5.3: Usambazaji Sare
Usambazaji sare ni usambazaji wa uwezekano unaoendelea na unahusika na matukio ambayo yanaweza kutokea. Wakati wa kufanya kazi nje ya matatizo ambayo yana usambazaji sare, kuwa makini kutambua kama data ni ya pamoja au ya kipekee.
Mfano 5.3.1
Takwimu katika Jedwali5.3.1 ni mara 55 za kusisimua, kwa sekunde, za mtoto mwenye umri wa wiki nane.
10.4 | 19.6 | 18.8 | 13.9 | 17.8 | 16.8 | 21.6 | 17.9 | 12.5 | 11.1 | 4.9 |
12.8 | 14.8 | 22.8 | 20.0 | 15.9 | 16.3 | 13.4 | 17.1 | 14.5 | 19.0 | 22.8 |
1.3 | 0.7 | 8.9 | 11.9 | 10.9 | 7.3 | 5.9 | 3.7 | 17.9 | 19.2 | 9.8 |
5.8 | 6.9 | 2.6 | 5.8 | 21.7 | 11.8 | 3.4 | 2.1 | 4.5 | 6.3 | 10.7 |
8.9 | 9.4 | 9.4 | 7.6 | 10.0 | 3.3 | 6.7 | 7.8 | 11.6 | 13.8 | 18.6 |
Sampuli inamaanisha = 11.49 na kupotoka kwa kiwango cha sampuli = 6.23.
Tutafikiri kwamba nyakati za kusisimua, kwa sekunde, kufuata usambazaji sare kati ya sifuri na sekunde 23, pamoja. Hii ina maana kwamba wakati wowote wa kusisimua kutoka sifuri hadi na ikiwa ni pamoja na sekunde 23 ni uwezekano sawa. Histogram ambayo inaweza kujengwa kutoka sampuli ni usambazaji wa maandishi unaofanana na usambazaji wa sare ya kinadharia.
HebuX= urefu, kwa sekunde, ya tabasamu ya mtoto mwenye umri wa wiki nane.
Uthibitisho wa usambazaji sare ni
X∼U(a,b)ambapo thamania= ya chini yax na thamanib= ya juu yax.
Kazi ya wiani ya uwezekano nif(x)=1b−a kwaa≤x≤b.
Kwa mfano huu,X∼U(0,23) naf(x)=123−0 kwa0≤X≤23.
Fomu kwa maana ya kinadharia na kupotoka kwa kiwango ni
μ=a+b2
na
σ=√(b−a)212
Kwa tatizo hili, maana ya kinadharia na kupotoka kwa kiwango ni
μ=0+232=11.50seconds
na
σ=(23−0)212=6.64seconds.
Kumbuka kwamba maana ya kinadharia na kupotoka kwa kiwango ni karibu na sampuli maana na kupotoka kwa kiwango katika mfano huu.
Zoezi5.3.1
Takwimu zinazofuata ni idadi ya abiria kwenye boti 35 za uvuvi tofauti za mkataba. Sampuli inamaanisha = 7.9 na kupotoka kwa kiwango cha sampuli = 4.33. Takwimu zinafuata usambazaji sare ambapo maadili yote kati na ikiwa ni pamoja na sifuri na 14 yana uwezekano sawa. Hali maadili ya nab. Andika usambazaji kwa nukuu sahihi, na uhesabu maana ya kinadharia na kupotoka kwa kawaida.
1 | 12 | 4 | 10 | 4 | 14 | 11 |
7 | 11 | 4 | 13 | 2 | 4 | 6 |
3 | 10 | 0 | 12 | 6 | 9 | 10 |
5 | 13 | 4 | 10 | 14 | 12 | 11 |
6 | 10 | 11 | 0 | 11 | 13 | 2 |
Jibu
ani sifuri;b ni14X∼U(0,14);μ=7 abiria;σ=4.04 abiria
Mfano 5.3.2A
a Rejea Mfano 5.3.1. Je! Ni uwezekano gani kwamba mtoto mwenye umri wa wiki nane aliyechaguliwa kwa nasibu anasisimua kati ya sekunde mbili na 18?
Jibu
a. kupataP(2<x<18).
P(2<x<18)=(base)(height)=(18–2)(123)=(1623).

