Skip to main content
Global

2.7: Skewness na Maana, Median, na Mode

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    181096

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Fikiria seti ya data ifuatayo.

    4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 9; 10

    Seti hii ya data inaweza kuwakilishwa na histogram ifuatayo. Kila muda una upana mmoja, na kila thamani iko katikati ya muda.

    Histogram hii inafanana na data iliyotolewa. Inajumuisha baa 7 zilizo karibu na mgawanyiko wa x-axis katika vipindi vya 1 kutoka 4 hadi 10. Urefu wa baa kilele katikati na taper symmetrically kwa kulia na kushoto.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Histogram inaonyesha usambazaji wa data ulinganifu. Usambazaji ni wa kawaida ikiwa mstari wa wima unaweza kupatikana wakati fulani katika histogram kama kwamba sura upande wa kushoto na kulia wa mstari wa wima ni picha za kioo za kila mmoja. Maana, wastani, na mode ni kila saba kwa data hizi. Katika usambazaji kamili wa usawa, maana na wastani ni sawa. Mfano huu una mode moja (unimodal), na mode ni sawa na wastani na wastani. Katika usambazaji wa usawa ambao una njia mbili (bimodal), njia mbili zitakuwa tofauti na maana na wastani.

    Histogram kwa data: 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8 sio sawa. Upande wa kulia unaonekana “umekatwa” ikilinganishwa na upande wa kushoto. Usambazaji wa aina hii huitwa skewed upande wa kushoto kwa sababu umevutwa nje upande wa kushoto.

    Histogram hii inafanana na data iliyotolewa. Inajumuisha baa 5 zilizo karibu na mgawanyiko wa x-axis katika vipindi vya 1 kutoka 4 hadi 8. Kilele ni cha kulia, na urefu wa baa hupungua chini upande wa kushoto.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

    Maana ni 6.3, wastani ni 6.5, na mode ni saba. Angalia kwamba maana ni chini ya wastani, na wote wawili ni chini ya mode. Maana na wastani wote huonyesha skewing, lakini maana inaonyesha zaidi.

    Histogram kwa data: 6; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10, pia sio sawa. Ni skewed kwa haki.

    Histogram hii inafanana na data iliyotolewa. Inajumuisha baa 5 zilizo karibu na mgawanyiko wa x-axis katika vipindi vya 1 kutoka 6 hadi 10. Kilele ni upande wa kushoto, na urefu wa baa hupungua chini ya kulia.
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\)

    Maana ni 7.7, wastani ni 7.5, na mode ni saba. Kati ya takwimu tatu, maana ni kubwa zaidi, wakati mode ni ndogo zaidi. Tena, maana inaonyesha skewing zaidi.

    Kwa ujumla, ikiwa usambazaji wa data umepigwa upande wa kushoto, maana ni chini ya wastani, ambayo mara nyingi ni chini ya mode. Ikiwa usambazaji wa data umepigwa kwa haki, mode mara nyingi ni chini ya wastani, ambayo ni chini ya maana.

    Skewness na ulinganifu kuwa muhimu wakati sisi kujadili mgawanyo uwezekano katika sura ya baadaye.

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Takwimu hutumiwa kulinganisha na wakati mwingine kutambua waandishi. Orodha zifuatazo inaonyesha sampuli rahisi ya random ambayo inalinganisha makosa ya barua kwa waandishi watatu.

    • Terry: 7; 9; 3; 3; 3; 4; 1; 3; 2; 2
    • Davis: 3; 3; 3; 4; 1; 4; 3; 2; 3; 1
    • Maris: 2; 3; 4; 4; 4; 6; 6; 6; 8; 3
    1. Fanya njama ya dot kwa waandishi watatu na ulinganishe maumbo.
    2. Tumia maana kwa kila mmoja.
    3. Tumia wastani wa kila mmoja.
    4. Eleza mfano wowote unaoona kati ya sura na hatua za kituo cha.

    Suluhisho

    1. Hii njama dot mechi data zinazotolewa kwa Terry. Mpango hutumia mstari wa nambari kutoka 1 hadi 10. Inaonyesha moja x juu ya 1, mbili x ya juu ya 2, nne x ya juu ya 3, moja x juu ya 4, moja x juu ya 7, na moja x juu ya 9. Hakuna x juu ya idadi 5, 6, 8, na 10.

      Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Usambazaji wa Terry una skew sahihi (chanya).

      Mpango huu wa dot unafanana na data iliyotolewa kwa Davi. Mpango hutumia mstari wa nambari kutoka 1 hadi 10. Inaonyesha mbili x ya juu ya 1, moja x juu ya 2, tano x ya juu ya 3, na mbili x ya juu ya 4. Hakuna x juu ya idadi 5, 6, 7, 8, 9, na 10.

