3.2: Istilahi

Uwezekano ni kipimo kwamba ni kuhusishwa na jinsi sisi ni uhakika wa matokeo ya majaribio fulani au shughuli. Jaribio ni operesheni iliyopangwa kufanyika chini ya hali ya kudhibitiwa. Ikiwa matokeo hayajatanguliwa, basi jaribio linasemekana kuwa jaribio la nafasi. Flipping sarafu moja ya haki mara mbili ni mfano wa majaribio.

Matokeo ya jaribio inaitwa matokeo. Nafasi ya sampuli ya jaribio ni seti ya matokeo yote yanayowezekana. Njia tatu za kuwakilisha nafasi ya sampuli ni: kuorodhesha matokeo iwezekanavyo, kuunda mchoro wa mti, au kuunda mchoro wa Venn. Barua kubwa S hutumiwa kutaja nafasi ya sampuli. Kwa mfano, kama wewe flip moja sarafu haki,\(S = \{\text{H, T}\}\) ambapo\(\text{H} =\) vichwa na\(\text{T} =\) mikia ni matokeo.

Tukio ni mchanganyiko wowote wa matokeo. Upper kesi barua kama\(\text{A}\) na\(\text{B}\) kuwakilisha matukio. Kwa mfano, kama majaribio ni flip sarafu moja ya haki, tukio\(\text{A}\) inaweza kuwa kupata katika kichwa zaidi moja. Uwezekano wa tukio\(\text{A}\) umeandikwa\(P(\text{A})\).

Ufafanuzi: Uwezekano

Uwezekano wa matokeo yoyote ni mzunguko wa muda mrefu wa jamaa wa matokeo hayo. Probabilities ni kati ya sifuri na moja, umoja (yaani, sifuri na moja na namba zote kati ya maadili haya).

• \(P(\text{A}) = 0\)ina maana tukio kamwe\(\text{A}\) kutokea.
• \(P(\text{A}) = 1\)ina maana tukio\(\text{A}\) daima hutokea.
• \(P(\text{A}) = 0.5\)ina maana tukio\(\text{A}\) ni sawa uwezekano wa kutokea au si kutokea. Kwa mfano, kama wewe flip sarafu moja ya haki mara kwa mara (kutoka 20 hadi 2,000 hadi 20,000 mara) mzunguko wa jamaa wa vichwa unakaribia 0.5 (uwezekano wa vichwa).

Uwezekano sawa ina maana kwamba kila matokeo ya jaribio hutokea kwa uwezekano sawa. Kwa mfano, kama wewe toss haki, sita upande mmoja kufa, kila uso (1, 2, 3, 4, 5, au 6) ni kama uwezekano wa kutokea kama uso nyingine yoyote. Kama toss sarafu haki, Mkuu (\(\text{H}\)) na mkia (\(\text{T}\)) ni sawa uwezekano wa kutokea. Kama nasibu nadhani jibu la swali la kweli/uongo juu ya mtihani, wewe ni sawa uwezekano wa kuchagua jibu sahihi au jibu sahihi.

Ili kuhesabu uwezekano wa tukio A wakati matokeo yote katika nafasi ya sampuli yana uwezekano sawa, kuhesabu idadi ya matokeo ya tukio\(\text{A}\) na ugawanye na idadi ya matokeo katika nafasi ya sampuli. Kwa mfano, ikiwa unatupa dime ya haki na nickel ya haki, nafasi ya sampuli\(\{\text{HH, TH, HT,TT}\}\) ndipo\(\text{T} =\) mikia na\(\text{H} =\) vichwa. Nafasi ya sampuli ina matokeo manne. \(\text{A} =\)kupata kichwa kimoja. Kuna matokeo mawili ambayo yanakidhi hali hii\(\text{\{HT, TH\}}\), kwa hiyo\(P(\text{A}) = \frac{2}{4} = 0.5\).

