4.7: Poisson Usambazaji

Usambazaji wa Poisson ni maarufu kwa kutengeneza idadi ya mara tukio hutokea katika kipindi cha muda au nafasi. Ni discrete uwezekano usambazaji ambayo inaonyesha uwezekano wa idadi fulani ya matukio yanayotokea katika muda fasta ya muda na/au nafasi kama matukio haya kutokea kwa kiwango kinachojulikana wastani na kujitegemea muda tangu tukio la mwisho.

sifa mbili kuu za majaribio ya Poisson

1. Usambazaji wa uwezekano wa Poisson unatoa uwezekano wa matukio kadhaa yanayotokea katika kipindi cha kudumu cha muda au nafasi ikiwa matukio haya yanatokea kwa kiwango cha wastani kinachojulikana na kujitegemea muda tangu tukio la mwisho. Kwa mfano, mhariri wa kitabu anaweza kuwa na nia ya idadi ya maneno yameandikwa vibaya katika kitabu fulani. Inawezekana kwamba, kwa wastani, kuna maneno matano yameandikwa vibaya katika kurasa 100. Muda ni kurasa za 100.
2. Usambazaji wa Poisson unaweza kutumika kwa takriban binomial kama uwezekano wa mafanikio ni “mdogo” (kama vile 0.01) na idadi ya majaribio ni “kubwa” (kama 1,000). Utahakikisha uhusiano katika mazoezi ya nyumbani. \(n\)ni idadi ya majaribio, na\(p\) ni uwezekano wa “mafanikio.”

Variable\(X =\) random idadi ya matukio katika kipindi cha riba.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Idadi ya wastani ya mikate ya mkate imewekwa kwenye rafu katika mkate katika kipindi cha nusu saa ni 12. Ya riba ni idadi ya mikate ya mkate iliyowekwa kwenye rafu kwa dakika tano. Muda wa maslahi ni dakika tano. Je! Ni uwezekano gani kwamba idadi ya mikate, iliyochaguliwa kwa nasibu, kuweka kwenye rafu katika dakika tano ni tatu?

Suluhisho

Hebu idadi\(X =\) ya mikate ya mkate iweke kwenye rafu kwa dakika tano. Ikiwa idadi ya mikate imewekwa kwenye rafu katika dakika 30 (nusu saa) ni 12, basi idadi ya mikate iliyowekwa kwenye rafu katika dakika tano ni\(\left(\frac{5}{30}\right)(12) = 2\) mikate ya mkate.

Swali la uwezekano linakuomba kupata\(P(x = 3)\).

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Idadi ya samaki iliyopatikana saa moja ni nane. Ya riba ni idadi ya samaki iliyopatikana katika dakika 15. Muda wa maslahi ni dakika 15. Idadi ya wastani ya samaki iliyopatikana kwa dakika 15 ni nini?

Jibu

\(\left(\frac{15}{60}\right)(8) = 2\)samaki

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Benki inatarajia kupokea hundi sita mbaya kwa siku, kwa wastani. Je! Ni uwezekano gani wa benki kupata hundi mbaya chini ya tano siku yoyote? Ya riba ni idadi ya hundi benki inapata siku moja, hivyo muda wa riba ni siku moja. Hebu idadi\(X =\) ya hundi mbaya benki inapata siku moja. Ikiwa benki inatarajia kupokea hundi sita mbaya kwa siku basi wastani ni hundi sita kwa siku. Andika taarifa ya hisabati kwa swali la uwezekano.

Jibu

\(P(x < 5)\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Duka la umeme linatarajia kuwa na kurudi kumi kwa siku kwa wastani. Meneja anataka kujua uwezekano wa duka kupata anarudi chini ya nane siku yoyote. Hali uwezekano swali hesabu.

Jibu

\(P(x < 8)\)

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Unaona kwamba mwandishi wa habari anasema “uh,” kwa wastani, mara mbili kwa kila matangazo. Ni uwezekano gani kwamba mwandishi wa habari anasema “uh” zaidi ya mara mbili kwa kila matangazo. Hili ni tatizo la Poisson kwa sababu una nia ya kujua idadi ya mara mwandishi wa habari anasema “uh” wakati wa matangazo.