      Kielelezo\(\PageIndex{5}\): usambazaji Davis 'ina kushoto (hasi) skew

      Hii njama dot mechi data zinazotolewa kwa Mari. Mpango hutumia mstari wa nambari kutoka 1 hadi 10. Inaonyesha moja x juu ya 2, mbili x ya juu ya 3, tatu x ya juu ya 4, tatu x ya juu ya 6, na moja x juu ya 8. Hakuna x juu ya idadi 1, 5, 7, 9, na 10.

      Kielelezo\(\PageIndex{6}\): Usambazaji wa Maris umeumbwa kwa usawa.
    2. Maana ya Terry ni 3.7, maana ya Davis ni 2.7, maana ya Maris ni 4.6.
    3. Wastani wa Terry ni watatu, wastani wa Davis ni watatu. Wastani wa Maris ni wa nne.
    4. Inaonekana kwamba wastani daima ni karibu na kiwango cha juu (mode), wakati maana huelekea kuwa mbali zaidi kwenye mkia. Katika usambazaji wa usawa, maana na wastani ni wote katikati iko karibu na kiwango cha juu cha usambazaji.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Jadili maana, wastani, na mode kwa kila moja ya matatizo yafuatayo. Je, kuna mfano kati ya sura na kipimo cha kituo?

    a.

    Mpango huu wa dot unafanana na data iliyotolewa. Mpango hutumia mstari wa nambari kutoka 0 hadi 14. Inaonyesha mbili x ya juu 0, nne x ya juu ya 1, tatu x ya juu ya 2, x moja juu ya 3, mbili x ya juu ya idadi 4, 5, 6, na 9, na 1 x kila juu ya 10 na 14. Hakuna x juu ya idadi 7, 8, 11, 12, na 13.
    Kielelezo\(\PageIndex{7}\).

    b.

    Marais wa zamani wa Marekani Walikufa
    4 6 9
    5 3 6 7 7 8
    6 0 0 3 3 4 4 5 6 7 7 7 8
    7 0 1 1 2 3 4 7 8 8 9
    8 0 1 3 5 8
    9 0 0 3 3
    muhimu: 8|0 ina maana 80.

    c.

    Hii ni histogram yenye jina la Masaa Alitumia Kucheza Michezo ya Video kwenye Mwishoni mwa wiki. x-axis inaonyesha idadi ya masaa alitumia kucheza michezo ya video na baa kuonyesha maadili katika vipindi ya 5. Mhimili wa y unaonyesha idadi ya wanafunzi. Bar ya kwanza kwa masaa 0 - 4.99 ina urefu wa 2. Bar ya pili kutoka 5 - 9.99 ina urefu wa 3. Bar ya tatu kutoka 10 - 14.99 ina urefu wa 4. Bar ya nne kutoka 15 - 19.99 ina urefu wa 7. Bar ya tano kutoka 20 - 24.99 ina urefu wa 9.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Mapitio

    Kuangalia usambazaji wa data kunaweza kufunua mengi kuhusu uhusiano kati ya maana, wastani, na mode. Kuna aina tatu za mgawanyo. Kusambaza kushoto (au hasi) iliyopigwa ina sura kama Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Haki (au chanya) usambazaji skewed ina sura kama Kielelezo\(\PageIndex{3}\). Usambazaji wa usawa unaonekana kama Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

    Tumia maelezo yafuatayo ili kujibu mazoezi matatu yafuatayo: Sema kama data ni ya kawaida, imeshuka upande wa kushoto, au imeshuka kwa haki.

    Zoezi 2.7.2

    1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5

    Jibu

    Data ni ya kawaida. Wastani ni 3 na maana ni 2.85. Wao ni karibu, na mode iko karibu na katikati ya data, hivyo data ni sawa.

    Zoezi 2.7.3

    16; 17; 19; 22; 22; 22; 22; 22; 23

    Zoezi 2.7.4

    87; 87; 87; 87; 87; 88; 89; 89; 90; 91

    Jibu

    Data ni skewed haki. Wastani ni 87.5 na maana ni 88.2. Ingawa wao ni karibu, mode iko upande wa kushoto katikati ya data, na kuna matukio mengi zaidi ya 87 kuliko idadi nyingine yoyote, hivyo data ni skewed haki.

    Zoezi 2.7.5

    Wakati data ni skewed kushoto, ni nini uhusiano wa kawaida kati ya maana na wastani?

    Zoezi 2.7.6

    Wakati data ni ya kawaida, ni uhusiano gani wa kawaida kati ya maana na wastani?

    Jibu

    Wakati data ni ya kawaida, maana na wastani ni karibu au sawa.

    Zoezi 2.7.7

    Neno gani linaelezea usambazaji una njia mbili?

    Zoezi 2.7.8

    Eleza sura ya usambazaji huu.

    Hii ni historgram ambayo ina 5 baa karibu na x-mhimili umegawanyika katika vipindi ya 1 kutoka 3 kwa 7. urefu bar kilele katika bar kwanza na taper chini na haki.
    Kielelezo\(\PageIndex{9}\)

    Jibu

    Usambazaji ni skewed haki kwa sababu inaonekana vunjwa nje ya haki.