Tuseme unaendelea moja ya haki sita upande mmoja kufa, na idadi {1, 2, 3, 4, 5, 6} juu ya nyuso zake. Hebu tukio\(\text{E} =\) rolling idadi ambayo ni angalau tano. Kuna matokeo mawili {5, 6}. \(P(\text{E}) = \frac{2}{6}\). Kama ungekuwa na roll kufa mara chache tu, huwezi kushangaa kama matokeo yako aliona hakuwa mechi uwezekano. Kama ungekuwa unaendelea kufa idadi kubwa sana ya nyakati, ungependa kutarajia kwamba, ujumla,\(\frac{2}{6}\) ya mistari bila kusababisha matokeo ya “angalau tano”. Wewe bila kutarajia hasa\(\frac{2}{6}\). Mzunguko wa jamaa wa muda mrefu wa kupata matokeo haya ungekuja uwezekano wa kinadharia wa\(\frac{2}{6}\) kama idadi ya marudio inakua kubwa na kubwa.

Ufafanuzi: Sheria ya Idadi Kubwa

Tabia hii muhimu ya majaribio ya uwezekano inajulikana kama sheria ya idadi kubwa ambayo inasema kuwa kama idadi ya marudio ya majaribio imeongezeka, mzunguko wa jamaa uliopatikana katika jaribio huelekea kuwa karibu na karibu na uwezekano wa kinadharia. Ingawa matokeo hayafanyike kulingana na muundo wowote au utaratibu, kwa ujumla, mzunguko wa jamaa wa muda mrefu uliozingatiwa utakaribia uwezekano wa kinadharia. (Neno empirical mara nyingi hutumiwa badala ya neno aliona.)

Ni muhimu kutambua kwamba katika hali nyingi, matokeo hayawezekani sawa. sarafu au kufa inaweza kuwa haki, au upendeleo. Mbili math profesa katika Ulaya walikuwa takwimu zao wanafunzi mtihani Ubelgiji moja Euro sarafu na kugundua kwamba katika 250 majaribio, kichwa alikuwa kupatikana 56% ya muda na mkia kupatikana 44% ya muda. Takwimu zinaonekana kuonyesha kwamba sarafu si sarafu ya haki; marudio zaidi yatakuwa na manufaa kuteka hitimisho sahihi zaidi kuhusu upendeleo huo. Baadhi dice inaweza kuwa upendeleo. Angalia kete katika mchezo una nyumbani; matangazo juu ya kila uso ni kawaida mashimo madogo kuchonga nje na kisha walijenga kufanya matangazo kuonekana. Kete yako inaweza au kutokuwa na upendeleo; inawezekana kwamba matokeo yanaweza kuathiriwa na tofauti kidogo uzito kutokana na idadi tofauti ya mashimo katika nyuso. Kamari kasinon pesa nyingi kulingana na matokeo kutoka dice rolling, hivyo casino dice ni alifanya tofauti ili kuondoa upendeleo. Casino dice na nyuso gorofa; mashimo ni kabisa kujazwa na rangi kuwa wiani sawa na nyenzo kwamba dice ni alifanya nje ya ili kila uso ni sawa uwezekano wa kutokea. Baadaye tutajifunza mbinu za kutumia kufanya kazi na probabilities kwa matukio ambayo si sawa.

Tukio la “AU”

Matokeo ni katika tukio\(\text{A OR B}\) kama matokeo ni katika\(\text{A}\) au ni katika\(\text{B}\) au ni katika wote\(\text{A}\) na\(\text{B}\). Kwa mfano, basi\(\text{A} = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) na\(\text{B} = \{4, 5, 6, 7, 8\}\). \(\text{A OR B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Kumbuka kwamba 4 na 5 si waliotajwa mara mbili.

Tukio la “NA”

Matokeo ni katika tukio\(\text{A AND B}\) kama matokeo ni katika wote\(\text{A}\) na kwa\(\text{B}\) wakati mmoja. Kwa mfano, basi\(\text{A}\) na\(\text{B}\) uwe {1, 2, 3, 4, 5} na {4, 5, 6, 7, 8}, kwa mtiririko huo. Kisha\(\text{A AND B} = {4, 5}\).

