5.2: Kazi za Uwezekano wa Kuendelea

Last updated
Save as PDF

Page ID: 181122

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Tunaanza kwa kufafanua kuendelea uwezekano wiani kazi. Tunatumia notation ya kazi\(f(x)\). Kati algebra inaweza kuwa rasmi yako ya kwanza kuanzishwa kwa kazi. Katika utafiti wa uwezekano, kazi tunayojifunza ni maalum. Tunafafanua kazi\(f(x)\) ili eneo kati yake na x-axis ni sawa na uwezekano. Kwa kuwa uwezekano mkubwa ni moja, eneo la juu pia ni moja. Kwa mgawanyo kuendelea uwezekano, UWEZEKANO = AREA.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Fikiria kazi\(f(x) = \frac{1}{20}\) kwa\(0 \leq x \leq 20\). \(x =\)idadi halisi. Grafu ya\(f(x) = \frac{1}{20}\) ni mstari usio na usawa. Hata hivyo, tangu\(0 \leq x \leq 20\),\(f(x)\) ni vikwazo kwa sehemu kati ya\(x = 0\) na\(x = 20\), umoja.

Hii inaonyesha grafu ya kazi f (x) = 1/20. Mstari wa usawa unaanzia hatua (0, 1/20) hadi hatua (20, 1/20). Mstari wa wima unatoka kwenye mhimili wa x hadi mwisho wa mstari kwenye hatua (20, 1/20) kuunda mstatili. — Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

\[f(x) = \frac{1}{20} \text{ for } 0 \leq x \leq 20.\]

Grafu ya\(f(x) = \frac{1}{20}\) ni sehemu ya mstari wa usawa wakati\(0 \leq x \leq 20\).

Eneo kati ya\(f(x) = \frac{1}{20}\) wapi\(0 \leq x \leq 20\) na x -axis ni eneo la mstatili na msingi = 20 na urefu =\(\frac{1}{20}\).

\[AREA = 20 \left(\frac{1}{20} \right) = 1\]

Tuseme tunataka kupata eneo kati\(f(x) = \frac{1}{20}\) na x -axis ambapo\(0 < x < 2\).

5.1.2.pngHii inaonyesha grafu ya kazi f (x) = 1/20. Mstari wa usawa unaanzia hatua (0, 1/20) hadi hatua (20, 1/20). Mstari wa wima unatoka kwenye mhimili wa x hadi mwisho wa mstari kwenye hatua (20, 1/20) kuunda mstatili. Mkoa umevuliwa ndani ya mstatili kutoka x = 0 hadi x = 2. — Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

\[AREA = (2 - 0) \left(\dfrac{1}{20} \right) = 0.1\]

\((2 - 0) = 2 = \text{base of a rectangle}\)

KUMBUSHO: eneo la mstatili = (msingi) (urefu).

Eneo hilo linalingana na uwezekano. Uwezekano kwamba x ni kati ya sifuri na mbili ni 0.1, ambayo inaweza kuandikwa hesabu kama\(P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0.1\).

Tuseme tunataka kupata eneo kati\(f(x) = \frac{1}{20}\) na x -axis ambapo\(4 < x < 15\).

\(\text{AREA} = (15 – 4)(\frac{1}{20}) = 0.55\)

\((15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}(15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}\)

Eneo hilo linalingana na uwezekano\(P(4 < x < 15) = 0.55\).

Tuseme tunataka kupata\(P(x = 15)\). Kwenye grafu ya x-y,\(x = 15\) ni mstari wa wima. Mstari wa wima hauna upana (au upana wa sifuri). Kwa hiyo,\(P(x = 15) = (\text{base})(\text{height}) = (0)\left(\frac{1}{20}\right) = 0\)

\(P(X \leq x)\)(inaweza kuandikwa kama\(P(X < x)\) mgawanyo wa kuendelea) inaitwa kazi ya usambazaji wa jumla au CDF. Angalia “chini ya au sawa na” ishara. Tunaweza kutumia CDF kuhesabu\(P(X > x)\). CDF inatoa “eneo upande wa kushoto” na\(P(X > x)\) inatoa “eneo la kulia.” Tunahesabu\(P(X > x)\) kwa mgawanyo unaoendelea kama ifuatavyo:\(P(X > x) = 1 – P(X < x)\).

Weka grafu\(f(x)\) na\(x\). Kuongeza\(x\) na\(y\) axes na kiwango cha juu\(x\) na\(y\) maadili. \(f(x) = \frac{1}{20}\),\(0 \leq x \leq 20\).

Ili kuhesabu uwezekano\(x\) ulio kati ya maadili mawili, angalia grafu ifuatayo. Kivuli kanda kati\(x = 2.3\) na\(x = 12.7\). Kisha uhesabu eneo la kivuli cha mstatili.

\[P(2.3 < x < 12.7) = (\text{base})(\text{height}) = (12.7−2.3)\left(\dfrac{1}{20}\right) = 0.52\]

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Fikiria kazi\(f(x) = \frac{1}{8}\) kwa\(0 \leq x \leq 8\). Chora grafu ya\(f(x)\) na kupata\(P(2.5 < x < 7.5)\).

Jibu: Kielelezo\(\PageIndex{7}\)

\(P (2.5 < x < 7.5) = 0.625\)

Muhtasari

Kazi ya wiani ya uwezekano (pdf) hutumiwa kuelezea uwezekano wa vigezo vya random vinavyoendelea. Eneo chini ya safu ya wiani kati ya pointi mbili inalingana na uwezekano kwamba kutofautiana huanguka kati ya maadili hayo mawili. Kwa maneno mengine, eneo chini ya safu ya wiani kati ya pointi a na b ni sawa na\(P(a < x < b)\). Kazi ya usambazaji wa jumla (cdf) inatoa uwezekano kama eneo. Ikiwa\(X\) ni variable ya random inayoendelea, kazi ya wiani ya uwezekano (pdf)\(f(x)\), hutumiwa kuteka grafu ya usambazaji wa uwezekano. Eneo la jumla chini ya grafu ya\(f(x)\) ni moja. Eneo chini ya grafu ya\(f(x)\) na kati ya maadili a na b hutoa uwezekano\(P(a < x < b)\).

Grafu upande wa kushoto inaonyesha safu ya wiani wa jumla, y = f (x). Kanda chini ya pembe na juu ya x-axis ni kivuli. Eneo la mkoa wa kivuli ni sawa na 1. Hii inaonyesha kwamba matokeo yote inawezekana ni kuwakilishwa na Curve. Grafu upande wa kulia inaonyesha safu sawa ya wiani. Mstari wa wima x = a na x = b kupanua kutoka mhimili hadi kwenye pembe, na eneo kati ya mistari ni kivuli. Eneo la eneo la kivuli linawakilisha uwezekano kwamba thamani x iko kati ya a na b. — Kielelezo\(\PageIndex{8}\)

kazi ya usambazaji nyongeza (cdf) ya\(X\) inaelezwa na\(P(X \leq x)\). Ni kazi ya\(x\) kwamba anatoa uwezekano kwamba variable random ni chini ya au sawa na\(x\).

Mapitio ya Mfumo

Uwezekano wiani kazi (pdf)\(f(x)\):

\(f(x) \geq 0\)
Eneo la jumla chini ya pembe\(f(x)\) ni moja.

Kazi ya usambazaji wa jumla (cdf):\(P(X \leq x)\)