1. Muda wa maslahi ni nini?
2. Ni wastani wa idadi ya mara mwandishi wa habari anasema “uh” wakati wa matangazo moja?
3. Hebu\(X =\) ____________. Ni maadili gani ambayo X huchukua?
4. Swali la uwezekano ni\(P(\) ______\()\).

Solutions

1. matangazo moja
2. 2
3. Hebu idadi\(X =\) ya mara mwandishi wa habari anasema “uh” wakati wa matangazo moja. \[x = 0, 1, 2, 3, \dotsc\]
4. \(P(x > 2)\)

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Chumba cha dharura katika hospitali fulani hupata wastani wa wagonjwa watano kwa saa. Daktari anataka kujua uwezekano kwamba ER inapata wagonjwa zaidi ya tano kwa saa. Kutoa sababu kwa nini hii itakuwa usambazaji Poisson.

Jibu

Tatizo hili linataka kupata uwezekano wa matukio yanayotokea kwa muda uliowekwa na kiwango cha wastani kinachojulikana. Matukio hayo yanajitegemea.

Uthibitisho wa Poisson: Kazi ya Usambazaji wa Uwezekano wa\(P =\) Poisson

\[X \sim P(\mu)\]

Soma hii kama "\(X\)ni variable random na usambazaji Poisson.” Kipimo ni\(\mu\) (au\(\lambda\));\(\mu\) (au maana\(\lambda) =\) ya muda wa riba.

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Mashine ya kujibu Leah inapokea simu sita kati ya saa 8 na 10 a.m. Ni uwezekano gani kwamba Leah anapokea simu zaidi ya moja katika dakika 15 ijayo?

Suluhisho

Hebu\(X\) = idadi ya simu Leah anapokea katika dakika 15. (Muda wa riba ni dakika 15 au\(\frac{1}{4}\) saa.)

\[x = 0, 1, 2, 3, \dotsc\]

Ikiwa Leah anapata, kwa wastani, simu sita katika masaa mawili, na kuna vipindi nane vya dakika 15 katika masaa mawili, basi Lea anapata

\(\left(\frac{1}{8}\right)(6) = 0.75\)wito katika dakika 15, kwa wastani. Kwa hiyo,\(\mu = 0.75\) kwa tatizo hili.

\(X \sim P(0.75)\)

Kupata\(P(x > 1)\). \(P(x > 1) = 0.1734\)(calculator au kompyuta)

• Press 1 — na kisha vyombo vya habari 2 ^na DISTR.
• Arrow chini ya sumu cdf. Waandishi wa habari kuingia.
• Ingiza (.75,1).
• Matokeo yake ni\(P(x > 1) = 0.1734\).

Mahesabu ya TI hutumia\(\lambda\) (lambda) kwa maana.

Uwezekano kwamba Leah anapokea simu zaidi ya moja katika dakika 15 ijayo ni karibu 0.1734:

\(P(x > 1) = 1 − \text{poissoncdf}(0.75, 1)\).

Grafu ya\(X \sim P(0.75)\) ni:

Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

Y -axis ina uwezekano wa\(x\) wapi idadi\(X =\) ya wito katika dakika 15.

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Kituo cha huduma kwa wateja kinapokea barua pepe kumi kila nusu saa. Je, ni uwezekano gani kwamba kituo cha huduma kwa wateja hupokea barua pepe zaidi ya nne katika dakika sita zifuatazo? Tumia calculator TI-83+ au TI-84 ili upate jibu.

Jibu

\(P(x > 4) = 0.0527\)

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Kwa mujibu wa Baydin, kampuni ya usimamizi wa barua pepe, mtumiaji wa barua pepe anapata, kwa wastani, barua pepe 147 kwa siku. Hebu idadi\(X =\) ya barua pepe mtumiaji wa barua pepe anapokea kwa siku. Discrete random kutofautiana\(X\) inachukua maadili\(x = 0, 1, 2 \dotsc\). kutofautiana random\(X\) ina usambazaji Poisson:\(X \sim P(147)\). Maana ni barua pepe 147.