Msaidizi wa tukio\(\text{A}\) unaashiria\(\text{A'}\) (soma “Mkuu”). \(\text{A'}\)lina matokeo yote ambayo si katika\(\text{A}\). Taarifa kwamba

\[P(\text{A}) + P(\text{A′}) = 1. \nonumber\]

Kwa mfano, basi\(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) na basi\(\text{A} = {1, 2, 3, 4}\). Kisha,\(\text{A′} = {5, 6}\) na\(P(A) = \frac{4}{6}\)\(P(\text{A′}) = \frac{2}{6}\), na

\[P(\text{A}) + P(\text{A′}) = \frac{4}{6} + \frac{2}{6} = 1. \nonumber\]

Uwezekano wa masharti ya\(\text{A}\) kutolewa\(\text{B}\) umeandikwa\(P(\text{A|B})\). \(P(\text{A|B})\)ni uwezekano kwamba tukio\(\text{A}\) kutokea kutokana na kwamba tukio\(\text{B}\) tayari ilitokea. Masharti hupunguza nafasi ya sampuli. Tunahesabu uwezekano wa\(\text{A}\) kutoka nafasi iliyopunguzwa ya sampuli\(\text{B}\). Fomu ya kuhesabu\(P(\text{A|B})\) ni

\[P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}} \nonumber\]

ambapo\(P(\text{B})\) ni kubwa kuliko sifuri.

Kwa mfano, tuseme tunatupa haki moja, sita upande mmoja kufa. Nafasi ya sampuli\(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Hebu\(\text{A} =\) uso ni 2 au 3 na\(\text{B} =\) uso ni hata (2, 4, 6). Ili kuhesabu\(P(\text{A|B})\), tunahesabu idadi ya matokeo 2 au 3 katika nafasi ya sampuli\(\text{B} = \{2, 4, 6\}\). Kisha tunagawanya kwamba kwa idadi ya matokeo\(\text{B}\) (badala ya\(\text{S}\)).

Tunapata matokeo sawa kwa kutumia formula. Kumbuka kwamba\(\text{S}\) ina matokeo sita.

\[ \begin{align*} P(\text{A|B}) &= \dfrac{ \text{ P(A AND B) } } {P(\text{B})} \\[4pt] &= \dfrac{\dfrac{\text{the number of outcomes that are 2 or 3 and even in S}}{6}}{\dfrac{\text{the number of outcomes that are even in S}}{6}} \\[4pt] &= \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \dfrac{1}{3} \end{align*}\]

Kuelewa Istilahi na alama

Ni muhimu kusoma kila tatizo kwa makini kufikiri juu na kuelewa nini matukio ni. Kuelewa maneno ni hatua ya kwanza muhimu sana katika kutatua matatizo ya uwezekano. Rejesha tatizo mara kadhaa ikiwa ni lazima. Tambua wazi tukio la riba. Kuamua kama kuna hali iliyoelezwa katika maneno ambayo yanaonyesha kuwa uwezekano ni masharti; uangalie kwa makini hali hiyo, ikiwa ipo.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Nafasi ya sampuli\(S\) ni namba nzima kuanzia saa moja na chini ya 20.

1. \(S =\)_____________________________

   Hebu tukio\(A =\) hata idadi na idadi ya tukio\(B =\) kubwa kuliko 13.

2. \(A =\)_____________________,\(B =\) _____________________
3. \(P(\text{A}) =\)_____________,\(P(\text{B}) =\) ________________
4. \(\text{A AND B} =\)____________________,\(\text{A OR B} =\) ________________
5. \(P(\text{A AND B}) =\)_________,\(P(\text{A OR B}) =\) _____________
6. \(\text{A′} =\)_____________,\(P(\text{A′}) =\) _____________
7. \(P(\text{A}) + P(\text{A′}) =\)____________
8. \(P(\text{A|B}) =\)___________,\(P(\text{B|A}) =\) _____________; Je, probabilities ni sawa?

Jibu

1. \(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
2. \(\text{A} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18\}, \text{B} = \{14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
3. \(P(\text{A}) = \frac{9}{19}\),\(P(\text{B}) = \frac{6}{19}\)
4. \(\text{A AND B} = \{14,16,18\}\),\(\text{A OR B} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
5. \(P(\text{A AND B}) = \frac{3}{19}\),\(P(\text{A OR B}) = \frac{12}{19}\)
6. \(\text{A′} = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\);\(P(\text{A′}) = \frac{10}{19}\)
7. \(P(\text{A}) + P(\text{A′}) = 1\left((\frac{9}{19} + \frac{10}{19} = 1\right)\)
8. \(P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}} = \frac{3}{6}, P(\text{B|A}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(A)}} = \frac{3}{9}\), Hapana

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Sehemu ya sampuli S ni jozi zilizoamriwa za namba mbili, kwanza kutoka moja hadi tatu na ya pili kutoka kwa moja hadi nne (Mfano: (1, 4)).

