4.6: Hypergeometric usambazaji

Usambazaji wa hypergeometric hutokea wakati sampuli moja kutoka kwa idadi ya watu wa mwisho, hivyo kufanya majaribio yanategemea. Kuna sifa tano za jaribio la hypergeometric.

Tabia ya jaribio la hypergeometric

1. Unachukua sampuli kutoka kwa makundi mawili.
2. Una wasiwasi na kikundi cha maslahi, kinachoitwa kundi la kwanza.
3. Wewe sampuli bila uingizwaji kutoka kwa makundi ya pamoja. Kwa mfano, unataka kuchagua timu ya softball kutoka kwa kundi la pamoja la wanaume 11 na wanawake 13. Timu ina wachezaji kumi.
4. Kila pick sio huru, kwani sampuli haina uingizwaji. Katika mfano wa softball, uwezekano wa kuokota mwanamke kwanza ni\(\frac{13}{24}\). Uwezekano wa kumchukua mtu wa pili ni\(\frac{11}{23}\) kama mwanamke alichukua kwanza. Ni\(\frac{10}{23}\) kama mtu alichukua kwanza. Uwezekano wa pick ya pili inategemea kile kilichotokea katika pick ya kwanza.
5. Wewe si kushughulika na Bernoulli Trials.

Matokeo ya jaribio la hypergeometric yanafaa usambazaji wa uwezekano wa hypergeometric. Variable random\(X\) = idadi ya vitu kutoka kundi la riba.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Safi ya pipi ina maharage 100 ya jelly na gumdrops 80. Pipi hamsini huchukuliwa kwa random. Je! Ni uwezekano gani kwamba 35 kati ya 50 ni gumdrops? Makundi mawili ni maharagwe ya jelly na gumdrops. Kwa kuwa swali la uwezekano linauliza uwezekano wa kuokota gumdrops, kikundi cha riba (kikundi cha kwanza) ni gumdrops. Ukubwa wa kikundi cha maslahi (kikundi cha kwanza) ni 80. Ukubwa wa kundi la pili ni 100. Ukubwa wa sampuli ni 50 (maharagwe ya jelly au gumdrops). Hebu idadi\(X =\) ya gumdrops katika sampuli ya 50. \(X\)inachukua maadili\(x = 0, 1, 2, ..., 50\). Je, ni uwezekano kauli imeandikwa hisabati nini?

Jibu

\(P(x = 35)\)

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Mfuko una tiles za barua. Arobaini na nne za matofali ni vowels, na 56 ni konsonanti. Matofali saba huchukuliwa kwa random. Unataka kujua uwezekano kwamba nne kati ya vigae saba ni vowels. Kikundi cha maslahi, ukubwa wa kikundi cha riba, na ukubwa wa sampuli?

Jibu

Kikundi cha maslahi ni tiles za barua za vowel. Ukubwa wa kundi la maslahi ni 44. Ukubwa wa sampuli ni saba.

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Tuseme usafirishaji wa wachezaji 100 wa DVD unajulikana kuwa na wachezaji kumi wasio na kasoro. Mkaguzi wa nasibu anachagua 12 kwa ukaguzi. Ana nia ya kuamua uwezekano kwamba, kati ya wachezaji 12, zaidi ya mbili ni kasoro. Makundi hayo mawili ni wachezaji 90 wa DVD wasio na kasoro na 10 wachezaji wa DVD wasio na kasoro. Kikundi cha maslahi (kikundi cha kwanza) ni kikundi cha kasoro kwa sababu swali la uwezekano linauliza uwezekano wa wachezaji wawili wa DVD wasio na kasoro. Ukubwa wa sampuli ni wachezaji 12 wa DVD. (Wanaweza kuwa yasiyo ya kasoro au kasoro.) Hebu idadi\(X =\) ya wachezaji wa DVD wasio na kasoro katika sampuli ya 12. \(X\)inachukua maadili\(0, 1, 2, \dotsc, 10\). \(X\)inaweza kuchukua maadili 11 au 12. Ukubwa wa sampuli ni 12, lakini kuna wachezaji 10 tu wa DVD wenye kasoro. Andika kauli ya uwezekano kwa hesabu.

Jibu

\(P(x \leq 2)\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Jumla ya mayai ina mayai 144. Pato fulani linajulikana kuwa na mayai 12 yaliyopasuka. Mkaguzi kwa nasibu anachagua 15 kwa ukaguzi. Anataka kujua uwezekano kwamba, kati ya 15, zaidi ya tatu ni kupasuka. Ni nini\(X\), na ni maadili gani yanachukua?