    Zoezi 2.7.9

    Eleza uhusiano kati ya mode na wastani wa usambazaji huu.

    Hii ni histogram ambayo ina baa 5 karibu na x-axis imegawanyika katika vipindi vya 1 kutoka 3 hadi 7. urefu bar kilele katika bar kwanza na taper chini na haki. High bar kutoka kushoto kwenda kulia ni: 8, 4, 2, 2, 1.
    Kielelezo\(\PageIndex{10}\)

    Zoezi 2.7.10

    Eleza uhusiano kati ya maana na wastani wa usambazaji huu.

    Hii ni histogram ambayo ina baa 5 karibu na x-axis imegawanyika katika vipindi vya 1 kutoka 3 hadi 7. urefu bar kilele katika bar kwanza na taper chini na haki. Urefu wa bar kutoka kushoto kwenda kulia ni: 8, 4, 2, 2, 1.
    Kielelezo\(\PageIndex{11}\)

    Jibu

    Maana ni 4.1 na ni kubwa zaidi kuliko wastani, ambayo ni nne.

    Zoezi 2.7.11

    Eleza sura ya usambazaji huu.

    Hii ni histogram ambayo ina baa 5 karibu na x-axis imegawanyika katika vipindi vya 1 kutoka 3 hadi 7. urefu bar kilele katikati na taper chini ya kulia na kushoto.
    Kielelezo\(\PageIndex{12}\)

    Zoezi 2.7.12

    Eleza uhusiano kati ya mode na wastani wa usambazaji huu.

    Hii ni histogram ambayo ina baa 5 karibu na vipindi x-axis mgawanyiko wa 1 kutoka 3 hadi 7. urefu bar kilele katikati na taper chini ya kulia na kushoto.
    Kielelezo\(\PageIndex{13}\)

    Jibu

    Hali na wastani ni sawa. Katika kesi hiyo, wote wawili ni watano.

    Zoezi 2.7.13

    Je, maana na wastani ni sawa sawa katika usambazaji huu? Kwa nini au kwa nini?

    Hii ni histogram ambayo ina baa 5 karibu na x-axis imegawanyika katika vipindi vya 1 kutoka 3 hadi 7. Urefu wa bar kutoka kushoto kwenda kulia ni: 2, 4, 8, 5, 2.
    Kielelezo\(\PageIndex{14}\)

    Zoezi 2.7.14

    Eleza sura ya usambazaji huu.

    Hii ni histogram ambayo ina 5 baa karibu juu ya x-axis mgawanyiko katika vipindi vya 1 kutoka 3 hadi 7. Urefu wa bar kutoka kushoto kwenda kulia ni: 1, 1, 2, 4, 7.
    Kielelezo\(\PageIndex{15}\)

    Jibu

    Usambazaji umepigwa kushoto kwa sababu inaonekana vunjwa nje upande wa kushoto.

    Zoezi 2.7.15

    Eleza uhusiano kati ya mode na wastani wa usambazaji huu.

    Hii ni histogram ambayo ina 5 baa karibu juu ya x-axis mgawanyiko katika vipindi vya 1 kutoka 3 hadi 7. Urefu wa bar kutoka kushoto kwenda kulia ni: 1, 1, 2, 4, 7.
    Kielelezo\(\PageIndex{16}\)

    Zoezi 2.7.16

    Eleza uhusiano kati ya maana na wastani wa usambazaji huu.

    Hii ni histogram ambayo ina 5 baa karibu juu ya x-axis mgawanyiko katika vipindi vya 1 kutoka 3 hadi 7. Urefu wa bar kutoka kushoto kwenda kulia ni: 1, 1, 2, 4, 7.
    Kielelezo\(\PageIndex{17}\)

    Jibu

    Maana na wastani ni sita.

    Zoezi 2.7.17

    Maana na wastani wa data ni sawa.

    3; 4; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7

    Je, data ni sawa kabisa? Kwa nini au kwa nini?

    Zoezi 2.7.18

    Ambayo ni kubwa zaidi, maana, mode, au wastani wa kuweka data?

    11; 11; 12; 12; 12; 12; 13; 15; 17; 22; 22; 22

    Jibu

    Hali ni 12, wastani ni 12.5, na maana ni 15.1. Maana ni kubwa zaidi.

    Zoezi 2.7.19

    Ambayo ni mdogo, maana, mode, na wastani wa kuweka data?

    56; 56; 56; 58; 59; 60; 62; 64; 64; 65; 67

    Zoezi 2.7.20

    Kati ya hatua tatu, ambayo huelekea kutafakari skewing zaidi, maana, mode, au wastani? Kwa nini?

    Jibu

    maana huelekea kutafakari skewing zaidi kwa sababu ni walioathirika zaidi na outliers.

    Zoezi 2.7.21

    Katika usambazaji kamili wa ulinganifu, wakati gani mode itakuwa tofauti na wastani na wastani?