1. \(S =\)_____________________________
   Hebu tukio\(A =\) jumla ni hata na tukio namba\(B =\) ya kwanza ni mkuu.
2. \(A =\)_____________________,\(B =\) _____________________
3. \(P(\text{A}) =\)_____________,\(P(\text{B}) =\) ________________
4. \(\text{A AND B} =\)____________________,\(\text{A OR B} =\) ________________
5. \(P(\text{A AND B}) =\)_________,\(P(\text{A OR B}) =\) _____________
6. \(\text{B′} =\)_____________,\(P(\text{B′)} =\) _____________
7. \(P(\text{A}) + P(\text{A′}) =\)____________
8. \(P(\text{A|B}) =\)___________,\(P(\text{B|A}) =\) _____________; Je, probabilities ni sawa?

Jibu

1. \(\text{S} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
2. \(\text{A} = \{(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3)\}\)
   \(\text{B} = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
3. \(P(\text{A}) = \frac{1}{2}\),\(P(\text{B}) = \frac{2}{3}\)
4. \(\text{A AND B} = \{(2,2), (2,4), (3,1), (3,3)\}\)
   \(\text{A OR B} = \{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
5. \(P(\text{A AND B}) = \frac{1}{3}, P(\text{A OR B}) = \frac{5}{6}\)
6. \(\text{B′} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)\}, P(\text{B′}) = \frac{1}{3}\)
7. \(P(\text{B}) + P(\text{B′}) = 1\)
8. \(P(\text{A|B}) = \frac{P(\text{A AND B})}{P(\text{B})} = \frac{1}{2}, P(\text{B|A}) = \frac{P(\text{A AND B})}{P(\text{B})} = \frac{2}{3}\), Hapana.

Mfano\(\PageIndex{2A}\)

Haki, sita upande mmoja kufa ni akavingirisha. Eleza nafasi ya sampuli S, kutambua kila moja ya matukio yafuatayo na subset ya S na kuhesabu uwezekano wake (matokeo ni idadi ya dots zinazoonyesha).

1. \(\text{T} =\)Tukio matokeo ni mbili.
2. \(\text{A} =\)Tukio matokeo ni idadi hata.
3. Tukio\(\text{B} =\) matokeo ni chini ya nne.
4. inayosaidia ya\(\text{A}\).
5. \(\text{A GIVEN B}\)
6. \(\text{B GIVEN A}\)
7. \(\text{A AND B}\)
8. \(\text{A OR B}\)
9. \(\text{A OR B′}\)
10. \(\text{N} =\)Tukio matokeo ni idadi mkuu.
11. \(\text{I} =\)Tukio matokeo ni saba.

Suluhisho

1. \(\text{T} = \{2\}\),\(P(\text{T}) = \frac{1}{6}\)
2. \(A = \{2, 4, 6\}\),\(P(\text{A}) = \frac{1}{2}\)
3. \(\text{B} = \{1, 2, 3\}\),\(P(\text{B}) = \frac{1}{2}\)
4. \(\text{A′} = \{1, 3, 5\}, P(\text{A′}) = \frac{1}{2}\)
5. \(\text{A|B} = \{2\}\),\(P(\text{A|B}) = \frac{1}{3}\)
6. \(\text{B|A} = \{2\}\),\(P(\text{B|A}) = \frac{1}{3}\)
7. \(\text{A AND B} = {2}, P(\text{A AND B}) = \frac{1}{6}\)
8. \(\text{A OR B} = \{1, 2, 3, 4, 6\}\),\(P(\text{A OR B}) = \frac{5}{6}\)
9. \(\text{A OR B′} = \{2, 4, 5, 6\}\),\(P(\text{A OR B′}) = \frac{2}{3}\)
10. \(\text{N} = \{2, 3, 5\}\),\(P(\text{N}) = \frac{1}{2}\)
11. Kifo cha sita cha upande mmoja hauna dots saba. \(P(7) = 0\).