1. Je! Ni uwezekano gani kwamba mtumiaji wa barua pepe anapata barua pepe 160 kwa siku?
2. Je! Ni uwezekano gani kwamba mtumiaji wa barua pepe hupokea barua pepe nyingi za 160 kwa siku?
3. Kupotoka kwa kiwango ni nini?

Solutions

1. \(P(x = 160) = \text{poissonpdf}(147, 160) \approx 0.0180\)
2. \(P(x \leq 160) = \text{poissoncdf}(147, 160) \approx 0.8666\)
3. Mkengeuko\(= \sigma = \sqrt{\mu} = \sqrt{147} \approx 12.1244\)

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Kwa mujibu wa uchaguzi wa hivi karibuni uliofanywa na Project ya mtandao wa Pew, wasichana wenye umri kati ya miaka 14 na 17 hutuma wastani wa ujumbe wa maandishi 187 kila siku. Hebu idadi\(X =\) ya maandiko ambayo msichana mwenye umri wa miaka 14 hadi 17 hutuma kwa siku. Discrete random kutofautiana\(X\) inachukua maadili\(x = 0, 1, 2 \dotsc\). kutofautiana random\(X\) ina usambazaji Poisson:\(X \sim P(187)\). Maana ni 187 ujumbe wa maandishi.

1. Je! Ni uwezekano gani kwamba msichana mdogo hutuma maandiko 175 kwa siku?
2. Je! Ni uwezekano gani kwamba msichana mdogo hutuma maandiko 150 kwa siku?
3. Kupotoka kwa kiwango ni nini?

Jibu

1. \(P(x = 175) = \text{poissonpdf}(187, 175) \approx 0.0203\)
2. \(P(x \leq 150) = \text{poissoncdf}(187, 150) \approx 0.0030\)
3. Mkengeuko\(= \sigma = \sqrt{\mu} = \sqrt{187} \approx 13.6748\)

Mfano\(\PageIndex{6}\)

Ujumbe wa maandishi watumiaji kupokea au kutuma wastani wa 41.5 ujumbe wa maandishi kwa siku.

1. Ujumbe wangapi wa maandishi gani ujumbe wa maandishi user kupokea au kutuma kwa saa?
2. Ni uwezekano gani kwamba mtumiaji wa ujumbe wa maandishi hupokea au kutuma ujumbe wawili kwa saa?
3. Ni uwezekano gani kwamba mtumiaji wa ujumbe wa maandishi hupokea au kutuma ujumbe zaidi ya mbili kwa saa?

Solutions

1. Hebu idadi\(X =\) ya maandiko ambayo mtumiaji hutuma au kupokea kwa saa moja. Idadi ya maandiko yaliyopokelewa kwa saa ni\(\frac{41.5}{24} \approx 1.7292\).
2. \(X \sim P(1.7292)\), hivyo\(P(x = 2) = \text{poissonpdf}(1.7292, 2) \approx 0.2653\)
3. \(P(x > 2) = 1 – P(x \leq 2) = 1 – \text{poissoncdf}(1.7292, 2) \approx 1 – 0.7495 = 0.2505\)

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Uwanja wa Ndege wa Kimataifa wa Hartsfield-Jackson wa Atlanta ni uwanja wa ndege wa shughuli nyingi zaidi duniani. Kwa wastani kuna watu 2,500 waliofika na wanaoondoka kila siku.

1. Ndege ngapi zinakuja na kuondoka uwanja wa ndege kwa saa?
2. Je! Ni uwezekano gani kwamba kuna wasafiri 100 na kuondoka kwa saa moja?
3. Ni uwezekano gani kwamba kuna zaidi ya 100 waliofika na kuondoka kwa saa moja?