Jibu

Hebu idadi\(X =\) ya mayai yaliyovunjika katika sampuli ya 15. \(X\)inachukua maadili\(0, 1, 2, \dotsc, 12\).

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Wewe ni rais wa on-chuo maalum matukio shirika. Unahitaji kamati ya wanafunzi saba kupanga chama maalum cha kuzaliwa kwa rais wa chuo. Shirika lako lina wanawake 18 na wanaume 15. Unavutiwa na idadi ya wanaume kwenye kamati yako. Ikiwa wajumbe wa kamati wanachaguliwa kwa nasibu, ni uwezekano gani kwamba kamati yako ina watu zaidi ya wanne?

Hili ni tatizo la hypergeometric kwa sababu unachagua kamati yako kutoka kwa makundi mawili (wanaume na wanawake).

1. Je, unachagua na au bila uingizwaji?
2. Kikundi cha maslahi ni nini?
3. Ni wangapi katika kundi la maslahi?
4. Ni wangapi katika kikundi kingine?
5. Hebu\(X =\) _________ kwenye kamati. Je! Maadili gani\(X\) huchukua?
6. Swali la uwezekano ni\(P(\) _______\()\).

Suluhisho

1. bila
2. wanaume
3. Wanaume 15
4. Wanawake 18
5. Hebu idadi\(X =\) ya wanaume kwenye kamati. \(x = 0, 1, 2, \dotsc, 7\).
6. \(P(x > 4)\)

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Jalada lina madebe 200 ya maziwa. Kati ya madebe 200, inajulikana kuwa kumi kati yao wamevuja na hawezi kuuzwa. karani hisa nasibu anachagua 18 kwa ajili ya ukaguzi. Anataka kujua uwezekano kwamba kati ya 18, hakuna zaidi ya mbili zinazovuja. Kutoa sababu tano kwa nini hii ni tatizo la hypergeometric.

Jibu

• Kuna makundi mawili.
• Una wasiwasi na kundi la maslahi.
• Wewe sampuli bila uingizwaji.
• Kila pick si huru.
• Wewe si kushughulika na Bernoulli Trials.

Notation kwa Hypergeometric:\(H =\) Hypergeometric Probability Distribution Function

\[X \sim H(r, b, n)\]

Soma hii kama "\(X\)ni variable random na usambazaji hypergeometric.” Vigezo ni\(r, b\), na\(n\); ukubwa\(r =\) wa kundi la riba (kikundi cha kwanza), ukubwa\(b =\) wa kundi la pili, ukubwa\(n =\) wa sampuli iliyochaguliwa.

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Kamati ya tovuti ya shule itachaguliwa kwa nasibu kutoka kwa wanaume sita na wanawake watano. Kama kamati ina wajumbe wanne waliochaguliwa nasibu, ni nini uwezekano kwamba wawili wao ni wanaume? Unatarajia kuwa katika kamati ya watu wangapi?

Hebu\(X\) = idadi ya wanaume kwenye kamati ya nne. Wanaume ni kundi la maslahi (kikundi cha kwanza).

\(X\)inachukua maadili\(0, 1, 2, 3, 4\), ambapo\(r = 6, b = 5\), na\(n = 4\). \(X \sim H(6, 5, 4)\)

Kupata\(P(x = 2)\). \(P(x = 2) = 0.4545\)(calculator au kompyuta)

Hivi sasa, TI-83+ na TI-84 hawana kazi za uwezekano wa hypergeometric. Kuna idadi ya vifurushi vya kompyuta, ikiwa ni pamoja na Microsoft Excel, hiyo inafanya.

Uwezekano wa kuwa kuna watu wawili kwenye kamati ni karibu 0.45.

Grafu ya\(X \sim H(6, 5, 4)\) ni:

Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

Y -axis ina uwezekano wa\(X\), ambapo idadi\(X =\) ya wanaume kwenye kamati.

Ungependa kutarajia\(m = 2.18\) (karibu mbili) wanaume kwenye kamati.

Fomu ya maana ni

\[\mu = \frac{nr}{r+b} \frac{(4)(6)}{6+5} = 2.18\]

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Timu ya mpira wa kikapu ya kikapu ni kuchaguliwa kwa nasibu kutoka kwa wavulana 15 na wasichana 12. Timu ina mipaka kumi. Unataka kujua uwezekano kwamba wachezaji nane watakuwa wavulana. Kikundi cha maslahi na sampuli ni nini?