Mfano\(\PageIndex{2B}\)

Jedwali linaeleza usambazaji wa sampuli random\(S\) ya 100 watu binafsi, iliyoandaliwa na jinsia na kama wao ni haki- au kushoto mitupu.

	Mitupu ya kulia	Kushoto
Wanaume	43	9
Wanawake	44	4

Hebu tuonyeshe matukio\(M =\) ambayo somo ni kiume,\(F =\) somo ni kike, somo ni mkono\(R =\) wa kulia, somo ni mkono\(L =\) wa kushoto. Kokotoa probabilities zifuatazo:

1. \(P(\text{M})\)
2. \(P(\text{F})\)
3. \(P(\text{R})\)
4. \(P(\text{L})\)
5. \(P(\text{M AND R})\)
6. \(P(\text{F AND L})\)
7. \(P(\text{M OR F})\)
8. \(P(\text{M OR R})\)
9. \(P(\text{F OR L})\)
10. \(P(\text{M'})\)
11. \(P(\text{R|M})\)
12. \(P(\text{F|L})\)
13. \(P(\text{L|F})\)

Jibu

1. \(P(\text{M}) = 0.52\)
2. \(P(\text{F}) = 0.48\)
3. \(P(\text{R}) = 0.87\)
4. \(P(\text{L}) = 0.13\)
5. \(P(\text{M AND R}) = 0.43\)
6. \(P(\text{F AND L}) = 0.04\)
7. \(P(\text{M OR F}) = 1\)
8. \(P(\text{M OR R}) = 0.96\)
9. \(P(\text{F OR L}) = 0.57\)
10. \(P(\text{M'}) = 0.48\)
11. \(P(\text{R|M}) = 0.8269\)(mviringo hadi sehemu nne za decimal)
12. \(P(\text{F|L}) = 0.3077\)(mviringo hadi sehemu nne za decimal)
13. \(P(\text{L|F}) = 0.0833\)

Marejeo

1. “Orodha ya Nchi kwa Bara.” Dunia atlas, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (imefikia Mei 2, 2013).

Tathmini

Katika moduli hii tulijifunza istilahi ya msingi ya uwezekano. Seti ya matokeo yote yanayowezekana ya jaribio inaitwa nafasi ya sampuli. Matukio ni subsets ya nafasi sampuli, na wao ni kupewa uwezekano kwamba ni idadi kati ya sifuri na moja, umoja.

Mapitio ya Mfumo

\(\text{A}\)na\(\text{B}\) ni matukio

\(P(\text{S}) = 1\)\(\text{S}\)wapi nafasi ya sampuli

\(0 \leq P(\text{A}) \leq 1\)

\(P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}}\)

faharasa

Uwezekano wa masharti

uwezekano kwamba tukio kutokea kutokana na kwamba tukio jingine tayari ilitokea

Uwezekano sawa

Kila matokeo ya jaribio ina uwezekano sawa.

Tukio

subset ya seti ya matokeo yote ya jaribio; seti ya matokeo yote ya jaribio inaitwa nafasi ya sampuli na kwa kawaida inaashiria\(S\). Tukio ni subset kiholela katika\(S\). Inaweza kuwa na matokeo moja, matokeo mawili, hakuna matokeo (subset tupu), nafasi nzima ya sampuli, na kadhalika. Maelezo ya kawaida ya matukio ni barua kuu kama vile\(A, B, C\), na kadhalika.

Majaribio

shughuli iliyopangwa kufanyika chini ya hali ya kudhibitiwa

Matokeo

matokeo fulani ya jaribio

Uwezekano

idadi kati ya sifuri na moja, umoja, ambayo inatoa uwezekano kwamba tukio maalum litatokea; msingi wa takwimu hutolewa na axioms zifuatazo 3 (na A.N Kolmogorov, 1930): Hebu\(S\) kuashiria nafasi ya sampuli na\(A\) na\(B\) ni matukio mawili katika S. Kisha:

• \(0 \leq P(\text{A}) \leq 1\)
• Ikiwa\(\text{A}\) na\(\text{B}\) ni matukio mawili ya kipekee, basi\(\text{P}(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B})\).
• \(P(\text{S}) = 1\)

Mfano Nafasi

seti ya matokeo yote ya uwezekano wa majaribio

Na Tukio

Matokeo ni katika tukio\(\text{A AND B}\) kama matokeo ni katika wote kwa\(\text{A AND B}\) wakati mmoja.