Zoezi5.3.2B
b Pata asilimia 90 ya muda wa mtoto mwenye umri wa wiki nane.
Jibu
b. asilimia tisini ya mara smiling kuanguka chini ya asilimia 90 thk, hivyoP(x<k)=0.90
P(x<k)=0.90
(base)(height)=0.90
(k−0)(123)=0.90
k=(23)(0.90)=20.7

Zoezi5.3.3C
pata uwezekano kwamba mtoto mwenye umri wa wiki nane anasisimua zaidi ya sekunde 12 akijua kwamba mtoto anasisimua zaidi ya sekunde nane.
Jibu
c Swali hili la uwezekano ni masharti. Unaulizwa kupata uwezekano kwamba mtoto mwenye umri wa wiki nane anasisimua zaidi ya sekunde 12 wakati tayari unajua mtoto ametabasamu kwa sekunde zaidi ya nane.
TafutaP(x>12|x>8) Kuna njia mbili za kufanya tatizo. Kwa njia ya kwanza, tumia ukweli kwamba hii ni masharti na kubadilisha nafasi ya sampuli. Grafu inaonyesha nafasi mpya ya sampuli. Tayari unajua mtoto alitabasamu zaidi ya sekunde nane.
Andika mpyaf(x):f(x)=123−8=115
kwa8<x<23
P(x>12|x>8)=(23−12)(115)=(1115)

Kwa njia ya pili, tumia fomu ya masharti kutoka kwa Mada ya Uwezekano na usambazaji wa awaliX∼U(0,23):
P(A|B)=P(A AND B)P(B)
Kwa tatizo hili,A ni (x>12) naB ni (x>8).
Hivyo,P(x>12|x>8)=(x>12 AND x>8)P(x>8)=P(x>12)P(x>8)=11231523=1115

Zoezi5.3.2
usambazaji ni kutolewa kamaX∼U(0,20). Ni niniP(2<x<18)? Kupata 90 th percentile.
Jibu
P(2<x<18)=0.8; 90 th percentile=18
Mfano 5.3.3
Kiasi cha muda, kwa dakika, kwamba mtu lazima asubiri basi ni sawasawa kusambazwa kati ya sifuri na dakika 15, pamoja.
Zoezi5.3.3.1
a Ni uwezekano gani kwamba mtu anasubiri chini ya dakika 12.5?
Jibu
Hebu idadiX= ya dakika mtu lazima asubiri basi. a=0nab=15. X∼U(0,15). Andika kazi ya wiani wa uwezekano. f(x)=115−0=115kwa0≤x≤15.
KupataP(x<12.5). Chora grafu.
P(x<k)=(base)(height)=(12.5−0)(115)=0.8333
Uwezekano mtu anasubiri chini ya dakika 12.5 ni 0.8333.

Zoezi5.3.3.2
b Kwa wastani, mtu lazima asubiri muda gani? Kupata maana,μ, na kupotoka kiwango,σ.
Jibu
bμ=a+b2=15+02=7.5. Kwa wastani, mtu lazima asubiri dakika 7.5.
σ=√(b−a)212=√(12−0)212=4.3. Kupotoka kwa kiwango ni dakika 4.3.
Zoezi5.3.3.3
c. asilimia tisini ya muda, wakati mtu lazima kusubiri iko chini ya thamani gani?
Kumbuka 5.3.3.3.1
Hii anauliza kwa asilimia 90 th.
Jibu
c Kupata 90 th percentile. Chora grafu. Hebuk= 90 th percentile.
P(x<k)=(base)(height)=(k−0)(115)
0.90=(k)(115)
k=(0.90)(15)=13.5
kwakati mwingine huitwa thamani muhimu.
Asilimia ya 90 ni dakika 13.5. Asilimia tisini ya muda, mtu lazima asubiri dakika 13.5 zaidi.