Jibu

Kikundi cha maslahi ni wavulana 15. Sampuli ina safu kumi kwenye timu ya mpira wa kikapu ya intramural.

Muhtasari

Jaribio la hypergeometric ni jaribio la takwimu na mali zifuatazo:

• Unachukua sampuli kutoka kwa makundi mawili.
• Una wasiwasi na kikundi cha maslahi, kinachoitwa kundi la kwanza.
• Wewe sampuli bila uingizwaji kutoka kwa makundi ya pamoja.
• Kila pick sio huru, kwani sampuli haina uingizwaji.
• Wewe si kushughulika na Bernoulli Trials.

Matokeo ya jaribio la hypergeometric yanafaa usambazaji wa uwezekano wa hypergeometric. Variable random\(X\) = idadi ya vitu kutoka kundi la riba. Usambazaji wa\(X\) umeashiria\(X \sim H(r, b, n)\), ambapo ukubwa\(r =\) wa kikundi cha riba (kikundi cha kwanza), ukubwa\(b =\) wa kundi la pili, na ukubwa\(n =\) wa sampuli iliyochaguliwa. Inafuata kwamba\(n \leq r + b\). Maana ya\(X\) ni\(\mu = \frac{nr}{r+b}\) na kupotoka kwa kiwango ni\(\sigma = \sqrt{\frac{rbn(r+b-n)}{(r+b)^{2}(r+b-1)}}\).

Mapitio ya Mfumo

\(X \sim H(r, b, n)\)ina maana kwamba kutofautiana kwa random ya kipekee\(X\) ina usambazaji wa uwezekano wa hypergeometric na\(r =\) ukubwa wa kundi la riba (kikundi\(b =\) cha kwanza), ukubwa wa kundi la pili, na ukubwa\(n =\) wa sampuli iliyochaguliwa.

\(X\)= idadi ya vitu kutoka kwa kundi la maslahi yaliyo katika sampuli iliyochaguliwa, na\(X\) inaweza kuchukua maadili\(x = 0, 1, \dotsc,\) hadi ukubwa wa kikundi cha riba. (Thamani ya chini ya\(X\) inaweza kuwa kubwa kuliko sifuri katika baadhi ya matukio.)

\(n \leq r + b\)

Maana ya\(X\) hutolewa na formula\(\mu = \frac{nr}{r+b}\) na kupotoka kwa kawaida ni\(= \sqrt{\frac{rbn(r+b-n)}{(r+b)^{2}(r+b-1)}}\).

Tumia habari zifuatazo kujibu mazoezi tano zifuatazo: Tuseme kwamba kundi la wanafunzi wa takwimu imegawanywa katika makundi mawili: majors ya biashara na majors yasiyo ya biashara. Kuna majori 16 ya biashara katika kikundi hiki na majors saba yasiyo ya biashara katika kikundi hiki. Sampuli ya random ya wanafunzi tisa inachukuliwa. Tunavutiwa na idadi ya majors ya biashara katika sampuli.

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Kwa maneno, kufafanua variable random\(X\).

Jibu

\(X =\)idadi ya majors biashara katika sampuli.

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

\(X \sim\)_____ (_____, _____)

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Je! Maadili gani\(X\) huchukua?

Jibu

\(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\)

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Pata kupotoka kwa kiwango.

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Kwa wastani (\(\mu\)), ni wangapi ungependa kutarajia kuwa biashara kuu?

Jibu

6.26

faharasa

Hypergeometric majaribio

jaribio la takwimu na mali zifuatazo:

1. Unachukua sampuli kutoka kwa makundi mawili.
2. Una wasiwasi na kikundi cha maslahi, kinachoitwa kundi la kwanza.
3. Wewe sampuli bila uingizwaji kutoka kwa makundi ya pamoja.
4. Kila pick sio huru, kwani sampuli haina uingizwaji.
5. Wewe si kushughulika na Bernoulli Trials.

Hypergeometric uwezekano

kipekee random variable (RV) kwamba ni sifa ya:

1. Idadi maalum ya majaribio.
2. Uwezekano wa mafanikio sio sawa kutoka kwa jaribio hadi jaribio.

Sisi sampuli kutoka makundi mawili ya vitu wakati sisi ni nia ya kundi moja tu. \(X\)hufafanuliwa kama idadi ya mafanikio nje ya idadi ya vitu waliochaguliwa. Notation:\(X \sim H(r, b, n)\), ambapo idadi\(r =\) ya vitu katika kundi la riba, idadi\(b =\) ya vitu katika kikundi si ya riba, na idadi\(n =\) ya vitu waliochaguliwa.