Tukio la Kusaidia

inayosaidia ya tukio\(\text{A}\) lina matokeo yote ambayo si katika\(\text{A}\).

Uwezekano wa masharti ya B iliyotolewa

\(P(\text{A|B})\)ni uwezekano kwamba tukio\(\text{A}\) kutokea kutokana na kwamba tukio\(\text{B}\) tayari ilitokea.

Tukio la Au

Matokeo ni katika tukio\(\text{A OR B}\) kama matokeo ni katika\(\text{A}\) au ni katika\(\text{B}\) au ni katika wote\(\text{A}\) na\(\text{B}\).

Zoezi 3.2.2

Katika darasa fulani la chuo, kuna wanafunzi wa kiume na wa kike. Wanafunzi wengine wana nywele ndefu na baadhi ya wanafunzi wana nywele fupi. Andika alama kwa uwezekano wa matukio kwa sehemu a kupitia j. (Kumbuka kwamba huwezi kupata majibu ya namba hapa. Hukukupewa taarifa za kutosha ili kupata maadili yoyote ya uwezekano bado; makini na kuelewa alama.)

• Hebu\(\text{F}\) tuwe tukio ambalo mwanafunzi ni mwanamke.
• Hebu\(\text{M}\) tuwe tukio ambalo mwanafunzi ni kiume.
• Hebu\(\text{S}\) tuwe tukio ambalo mwanafunzi ana nywele fupi.
• Hebu\(\text{L}\) tuwe tukio ambalo mwanafunzi ana nywele ndefu.

1. Uwezekano kwamba mwanafunzi hawana nywele ndefu.
2. Uwezekano kwamba mwanafunzi ni kiume au ana nywele fupi.
3. Uwezekano kwamba mwanafunzi ni mwanamke na ana nywele ndefu.
4. Uwezekano kwamba mwanafunzi ni kiume, kutokana na kwamba mwanafunzi ana nywele ndefu.
5. Uwezekano kwamba mwanafunzi ana nywele ndefu, kutokana na kwamba mwanafunzi ni kiume.
6. Kati ya wanafunzi wote wa kike, uwezekano kwamba mwanafunzi ana nywele fupi.
7. Kati ya wanafunzi wote wenye nywele ndefu, uwezekano kwamba mwanafunzi ni mwanamke.
8. Uwezekano kwamba mwanafunzi ni mwanamke au ana nywele ndefu.
9. Uwezekano kwamba mwanafunzi aliyechaguliwa kwa nasibu ni mwanafunzi wa kiume mwenye nywele fupi.
10. Uwezekano kwamba mwanafunzi ni mwanamke.

Jibu

1. \(P(\text{L′)} = P(\text{S})\)
2. \(P(\text{M OR S})\)
3. \(P(\text{F AND L})\)
4. \(P(\text{M|L})\)
5. \(P(\text{L|M})\)
6. \(P(\text{S|F})\)
7. \(P(\text{F|L})\)
8. \(P(\text{F OR L})\)
9. \(P(\text{M AND S})\)
10. \(P(\text{F})\)

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi manne ijayo. sanduku ni kujazwa na neema kadhaa chama. Ina kofia 12, wapiga kelele 15, mitego kumi ya kidole, na mifuko mitano ya confetti.

Hebu tukio\(H =\) la kupata kofia.

Hebu tukio\(N =\) la kupata kelele.

Hebu tukio\(F =\) la kupata mtego wa kidole.

Hebu tukio\(C =\) la kupata mfuko wa confetti.

Zoezi 3.2.3

Kupata\(P(\text{H})\).

Zoezi 3.2.4

Kupata\(P(\text{N})\).

Jibu

\(P(\text{N}) = \frac{15}{42} = \frac{5}{14} = 0.36\)

Zoezi 3.2.5

Kupata\(P(\text{F})\).

Zoezi 3.2.6

Kupata\(P(\text{C})\).