Zoezi5.3.4
Muda wa jumla wa michezo ya baseball katika ligi kuu katika msimu wa 2011 unasambazwa kwa usawa kati ya masaa 447 na masaa 521 pamoja.
- Pataab na ueleze kile wanachowakilisha.
- Andika usambazaji.
- Pata maana na kupotoka kwa kiwango.
- Je! Ni uwezekano gani kwamba muda wa michezo kwa timu ya msimu wa 2011 ni kati ya masaa 480 na 500?
- ni 65 th percentile kwa muda wa michezo kwa ajili ya timu kwa ajili ya msimu 2011?
Jibu
- ani447, nab ni521. a ni muda wa chini wa michezo kwa ajili ya timu kwa ajili ya msimu 2011, nab ni muda upeo wa michezo kwa ajili ya timu kwa ajili ya msimu 2011.
- X∼U(447,521).
- μ=484, naσ=21.36
Kielelezo5.3.1.
- P(480<x<500)=0.2703
- Asilimia 65 ni masaa 495.1.
Mfano 5.3.4
Tuseme wakati inachukua umri wa miaka tisa kula donut ni kati ya dakika 0.5 na 4, pamoja. HebuX= wakati, kwa dakika, inachukua mtoto mwenye umri wa miaka tisa kula donut. KishaX∼U(0.5,4).
a. uwezekano wa kuwa mtoto mwenye umri wa miaka tisa aliyechaguliwa kwa nasibu anakula donut angalau dakika mbili ni _______.
Suluhisho
a. 0.5714
Zoezi5.3.4.1
pata uwezekano wa kuwa mtoto tofauti mwenye umri wa miaka tisa anakula donut kwa dakika zaidi ya mbili kutokana na kwamba mtoto tayari amekula donut kwa zaidi ya dakika 1.5.
Swali la pili lina uwezekano wa masharti. Unaulizwa kupata uwezekano kwamba mtoto mwenye umri wa miaka tisa anakula donut kwa dakika zaidi ya mbili kutokana na kwamba mtoto tayari amekula donut kwa dakika zaidi ya 1.5. Tatua tatizo njia mbili tofauti (angalia Mfano). Lazima kupunguza nafasi ya sampuli. Njia ya kwanza: Kwa kuwa unajua mtoto tayari amekula donut kwa dakika zaidi ya 1.5, hutaanza tena saa = 0.5 dakika. Hatua yako ya kuanzia ni dakika 1.5.
Andika mpyaf(x):
f(x)=14−1.5=25kwa1.5≤x≤4.
KupataP(x>2|x>1.5). Chora grafu.