Jibu

1. Hebu idadi\(X =\) ya ndege kuwasili na kuondoka kutoka Hartsfield-Jackson katika saa moja. Wastani wa idadi ya waliofika na wanaoondoka kwa saa ni\(\frac{2,500}{24} \approx 104.1667\).
2. \(X \sim P(104.1667)\), hivyo\(P(x = 100) = \text{poissonpdf}(104.1667, 100) \approx 0.0366\).
3. \(P(x \leq 100) = \text{poissoncdf}(104.1667, 100) \approx 0.3651\).

Usambazaji wa Poisson unaweza kutumika kwa uwezekano wa takriban kwa usambazaji wa binomial. Mfano huu unaofuata unaonyesha uhusiano kati ya Poisson na mgawanyo wa binomial. Hebu\(n\) kuwakilisha idadi ya majaribio ya binomial na hebu\(p\) kuwakilisha uwezekano wa mafanikio kwa kila jaribio. Ikiwa\(n\) ni kubwa ya kutosha na\(p\) ni ndogo ya kutosha basi Poisson inakaribia binomial vizuri sana. Kwa ujumla,\(n\) inachukuliwa kuwa “kubwa ya kutosha” ikiwa ni kubwa kuliko au sawa na 20. Uwezekano\(p\) kutoka kwa usambazaji wa binomial unapaswa kuwa chini ya au sawa na 0.05. Wakati Poisson inatumiwa kwa takriban binomial, tunatumia maana ya binomial\(\mu = np\). ugomvi wa\(X\) ni\(\sigma^{2} = \sqrt{\mu}\) na kupotoka kiwango ni\(\sigma = \sqrt{\mu}\). Poisson makadirio ya usambazaji binomial ilikuwa kawaida kutumika katika siku kabla ya teknolojia alifanya maadili yote rahisi sana kwa mahesabu.

Mfano\(\PageIndex{7}\)

Mnamo Mei 13, 2013, kuanzia saa 4:30 jioni, uwezekano wa shughuli za chini za seismic kwa masaa 48 ijayo huko Alaska iliripotiwa kuwa karibu 1.02%. Tumia habari hii kwa siku 200 zifuatazo ili kupata uwezekano kwamba kutakuwa na shughuli za chini za seismic katika kumi ya siku 200 zifuatazo. Tumia mgawanyo wa binomial na Poisson ili kuhesabu uwezekano. Je, wao ni karibu?

Jibu

Hebu\(X\) = idadi ya siku na shughuli za chini za seismic.

Kutumia usambazaji wa binomial:

• \(P(x = 10) = \text{binompdf}(200, .0102, 10) \approx\ 0.000039\)

Kutumia usambazaji wa Poisson:

• Tumia\(\mu = np = 200(0.0102) \approx 2.04\)
• \(P(x = 10) = \text{poissonpdf}(2.04, 10) \approx 0.000045\)

Tunatarajia makadirio ya kuwa nzuri kwa sababu\(n\) ni kubwa (zaidi ya 20) na\(p\) ni ndogo (chini ya 0.05). Matokeo ni karibu-wote probabilities taarifa ni karibu 0.

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Mnamo Mei 13, 2013, kuanzia saa 4:30 jioni, uwezekano wa shughuli za seismic wastani kwa masaa 48 ijayo katika Visiwa vya Kuril mbali na pwani ya Japan iliripotiwa kuwa karibu 1.43%. Tumia habari hii kwa siku 100 zifuatazo ili kupata uwezekano kwamba kutakuwa na shughuli za chini za seismic katika siku tano za siku 100 zifuatazo. Tumia mgawanyo wa binomial na Poisson ili kuhesabu uwezekano. Je, wao ni karibu?

Jibu

Hebu idadi\(X =\) ya siku na shughuli za wastani za seismic.

Kutumia usambazaji wa binomial:\(P(x = 5) = \text{binompdf}(100, 0.0143, 5) \approx 0.0115\)

Kutumia usambazaji wa Poisson:

• Tumia\(\mu = np = 100(0.0143) = 1.43\)
• \(P(x = 5) = \text{poissonpdf}(1.43, 5) = 0.0119\)

Tunatarajia makadirio ya kuwa nzuri kwa sababu\(n\) ni kubwa (zaidi ya 20) na\(p\) ni ndogo (chini ya 0.05). Matokeo ni karibu-tofauti kati ya maadili ni 0.0004.