Jibu

\(P(\text{C}) = \frac{5}{42} = 0.12\)

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi sita ijayo. Jar ya maharage 150 ya jelly ina maharagwe 22 nyekundu ya jelly, 38 njano, kijani 20, zambarau 28, bluu 26, na wengine ni machungwa.

Hebu tukio\(B =\) la kupata maharagwe ya jelly ya bluu

Hebu tukio\(G =\) la kupata maharagwe ya kijani ya jelly.

Hebu tukio\(O =\) la kupata maharagwe ya jelly ya machungwa.

Hebu tukio\(P =\) la kupata maharagwe ya jelly ya zambarau.

Hebu tukio\(R =\) la kupata maharagwe nyekundu ya jelly.

Hebu tukio\(Y =\) la kupata maharagwe ya njano ya jelly.

Zoezi 3.2.7

Kupata\(P(\text{B})\).

Zoezi 3.2.8

Kupata\(P(\text{G})\).

Jibu

\(P(\text{G}) = \frac{20}{150} = \frac{2}{15} = 0.13\)

Zoezi 3.2.9

Kupata\(P(\text{P})\).

Zoezi 3.2.10

Kupata\(P(\text{R})\).

Jibu

\(P(\text{R}) = \frac{22}{150} = \frac{11}{75} = 0.15\)

Zoezi 3.2.11

Kupata\(P(\text{Y})\).

Zoezi 3.2.12

Kupata\(P(\text{O})\).

Jibu

\(P(text{O}) = \frac{150-22-38-20-28-26}{150} = \frac{16}{150} = \frac{8}{75} = 0.11\)

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi sita ijayo. Kuna nchi 23 katika Amerika ya Kaskazini, nchi 12 za Amerika Kusini, nchi 47 za Ulaya, nchi 44 za Asia, nchi 54 barani Afrika, na 14 katika Oceania (kanda ya Bahari ya Pasifiki).

Hebu\(\text{A} =\) tukio ambalo nchi iko Asia.

Hebu\(\text{E} =\) tukio ambalo nchi iko Ulaya.

Hebu\(\text{F} =\) tukio ambalo nchi iko Afrika.

Hebu\(\text{N} =\) tukio ambalo nchi iko Amerika ya Kaskazini.

Hebu\(\text{O} =\) tukio ambalo nchi iko Oceania.

Hebu\(\text{S} =\) tukio ambalo nchi iko Amerika ya Kusini.

Zoezi 3.2.13

Kupata\(P(\text{A})\).

Zoezi 3.2.14

Kupata\(P(\text{E})\).

Jibu

\(P(\text{E}) = \frac{47}{194} = 0.24\)

Zoezi 3.2.15

Kupata\(P(\text{F})\).

Zoezi 3.2.16

Kupata\(P(\text{N})\).

Jibu

\(P(\text{N}) = \frac{23}{194} = 0.12\)

Zoezi 3.2.17

Kupata\(P(\text{O})\).

Zoezi 3.2.18

Kupata\(P(\text{S})\).

Jibu

\(P(\text{S}) = \frac{12}{194} = \frac{6}{97} = 0.06\)

Zoezi 3.2.19

Je! Ni uwezekano gani wa kuchora kadi nyekundu katika staha ya kawaida ya kadi 52?

Zoezi 3.2.20

Je! Ni uwezekano gani wa kuchora klabu katika staha ya kawaida ya kadi 52?

Jibu

\(\frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 0.25\)

Zoezi 3.2.21

Je, ni uwezekano gani wa kupiga idadi hata ya dots na haki, sita upande mmoja kufa kuhesabiwa moja hadi sita?

Zoezi 3.2.22

Je! Ni uwezekano gani wa kupiga idadi kubwa ya dots na haki, sita upande mmoja kufa kuhesabiwa moja hadi sita?

Jibu

\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5\)

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi mawili yafuatayo. Unaweza kuona mchezo katika haki ya ndani. Una kutupa dart kwenye gurudumu la rangi. Kila sehemu ya gurudumu rangi ni sawa katika eneo.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

Hebu tukio\(\text{B} =\) la kutua kwenye bluu.

Hebu tukio\(\text{R} =\) la kutua kwenye nyekundu.

Hebu tukio\(\text{G} =\) la kutua kwenye kijani.

