.
    Mshale chini na uingie jina la orodha ambapo data imehifadhiwa.
    Ingiza Freq: 1
    Ingiza C-Level: 0.98
    Mshale chini ya Kuhesabu na waandishi wa habari Ingiza.
    Muda wa kujiamini wa 98% ni (2.3965, 9,8702).

    Kumbukumbu

    1. “Marekani Best Makampuni Small.” Forbes, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (imefikia Julai 2, 2013).
    2. Data kutoka Microsoft Bookshelf.
    3. Takwimu kutoka http://www.businessweek.com/.
    4. Takwimu kutoka http://www.forbes.com/.
    5. “Catalogue Data Catalog: Uongozi PAC na Wadhamini Ripoti, 2012.” Shirikisho Tume ya Uchaguzi. Inapatikana mtandaoni kwenye www.fec.gov/data/index.jsp (imefikia Julai 2,2013).
    6. “Binadamu Toxome Project: Ramani Uchafuzi wa mazingira katika Watu.” Kikundi cha Kazi cha Mazingira. Inapatikana mtandaoni kwenye www.ewg.org/sites/humantoxome... Tero%2fNewn (imefikia Julai 2, 2013).
    7. “Metadata Maelezo ya Uongozi PAC Orodha.” Shirikisho Tume ya Uchaguzi. Inapatikana mtandaoni kwenye www.fec.gov/finance/disclosur... ppaclist.shtml (imefikia Julai 2, 2013).

    faharasa

    Daraja la Uhuru (\(df\))
    idadi ya vitu katika sampuli ambayo ni bure kutofautiana
    Usambazaji wa kawaida
    kuendelea random variable (RV) na pdf\(f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^{2}}\), ambapo\(\mu\) ni maana ya usambazaji na\(\sigma\) ni kupotoka kiwango, nukuu:\(X \sim N(\mu,\sigma)\). Ikiwa\(\mu = 0\) na\(\sigma = 1\), RV inaitwa usambazaji wa kawaida wa kawaida.
    Mkengeuko
    idadi ambayo ni sawa na mizizi mraba ya ugomvi na hatua jinsi mbali data maadili ni kutoka maana yao; nukuu:\(s\) kwa sampuli kiwango kupotoka na\(\sigma\) kwa idadi ya watu kiwango kupotoka
    Mwanafunzi t -Distribution
    kuchunguzwa na kuripotiwa na William S. Gossett katika 1908 na kuchapishwa chini ya jina la siri Mwanafunzi; sifa kubwa ya variable random (RV) ni:
    • Ni kuendelea na inachukua maadili yoyote halisi.
    • Pdf ni sawa kuhusu maana yake ya sifuri. Hata hivyo, ni zaidi kuenea nje na flatter katika kilele kuliko usambazaji wa kawaida.
    • Inakaribia kiwango usambazaji wa kawaida kama n kupata kubwa.
    • Kuna “familia” ya mgawanyo wa t: kila mwakilishi wa familia hufafanuliwa kabisa na idadi ya digrii za uhuru, ambayo ni moja chini ya idadi ya data.