P(x>2|x>1.5)=(base)(new height)=(4−2)(25)(25)=?
Jibu
b.45
Uwezekano kwamba mtoto mwenye umri wa miaka tisa anakula donut kwa dakika zaidi ya mbili kutokana na kwamba mtoto tayari amekula donut kwa dakika zaidi ya 1.5 ni45.
Njia ya pili: Chora grafu ya awali kwaX∼U(0.5,4). Tumia formula ya masharti
P(x>2|x>1.5)=P(x>2ANDx>1.5)P(x>1.5)=P(x>2)P(x>1.5)=23.52.53.5=0.8=45
Zoezi5.3.5
Tuseme wakati inachukua mwanafunzi kumaliza jaribio ni enhetligt kusambazwa kati ya dakika sita na 15, umoja. HebuX= wakati, kwa dakika, inachukua mwanafunzi kumaliza jaribio. KishaX∼U(6,15).
Pata uwezekano kwamba mwanafunzi aliyechaguliwa kwa nasibu anahitaji angalau dakika nane ili kukamilisha jaribio. Kisha kupata uwezekano kwamba mwanafunzi tofauti anahitaji angalau dakika nane kumaliza jaribio kutokana na kwamba tayari amechukua dakika zaidi ya saba.
Jibu
P(x>8)=0.7778
P(x>8|x>7)=0.875
Mfano 5.3.5
Ace Inapokanzwa na Huduma ya Hali ya hewa inaona kwamba kiasi cha muda mtengenezaji anahitaji kurekebisha tanuru ni sawasawa kusambazwa kati ya masaa 1.5 na nne. Hebux= wakati unahitajika kurekebisha tanuru. Kishax∼U(1.5,4).
- Pata uwezekano wa kutengeneza tanuru iliyochaguliwa kwa nasibu inahitaji zaidi ya masaa mawili.
- Pata uwezekano wa kutengeneza tanuru iliyochaguliwa kwa nasibu inahitaji chini ya masaa matatu.
- Pata asilimia 30 ya nyakati za kutengeneza tanuru.
- Zaidi ya 25% ya nyakati za kutengeneza tanuru huchukua angalau muda gani? (Kwa maneno mengine: kupata muda wa chini kwa muda mrefu zaidi ya 25% ya nyakati za kutengeneza.) Je, hii inawakilisha asilimia gani?
- Kupata maana na kiwango kupotoka
Suluhisho
a Ili kupataf(x):f(x)=14−1.5=12.5 hivyof(x)=0.4
P(x>2)=(base)(height)=(4–2)(0.4)=0.8

b.P(x<3)=(base)(height)=(3–1.5)(0.4)=0.6
Grafu ya mstatili inayoonyesha usambazaji mzima ingebaki sawa. Hata hivyo, grafu inapaswa kuwa kivuli katix=1.5 nax=3. Kumbuka kuwa eneo la kivuli linaanzax=1.5 badala yax=0; tanguX∼U(1.5,4),x hawezi kuwa chini ya 1.5.

c.

P(x<k)=0.30
P(x<k)=(base)(height)=(k–1.5)(0.4)
0.3=(k–1.5)(0.4); Tatua kupatak:
0.75=k–1.5, kupatikana kwa kugawanya pande zote mbili na 0.4
k=2.25, kupatikana kwa kuongeza 1.5 kwa pande zote mbili
Asilimia 30 ya nyakati za kutengeneza ni masaa 2.25. 30% ya nyakati za kutengeneza ni masaa 2.25 au chini.
d.

P(x>k)=0.25
P(x>k)=(base)(height)=(4–k)(0.4)
0.25=(4–k)(0.4); Tatua kwak:
0.625=4−k,
kupatikana kwa kugawanya pande zote mbili na 0.4
−3.375=−k,
zilizopatikana kwa kuondoa nne kutoka pande zote mbili: k=3.375
Zaidi ya 25% ya matengenezo ya tanuru huchukua angalau masaa 3.375 (masaa 3.375 au zaidi).
Kumbuka: Tangu 25% ya nyakati za kutengeneza ni masaa 3.375 au zaidi, hiyo ina maana kwamba 75% ya nyakati za kutengeneza ni masaa 3.375 au chini. Masaa 3.375 ni asilimia 75 ya nyakati za kutengeneza tanuru.
e.μ=a+b2 naσ=√(b−a)212
μ=1.5+42=2.75masaa naσ=√(4−1.5)212=0.7217 masaa
Zoezi5.3.6
Kiasi cha muda mtaalamu wa huduma anahitaji kubadilisha mafuta katika gari ni sawasawa kusambazwa kati ya dakika 11 na 21. HebuX= wakati unahitajika kubadili mafuta kwenye gari.
- Andika variable randomX kwa maneno. X=__________________.
- Andika usambazaji.
- Graph usambazaji.
- KupataP(x>19).
- Kupata 50 th percentile.
Jibu
- HebuX= wakati unahitajika kubadili mafuta katika gari.
- X∼U(11,21).
-
Kielelezo5.3.7.
- P(x>19)=0.2
- 50 th percentile ni dakika 16.
Tathmini
IkiwaX ina usambazaji sare ambapoa<x<b aua≤x≤b, kishaX inachukua maadili katia nab (inaweza kujumuishaa nab). Maadili yotex ni sawa. TunaandikaX∼U(a,b). Maana yaX niμ=a+b2. kupotoka kiwango chaX niσ=√(b−a)212. uwezekano wiani kazi yaX nif(x)=1b−a kwa ajili yaa≤x≤b. nyongeza usambazaji kazi yaX niP(X≤x)=x−ab−a. Xni endelevu.