Marejeo

1. “ATL Fact Sheet,” Idara ya Anga katika Uwanja wa Ndege wa Kimataifa wa Hartsfield-Jackson Atlanta, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (imefikia Mei 15, 2013).
2. Kituo cha Kudhibiti Magonjwa na Kuzuia. “Madereva wa Vijana: Karatasi ya Ukweli,” Kuzuia na Udhibiti wa Kuumia: Usalama wa Magari, Oktoba 2, 2012. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafet...factsheet.html (imefikia Mei 15, 2013).
3. “Watoto na Watoto,” Wizara ya Afya, Kazi, na Ustawi. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.mhlw.go.jp/english/policy...ing/index.html (imefikia Mei 15, 2013).
4. “Kula Matatizo Takwimu,” South Carolina Idara ya Afya ya Akili, 2006. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (imefikia Mei 15, 2013).
5. “Kuzaa Manila: Kata ya uzazi katika hospitali ya Dr Jose Fabella Memorial Hospitali ya Manila, ambayo ni shughuli nyingi zaidi nchini Ufilipino, ambapo kuna wastani wa kuzaliwa 60 kwa siku,” theGuardian, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye www.theguardian.com/world/gal... 471900&index=2 (imefikia Mei 15, 2013).
6. “Jinsi Wamarekani Kutumia Nakala Ujumbe, "Pew Internet, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye pewinternet.org/Reports/2011/... in-Report.aspx (imefikia Mei 15, 2013).
7. Lenhart, Amanda. “Vijana, Smartphones & Upimaji: Texting Volum ni juu wakati mzunguko wa wito sauti ni chini. Kuhusu mmoja kati ya vijana wanne wanasema wana smartphones,” Pew Internet, 2012. Inapatikana mtandaoni kwenye www.peWinternet.org/~/media/f... nd_Texting.pdf (imefikia Mei 15, 2013).
8. “Mmoja aliyezaliwa kila dakika: kitengo cha uzazi ambapo mama ni TATU kwa kitanda,” MailOnline. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.dailymail.co.uk/news/arti...thers-bed.html (imefikia Mei 15, 2013).
9. Vanderkam, Laura. “Acha Kuangalia Barua pepe yako, Sasa.” CNN Money, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye management.fortune.cnn.com/20... our-email-now/ (imefikia Mei 15, 2013).
10. “Matetemeko ya Dunia: Habari za Tetemeko la ardhi na Mambo muhimu,” Tetemeko la ardhi, 2012. www.world-etearquakes.com/ind... thq_prediction (kupatikana Mei 15, 2013).

Mapitio

Poisson uwezekano usambazaji wa kipekee random variable inatoa uwezekano wa idadi ya matukio yanayotokea katika muda fasta ya muda au nafasi, kama matukio haya kutokea kwa kiwango kinachojulikana wastani na kujitegemea muda tangu tukio la mwisho. Usambazaji wa Poisson unaweza kutumika kwa takriban binomial, ikiwa uwezekano wa mafanikio ni “mdogo” (chini ya au sawa na 0.05) na idadi ya majaribio ni “kubwa” (kubwa kuliko au sawa na 20).

Mapitio ya Mfumo

\(X \sim P(\mu)\)ina maana kwamba\(X\) ina Poisson uwezekano usambazaji ambapo idadi\(X =\) ya matukio katika kipindi cha riba.

\(X\)inachukua maadili\(x = 0, 1, 2, 3, \dotsc\)

maana\(\mu\) ni kawaida kutolewa.

ugomvi ni\(\sigma = \mu\), na kupotoka kiwango ni

\[\sigma = \sqrt{\mu}\].

Wakati\(P(\mu)\) hutumiwa kwa takriban usambazaji wa binomial,\(\mu = np\) ambapo\(n\) inawakilisha idadi ya majaribio ya kujitegemea na\(p\) inawakilisha uwezekano wa kufanikiwa katika jaribio moja.