Hebu tukio\(\text{Y} =\) la kutua kwenye njano.

Zoezi 3.2.23

Kama nchi juu ya\(\text{Y}\), kupata tuzo kubwa. Kupata\(P(\text{Y})\).

Zoezi 3.2.24

Kama nchi juu ya nyekundu, huwezi kupata tuzo. Ni nini\(P(\text{R})\)?

Jibu

\(\text{P}(R) = \frac{4}{8} = 0.5\)

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi kumi ijayo. Katika timu ya baseball, kuna infielders na outfielders. Baadhi ya wachezaji ni hitters kubwa, na baadhi ya wachezaji si hitters kubwa.

Hebu tukio\(\text{I} =\) hilo kuwa mchezaji katika infielder.

Hebu\(\text{O} =\) tukio ambalo mchezaji ni outfielder.

Hebu\(\text{H} =\) tukio ambalo mchezaji ni mgongaji mkubwa.

Hebu\(\text{N} =\) tukio ambalo mchezaji si mgongaji mkubwa.

Zoezi 3.2.25

Andika alama kwa uwezekano kwamba mchezaji si outfielder.

Zoezi 3.2.26

Andika alama kwa uwezekano kwamba mchezaji ni outfielder au ni mgongaji mkubwa.

Jibu

\(P(\text{O OR H})\)

Zoezi 3.2.27

Andika alama kwa uwezekano kwamba mchezaji ni infielder na si mgongaji mkubwa.

Zoezi 3.2.28

Andika alama kwa uwezekano kwamba mchezaji ni mgongaji mkubwa, kutokana na kwamba mchezaji ni infielder.

Jibu

\(P(\text{H|I})\)

Zoezi 3.2.29

Andika alama kwa uwezekano kwamba mchezaji ni infielder, kutokana na kwamba mchezaji ni mgongaji mkubwa.

Zoezi 3.2.30

Andika alama kwa uwezekano kwamba wa outfielders wote, mchezaji si mgongaji mkubwa.

Jibu

\(P(\text{N|O})\)

Zoezi 3.2.31

Andika alama kwa uwezekano wa kuwa wa hitters wote kubwa, mchezaji ni outfielder.

Zoezi 3.2.32

Andika alama kwa uwezekano kwamba mchezaji ni infielder au si mgongaji mkubwa.

Jibu

\(P(\text{I OR N})\)

Zoezi 3.2.33

Andika alama kwa uwezekano kwamba mchezaji ni outfielder na ni mgongaji mkubwa.

Zoezi 3.2.34

Andika alama kwa uwezekano kwamba mchezaji ni infielder.

Jibu

\(P(\text{I})\)

Zoezi 3.2.35

Nini neno kwa seti ya matokeo yote iwezekanavyo?

Zoezi 3.2.36

Je! Ni uwezekano wa masharti gani?

Jibu

Uwezekano kwamba tukio litatokea kutokana na kwamba tukio jingine tayari limetokea.

Zoezi 3.2.37

Rafu ina vitabu 12. Nane ni uongo na wengine ni nonfiction. Kila ni kitabu tofauti na cheo cha kipekee. Vitabu vya uongo vinahesabiwa moja hadi nane. Vitabu vya nonfiction vinahesabiwa moja hadi nne. Nasibu kuchagua kitabu kimoja

Hebu\(\text{F} =\) tukio hilo kitabu ni uongo

Hebu\(\text{N} =\) tukio hilo kitabu ni nonfiction

Nafasi ya sampuli ni nini?

Zoezi 3.2.38

Je, ni jumla ya uwezekano wa tukio na inayosaidia?

Jibu

1

Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi mawili yafuatayo. Wewe ni rolling haki, sita upande mmoja namba mchemraba. Hebu\(\text{E} =\) tukio ambalo linaweka kwenye idadi hata. Hebu\(\text{M} =\) tukio kwamba ardhi juu ya nyingi ya tatu.

Zoezi 3.2.39

Ina\(P(\text{E|M})\) maana gani kwa maneno?

Zoezi 3.2.40

Ina\(P(\text{E OR M})\) maana gani kwa maneno?

Jibu

uwezekano wa kutua juu ya idadi hata au nyingi ya tatu