uwezekanoP(c<X<d) inaweza kupatikana kwa kompyuta eneo chini yaf(x), katic nad. Kwa kuwa eneo linalofanana ni mstatili, eneo hilo linaweza kupatikana tu kwa kuzidisha upana na urefu.
Mapitio ya Mfumo
X=idadi halisi katia nab (katika baadhi ya matukio,X inaweza kuchukua maadilia nab). a=ndogoX;b= kubwaX
X∼U(a,b)
Maana niμ=a+b2
Kupotoka kwa kiwango niσ=√(b−a)212
Uwezekano wiani kazi:f(x)=1b−afora≤X≤b
Eneo kwa upande wa kushoto wax:P(X<x)=(x–a)(1b−a)
Eneo la Haki yax: P (X>x) = (b — x)(1b−a)
Eneo Katic nad:P(c<x<d)=(base)(height)=(d–c)(1b−a)
Sare:X∼U(a,b) wapia<x<b
- pdf:f(x)=1b−a kwaa≤x≤b
- cdf:P(X≤x)=x−ab−a
- maanaμ=a+b2
- kiwango kupotokaσ=√(b−a)212
- P(c<X<d)=(d–c)(1b−a)
Marejeo
McDougall, John A. McDougall Programu ya Upeo Kupoteza uzito. Plume, 1995.
Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu maswali kumi ijayo. Takwimu zinazofuata ni picha za mraba (katika futi 1,000 za mraba) za nyumba 28.
1.5 | 2.4 | 3.6 | 2.6 | 1.6 | 2.4 | 2.0 |
3.5 | 2.5 | 1.8 | 2.4 | 2.5 | 3.5 | 4.0 |
2.6 | 1.6 | 2.2 | 1.8 | 3.8 | 2.5 | 1.5 |
2.8 | 1.8 | 4.5 | 1.9 | 1.9 | 3.1 | 1.6 |
Sampuli inamaanisha = 2.50 na kupotoka kwa kiwango cha sampuli = 0.8302.
Usambazaji unaweza kuandikwa kamaX∼U(1.5,4.5).
Zoezi5.3.7
Ni aina gani ya usambazaji huu?
Zoezi5.3.8
Katika usambazaji huu, matokeo yanawezekana sawa. Hii inamaanisha nini?
Jibu
Ina maana kwamba thamani ya x ni kama uwezekano wa kuwa idadi yoyote kati ya 1.5 na 4.5.
Zoezi5.3.9
Je, ni urefu waf(x) kwa ajili ya usambazaji kuendelea uwezekano?
Zoezi5.3.10
Je, ni vikwazo kwa maadili yax?
Jibu
1.5≤x≤4.5
Zoezi5.3.11
GrafuP(2<x<3).
Zoezi5.3.12
Ni niniP(2<x<3)?
Jibu
0.3333
Zoezi5.3.13
Ni niniP(x<3.5|x<4)?
Zoezi5.3.14
Ni niniP(x=1.5)?
Jibu
sufuri
Zoezi5.3.15
Je, ni asilimia 90 th ya Footage mraba kwa ajili ya nyumba?
Zoezi5.3.16
Pata uwezekano kwamba nyumba iliyochaguliwa kwa nasibu ina zaidi ya futi za mraba 3,000 kutokana na kwamba tayari unajua nyumba ina zaidi ya miguu ya mraba 2,000.
Jibu
0.6
Zoezi5.3.17
Ni ninia? Inawakilisha nini?
Zoezi5.3.18
Ni ninib? Inawakilisha nini?
Jibu
bni12, na inawakilisha thamani ya juu yax.
Zoezi5.3.19
Je, ni uwezekano wiani kazi gani?
Zoezi5.3.20
Nini maana ya kinadharia?
Jibu
sita
Zoezi5.3.21
Kupotoka kwa kiwango cha kinadharia ni nini?
Zoezi5.3.22
Chora grafu ya usambazaji kwaP(x>9).
Jibu