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi sita yafuatayo: Kwa wastani, duka la nguo linapata wateja 120 kwa siku.

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Fikiria tukio hilo hutokea kwa kujitegemea katika siku yoyote. Eleza kutofautiana kwa random\(X\).

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Je! Maadili gani\(X\) huchukua?

Jibu

0, 1, 2, 3, 4,...

Zoezi\(\PageIndex{10}\)

Je! Ni uwezekano gani wa kupata wateja 150 kwa siku moja?

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

Je! Ni uwezekano gani wa kupata wateja wa 35 katika masaa manne ya kwanza? Fikiria duka linafunguliwa masaa 12 kila siku.

Jibu

0.0485

Zoezi\(\PageIndex{12}\)

Je! Ni uwezekano gani kwamba duka litakuwa na wateja zaidi ya 12 saa ya kwanza?

Zoezi\(\PageIndex{13}\)

Je! Ni uwezekano gani kwamba duka litakuwa na wateja wachache zaidi ya 12 katika masaa mawili ya kwanza?

Jibu

0.0214

Zoezi\(\PageIndex{14}\)

Ni aina gani ya usambazaji ambayo mfano wa Poisson unaweza kutumika kwa takriban? Je, ungependa kufanya hivyo lini?

Tumia habari zifuatazo kujibu mazoezi sita ijayo: Kwa wastani, vijana nane nchini Marekani hufa kutokana na majeraha ya magari kwa siku. Matokeo yake, majimbo nchini kote yanajadili kuongeza umri wa kuendesha gari.

Zoezi\(\PageIndex{15}\)

Fikiria tukio hilo hutokea kwa kujitegemea katika siku yoyote. Kwa maneno, kufafanua variable random\(X\).

Jibu

\(X =\)idadi ya vijana wa Marekani ambao hufa kutokana na majeraha ya magari kwa siku.

Zoezi\(\PageIndex{16}\)

\(X \sim\)_____ (_____, _____)

Zoezi\(\PageIndex{17}\)

Je! Maadili gani\(X\) huchukua?

Jibu

\(0, 1, 2, 3, 4, \dotsc\)

Zoezi\(\PageIndex{18}\)

Kwa maadili yaliyotolewa ya kutofautiana kwa random\(X\), jaza probabilities zinazofanana.

Zoezi\(\PageIndex{19}\)

Je, kuna uwezekano kwamba hakutakuwa na vijana waliouawa kutokana na majeraha ya magari siku yoyote nchini Marekani? Thibitisha jibu lako kwa nambari.

Jibu

Hapana

Zoezi\(\PageIndex{20}\)

Je, kuna uwezekano kuwa kutakuwa na vijana zaidi ya 20 waliouawa kutokana na majeraha ya magari siku yoyote nchini Marekani? Thibitisha jibu lako kwa nambari.

faharasa

Poisson uwezekano Distribution

kutofautiana kwa random (RV) inayohesabu idadi ya mara tukio fulani litatokea kwa muda maalum; sifa za kutofautiana:

• Uwezekano kwamba tukio hutokea katika kipindi kilichopewa ni sawa kwa vipindi vyote.
• Matukio hutokea kwa maana inayojulikana na kujitegemea wakati tangu tukio la mwisho.

Usambazaji hufafanuliwa kwa maana\(\mu\) ya tukio hilo kwa muda. Nukuu:\(X \sim P(\mu)\). Maana ni\(\mu = np\). Kupotoka kwa kiwango ni\(\sigma = \sqrt{\mu}\). Uwezekano wa kuwa na\(x\) mafanikio hasa katika\(r\) majaribio ni\(P(X = x) =\)

\[\left(e^{-\mu}\right)\frac{\mu^{x}}{x!}\]

. Usambazaji wa Poisson mara nyingi hutumiwa kwa takriban usambazaji wa binomial, wakati\(n\) ni “mkubwa” na\(p\) ni “mdogo” (kanuni ya jumla ni kwamba\(n\) inapaswa kuwa kubwa kuliko au sawa na 20 na\(p\) inapaswa kuwa chini ya au sawa na 0.05).