Zoezi5.3.23
KupataP(x>9).
Zoezi5.3.24
Kupata 40 th percentile.
Jibu
4.8
Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi kumi na moja ijayo. Umri wa magari katika kura ya maegesho ya wafanyakazi wa chuo cha miji ni sawasawa kusambazwa kutoka miezi sita (miaka 0.5) hadi miaka 9.5.
Zoezi5.3.25
Ni nini kinachopimwa hapa?
Zoezi5.3.26
Kwa maneno, kufafanua variable randomX.
Jibu
X= Umri (katika miaka) ya magari katika kura ya maegesho ya wafanyakazi
Zoezi5.3.27
Je, data ni ya kipekee au inayoendelea?
Zoezi5.3.28
Muda wa maadili kwax ni ______.
Jibu
0.5 hadi 9.5
Zoezi5.3.29
Usambazaji kwaX ni ______.
Zoezi5.3.30
Andika kazi ya wiani wa uwezekano.
Jibu
f(x)=19ambapox ni kati ya 0.5 na 9.5, umoja.
Zoezi5.3.31
Grafu usambazaji uwezekano.
- Mchoro grafu ya usambazaji wa uwezekano.
Kielelezo5.3.10.
- Tambua maadili yafuatayo:
- Thamani ya chini kabisa kwaˉx: _______
- Thamani ya juu zaidi kwaˉx: _______
- Urefu wa mstatili: _______
- Lebo ya x -axis (maneno): _______
- Lebo kwa y -axis (maneno): _______
Zoezi5.3.32
Kupata umri wa wastani wa magari katika kura.
Jibu
μ= 5
Zoezi5.3.33
Pata uwezekano kwamba gari lililochaguliwa kwa nasibu katika kura lilikuwa chini ya miaka minne.
- Mchoro grafu, na kivuli eneo la riba.
Kielelezo5.3.11.
- Kupata uwezekano. P(x<4)=_______
Zoezi5.3.34
Kuzingatia magari tu chini ya umri wa miaka 7.5, pata uwezekano kwamba gari lililochaguliwa kwa nasibu katika kura lilikuwa chini ya miaka minne.
- Mchoro grafu, kivuli eneo la riba.
Kielelezo5.3.12.
- Kupata uwezekano. P(x<4|x<7.5)=_______
Jibu
- Angalia ufumbuzi wa mwanafunzi.
- 3.57
Zoezi5.3.35
Nini kimebadilika katika matatizo mawili yaliyopita ambayo alifanya ufumbuzi tofauti
Zoezi5.3.36
Kupata robo ya tatu ya umri wa magari katika kura. Hii ina maana utakuwa na kupata thamani kama kwamba34, au 75%, ya magari ni saa zaidi (chini ya au sawa na) umri huo.
- Mchoro grafu, na kivuli eneo la riba.
Kielelezo5.3.13.
- Pata thamanik kama hiyoP(x<k)=0.75.
- Quartile ya tatu ni _______
Jibu
- Angalia ufumbuzi wa mwanafunzi.
- k=7.25
- 7.25
faharasa
- Uwezekano wa masharti
- uwezekano kwamba tukio kutokea kutokana na kwamba tukio jingine tayari ilitokea